多滞量二阶中立型方程的周期解
有序Banach空间中二阶时滞微分方程正周期解的存在性
有序Banach空间中二阶时滞微分方程正周期解的存在性吕娜【摘要】Existence of positiveω-periodic solution was studied for second order differential equation with delays in ordered Banach space E-u″(t)+a(t)u(t) =f(t,u(t-τ1),…,u(t-τn)),t∈R, where a∈C( R) was a positive ω-periodic function,f:R × Kn→K was a continuous function, and f( t,v) wasω-periodic in t, v=(ν1,ν2,…,νn)∈Kn, K was the positive cone,τi≥0,i=1,2,…n were constants. Un-der more general conditions of noncompactness measure and semi-ordering, the existence results of posi-tive ω-periodic solutions were obtained by applying the fixed point fixed theory of condensing mapping.%研究了有序Banach空间E中二阶多时滞微分方程-u″( t)+a( t) u( t)=f( t,u( t-τ1),…,u( t-τn )),t∈R,正ω-周期解的存在性,其中：a∈C( R)是正的ω-周期函数；f：R × Kn→K 连续且 f( t,v)关于 t 为ω-周期函数；v=(ν1,ν2,…,νn)∈Kn；K 为正元锥；τi≥0,i=1,2,…n为常数。
在较一般的非紧性测度条件与有序条件下,应用凝聚映射的不动点指数理论,获得了该问题正ω-周期解的存在性结果。
中立型时滞模型的周期正解
396Vol.39,No.6199611ACTA MATHEMATICA SINICANov.,1996(650091):N (t )=N (t )[a (t )−β(t )N (t )−b (t )N (t −τ(t ))−c (t )N (t −τ(t ))][1][2]1[3−5].(Hopf)Gopalsamy [2]LogisticN (t )=r (t )N (t ) 1−N (t −mω)+c (t )N(t −mω)K (t ) (1)ωr (t ),c (t ),K (t )ωmω(1)ωu(t )=r (t )u (t )1−u (t )+c (t )u (t )K (t )(2)ω(2)u (t )=r (t )u (t )K (t )−u (t )K (t )+c (t )r (t ).(3)[6](3)ω(2)ω(2)(3),(3)ω(2)ω(1)[1,2,7,8],(1)N (t )=N (t )[a (t )−β(t )N (t )−b (t )N (t −τ(t ))−c (t )N (t −τ(t ))](4)a (t ),β(t ),b (t )c (t )T(1)(4)(4)T[1]9.2.1(1)ω2,4[1]1[1](1)ω[2]199511979039X,Z BanachLx=λNx,λ∈(0,1),L:dom L∩X→ZλN:X→ZP:dom L∩X→X,Q:Z→Z/Im L,Im P=ker L,Im L=ker Q.MawhinX,Z Banach L0FredholmΩX N:Ω→ZΩLi)Lx=λNx,x∈∂Ω∩dom L,λ∈(0,1),ii)QNx=0,x∈∂Ω∩ker L,deg{QN,Ω∩ker L,0}=0,Lx=NxΩ21(1)ωx (t)=r(t)K(t)−e x(t)K(t)+c(t)r(t)e,(5)r(t),c(t)K(t)(1)X=Z={x(t)∈C(R,R):x(t+ω)=x(t)}, |x|0=maxt∈[0,ω]|x(t)|.X|·|0BanachLx=x ,Nx=r(t)K(t)−e x(t)K(t)+c(t)r(t)e,P x=Qx=1ωωx(t)dt,x∈X.L0Fredholm XΩ,NΩL Lx=λNx,λ∈(0,1)x (t)=λr(t)K(t)−e x(t)K(t)+c(t)r(t)e x(t).(6)x(t)(6)ω(6)0ωω0r(t)K(t)−e x(t)K(t)+c(t)r(t)e x(t)dt=0,(7)ω0r(t)dt=ωr(t)K(t)K(t)dt≥ωr(t)K(t)K(t)+c(t)r(t)e x(t)dt=ωr(t)e x(t)K(t)+c(t)r(t)e x(t)dt.ωr(t)K(t)−e x(t)K(t)+c(t)r(t)edt≤2ωr(t)dt.6791(6)ω0|x |dt≤λωr(t)K(t)−e x(t)K(t)+c(t)r(t)edt<2ωr(t)dt,ω|x |dt≤2ωr(t)dt.(8)(7)t∗∈[0,ω]|x(t∗)|≤|ln|K|0|,(9)(8)(9)|x|0≤|x(t∗)|+ ω|x |dt<|ln|K|0|+2ωr(t)dt.|ln|K|0|+2 ωr(t)dt=M,Ω={x(t)∈X:|x|0<M}.∀x∈∂Ω,∀λ∈(0,1)Lx=λNx.x∈∂Ω∩ker L=∂Ω∩R x|x|=M,QNx=1ωωr(t)K(t)−e xK(t)+c(t)r(t)e xdt=0.Φ(x,µ)=µx−(1−µ)QNx.∀x∈∂Ω∩ker Lµ∈[0,1],xΦ(x,µ)=µx2−(1−µ)x·QNx>0,Φ(x,µ)=0,Φ(x,µ)deg{QN,Ω∩ker L,0}= deg{−x,Ω∩R,0}=0.Ω(5)ωu(t)=e x(t),u (t)=r(t)u(t)K(t)−u(t)K(t)+c(t)r(t)u(t)(10)ω(10)ω(2)ω(1)ω121c(t)≡01[7]2(4)a(t),β(t)∈C(R,(0,+∞)),c(t),τ(t)∈C1(R,R+),c (t)<b(t),|1−τ |0·|c|0·e R<1,R=ln aβm +|c|0a(b−c )m+2aT,a=1TTa(t)dt,βm=mint∈[0,T]β(t),(b−c )m=mint∈[0,T](b(t)−a(t)),|1−τ |0=maxt∈[0,T]|1−τ (t)|,|c|0=maxt∈[0,T]c(t).(4)Tx (t)=a(t)−β(t)e x(t)−b(t)e x(t−τ(t))−c(t)(1−τ (t))x (t−τ(t))e x(t−τ(t)).(11) X={x(t)∈C (R,R):x(t+T)=x(t)},Z={z(t)∈C(R,R):z(t+T)=z(t)},|x|0=maxt∈[0,T]|x(t)|,|x|1=|x|0+|x |0.X,Z|·|1|·|0Banach Lx=x ,Nx=a(t)−β(t)e x(t)−b(t)e x(t−τ(t))−c(t)(1−τ (t))x (t−τ(t))e x(t−τ(t)),79239P x=1TTx(t)dt,x∈X,Qz=1TTz(t)dt,z∈Z.L0Fredholm XΩ,NΩL Lx=λNx,λ∈(0,1)x (t)=λ[a(t)−β(t)e x(t)−b(t)e x(t−τ(t))−c(t)(1−τ (t))x (t−τ(t))e x(t−τ(t))],λ∈(0,1).(12) x(t)(12)T(12)0TT[a(t)−β(t)e x(t)−(b(t)−c (t))e x(t−τ(t))]dt=0,T0[β(t)e x(t)+(b(t)−c (t))e x(t−τ(t))]dt=Ta(t)dt.(13)(12)(13) T|[x(t)+λc(t)e x(t−τ(t))] |dt≤λTa(t)dt+T(b(t)−c (t))e x(t−τ(t))dt<2Ta(t)dt=2aT,T|[x(t)+λc(t)e x(t−τ(t))] |dt<2aT.(14) (13)ξ∈[0,T]β(ξ)e x(ξ)+(b(ξ)−c (ξ))e x(ξ−τ(ξ))=a,x(ξ)<lnaβ(ξ)≤ln aβm,e x(ξ−τ(ξ))<a(b(ξ)−c (ξ))≤a(b−c )m.(15) (14)(15)x(t)+λc(t)e x(t−τ(t))≤[x(ξ)+λc(ξ)e x(ξ−τ(ξ))]+T|[x(t)+λc(t)e x(t−τ(t))] |dt<lnaβm+|c|0a(b−c )m+2aT=R,x(t)+λc(t)e x(t−τ(t))<R.λc(t)e x(t−τ(t))>0,x(t)<R.(12)|x (t)|≤λ[a(t)+β(t)e x(t)+b(t)e x(t−τ(t))+c(t)|1−τ (t)|·|x (t−τ(t))|e x(t−τ(t))] <λ|a|0+|β|0e R+|b|0e R+|c|0|1−τ |0|x |0e R,|x |0<|a|0+|β|0e R+|b|0e R+|c|0|1−τ |0|x |0e R.|c|0|1−τ |0e R<1,|x |0<|a0|+|β0|e R+|b|0e R1−|c|0|1−τ |0e RM1.(16)(13)t1∈[0,T]M2>0,x(t1)>−M2.(17)6793 t2∈[0,T]M3>0,x(t2−τ(t2))>−M3.t2−τ(t2)=nT+t0, t0∈[0,T],nx(t0)>−M3.(18) M i(i=1,2)a−βe−M i−be−M i>0,i=1,2.(15),(17)(18)t∗∈[0,T]|x(t∗)|<maxln aβm,M2,M3M4.(16)|x|0≤|x(t∗)|+ T|x |0dt<M4+M1T M5.M i(i=1,2,3,4,5)λM=M1+M5,Ω={x(t)∈X:|x|1<M},∀x∈∂Ω,∀λ∈(0,1)Lx=λNx.x∈∂Ω∩ker L=∂Ω∩R x|x|=M,QNx=1TT[a(t)−β(t)e x−b(t)e x]dt=a−βe x−be x=0.deg{QN,Ω∩ker L,0}=0.Ω(11) T N(t)=e x(t)(4)T21N (t)=N(t)e−2−e−3sin t2π−e sin t+1N(t)−2−12cos tN(t−2+sin2t)−1−12sin tN (t−2+sin2t)12π31(4)T c(t)41[1]9.2.3(4)a(t)>0,c(t)≡0,(4)Tx (t)=a(t)−β(t)e x(t)−b(t)e x(t−τ(t)).1,2T N(t)=e x(t)(4)T53[7]4(4)β(t)≡0,b(t)≡b(>0),c(t)≡c,τ(t)≡τce S<1,S=ln aθ1b +acθ2b+2aT,θ1,θ2>0,θ1+θ2=1,a=1TTa(t)dt.(4)Tx (t)=a(t)−be x(t−τ)−cx (t−τ)e x(t−τ).(19) X,Z2Lx=x ,Nx=a(t)−be x(t−τ)−cx (t−τ)e x(t−τ),P x=1TTx(t)dt,x∈X,Qz=1TTz(t)dt,z∈Z.79439 Lx=λNx,λ∈(0,1)x (t)=λ[a(t)−be x(t−τ)−cx (t−τ)e x(t−τ)],λ∈(0,1).(20) x(t)(20)T(20)0TT[a(t)−be x(t−τ)]dt=0,(21) T0a(t)dt=Tbe x(t−τ)dt=Tθ1be x(t−τ)+θ2be x(t−τ)dt.(22)T T (22)ξ∈[0,T]T0a(t)dt=Tθ1be x(t)+θ2be x(t−τ)dt=Tθ1be x(ξ)+θ2be x(ξ−τ),θ1e x(ξ)+θ2e x(ξ−τ)=a b.x(ξ)<lnaθ1b,e x(ξ−τ)<aθ2b.(23)(20)(22)T0|[x(t)+λce x(t−τ)] |dt≤λTa(t)dt+bTe x(t−τ)dt<2Ta(t)dt=2aT.T[x(t)+λce x(t−τ)] |dt<2aT.(24)(23)(24)x(t)+λce x(t−τ)≤x(ξ)+λce x(ξ−τ)+ T|[x(t)+λce x(t−τ)] |dt<ln aθ1b+acθ2b+2aT=S,x(t)+λce x(t−τ)<S.λce x(t−τ)>0,x(t)<S.(25) (20)(24)|x (t)|≤λ[a(t)+be x(t−τ)+c|x (t−τ)|e x(t−τ)]<λ|a|0+be S+c|x |0e S,|x |0<|a|0+be S+c|x |0e S.ce S<1,|x |0<|a|0+be S1−ce SM1.(26)(21)t∗∈[0,T]x(t∗)=ln a b.(26)|x|0≤|x(t∗)|+T 0|x |dt<ln ab+M1T M2.M i(i=1,2)λM=M1+M2,6795Ω={x(t)∈X:|x|1<M}.Ω(19)TN(t)=e x(t)(4)T42N (t)=N(t)1−cos2tπe2−2N(t−τ)−7N (t−τ),τ≥044π64θi(i=1,2)2θ1=θ2=12.74[1]9.2.[1]Kuang Y.Delay Differential Equations with Applications in Population Dynamics.New York:AcademicPress,1993.[2]Gopalsamy K,He X,Wen L.On a periodic neutral logistic equation.Glasgow Math J,1991,33:281–286.[3]Gyori I,Wu J.A neutral equation arising from compartmental systems with pipes.J Dyn DiffEqns,1991,3:289-311.[4]Kuang Y,Feldstein A.Boundness of solutions of nonlinear nonautonomous neutral delay equations.J MathAnal Appl,1991,156:192–204.[5]Gopalsamy K.Stability and Oscillations in Delay Differential Equations of Population Dynamics.Boston:Kluwer Academic Publishers,1992.[6]Yoshizawa T.Stability Theory and the Existence of Periodic Solutions and Almost Periodic Solutions.NewYork:Springer-Verlag,1975.[7]Zhang B G,Gopalsamy K.Global attractivity and oscillations in periodic delay logistic equations.J MathAnal Appl,1990,150:274–283.[8]Gopalsamy K,Zhang B G.On a neutral delay logistic equations.Dyn Stab Systems,1988,2:183–195.[9]Gaines R E,Mawhin J L.Concidence Degree and Nonlinear Differential Equations.Berlin:Springer,1977. Positive Periodic Solution for Neutral Delay ModelLi Yongkun(Department of Mathematics,Yunan University,Kunming650091,China)Abstract:In this paper,we employ some new technics to study the existence of a positive periodic solution of the neutral delay modelN (t)=N(t)[a(t)−β(t)N(t)−b(t)N(t−τ(t))−c(t)N (t−τ(t))].Our results in this paper answer an open question in[1]and correct the mistakes in[2]. Keywords:Neutral delay model,Positive periodic solution,Topological degree。
一类具有混合时滞的二阶中立型泛函微分方程的正周期解
Ｊ ｒｒ １ 一 ） ＝． （ｄ
中立 型泛 函微分方 程 不仅 扩展 了时滞 微分 方程 ， 而且 为生 物学 ］力 学 ［ 、 济 学 等领域 提 供 了很 好 、 ２经 ］ 的数 学模 型 ．３４ 多文 献 已经研究 了关 于一 阶 、 阶时滞微 分方 程 的正周 期解 的存 在性 ，由于 中立 型泛 ＿－ 许 ３ 二 函微 分方 程较 为复 杂 ， 以在这 方 面研究 还不 太多 ． 所 文献 ［ ］ ５ 中作 者研 究 了下面 一类二 阶 中立 型泛 函微分 方程 正周期 解 的存在 性 （ ｔ （）一ｃ （ 一丁 ｔ ） ”：口 ｔ ｔ － ｔ ｔ （） ） （ ） ｔ （） ） （） ）一厂 ， 一丁 ） ， ２ （ （ （ 其 中 口ｔ （）∈Ｃ（ （ ＋０） ，（）∈Ｃ Ｒ， ∈Ｃ（ ×［ ， ０ ，０ ＋０） ，（） （） ， 关 Ｒ，０， ０ ）丁 ｔ （ Ｒ） Ｒ ０ ＋０） ［ ， ０ ）口 ｔ， ｔ √ ｔ ）
＼
仑 犯 学 院 学 碾 自然科学版） （
２１ ０ １年 ２月 第 ２ １卷 第 １
Ｊ ｒ ｌｆ ｅ ｉ ｎ ｅ ｉ（ ａ ｒ ｃ ｎｅ） ｏ ｎ ｆ ｉ ｒｔ Ｎ ｔａ Ｓｉ ｃｓ ｕ ａｏ Ｈ ｅＵ ｖ ｓｙ ｕ ｌ ｅ
Ｆ ｂ ０ １Ｖｏ． ｏ １ ｅ ．２ １ Ｉ２１Ｎ ．
ｒｃ ｎ ｒ ｅ ｅ ｔｗｏ ｋ．
Ｋｅ ｏ ｄ ： ｅ ｔ ｌ ｆ ｎ ｔ ｎ ｌ ｄ ｆ ｒ ｎ ｉｌ ｅ ｕ ｔ ｎ ；ｐ ｓ ｉｅ ｐ ｒ ｄ ｃ ｓ ｌ ｔ ｎ； Ｋ ａ ｎ ｓ ｌｋ ｉ ｘ ｄ ｙ ｗ ｒ ｓ ｎ ｕ ｒ ｕ ｃ ｉ ａ ｉ ｅ ｅ ｔ ｑ ａｉ ｓ ｏ ｉ ｖ ｅ ｉ ｉ ｏ ｕ ｉ ａ ｏ ｆ ａ ｏ ｔ ｏ ｏ ｒ ｓ ｏ ｅｓ ｉ ｓ ｆ ｅ － ’ｉ
东北大学09数值分析(研)答案
。 2 − n ,...,2,1 = k � 0 =
i≠ j
k
i
∑ �即
) 4 h(O + ) 2n f
2 n
x∂ 61 y∂ y∂x∂ y∂ x∂ 2 + n fh + n y = + ) nf n + n ( + nf n 2 + n2 ( f 2∂ f 2 ∂ 3 h3 f 2∂ f∂ f∂ 2 h
3 n 2
1+ k
i)
1= i j − i 1= j 1= i ∏ ( ∑ = i y ) x ( i l ∑ = ) x ( nL = ) x ( f = j −x n n n
x
�有性一唯的式项多值插由
i≠ j
j i 1= j j − i 1= j ∏ x− x∏ = = )x ( il jx − x j −x n n
x−
) k(
x 使若� T )4 / 3 ,3 / 2 ,2 / 1( =
)1(
x �得步一代迭
解
�有且而。3�n 取应�故
4
� 4 /1 − 2 /1 − � � � 0 6 0 3 / 1 − � = B 为阵矩代迭 . = 1 B, � 3 / 1 − i b o c a J 于由 5 � � � 2 /1 2 /1 − 0 �
2
解
。线曲合拟的 2 xb + a = y 如形求试 1 0 3 1�
i y
… … … … 密 … … … …
○
。步 2 5 代迭应即。 2 5� k 取�以所
1
4 2
2 1
82.15 ≈
ix
x − )1( x 6 21 / 32 )0 ( nl ÷ nl = 1 B nl ÷ 1 nl > k 5 6 / 3− 01 ) B − 1( ε
计算周期解的数值方法
计 算 物 理
CHIN ESE J OU RNAL
OF COM PU TA TIONAL
P
H
YS
ICS
Vol. 16 J ul.
,No . 4 , 1999
计算周期解的数值方法 3
张锁春
(中国科学院应用数学研究所 ,北京 100080)
摘 要 比较系统地叙述计算常微分方程自治系统周期解的数值方法 ,重点介绍方法或算法的原 始构想和过程 。 关键词 常微分方程 自治系统 周期解 数值方法 中图分类号 O241
假设 Γ是周期为 T 的周期轨线 。考虑任一与 Γ 相交的超平面Π, 在 Π 上紧靠Γ 附近任 选一点 x 0 ,任选周期的一个估计值 T0 , 在 [ 0 , T0 ]上数值地积分方程 (2) , 记积分的终点值为 x ( T0) . 引进后继函数 ,定义为
FN ( x 0 , T0) = ‖x 0 - x ( T0) ‖ 由此可知 ,当且仅当 x 0 ∈Γ, T0 = T 时才有 FN ( x 0 , T0) = 0. 很显然 , 要使这种方法高效地运 作 ,必须预先知道周期解的大致位置和大小 ,才能有的放矢地选取 x 0 和 T0 . 对于这一点 ,由于 一般问题难以做到 ,因而限制了这种方法的应用 。
二阶时滞微分方程周期边值问题正解的三解定理
０ １ ５ ０ ７． ８ 文 献标 识 码 Ａ
中 图分 类 号
１ 引
言
ｆ （）＋ （ ，．（ ｆ ｙ 一 ｒ ）一 Ｏ， ） Ｏ＜ ＜ ２ 丌；
本 文考察二 阶时滞 微 分方 程周期 边值 问题 ：
下面我 们给 出 Ｂ ＶＰ（ ）的解 和正解 的定 义 １
（ ）在 ［ ｒ Ｏ １ 一 ，］上 ． ￡ 非 负且 连续 ） ） ， （ （ ）当 ｔ ［ ｒ ］时 ， （）一 ０ ． Ｏ ２ 一 ，Ｏ Ｅ ．￡ ） ， ，） ）一 Ｙ ２ｒ ， （ （７ ）
有 ．￡ ＞ ０则 ．￡ 是 Ｂ ） ） ， （ ， ） ） ， （ ＶＰ（ ）的一个 正解．我们 假设 ． ￡ 是 Ｂ Ｐ（ ）的一个解 ， １ ） ） ， （ Ｖ １ 则
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总４卷 Ｏ
第１ 期
数
学 研 究
Ｖｏ１ Ｎ ｏ ．４０ ．１
Ｍ ａｒ ２ ７ ． ００
２ ０年 ３ ０７ 月
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆＭ ａ ｈ ｍ ａｉａ Ｓ ｕ ｙ ｏ ｒ ａ ｏ ｔ ｅ ｔ ｌ ｔ ｄ ｃ
二 阶 时 滞 微 分 方 程 周 期 边 值 问题 正 解 的 三 解 定 理
．（ ｛ ｆ ０ ． ）： ， ｙ
【 （ ）＝ ｙ（ ７ ． Ｏ ｙ ２ｒ ）
一ｒ ｔ ０ ；
正解的存在性． 其中 ０ ｒ ÷ 为一常数．我们假定 ： ＜ ＜
设存在 ０＜ ｄ＜ ａ 满 足 ，
［ ］ 当０ Ｙ ４ Ｈ。 ａ时 ， （，ｙ 连续且 有 ｆ（，ｙ ０ ｆｔ ． ） ｔ． ） ［ ］ 当 ０ Ｙ ｄ时 ， ｆ ． ＜ Ｈ２ （，ｙ ） ［ ］ 当日 Ｙ ４ Ｈ。 ａ时 ， （，ｙ ＞ ２ ｆｔ ． ） １ａ
一类具有多滞的线性中立型微分方程的稳定性
２（ ＿ 一） ，∑ （ 芝 一） Ｉｆ ｘ） ，一 （ 】 ） ， ］ ， （ ＋ ） ＋ ＝
２ （２ ） 一 ＋ （（２ ＿ 一＋ ６ ｆ ｘ ２ ｆｆ （ ｊ） 芝 Ａ ） ）） 主 ｆ ） 一 ｆ 一 ）
（ ｎ ２ ４，） — 一∑∑ ２ ｘｆ ）２ ｎ
ｊＪ ＝ ｊｌ ＝ ｊｔ ＝
关键词 ：中立型泛 函微分方程；Ｌ ａ ｕ ｏ 函：稳 定性 ｙｐ ｎ ｖ泛
中图分 类号 ： ７ Ｏｌ ５
ｄ ｉ ０３ ６０ｉ ｎ１０ －４ ３２ １．１１ ｏ：１ ． ９ ．ｓ． ３２ ８ ． ２０ ．１ ９ ｓ ０ ０
文献标识码：Ａ
１ 引言
在文献【】 研究了具时滞微分方程 １中，
ｉ １’ ＝ ’ ｉ１ 。 ＝
（嘉ｆ喜＋ －， ＋ ｆ ｆ，ｃ＂Ｊｓ ） 口＋ “ｔ．） ， （ （ ６ ｅ Ｉ ：
第 ３ 卷第 １ ８ 期
文 章编 号 ：０３２ ４ （０２０－０ ００ １０ －８３２ １）１ ５－４ ０
西南民族大学学报 ・ 自然科学版
Ｊ ｕ ａ ｆ ｏ ｔ ｗｅ ｔ ｉ ｅ ｓ ｙ ｆ ｒ ｔｏ ａｉ ｅ ・ ｔ ｒ ｌ ｃｅ ｃ ｄ ｔ ｎ ｏ ｒ ｌ ｕ ｈ ｓ ｖ ｒｉ ｏ ｉ ｎ ｌ ｉｓ Ｎａ ｕ ａ ｉｎ ｅＥ ｉ ｏ ｎ ｏ Ｓ Ｕｎ ｔ Ｎａ ｔ Ｓ ｉ
．
— 一 ） ） ≤
２ （ ６ ｆ［（ 一） ６ ｆ ｆ ｆ ｆ ） ｆ ） 一 。＋ ］ ＋
￣ｏｉ） ， ｆ １ｘｔ （ ｃ ２＋ ） ．（ １ ［ 卜
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芝 Ｉｆ＿一） ｌ ［，一 ） （ ）： Ｊ ） ； ＋ ｔ ｒ ］ （ （ ｉＩ Ｊ （ ［ ＋ ，－ １ 卜 － －
具复杂偏差变元的二阶中立型微分方程周期解
ｚ Ｔ 易得 设 Ｃ ： ｛ ｚ∈ Ｃ Ｒ， ， （ ＋丁 Ｔ ＝ ｚＩ （ Ｒ）ｘ ｔ ）＝ｘ ｔｌ其模为 Ｉ ∈ａｘ Ｉ （ ）ＩＹｘ∈ Ｃ － （ ）， Ｉ ｚ ｏ ｍ 列 ￡ ， ［ 。
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３ 卷第 ２期 ０
广、 １
文 乾 ， 鲁世平 ： 具 复杂偏差变元 的二 阶中立型微分方程周期解
１９ ０
（） ｌＡ ）￡ ｌｔ ２ Ｊ （ ｆ（） ｄ ≤ Ｉ
０ １
一
）
．
∑ ｆ
ｉ＝ห้องสมุดไป่ตู้ｌ
Ｊ０
引理 ２８ 如果 ｌ １ ｘ １ ｌ ０且 ［ ］ ＝ ｍａ ＞
１ 引言 与引 理
二阶微分方程周期解问题的研究一直为人们所广泛关注 ， 但对中立型泛函微分方程的研究工作相对较
少［ ４ 王根强等在文［］ 卜Ｊ ． ５ 中研究了一类非线性中立型方程
［ （） Ｘ ｔ ） ｚ ｔ ＋Ｃ （ —ｒ ］ ＋ｇ ｔｚ ｔ ） （ ， （ 一 ）＝ Ｐ ｔ （） 的周期解存在性问题 ， 要求 ｇ ｔｚ 关于 ｚ满足单边有界条件 ； （， ） 刘锡平等在文［］ ６ 中利用拓扑度方法探讨 了 类具复杂偏差变元 Ｄ ｌｎ 型方程 ｕｌ ｇ ｉ ｚ （ ）＋ｇ（ ｚ（ ） ）＝ Ｐ（ ） ｔ ｘ（ ｔ ） ｔ （） １ 周期解的存在性， 要求 ｇ作为Ｒ上的连续函数是严格有界的． Ｚ ３［ ￣ ７—８ 分别研究了中立型 Ｌ ｎｒ 方程 ］ ｆａ ｄ
（） ４ （） ５
Ｌ： Ｌ） Ｃ、 Ｃ ， ｘ ＝ （ ）， Ｄ（ ｃ １一 ｒ Ｌ 其 中 Ｄ（ Ｌ）＝ ｛ ｚ ∈ Ｃ （ Ｒ） （ Ｔ）＝ ｚ（ ） ， ｚ： Ｒ， ， ｔ＋ ｔ｝ Ｎ ： Ｔ— Ｃ ，Ｎｘ ＝一ｇ ｚ ｔ）一ｇ ｚ（ ｔ ） Ｃ Ｔ （ （） （ ｚ（） ）＋Ｐ ｔ ． （） ｘ ｌｆ ＞ 如 果 ｌ １ ｍａ ｃ ｌ ＯＲ
08-06_二阶线性常微分方程的级数解法
a1 a1 a1
(3−l （ −l )( l + 2)( l + 4) )1 5！
(5−l )(3−l （ −l )( l + 2)( l + 4)( l + 6) )1 7！
a2k+1 =
（ k−1−l (l+2k) 2 ） (2k+1)⋅(2k) 2k−1
a
=
(2k−1−l ) （−l)(l+2) (l+2k) 1 1 (2k+1)！
前几阶勒让德多项式为： 1 1 2 P0 ( x) = 1； P ( x) = x； P2 ( x) = (3 x − 1)； P3 ( x) = (5 x3 − 3 x) 1 2 2
方程正则奇点邻域内的解
如果 z0 是二阶线性常微分方程
w ' '+ p( z ) w '+ q( z ) w = 0
w ( z0 ) = C 0 , w' ( z0 ) = C1
的常点，则在其邻域—z- z0 —< R内，存在唯一 解析解(定理) ：
w = ∑ k = 0 a k ( z − z0 ) k
∞
其中系数 ak 可以用C0 和C1表示。
例：勒让德方程的级数解
l 阶勒让德方程为： (1 − x 2 ) y "− 2 xy '+ l (l + 1) y = 0
a2 = a4 =
( 2 − l （− l )( l +1)( l + 3) ) 4！
( 4 − l )( 2 − l （− l )( l +1)( l + 3)( l + 5 ) ) 6！
二阶无穷时滞泛函微分系统的周期解
先指 出 是 一个 指标 为零 的 Ｆ ｅ ｈ ｌ 映射 ． ｒｄ ｏｍ 易
知， ＫｅＬ 一 ｛ ￡ 兰 Ｃ， ∈ Ｒ｝ ｒ （） Ｃ ，
ｄ ｍ （ ｒ Ｌ） ｉ Ｋｅ （ ）＝ １ ．
，ｒ
设 是 一个 零指 标 的 Ｆ ｅ ｈ ｌ ｒｄ ｏｍ映 射 ， 在 Ｑ 上 令 Ⅳ 是系统 的周期 解问题． ｉ ｒ ｎ 文章利用重合度理论 中的延拓 定理和 微分 积分 不等 式 ， 研究一类具有单个滞 量周期扰 动的无穷时滞泛 函微 分系统 Ｔ周期解存在性 ， 以Ｍａ ｉ ｗｈ ｎ延拓定理 为主要工具证 明系统存在 Ｔ周期解 的充分 条件 ，
获 得 的 结 果 具 有 一 定 的普 遍性 ． 关 键 词 ： 穷 滞 量 ； 线性 ； 期 解 无 非 周 中图分类号 ： ７．２ Ｏ１５ １ 文献标识码 ： Ａ 文章 编号 ：０ ４４ ２ （０ ８ ０ —０ ７０ １０ —３ ９ ２ ０ ）４０ ２ —４
的 Ｆ ｅ ｈ ｌ 映射 ， ： — Ｚ是连 续 映射 ， ｒｄ ｏｍ Ⅳ Ｑ 并且 如果
定义 线性算 子 Ｌ：
Ｄ（ ）ｃ — Ｃ’Ｏ Ｔ］ 一 己 Ｘ ７ ， ： ［
｛ ｚ∈ Ｃ（ ， （ ＋ 丁）一 ｚ（） ＸＩ Ｒ） ｘ ｔ ｆ ｝，
Ｌｘ ＝ Ｘ ．
Ｄ（ 己）一 （ ｚ∈ Ｘ， Ｏ ｌ 奎（ ）一 ０ ， ）
第 ２ 第 ４期 ５卷 ２０ 年 ｌ ０８ ２月
阜阳师范学院学报 （ 自然 科学 版）
Ｊ ｕ ｎ ｌｏ ｕ ａ ｇ Ｔｅ ｃ ｅｓＣｏｌｇ （ ｔｒ ｌＳ ｉｎ ｅ ｏ ｒ ａ ｆＦ ｙ ｎ ａ ｈ ｒ ｌ ｅ Ｎａ ｕ ａ ｃｅ ｃ ） ｅ
Ｖ０ ． ５， ． １ ２ Ｎｏ ４
Ｉ ｌ ｚ
一类中立型时滞差分方程的正解
一类中立型时滞差分方程的正解1什么是一类中立型时滞差分方程一类中立型时滞差分方程，即包含时滞的微分方程，是一类科学研究的基础，它可以帮助我们描述随时间流逝而发生的变化。
它是一个物理系统的描述，并具有时滞特性，可以比较准确地建模和分析各种实际系统在时间变化后所表现出一定的响应速度。
常见的一类中立型时滞差分方程通常有一阶中立型时滞差分方程和二阶中立型时滞差分方程。
2一阶中立型时滞差分方程一阶中立型时滞差分方程是最简单也是最重要的形式，它将时滞特性建模为一个常微分方程的现有结果应用到下一个计算结果的延迟。
即，微分方程的解表达为下一时刻的变量的函数，其中除了晚期结果之外还将上期结果带入考虑。
它一般形式如下：$$\frac{dx(t)}{dt}+p(t)x(t)=q(t)x(t−τ)$$其中，$x(t)$是表示系统状态的变量，$q(t)$和$p(t)$是满足条件$p(t)>0$的连续函数，$τ$是常数，表征时滞的强度。
3二阶中立型时滞差分方程二阶中立型时滞差分方程是一种比一阶时滞更加复杂的形式，也就是将时滞特性建模为包含了及其计算上一步的结果，以及上上步的结果的方程。
二阶中立型时滞差分方程一般形式如下：$$\frac{d^2 x(t)}{dt^2}+p(t)\frac{dx(t)}{dt}+q(t)x(t)=r(t)x(t−δ)$$其中，$x(t)$是表示系统状态的变量，$q(t)$,$p(t)$和$r(t)$是满足条件$p(t)>0$的连续函数，$δ$是常数，表征时滞的强度。
4正解一类中立型时滞差分方程的正解是表示系统状态的最终解的函数，即x(t)。
它具有四种不同的正解，分别是偶正解、单正解、双正解和无正解。
（1）偶正解是指系统解为常数，即$x(t)=X$。
（2）单正解是指系统解随时间变化的周期性函数，即$x(t)=X_1e^{tτ_1+τ_2}+X_2e^{tτ_1−τ_2}$，$τ_1，τ_2$是不定根且$τ_1>0$。
一类二阶非线性中立型泛函微分方程的周期解
Ｉ （ ｔ （）ｄ ｍ ｘＭ，ｓ （ Ｉ ｇｘ 一） Ｉ Ｔ ａ｛ ｕ ｌ ） Ｉ （ － ） ｔ ｐ ｇ ）．
ｘ ［ Ｄ】 ｅ一Ｄ，
（ ９ ）
由（） 式（） ｉ和 ｉ ８，
Ｉｇｘ 一 ｌ ＝Ｉ （ｔ ） ＝ Ｉ （ｔａ） ｌ （ｔ ） ｔ （） （ｔ ）ｄ ｘ 一 ｄ 一 ｇｘ — ）ｔ ｇｘ 一 Ｉ ． １ ｌ （ ｔ ｇ（ ｒ （ ｄ ｌ （ ０ ｄ
．
（ １ ）
其 中 ， － Ｃ是常 数 ， ｒ Ｏ ≥０ 厂 （ ， ） ＣＲ Ｒ ，且对 Ｒ 中任一有界区间Ｅ， （） （和 ） ， ， ∈ＣＲ Ｒ ， ｇ∈ （ ， ） ｇ 在
上满足Ｌ ｅ ｉ条件，Ｐ∈ （ ， ） ｉｃｔ ｐ ｈｚ ＣＲ Ｒ ，
＋ ＝ （ 且Ｉ （ｄ＝ ． ） ｐｆ 。 ｔｔ ０ ） ） ｐ
个 周 期解 ．
为证明定理， 我们需要做一些准备工作． Ｘ ＝缸 ∈Ｃ （ Ｒ） （＋Ｔ ＝ ｆ ，并在 上定 设 Ｒ， ｌ ｆ ） （ ） ）
［ 收稿 日期 】２ １ ． ２ １ ０２０—０
［ 作者简介】陈新一 （９ ７ １５ —— ） ，男，江 苏 武进 人，教授
一
１一 ・
（１ １）
由于 ｘＯ ＋Ｃ（ ＝ ＋ｃ（ （） Ｘ一 ） （） ｘＴ—ｆ ，可 知存在 ｔ∈［，］ 使得 Ｘ（ ＋ （ 一 ＝０， ） ０ ＯＴ ， ｆ ） ） ０ 于是由方程（） ６对任意ｔ ０Ｔ ，有 ∈［， ］
一
２一
（＝Ｃｔ ） ｏ ）（ 一 （ —） ＋ ｏ ｓ ．） ｆ － ｖ ｑｓ（ ） ｇ（ ｏｄ ｑｐ）， （ ） Ｘ－ 一 （ ）ｆ （ ｚ 出 －ｓ （ １ ） ａ ２
Ｋ ： 一） （ ． ＝ ｘ代入式 ２ （， ～ ∑（１ｃ ｆ 令 Ｋ ， ） （和式３ 得 ） ）
第九章二阶线性常微分方程级数解法
于是轴对称情形下球坐标系中拉普拉斯方程的通解为：
u(r, )
l
(Cl r l
Dl r l 1
)
Pl
(cos )
Pl (cos ) 是l-阶勒让德多项式，它是l-阶勒让德方程在区间[-1,1] 内的有界解。
l-阶勒让德方程（特殊函数方程） ：
(1
x2
2 z 2
2 z 2
柱坐标系：
2 1 ( ) 1
2 2
2 2 z2
球坐标系：
2
1 r2
r
(r2
r
)
r2
1
sin
(sin
)
r2
1 sin2
2
2
球坐标系下拉普拉斯方程的分离变量：
球坐标系下拉普拉斯方程的形式为：
3
(3l（ ) 1l )(l 2)( l 4)
5！
1
a a a （5l）(l6)
7
76
5
(5l )(3l（) 1l )(l 2)( l 4)( l 6)
7！
1
………
a2k 1
（2(k2k11l）)((l2k2)k )
a2k 1
(2k 1l )（1l )(l 2)(l 2k ) (2k 1)！
下面我们以常点邻域内的幂级数解法为例, 简要介绍用幂级数 解法求解二阶线性常微分方程的具体作法.
二、常点邻域上的级数解法：
定理: 如果方程 w'' (z) p(z)w' (z) q(z)w(z) 0
中立型标量积分微分方程的周期解
中立型标量积分微分方程的周期解\[ \frac{{d^n y}}{{dt^n}} + a_{n-1} \frac{{d^{n-1}y}}{{dt^{n-1}}} + \ldots + a_1 \frac{{dy}}{{dt}} + a_0 y = b_m \frac{{d^m x}}{{dt^m}} + b_{m-1} \frac{{d^{m-1} x}}{{dt^{m-1}}} + \ldots + b_1 \frac{{dx}}{{dt}} + b_0 x \]其中n和m分别是y和x的最高阶导数，a和b分别是y和x导数的系数。
为了简化，我们假设m<n。
接下来，我们将探讨中立型标量积分微分方程的周期解。
1.周期解的定义假设y(t)是上述微分方程的一个解，并且存在常数T使得y(t+T)=y(t)对于所有t成立。
那么y(t)是周期解，并且T是它的周期。
2.周期解的存在性定理对于中立型标量积分微分方程而言，周期解的存在性定理是一个非常重要的结果。
它断言：如果微分方程的右侧函数是周期函数，即存在正常数P使得b(t+P)=b(t)成立对于所有t，且P不是微分方程解的周期，那么该微分方程必定存在一个周期解。
这个定理的证明比较复杂，超出了本文的范围。
但是我们可以简要讨论其思路：利用周期函数的性质，将中立型标量积分微分方程转化为对特定函数的积分方程，并利用积分方程的性质证明周期解的存在性。
3.周期解的稳定性在一般的非线性动力系统中，周期解的稳定性是一个很重要的性质。
稳定性是指对于微小的扰动，解是否会始终保持在原周期解的附近。
对于中立型标量积分微分方程，周期解的稳定性可以通过线性化的方法来分析。
通过线性化，我们将非线性的微分方程转化为线性的微分方程，并分析线性化方程的解的性质。
如果线性化的方程的解是稳定的，那么对应的周期解也是稳定的。
具体的线性化方法是通过将非线性部分在周期解的附近进行泰勒展开，留下导数的线性组合，得到一个线性微分方程。
多约束二阶非线性常微分方程拐点的数值求法
多约束二阶非线性常微分方程拐点的数值求法多约束二阶非线性常微分方程拐点的数值求法杜志明冯长根(爆炸灾害预防、控制国家重点实验室，北京理工大学 100081摘要：本文提出了一种求解多约束二阶非线性常微分方程拐点的数值解法，并以具有平行反应的化学放热系统为例，给出了一个具体算例。
关键词：非线性; 常微分方程; 拐点; 数值计算; 热爆炸二阶非线性常微分方程的求解是较为复杂的问题之一，而其极值点和拐点的确定又比求解方程的普通解要复杂得多，特别是一些强非线性的微分方程，即使数值求解也十分困难。
在对科学研究和工程问题的描述过程中，包含有许多约束参数的非线性微分方程常常是不可避免的，尤其是方程的一些特殊点（如：极值点、拐点等）上的解往往具有十分重要的物理意义。
拐点往往对应于物理上的转向点、转变点、临界分歧点等[1]，它是实际系统性质发生根本变化的关键点，因此，确定多约束微分方程的拐点不仅具有科学意义，也具有实际意义。
1. 拐点条件拐点是数学上的一类特殊点。
对于带有约束参数的微分方程而言，微分方程的解与约束参数密切相关。
每个约束参数都有自己的取值范围，当约束参数超出其取值范围时，常常导致方程无解。
而当约束参数取一些特殊值（如在其取值范围边界上取值）时，经常对应于微分方程的特殊解，如极值解、拐点处的解等。
显然，方程的解是约束参数的函数。
本文中微分方程的拐点，指的就是微分方程的一组特殊解，这组解刚好是解随约束参数变化曲线上拐点处的值。
下面我们寻求拐点条件。
带有多个约束参数的二阶非线性常微分方程具有以下形式：边界条件为：式中，是自变量，。
是约束参数。
是常数系数。
为了将边值问题转化为初值问题，设, 若, 则有：这样，边值问题就变成初值问题了。
从积分到，若选得合适，式(3将得到满足，即有方程(1~(3的极值条件为[2]：拐点在物理上相应于某一约束参数相应于某一状态变量的二阶导数等于零，即，该条件相当于其中一个约束参数相应于另一约束参数取得极值，即=0。
2021年二阶线性微分方程的解法
二阶常系数线性微分方程欧阳光明（2021.03.07）一、二阶常系数线形微分方程的概念 形如 )(x f qy y p y =+'+'' (1) 的方程称为二阶常系数线性微分方程.其中p 、q 均为实数,)(x f 为已知的连续函数.如果0)(≡x f ,则方程式 (1)变成0=+'+''qy y p y (2)我们把方程(2)叫做二阶常系数齐次线性方程,把方程式(1)叫做二阶常系数非齐次线性方程. 本节我们将讨论其解法.二、二阶常系数齐次线性微分方程1．解的叠加性定理 1 如果函数1y 与2y 是式(2)的两个解, 则2211y C y C y +=也是式(2)的解,其中21,C C 是任意常数. 证明 因为1y 与2y 是方程(2)的解,所以有 将2211y C y C y +=代入方程(2)的左边,得=0)()(22221111=+'+''++'+''qy y p y C qy y p y C 所以2211y C y C y +=是方程(2)的解.定理1说明齐次线性方程的解具有叠加性. 叠加起来的解从形式看含有21,C C 两个任意常数,但它不一定是方程式(2)的通解.2.线性相关、线性无关的概念设,,,,21n y y y 为定义在区间I 内的n 个函数,若存在不全为零的常数,,,,21n k k k 使得当在该区间内有02211≡+++n n y k y k y k , 则称这n 个函数在区间I 内线性相关,否则称线性无关.例如 x x 22sin ,cos ,1在实数范围内是线性相关的,因为又如2,,1x x 在任何区间(a,b)内是线性无关的,因为在该区间内要使必须0321===k k k .对两个函数的情形,若=21y y 常数, 则1y ,2y 线性相关,若≠21y y 常数, 则1y ,2y 线性无关. 3.二阶常系数齐次微分方程的解法定理2 如果1y 与2y 是方程式(2)的两个线性无关的特解,则212211,(C C y C y C y +=为任意常数)是方程式(2)的通解.例如,0=+''y y 是二阶齐次线性方程,x y x y cos ,sin 21==是它的两个解,且≠=x y y tan 21常数,即1y ,2y 线性无关, 所以 x C x C y C y C y cos sin 212211+=+= (21,C C 是任意常数)是方程0=+''y y 的通解.由于指数函数rx e y =(r 为常数)和它的各阶导数都只差一个常数因子, 根据指数函数的这个特点,我们用rx e y =来试着看能否选取适当的常数r ,使rx e y =满足方程(2).将rx e y =求导,得把y y y ''',,代入方程(2),得因为0≠rx e , 所以只有 02=++q pr r (3)只要r 满足方程式(3),rx e y =就是方程式(2)的解. 我们把方程式(3)叫做方程式(2)的特征方程,特征方程是一个代数方程,其中r r ,2的系数及常数项恰好依次是方程(2)y y y ,,'''的系数.特征方程(3)的两个根为 2422,1q p p r -±-=, 因此方程式(2)的通解有下列三种不同的情形.(1) 当042>-q p 时，21,r r 是两个不相等的实根. 2421q p p r -+-=,2422q p p r ---= x r x r e y e y 2121,==是方程(2)的两个特解,并且≠=-x r r e y y )(2121常数,即1y 与2y 线性无关.根据定理2,得方程(2)的通解为 x r x r e C e C y 2121+= (2) 当042=-q p 时, 21,r r 是两个相等的实根. 221pr r -==,这时只能得到方程(2)的一个特解x r e y 11=,还需求出另一个解2y ,且≠12y y 常数,设)(12x u y y =, 即 )2(),(21121211u r u r u e y u r u e y x r x r +'+''=''+'='. 将222,,y y y '''代入方程(2), 得 整理,得由于01≠x r e , 所以 0)()2(1211=+++'++''u q pr r u p r u 因为1r 是特征方程(3)的二重根, 所以从而有 0=''u因为我们只需一个不为常数的解,不妨取x u =,可得到方程(2)的另一个解x r xe y 12=.那么,方程(2)的通解为即 x r e x C C y 1)(21+=. (3) 当042<-q p 时,特征方程(3)有一对共轭复根 βαβαi r i r -=+=21, (0≠β)于是 x i x i e y e y )(2)(1,βαβα-+==利用欧拉公式 x i x e ix sin cos +=把21,y y 改写为 21,y y 之间成共轭关系,取-1y =x e y y x βαcos )(2121=+, 方程(2)的解具有叠加性,所以-1y ,-2y 还是方程(2)的解,并且≠==--x x e x e y y x x βββααtan cos sin 12常数,所以方程(2)的通解为综上所述,求二阶常系数线性齐次方程通解的步骤如下:(1)写出方程(2)的特征方程(2)求特征方程的两个根21,r r(3)根据21,r r 的不同情形,按下表写出方程(2)的通解.例1求方程052=+'+''y y y 的通解.解: 所给方程的特征方程为所求通解为 )2sin 2cos (21x C x C e y x +=-.例 2 求方程0222=++S dt dS dt S d 满足初始条件2,400-='===t t S S 的特解.解 所给方程的特征方程为通解为 t e t C C S -+=)(21 将初始条件40==t S 代入,得 41=C ,于是t e t C S -+=)4(2,对其求导得 将初始条件20-='=t S 代入上式,得所求特解为例3求方程032=-'+''y y y 的通解.解 所给方程的特征方程为 0322=-+r r其根为 1,321=-=r r所以原方程的通解为 x x e C e C y 231+=-二、二阶常系数非齐次方程的解法1.解的结构定理3 设*y 是方程(1)的一个特解,Y 是式(1)所对应的齐次方程式(2)的通解,则*+=y Y y 是方程式(1)的通解.证明 把*+=y Y y 代入方程(1)的左端:=)()(*+*'+*''++'+''qy py y qY Y p Y=)()(0x f x f =+*+=y Y y 使方程(1)的两端恒等,所以*+=y Y y 是方程(1)的解.定理4 设二阶非齐次线性方程(1)的右端)(x f 是几个函数之和,如)()(21x f x f qy y p y +=+'+''(4)而*1y 与*2y 分别是方程 )(1x f qy y p y =+'+''与 )(2x f qy y p y =+'+''的特解,那么**+21y y 就是方程(4)的特解, 非齐次线性方程(1)的特解有时可用上述定理来帮助求出.2.)()(x P e x f m x λ=型的解法)()(x P e x f m x λ=,其中λ为常数,)(x P m 是关于x 的一个m 次多项式.方程(1)的右端)(x f 是多项式)(x P m 与指数函数x e λ乘积的导数仍为同一类型函数,因此方程(1)的特解可能为x e x Q y λ)(=*,其中)(x Q 是某个多项式函数.把 x e x Q y λ)(=*代入方程(1)并消去x e λ,得)()()()()2()(2x P x Q q p x Q p x Q m =+++'++''λλλ (5) 以下分三种不同的情形,分别讨论函数)(x Q 的确定方法:(1) 若λ不是方程式(2)的特征方程02=++q pr r 的根, 即02≠++q p λλ,要使式(5)的两端恒等,可令)(x Q 为另一个m 次多项式)(x Q m :代入(5)式,并比较两端关于x 同次幂的系数,就得到关于未知数m b b b ,,,10 的1+m 个方程.联立解方程组可以确定出),,1,0(m i b i =.从而得到所求方程的特解为(2) 若λ是特征方程02=++q pr r 的单根, 即02,02≠+=++p q p λλλ,要使式(5)成立, 则)(x Q '必须要是m 次多项式函数,于是令用同样的方法来确定)(x Q m 的系数),,1,0(m i b i =.(3) 若λ是特征方程02=++q pr r 的重根,即,02=++q p λλ02=+p λ.要使(5)式成立,则)(x Q ''必须是一个m 次多项式，可令用同样的方法来确定)(x Q m 的系数.综上所述,若方程式(1)中的x m e x P x f λ)()(=,则式(1)的特解为其中)(x Q m 是与)(x P m 同次多项式,k 按λ不是特征方程的根,是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取0,1或2.例4 求方程x e y y 232-='+''的一个特解.解)(x f 是x m e x p λ)(型, 且2,3)(-==λx P m对应齐次方程的特征方程为 022=+r r ,特征根根为2,021-==r r .λ=-2是特征方程的单根, 令x e xb y 20-=*,代入原方程解得故所求特解为 x xe y 223--=* .例5 求方程x e x y y )1(2-='-''的通解.解 先求对应齐次方程02=+'-''y y y 的通解.特征方程为 0122=+-r r , 121==r r齐次方程的通解为 x e x C C Y )(21+=.再求所给方程的特解由于1=λ是特征方程的二重根,所以把它代入所给方程,并约去x e 得比较系数,得于是 x e xx y )216(2-=*所给方程的通解为 x e x x x C C y y y )6121(3221+-+=+=*3.x B x A x f ϖϖsin cos )(+=型的解法,sin cos )(x B x A x f ωω+=其中A 、B 、ω均为常数. 此时,方程式(1)成为x B x A q y p y ωωsin cos +=+'+'' (7)这种类型的三角函数的导数,仍属同一类型,因此方程式(7)的特解*y 也应属同一类型,可以证明式(7)的特解形式为其中b a ,为待定常数.k 为一个整数.当ω±i 不是特征方程02=++q pr r 的根,k 取0; 当ω±i 不是特征方程02=++q pr r 的根,k 取1; 例6 求方程x y y y sin 432=-'+''的一个特解. 解 1=ω，ω±i i ±=不是特征方程为0322=-+r r 的根，0=k .因此原方程的特解形式为于是 x b x a y cos sin +-=*'将*''*'*y y y ,,代入原方程，得解得 54,52-=-=b a 原方程的特解为: x x y sin 54cos 52--=* 例7 求方程x e y y y x sin 32+=-'-''的通解. 解 先求对应的齐次方程的通解Y .对应的齐次方程的特征方程为再求非齐次方程的一个特解*y .由于x e x x f -+=2cos 5)(,根据定理4,分别求出方程对应的右端项为,)(1x e x f =x x f sin )(2=的特解*1y 、*2y ,则**+=*21y y y 是原方程的一个特解. 由于1=λ,ω±i i ±=均不是特征方程的根,故特解为 代入原方程,得比较系数,得解之得 51,101,41-==-=c b a . 于是所给方程的一个特解为 所以所求方程的通解为x x e e C e C y Y y x x x sin 51cos 10141321-+-+=+=-*.。