江苏省泰州市民兴实验中学2023-2024学年高一下学期期中调研测试数学试题

江苏省泰州市民兴实验中学2023-2024学年高一下学期期中调
研测试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．设复数z 满足()1i 12i z +=+，则复数z =（ ）
A ．
1i
2
-+ B ．
3i
2
+ C ．1i
2
+-
D ．3i
2
+-
2．在ABC V 中，点D 是AB 的中点，且2AE EC =u u u r u u u r ，用向量,AB AC u u u r u u u r 表示向量DE u u u r
为（ ）
A ．1123A
B A
C +u u u r u u u r B ．1123
AB AC -+u u u
r u u u r C ．1223
AB AC +u u u
r u u u r
D ．1223
AB AC -+u u u
r u u u r
3．已知2
23cos 2sin 122
x x
-=，则cos x =（ ） A ．1
5
B ．0
C ．14-
D ．15
-
4．如图，在一个圆心为O ，半径为R 的半圆形钢板上截取一块矩形材料，使矩形的一边落在半圆的直径上，则这个矩形的面积最大时，AOD ∠的大小是（ ）
A ．π6
B ．π4
C ．π3
D ．
5π12
5．在ABC V 中，4
B π
=，BC 边上的高等于1
3BC ,则cos A =（ ）
A B C ．D ．
6．已知ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若30,1,c o s o s A a a C c A ==+=o B 的大小是（ ）
A ．30o
B ．60o
C ．30o 或150o
D ．60o 或120o
7．已知点()()()2,1,3,2,7,5A B C --，则点B 到直线AC 的距离为（ ）
A
B
C
D
8．在平面直角坐标系xOy 中，圆P 和圆O 的半径都为1,,P Q 两点分别在圆O 和圆P 上以相同的角速度1rad /s 按逆时针方向运动.,P Q 两点的初始位置如图（1）所示，π
3
ϕ=
，经过s t 后,P Q 两点的位置如图（2）所示，则点Q 纵坐标的取值范围是（ ）
A
．⎡⎣
B ．[]22-,
C
．⎡⎤⎣⎦ D
．⎡-⎣
二、多选题
9．已知复数12,z z ，以下四个说法中错误的是（ ） A ．复数12,z z 不能比较大小
B ．若22
12
0z z +=，则120z z == C ．2
211z z = D ．
11
22
z z z z = 10．已知π
02
αβ<<<，且tan ,tan αβ是方程2211010x x -+=的两根，下列选项中正确的是（ ）
A ．()1tan 2
αβ+=
B ．
()()
sin 6cos 11
αβαβ+=
- C ．()4tan 11
αβ-=-
D ．π24
αβ+=
11．长江某处的南北两岸平行，江面宽度为2km ，一艘船从江南岸边的A 处出发到江北岸.
已知如图，船在静水中的速度1v u r 的大小为110km/h v =u r ，水流方向自西向东，且速度2v u u r 的大小为26km /h v =u u r .设1v u r 和2v u u r
的夹角为()0πθθ<<，北岸的点A '在A 的正北方向，则（ ）
A ．当船的航行距离最短时，2
cos 5θ=-
B ．当船的航行时间最短时，π2
θ= C ．当2π
3
θ=时，船航行到达北岸的位置在A '的左侧
D ．当2π3θ=
.
三、填空题
12．已知||2a →
=，||3b →
=，a →与b →
的夹角为60︒，则||a b →→
+=．
13．sin 40(tan10=o o ;
14．如图所示，某人在O /分钟，开始时刻物体位于P 点，一分钟后其位置在Q 点，且90POQ ∠=o ，再过一分钟，该物体位于R 点，且30QOR ∠=o ，此时OR =.
四、解答题
15．已知向量()()()1,2,2,1,3,OA OB OC m =-==u u u r u u u r u u u r
.
(1)若向量//OA OC u u u r u u u r ，求向量AB u u u r
与向量OC u u u r 的夹角的大小；
(2)若向量OB OC ⊥u u u r u u u r ，求向量AB u u u r
在向量OC u u u r 上投影向量的坐标.
16．已知复数()
2032i(i z a a =-+为虚数单位，R)a ∈为纯虚数. (1)求a 的值；
(2)在复平面内，复数1z 满足10112,z z z ≤≤+对应的点1Z 组成集合U ，求集合U 对应图形的面积；
(3)已知201z z =+，若2z 是关于x 的实系数方程20x px q -+=的一个根，求实数p ，q 的值.
17．设()2πcos 6f x x x ⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭.
(1)求π6f ⎛⎫
⎪⎝⎭
的值及()f x 的单调递减区间；
(2)若()π20,,23f αα⎛⎫∈= ⎪⎝⎭
，求πsin 3α⎛
⎫+ ⎪⎝⎭的值.
18．在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c cos sin A a B =.
(1)若ABC V 的面积为,,a b c 为边长的三个正三角形的面积分别为123,,S S S . （i ）求231S S S +-的值；
（ii ）若a =cos cos B C ⋅的值；
(2)设AC 的中点为D ，且6BD =，求2b c +的取值范围.
19．在平面四边形ABCD 中，对角线AC 和BD 交于点E ，分别延长BA 和CD 交于点P ，连接PE 并延长交BC 于点F .
(1)如图（1），若四边形ABCD 为圆的内接四边形，3,4,AB BC CD DA === （i ）求BD 的长；
（ii ）求
BF
FC
的值； (2)如图（2），若2,,,PA AB BF FC CD DP PBC λμ===u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u
V u ur 的面积等于3，当2λμ+取最小值时，求ADF △的面积.。