2017-2018学年四川省成都市双流区高一(下)期末数学试卷及答案

2017-2018学年四川省成都市双流区高一（下）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，每小题只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知A、B均为集合U＝{1，3，5，7，9}的子集，且A∩B＝{3}，（∁U B）∩A＝{9}，则A等于（）
A．{1，3}B．{3，7，9}C．{3，5，9}D．{3，9}
2．（5分）直线x+y+4＝0的倾斜角是（）
A．150°B．120°C．60°D．30°
3．（5分）已知关于x的一元二次不等式ax2﹣3x+6＞4的解集为{x|x＜1或x＞b}，则a+b 的值是（）
A．4B．3C．6D．5
4．（5分）已知cos（π+θ）＝，＜θ＜π，则cos（+θ）的值为（）A．﹣B．C．﹣D．
5．（5分）已知数列{a n}为等差数列，a1+a3+a5＝105，a2+a4+a6＝99，则a17的值为（）A．1B．3C．5D．7
6．（5分）已知向量＝（2，x），＝（1，1），若+与4﹣2平行，则实数x的值是（）A．0B．1C．2D．﹣2
7．（5分）已知tan（﹣α）＝，则的值为（）
A．﹣2B．C．2D．2
8．（5分）函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图，f（）＝﹣1，则f（0）的值为（）
A．1B．C．D．
9．（5分）如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AB＝2DC，E，F分别为DC，CB的中点，若＝x+y，其中x，y∈R，则x+y的值为（）
A．B．1C．D．
10．（5分）已知{a n}是首项为2的等比数列，S n是{a n}的前n项和，且28S3＝S6，则数列{}的前3项和为等于（）
A．B．C．或D．或3
11．（5分）在平面直角坐标系xOy（O为坐标原点）中，不过原点的两直线l1：x﹣my+2m ﹣1＝0、l2：mx+y﹣m﹣2＝0的交点为P，过点O分别向直线l1、l2引垂线，垂足分别为M，N，则四边形OMPN的面积的最大值为（）
A．3B．C．5D．
12．（5分）定义域为R的偶函数f（x）满足对任意x∈R，有f（x+2）＝f（x）﹣f（1），且当x∈[2，3]时，f（x）＝﹣2x2+12x﹣18，若函数y＝f（x）﹣log a（|x|+1），（a＞0且a≠1），在（0，+∞）上至少有三个零点，则a的取值范围是（）
A．B．C．D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡上
13．（5分）已知直线l过点（﹣2，1）与（2，3），则直线的方程为（请用一般式表示）．
14．（5分）函数f（x）＝2sin x cos x+（2cos2x﹣1）的周期为．
15．（5分）已知m＞0，n＞0，m+2n+2mn＝8，则m+2n的最小值是．
16．（5分）如图，在等腰梯形ABCD中，AB＝2，CD＝4，BC＝，点E，F分别为AD，BC的中点．如果对于常数λ，在ABCD的四条边上，有且只有8个不同的点P使得•
＝λ成立，那么实数λ的取值范围为．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知α∈（﹣，0），sinα＝﹣．
（Ⅰ）求cos（﹣α）的值；
（Ⅱ）求sin（+2α）的值．
18．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且数列，，，…，…
是首项为1，公比为2的等比数列．
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）设b n＝na n+1，求数列{b n}的前n项和T n．
19．（12分）某加工厂用某原料由甲车间加工出A产品，由乙车间加工出B产品甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时，可加工出7千克A产品，每千克A产品获利40元．乙车间加工箱原料需耗费工时6小时，可加工出4千克B产品，每千克B产品获利50元甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙车间耗费工时总和不得超过480小时．
（Ⅰ）设甲车间加工原料x（x∈N）箱，乙车间加工原料y（y∈N）箱，根据题意，列出约束条件．
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，满足题意要求，并且获利最大，甲、乙两车间应当各加工多少箱原料？
20．（12分）在锐角三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（2b﹣c）cos A＝a cos C．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若a＝3，求三角形ABC的周长的取值范围．
21．（12分）对于函数f（x），若存在x∈R使f（x0）＝x0成立，则称x0为f（x）的一个不动点，设函数f（x）＝x2+bx+a+1．
（Ⅰ）当a＝1，b＝﹣2时，求f（x）的不动点；
（Ⅱ）当b＝a时，若函数g（x）＝f（2x）在x∈R上存在零点，求实数a的取值范围．22．（12分）已知圆M过点A（3，2），与x轴交于B（x1，0），C（x2，0）（x1+x2＝0，x1＜x2）两点，且|BC|＝2．
（Ⅰ）求圆M的标准方程；
（Ⅱ）若直线l过点A，且被圆M截得的弦长为2，求直线l的方程；
（Ⅲ）对于线段CM上的任意一点N，若在以A为圆心的圆上都存在不同的两点P，Q，使得点P是线段NQ的中点，求圆A的半径r的取值范围．
2017-2018学年四川省成都市双流区高一（下）期末数学
试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，每小题只有一项是符合题目要求的）1．【考点】1J：Venn图表达集合的关系及运算．
【解答】解：因为A∩B＝{3}，所以3∈A，又因为∁U B∩A＝{9}，所以9∈A，排除A，假设7∈A，则A＝{3，7，9}，∁U B＝{1，5，7，9}，矛盾，排除B，
假设5∈A，则A＝{3，5，9}，∁U B＝{1，5，7，9}，矛盾，排除C，
选D．本题也可以用Venn图的方法帮助理解．
故选：D．
【点评】本题考查了集合之间的关系、集合的交集、补集的运算，考查了同学们借助于Venn图解决集合问题的能力．
2．【考点】I2：直线的倾斜角．
【解答】解：直线x+y﹣6＝0的斜率为：﹣，
所以tanα＝﹣，
由倾斜角的范围可知，α＝150°
故选：A．
【点评】本题是基础题，考查直线的倾斜角与斜率的关系，考查计算能力，注意倾斜角的范围的应用．
3．【考点】73：一元二次不等式及其应用．
【解答】解：关于x的一元二次不等式ax2﹣3x+6＞4的解集为{x|x＜1或x＞b}，
∴a＞0且1和b是方程ax2﹣3x+6＝4的两个实数根，b＞1；
∴，
解得a＝1，b＝2，
∴a+b＝1+2＝3．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次不等式与对应方程的应用问题，是基础题．
4．【考点】GO：运用诱导公式化简求值．
【解答】解：∵cos（π+θ）＝﹣cosθ＝，即cosθ＝﹣，又＜θ＜π，
∴sinθ＝＝．
则cos（+θ）＝﹣sinθ＝﹣，
故选：C．
【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式的应用，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．
5．【考点】84：等差数列的通项公式．
【解答】解：在等差数列{a n}中，由a1+a3+a5＝105，a2+a4+a6＝99，
得，解得a1＝39，d＝﹣2．
∴a17＝a1+16d＝39﹣32＝7．
故选：D．
【点评】本题考查等差数列的通项公式，是基础的计算题．
6．【考点】9K：平面向量共线（平行）的坐标表示．
【解答】解：∵＝（2，x），＝（1，1），
∴+＝（3，x+1），4﹣2＝（6，4x﹣2），
又+与4﹣2平行，
∴3（4x﹣2）﹣6（x+1）＝0，
解得：x＝2．
故选：C．
【点评】本题考查平面向量的坐标加减法运算，考查向量共线的坐标表示，是基础题．7．【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值．
【解答】解：∵tan（﹣α）＝，
∴＝＝＝．
故选：A．
【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．
8．【考点】HK：由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
【解答】解：根据函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象，可得＝＝﹣，∴ω＝3．
再根据五点法作图可得3•+φ＝，∴φ＝，故f（x）＝A sin（3x+）．
∵f（）＝A sin（+）＝﹣A cos＝﹣A•＝﹣1，∴A＝，则f（0）＝sin＝1，
故选：A．
【点评】本题主要考查由函数y＝A sin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，由函数的特殊值求出A，属于基础题．
9．【考点】9H：平面向量的基本定理．
【解答】解：∵E，F分别为DC，CB的中点，AB∥DC，AB＝2DC
∴＝＝＝
而＝＝+，又＝
∴＝①
+＝2②
①②联立得＝+
∴x＝；y＝
∴x+y＝
故选：C．
【点评】本题考查平面向量基本定理的简单应用．
10．【考点】89：等比数列的前n项和；8E：数列的求和．
【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q≠1，∵28S3＝S6，
∴28（1+q+q2）＝1+q+q2+q3+q4+q5，
∵1+q+q2≠0，
可得：28＝1+q3，
解得q＝3．
∴a n＝2×3n﹣1．
∴＝（）n﹣1则数列{}的前3项和为＝×＝
故选：B．
【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
11．【考点】IJ：直线的一般式方程与直线的垂直关系；IT：点到直线的距离公式．【解答】解：将直线l1的方程变形得（x﹣1）+m（2﹣y）＝0，
由，得，则直线l1过定点A（1，2），同理可知，直线l2过定点A（1，2），所以，直线l1和直线l2的交点P的坐标为（1，2），易知，直线l1⊥l2，如下图所示，
易知，四边形OMPN为矩形，且，
设|OM|＝a，|ON|＝b，则a2+b2＝5，
四边形OMPN的面积为S＝|OM|•|ON|＝ab，
当且仅当，即当时，等号成立，
因此，四边形OMPN面积的最大值为，
故选：D．
【点评】本题考查直线与直线的位置关系，考查直线过定点以及基本不等式，属于中等题．
12．【考点】52：函数零点的判定定理．
【解答】解：令x＝﹣1得，f（1）＝f（﹣1）﹣f（1）；
又∵f（x）是偶函数，
∴f（1）＝0，
故f（x+2）＝f（x）；
又∵当x∈[2，3]时，f（x）＝﹣2x2+12x﹣18，
函数y＝f（x）﹣log a（|x|+1）的零点的个数即
y＝f（x）与y＝log a（|x|+1）的交点的个数；
作函数y＝f（x）与y＝log a（|x|+1）的图象如下，
易知0＜a＜1，
故log a3＞﹣2，解得0＜a＜；
故选：C．
【点评】本题考查了函数的零点与函数的图象的交点的应用，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡上13．【考点】ID：直线的两点式方程．
【解答】解：直线l过点（﹣2，1）与（2，3），
则直线的方程为＝；
化为一般形式的x﹣2y+4＝0．
故答案为：x﹣2y+4＝0．
【点评】本题考查了根据两点坐标求直线方程的应用问题，是基础题．14．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；H1：三角函数的周期性．【解答】解：函数f（x）＝2sin x cos x+（2cos2x﹣1）
＝sin2x+2•﹣＝2sin（2x+）的周期为＝π，
故答案为：π．
【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性，属于基础题．
15．【考点】7F：基本不等式及其应用．
【解答】解：由基本不等式可得，所以，8mn≤（m+2n）2，则，由基本不等式可得，化简得（m+2n）2+4（m+2n）﹣32≥0，
即（m+2n+8）（m+2n﹣4）≥0，由于m＞0，n＞0，所以，m+2n＞0，解得，m+2n≥4，当且仅当，即当时，等号成立，因此，m+2n的最小值为4，
故答案为：4．
【点评】本题考查利用基本不等式求最值，对代数式进行灵活变形，是解决本题的关键，属于中等题．
16．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．
【解答】解：以DC所在直线为x轴，DC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系
则梯形的高为＝2，∴A（﹣1，2），B（1，2），C（2，0），D（﹣2，0），∴E（﹣，1），F（，1）．
（1）当P在DC上时，设P（x，0）（﹣2≤x≤2），则＝（﹣﹣x，1）＝（，1）．
于是＝（﹣﹣x）（﹣x）+1＝x2﹣＝λ，
∴当λ＝﹣时，方程有一解，当＜λ≤时，λ有两解；
（2）当P在AB上时，设P（x，2）（﹣1≤x≤1），则＝（﹣﹣x，﹣1）＝（，﹣1）．
于是＝（﹣﹣x）（﹣x）+1＝x2﹣＝λ，
∴当λ＝﹣时，方程有一解，当＜λ≤﹣时，λ有两解；
（3）当P在AD上时，直线AD方程为y＝2x+4，
设P（x，2x+4）（﹣2＜x＜﹣1），则＝（﹣﹣x，﹣2x﹣3）＝（，﹣2x﹣3）．于是＝（﹣﹣x）（﹣x）+（﹣2x﹣3）2＝5x2+12x+＝λ．
∴当λ＝﹣或﹣＜λ＜时，方程有一解，当﹣﹣时，方程有两解；
（4）当P在BC上时，直线BC的方程为y＝﹣2x+4，
设P（x，﹣2x+4）（1＜x＜2），则＝（﹣﹣x，2x﹣3）＝（，2x﹣3）．于是＝（﹣﹣x）（﹣x）+（2x﹣3）2＝5x2﹣12x+＝λ．
∴当λ＝﹣或﹣＜λ＜时，方程有一解，当﹣﹣时，方程有两解；
综上，若使梯形上有8个不同的点P满足＝λ成立，
则λ的取值范围是（﹣，]∩（﹣，﹣]∩（﹣，﹣）∩（﹣，﹣）＝（﹣，﹣）．
故答案为：（﹣，﹣）．
【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，二次函数与二次方程的关系，分类讨论思想，属于中档题．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．【考点】GP：两角和与差的三角函数．
【解答】解：（Ⅰ）∵已知α∈（﹣，0），sinα＝﹣，∴cosα＝＝，∴cos（﹣α）＝cos cosα+sin sinα＝．
（Ⅱ）∵sin2α＝2sinαcosα＝﹣，cos2α＝2cos2α﹣1＝，
求sin（+2α）＝sin cos2α+cos sinα＝+＝﹣．
【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角和差的三角公式的应用，属于基
础题．
18．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．
【解答】解：（Ⅰ）数列，，，…，…是首项为1，公比为2的等比数列，
可得＝2n﹣1，
即S n＝2n﹣1，
即有a1＝S1＝1；
n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝2n﹣1﹣2n﹣1+1＝2n﹣1，
综上可得a n＝2n﹣1，n∈N*；
（Ⅱ）b n＝na n+1＝n•2n，
前n项和T n＝1•2+2•22+3•23+…+n•2n，
2T n＝1•22+2•23+3•24+…+n•2n+1，
相减可得﹣T n＝2+22+23+…+2n﹣n•2n+1
＝﹣n•2n+1，
化简可得T n＝（n﹣1）•2n+1+2．
【点评】本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的递推式和求和方法：错位相减法，考查运算能力，属于中档题．
19．【考点】7C：简单线性规划．
【解答】解：（Ⅰ）设甲车间加工原料x箱，乙车间加工原料y箱，…（1分）
根据题意，得约束条件…（4分）．
（Ⅱ）画出可行域．…（7分）
目标函数z＝280x+200y，…（8分）
即y＝﹣x+，…（9分）
作直线y＝﹣x并平移，得直线经过点A（15，55）时z取最大值．…（11分）
所以当x＝15，y＝55时，z取最大值．…（12分）
【点评】本题考查线性规划知识的运用，考查数形结合的数学思想，考查学生的计算能力，属于中档题．
20．【考点】HP：正弦定理．
【解答】（本小题满分12分）
解：（I）法一：由（2b﹣c）cos A＝a cos C及正弦定理，得（2sin B﹣sin C）cos A＝sin A cos C，…
（3分）
∴2sin B cos A＝sin C cos A+sin A cos C，
∴2sin B cos A＝sin（C+A）＝sin B，
∵B∈（0，π），
∴sin B≠0，
∵A∈（0，π），
cos A＝，
∴A＝…（6分）
法二：由（2b﹣c）cos A＝a cos C及余弦定理，
得（2b﹣c）＝a，…（3分）
整理，得b2+c2﹣a2＝bc，可得：cos A＝＝，
∵A∈（0，π），
∴A＝．…（6分）
（II）解：由（I）得A＝，由正弦定理得＝＝2，所以b＝2sin B；c＝2sin C，
△ABC的周长：l＝3+2sin B+2sin（﹣B），…（9分）
＝3+2sin B+2（sin cos B﹣cos sin B）
＝3+3sin B+3cos B
＝3+6sin（B+），
∵锐角三角形ABC中，B∈（0，），0＜C＝﹣B，解得：，∴B+∈（，），sin（B+）∈（，1]，
∴△ABC的周长的取值范围为：（3+3，9]．…（12分）
【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题．21．【考点】3V：二次函数的性质与图象；52：函数零点的判定定理．
【解答】解：（Ⅰ）当a＝1，b＝﹣2时，函数f（x）＝x2+bx+a+1，
即为f（x）＝x2﹣2x+2，
由f（x）＝x即x2﹣3x+2＝0，
可得x＝1或2，
即f（x）的不动点为1或2；
（Ⅱ）当b＝a时，若函数g（x）＝f（2x）在x∈R上存在零点，
即g（x）＝（2x）2+a•2x+a+1在x∈R上存在零点，
令t＝2x（t＞0），则t2+at+a+1＝0有正根，
可得﹣a＝+（t+1）﹣2，
由t＞0，可得t+1＞1，+（t+1）≥2＝2，
当且仅当t＝﹣1，取得等号，
则﹣a≥2﹣2，可得a≤2﹣2，
即有a的范围是（﹣∞，2﹣2]．
【点评】本题考查函数的不动点和零点问题解法，注意运用方程思想和转化思想，以及参数分离和基本不等式，考查运算能力，属于中档题．
22．【考点】J1：圆的标准方程；J8：直线与圆相交的性质．
【解答】解：（Ⅰ）圆M过点A（3，2），与x轴交于B（x1，0），
C（x2，0）（x1+x2＝0，x1＜x2）两点，且|BC|＝2；
∴B（﹣1，0），C（1，0），
∴圆心M在y轴上，设M（0，m），由|AM|＝|BM|，
∴|AM|2＝|BM|2，化简得1+m2＝9+（m﹣2）2，解得m＝3，
∴圆心M（0，3），半径r＝|AM|＝，
∴圆M的标准方程为x2+（y﹣3）2＝10；
（Ⅱ）若直线l的斜率存在，则设l：y﹣2＝k（x﹣3），化简得kx﹣y﹣3k+2＝0，弦长为2，半径为r＝，则圆心M到直线的距离为d＝＝3，
即d＝＝3，化简得（1+3k）2＝9（1+k2），解得k＝；
若直线l的斜率不存在，则l：x＝3；
将x＝3代入圆的方程解得或，∴弦长为2，满足题意；
故直线l的方程为4x﹣3y﹣6＝0或x＝3；
（Ⅲ）由C（1，0），M（0，3），则CM的方程为x+＝1，即3x+y﹣3＝0；
设N（m，n），由点N在线段CM上，∴3m+n﹣3＝0且m∈[0，1]，∴n＝3﹣3m；设Q（x，y），∵P为NQ的中点，∴P（，），
即P（，）；
设圆A：（x﹣3）2+（y﹣2）2＝r2，由P、Q在圆A上，
可得，
整理可得；
若P、Q存在，则方程组有解，即圆心为A（3，2），半径为r的圆，
与圆心为A′（6﹣m，3m+1），半径为2r的圆有公共点；
根据两圆的位置关系可知：2r﹣r≤|AA′|≤2r+r，
即r≤≤3r在m∈[0，1]上恒成立；
∴r2≤（m﹣3）2+（3m﹣1）2≤9r2，
整理可得在m∈[0，1]上恒成立；
∴；
设f（m）＝10m2﹣12m+10＝10+，
∴f（m）∈[，10]；
∴，解得≤r2≤，即得≤r≤；
若点P是线段NQ的中点，则N在圆A外；
∴（m﹣3）2+（n﹣2）2＞r2，即（m﹣3）2+（3m+1）2＞r2在m∈[0，1]上恒成立，
∴r2≤（10m2﹣12m+10）min＝，解得r＜；
综上，圆A的半径r的取值范围是≤r＜．
【点评】本题考查了圆的标准方程及直线和圆以及圆与圆的位置关系应用问题，是综合题．。