高二数学直线的倾斜角和斜率知识精讲 人教版

高二数学直线的倾斜角和斜率知识精讲 人教版
一. 本周教学内容：
直线的倾斜角和斜率、直线方程的点斜式、直线方程的斜截式
［知识点］
1. 直线的方程和方程的直线： 定义：
（1）以一个方程f （x ，y ）＝0的解为坐标的点都在直线l 上。

（2）直线l 上的点的坐标都是方程f （x ，y ）＝0的解。

满足（1）（2）的方程f （x ，y ）＝0是直线l 的方程，同时称直线l 为方程f （x ，y ）＝0的直线。

2. 直线的倾斜角：
定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕交点逆时针旋转与直线重合时，所转过的最小正角为直线倾斜角。

规定：当直线与x 轴平行或重合时，倾斜角为0°。

X 围：0°≤α＜180°
注意：（1）定义分两部分：一部分是与x 轴相交，另一部分与x 轴平行。

（2）与x 轴相交的定义中，应理解三个地方：①x 轴绕交点旋转；②逆时针方向；③最小正角。

（3）应特别注意倾斜角的X 围［0，π）。

（4）任何一条直线有唯一倾斜角，表示直线的倾斜程度，但倾斜角为α的直线有无穷多条。

3. 直线的斜率：
定义：倾斜角不是90°的直线，其倾斜角的正切，叫做这条直线的斜率。

符号：常用k 表示，即k ＝tan α。

注意：（1）所有直线都有倾斜角，但不是所有直线都有斜率。

（）由正切的单调性可知，单增，，时单增，两个单2απαππ∈⎛
⎝ ⎫⎭⎪∈022
[)
调区间。

（3）当倾斜角为90°时斜率不存在，但直线存在。

4. 过两点的直线斜率公式：
公式推导：如图，已知直线l 过两点P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2），倾斜角为α，求斜率k 。

y x O α α P 1 P 2 y
x O
α α P 1 P 2
P
y
x O α α P 2 P 1
y
x O
α P 2 P 1
P
()作或，则，OP P P P P P x x y y →=⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪=--→→12211212
∴=--=--tan αy y x x y y x x 121221
21
即：k y y x x y y x x =--=--121221
21
注意：（1）斜率公式与点的顺序无关。

（2）由公式可知表示直线倾斜程度，可以由直线上两点确点，无需求倾斜角。

（3）当x 1＝x 2，y 1≠y 2时，α＝90°没有斜率。

（4）利用公式求斜率时，应注意隐含条件x 1≠x 2。

5. 直线的方向向量：
定义：直线上的向量及与之平行的向量都称为直线的方向向量。

P P 12→
意义：表示直线的方向。

6. 直线方程的点斜式： （1）方程的推导：略
()（）方程的形式：2y y k x x -=-11
（3）方程的特殊情况：y ＝y 1
（4）不能用点斜式表示的直线：x ＝x 1 7. 直线方程的斜截式： （1）方程的推导：（略）
（2）截距的概念：（是坐标不是距离） （3）方程的形式：y ＝kx ＋b （4）方程的特殊情况：y ＝0
（5）不能用斜截式表示的直线：x ＝0
【典型例题】
例1. 已知直线l 的斜率k 满足k>-2，求直线l 的倾斜角的X 围。

解：设直线l 的倾斜角为α 由题意知tan α=>-k 2
画出且及的图象k k =≤<≠⎛
⎝ ⎫⎭
⎪=-tan ααπαπ022
由且得：tan ααπαπ=-≤<≠⎛
⎝ ⎫⎭
⎪202
απ=-arctan2
由图知，直线倾斜角的范围是或l 02
2≤<
-<<απ
παπarctan
小结：已知直线l 的斜率的X 围，求直线l 的倾斜角的X 围时，常先画出函数
k =≤<≠⎛
⎝ ⎫⎭
⎪tan ααπαπ02且的图象，然后再由图象确定倾斜角的X 围。

例2. 已知直线的斜率为
，直线的倾斜角是直线的倾斜角的一半，AB AB 3
4
l 求直线l 的斜率。

解：设直线l 的倾斜角为α，由题意知直线AB 的倾斜角为2α
tan tan tan 234213
4
2
ααα==
∴-=k AB ， 即：38302
tan tan αα+-=
解之，得：或tan tan αα==-1
3
3
tan 2002180290ααα>≤<≠，且o o o
∴<<∴=0451
3
o o αα，tan
∴直线的斜率为l 1
3
小结：由2α的正切值确定α的X 围，及由α的X 围求α的正切值是本例中易忽略的地方，在解同类型题的过程中应当注意。

例3. 求经过两点P 1（2，1）和P 2（m ，2）（m ∈R ）的直线l 的斜率，并且求出l 的倾斜角α及其取值X 围。

解：（1）当m ＝2时，x 1＝x 2＝2
∴直线垂直于轴，因此直线的斜率不存在，倾斜角l x απ=2
（）当时，直线的斜率221
2
m k m ≠=-l 当时，m k >>20
∴=-∈⎛
⎝ ⎫⎭
⎪ααπarctan 1202m ，，
当时，m k <<20
∴=+-∈⎛⎝ ⎫
⎭⎪απαππarctan
12
2m ，，
小结：利用斜率公式时，应注意公式的应用X 围。

当斜率k ≥0时，直线的倾斜角为arctank ；
当k ＜0时，直线的倾斜角为π＋arctank 。

例4. 求证：A （1，-1）、B （-2，-7）、C （0，-3）三点共线。

证法一：∵A （1，-1）、B （-2，-7）、C （0，-3）
()()∴=
-----==
----=k k AB AC 7121
23101
2，
∴=k k AB AC
∴直线AB 与直线AC 倾角相同且过同一点A ∴直线AB 与直线AC 为同一条直线 故A 、B 、C 三点共线
证法二：∵A （1，-1）、B （-2，-7）、C （0，-3）
()()∴=--=--→→
AB AC 3612，，，
∴=→
→
AB AC 3
AB AC A →
→
与共线且起点都为
故A 、B 、C 三点共线
小结：解法一是利用了直线上任意两个不同的点所确定的斜率都应相等这一思想方法。

解法二利用了共线向量定理，此法较简单，此题还有其他一些解法。

例5. 已知两点A （-3，4）、B （3，2），过点P （2，-1）的直线l 与线段AB 有公共点。

（1）求直线l 的斜率k 的取值X 围； （2）求直线l 的倾斜角α的取值X 围。

解：如图所示，因为直线l 与线段AB 有公共点，所以l 的倾斜角介于直线PB 与直线PA 的倾斜角之间，当l 的倾斜角小于90°时，k ≥k PB ；当l 的倾斜角大于90°时，k ≤k PA 。

()()由已知得：，k k PA PB =
----=-=
---=4132
12132
3
（1）∵l 与线段AB 有公共点
∴k 的取值X 围是k ≤-1或k ≥3。

（2）因为l 的倾斜角介于直线PB 的倾斜角和直线PA 的倾斜角之间，又直线PB 的倾斜角是arctan3，直线PA 的倾斜角是
34
π
∴≤≤
arctan 334
απ
例6. 如图所示，直线l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则（）
A k k k
B k k k ..123312<<<<
C k k k
D k k k ..321132<<<<
（1995年全国高考题）
分析：根据直线的倾斜角与斜率的关系判断。

解：法一根据直线的斜率k 与倾斜角α的关系k ＝tan α（0≤α＜π），由图可见k 2＞k 3＞0＞k 1，故选D 。

法二取特殊值：，，，即可排除、、，从而选。

k k k A B C D 23121
3
1==
=-
例7. 已知直线的倾斜角的取值X 围，利用正切函数的性质，讨论直线斜率及其绝对值的变化情况。

（1）0°＜α＜90°；（2）90°＜α＜180°。

分析：本题要讨论的问题有两个：第一，直线斜率的变化情况；第二，直线斜率的绝对值的变化情况。

（2）首先要建立斜率k 与倾斜角α之间的关系以及斜率k 的绝对值｜k ｜与倾斜角α之间的关系，然后讨论变化情况，必要时可先画出函数的图象，根据图象指出直线的斜率及其绝对值的变化情况。

（3）用函数的性质或图象知识去讨论。

解：当0°＜α＜90°时，tan α＞0
（1）k ＝tan α，｜k ｜＝｜tan α｜＝tan α（0°＜α＜90°） ∴y ＝k 与y ＝｜k ｜的图象相同（如图所示）
这时，直线的斜率与直线斜率的绝对值相等，且属于（0，＋∞），直线的斜率及其绝对值随着直线倾斜角的增大而增大。

当无限接近于
时，直线的斜率及其绝对值无限接近于απ
2
+∞
当90°＜α＜180°时，k ＝tan α＜0
∴=====-y k y k tan |||tan |tan ααα，，它们的图象如图所示：
因此，当时，直线的斜率的变化范围是（－，），随着901800o o <<∞αα
在开区间，内逐渐增加，直线的斜率从增大而无限接近于。

ππ20⎛⎝ ⎫
⎭
⎪-∞
当0＜α＜90°时，直线斜率的变化X 围是（0，＋∞），随着倾斜角在开区间
020，内逐渐增大时，直线斜率由增大。

π⎛
⎝ ⎫⎭
⎪ 当90°＜α＜180°时直线斜率绝对值的变化X 围是（0，＋∞），随着倾斜角在开
区间，内逐渐增大时，直线斜率的绝对值从逐渐减少，而无限接近ππ2⎛⎝ ⎫
⎭
⎪+∞
于0。

例8. 已知直线经过点P （3，2），倾斜角是直线x －4y ＋3＝0的倾斜角的2倍，求直线l 的方程。

解：设直线x －4y ＋3＝0的倾斜角为α
则易得tan α=
14
故所求直线的斜率为k ==
-=tan tan tan 2218
152
ααα
又直线经过点P （3，2）
()∴-=
-直线方程为y x 28
15
3 整理得：81560x y -+=
小结：先求出直线x －4y ＋3＝0的倾斜角，然后求出直线l 的倾斜角，最后代入点P 求出解析式。

例9. 已知直线过点P （-2，3），且与两坐标轴围成的三角形面积为4，求直线的方程。

分析：关键是要求出斜率k 。

解：显然，直线l 与两坐标轴不垂直，设直线的方程为y －3＝k （x ＋2） 令得：x y k ==+023
令得：y x k
==-
-032 ()于是直线与两坐标轴围成的三角形面积为
12
23324k k +--⎛⎝ ⎫
⎭⎪=
()即23328k k ++⎛⎝ ⎫
⎭
⎪=±
()若，则整理得：，无解；2332844902k k k k ++⎛⎝ ⎫
⎭
⎪=++=
()若，则整理得：23328420902k k k k ++⎛⎝ ⎫
⎭
⎪=-++=
解之得：，k k =-=-129
2
()()∴-=-+-=-+所求直线的方程为和y x y x 312239
2
2
即和x y x y +-=++=24092120
例10. 如果AC ＜0，且BC ＜0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不通过（） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
（1991年全国高考题·文）
答案：C
分析：先求出直线与两坐标轴的交点，再判断。

解：法一，由BC ＜0，知B ≠0
化直线方程为斜截式y A B x C B
=-
- 因为AC ＜0，BC ＜0，所以AB ＞0
从而直线斜率，直线在轴上的截距-
<->A B y C
B
00 所以直线不通过第三象限，故选C 。

法二，取特殊值：A ＝B ＝1，C ＝－1知满足题设，此时方程为x ＋y －1＝0，由其图象知，直线不通过第三象限，故选C 。

例11. 求倾斜角是直线的倾斜角的，且分别满足下列条件的直y x =-+311
4
线方程
(
)
（）经过点
，；131-
（）在轴上的截距是。

25y -
解： 直线的斜率y x k =-+=-313 ∴其倾斜角α＝120°
由题意，得所求直线的倾斜角αα11
4
30==o 故所求直线的斜率k o 13033
==
tan (
)
（）所求直线经过点
，，斜率为13133
- ()
∴+=-所求直线方程是y x 13
3
3 即3360x y --=
（）所求直线的斜率是，在轴上的截距为23
3
5 y - ∴=-所求直线的方程为y x 3
3
5 即33150x y --=
小结：由直线方程的斜截式方程知，直线方程中的系y kx b y x x =+=-+31
数为直线的斜率。

-3
【模拟试题】
1. 直线x y cos sin αααπ++=∈⎛⎝
⎫
⎭
⎪1002，，的倾斜角是（） A. α
B.
π
α2- C. πα- D. π
α2
+
2. 若直线的斜率为k ，并且()k a a R =-∈2
1，则直线l 的倾斜角α的X 围是__________。

3. 已知直线l 过A t t B t t -+⎛
⎝
⎫⎭
⎪-⎛⎝
⎫⎭
⎪212122，、，()()两点，则此直线的斜率和倾斜角分别为（）
A. 1，135°
B. --145，o
C. -1135，o
D. 1，45°
4. 过点()
42，-，倾斜角为150°的直线的方程是（） A. 32430x y ++-= B.336430x y +++=
C. x y +
--=32340
D.x y ++-=32340
5. 已知直线的方程是y x +=--21，则（） A. 直线经过点（2，-1），斜率为-1
B. 直线经过点（--21，），斜率为1
C. 直线经过点()
--12，，斜率为-1
D. 直线经过点（12，-），斜率为-1
6. 直线3260x y ++=的斜率为k ，在y 轴上的截距为b ，则有（）
A. k b =-
=3
23， B. k b =-=-2
32，
C. k b =-=-3
23，
D. k b =-=-2
3
3，
7. 若直线l 的倾斜角为α，并且sin cos αα+=1
5
，求直线l 的斜率k 。

8. 已知某直线的倾斜角α满足()cos α=
<a
a 5
5，求该直线的斜率。

9. 已知直线l 过点A （2，-1），倾斜角α的X 围是2334π
π，⎛⎝ ⎫⎭
⎪。

在直角坐标系中给定两点()
()
M N --23131，、，，问l 与线段MN 是否有交点？若有交点，请说明理由。

10. 分别在下列条件下求直线的倾斜角和斜率。

（1）直线l 的倾斜角的正弦值为
3
4
； （2）直线l 的方向向量为()
v =-33，。

[参考答案]
1. 答案：D
解析：把直线x y cos sin αα++=10写成y x =--
cos sin sin ααα
1
-=-=+⎛⎝ ⎫⎭⎪cos sin cot tan αααπα2，而02
<<+<απαπ
∴直线x y cos sin αα++=10的倾斜角是π
α2
+
2. 答案：02≤<απ或34π
απ≤<
解析： k a a R =-∈21，∴-≥-a 2
11，即k ≥-1
由函数k =≤<≠tan ()ααπαπ
02
且的图象及k ≥-1，知l 的倾斜角α的X 围是
02≤<απ或34
π
απ≤<
3. 答案：C
解析：()
k t t t t =
-⎛⎝ ⎫⎭⎪-+⎛⎝ ⎫⎭
⎪--=-1122122
∴直线的倾斜角为135° 4.答案：D
所求直线的斜率k o
==-tan15033
由点斜式得：()()y x --=--23
3
4 即()y x +=-
-21
3
4 故所求直线方程为x y ++-=32340
5.答案：C
解析：直线方程y x +=--21可化为()()[]
y x --=---21
故直线过点（--12，），斜率为-1
6. 答案：C
解析：直线方程3260x y ++=化为斜截式得：
y x =--323故k b =-=-3
2
3，
7. 解： sin cos αα+=1
5
∴++=sin cos sin cos 222125
αααα 即sin cos sin cos sin cos αααααα=-+=-122512
25
22
， tan tan αα221
1225112
25+=-+=-
，k k 解之，得：k k 12433
4=-=-，
sin cos αααπ+=≤<1
5
0，
∴<<
παπ
234
∴=-k 43为所求 8. 解：当a =0时，cos αα==090，o
，该直线的斜率不存在。

当a ≠0时， a <∈50，，απ[) ∴=-=
-=
=-sin tan sin cos αααα125255
252
2
2
a a a
a
综上所述，当a =0时，所求直线的斜率不存在； 当a ≠0时，所求直线的斜率为252
-a a。

word
11 / 11 9. 解：l 与线段MN 有交点
因为()k AM =
----=-31221，所以直线AM 的倾斜角为34
π。

因为()k AN =----=-311123，所以直线AN 的倾斜角为23
π。

因为l 的倾斜角α的X 围是2334ππ，⎛⎝ ⎫⎭⎪，所以l 与线段MN 有交点。

10. 分析：（1）由已知条件求出直线的倾斜角，再求直线的斜率。

注意到在02，π⎛
⎝ ⎫⎭
⎪与ππ2，⎛⎝ ⎫⎭
⎪内角的正弦值都取正值，因此用反正弦表示角时，应区分角是锐角还是钝角。

（2）利用方向向量与x 轴所夹的最小正角与l 的倾斜角相等求解。

解：（1）设直线l 的倾斜角为α，则
sin ααπ=
<<34
0， 当απ∈⎛⎝ ⎫⎭⎪02，时，α=arcsin 34 ∴=⎛⎝ ⎫⎭⎪=k tan arcsin 34377
当αππ∈⎛⎝ ⎫⎭⎪2，时，απ=-arcsin 34 k =-⎛⎝ ⎫⎭⎪=-tan arcsin π34377
（2）法一：∵v 是l 的方向向量
∴v ∥l
∴v 与x 轴所夹的最小正角与l 的倾斜角α相等，则
tan α=-33
∴l 的斜率k =-
33
，倾斜角为α=150o 法二：设l 的斜率为k ，则()u k =1，是l 的一个方向向量 由已知()v =-33，是l 的一个方向向量
∴u ∥v ，则--=330k 即k =-33
∴tan α=-
33，倾斜角为α=150o。