北师大版初中数学八年级下册知识讲解 (教学资料,补习资料)：第29讲《平行四边形》全章复习与巩固(提高)

《平行四边形》全章复习与巩固（提高）
【学习目标】
1.掌握平行四边形的性质定理和判定定理.
2.掌握三角形的中位线定理.
3.了解多边形的定义以及内角、外角、对角线等概念.掌握多边形的内角和与外角和公式.
4.积累数学活动经验，发展推理能力.
【知识网络】
【要点梳理】
要点一、平行四边形的定义
平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 平行四边形ABCD记作“口ABCD”，读作“平行四边形ABCD”.
要点诠释：平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心.
要点二、平行四边形的性质定理
平行四边形的对角相等；
平行四边形的对边相等；
平行四边形的对角线互相平分；
要点诠释：（1）平行四边形的性质定理中边的性质可以证明两边平行或两边相等；角的性质可以证明两角相等或两角互补；对角线的性质可以证明线段的相等关系或倍半关系. （2）由于平行四边形的性质内容较多，在使用时根据需要进行选择.
（3）利用对角线互相平分可解决对角线或边的取值范围的问题，在解答时应联系三角形三边的不等关系来解决.
要点三、平行四边形的判定定理
1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
2.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
3.两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
5.对角线互相平分的四边形是平行四边形.
要点诠释：
（1）这些判定方法是学习本章的基础，必须牢固掌握，当几种方法都能判定同一个行四边形时，应选择较简单的方法.
（2）这些判定方法既可作为判定平行四边形的依据，也可作为“画平行四边形”的依
据.
要点四、平行线间的距离
1.两条平行线间的距离：
（1）定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离.注：距离是指垂线段的长度，是正值.
2．平行线性质定理及其推论
夹在两条平行线间的平行线段相等.
平行线性质定理的推论：
夹在两条平行线间的垂线段相等.
要点五、三角形的中位线
三角形的中位线
1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
2．定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.
要点诠释：（1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系.
（2）三角形的三条中位线把原三角形分成可全等的4个小三角形.因而每个
小三角形的周长为原三角形周长的，每个小三角形的面积为原三角形面积的. （3）三角形的中位线不同于三角形的中线.
要点六、多边形内角和、外角和
边形的内角和为(－2)·180°(≥3)．
要点诠释：(1)内角和定理的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形
内角和求其边数；
(2)正多边形的每个内角都相等，都等于； 多边形的外角和为360°．边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关.
【典型例题】
类型一、平行四边形的性质与判定
1、（2019•海淀区二模）如图1，在△ABC 中，AB=AC ，∠ABC=α，D 是BC 边上一点，以AD 为边作△ADE，使AE=AD ，∠DAE+∠BAC=180°．
（1）直接写出∠ADE 的度数（用含α的式子表示）；
12
14
n n n (2)180n n
-⋅°n
（2）以AB，AE为边作平行四边形ABFE，
①如图2，若点F恰好落在DE上，求证：BD=CD；
②如图3，若点F恰好落在BC上，求证：BD=CF．
【思路点拨】（1）由在△ABC中，AB=AC，∠ABC=α，可求得∠BAC=180°﹣2α，又由AE=AD，∠DAE+∠BAC=180°，可求得∠DAE=2α，继而求得∠ADE的度数；
（2）①由四边形ABFE是平行四边形，易得∠EDC=∠ABC=α，则可得∠ADC=∠ADE+∠EDC=90°，证得AD⊥BC，又由AB=AC，根据三线合一的性质，即可证得结论；②由在△ABC中，AB=AC，∠ABC=α，可得∠B=∠C=α，四边形ABFE是平行四边形，可得AE∥BF，AE=BF．即可证得：∠EAC=∠C=α，又由（1）可证得AD=CD，又由AD=AE=BF，证得结论．
【答案与解析】
解：（1）∵在△ABC中，AB=AC，∠ABC=α，
∴∠BAC=180°﹣2α，
∵∠DAE+∠BAC=180°，
∴∠DAE=2α，
∵AE=AD，
∴∠ADE=90°﹣α；
（2）①证明：∵四边形ABFE是平行四边形，
∴AB∥EF．
∴∠EDC=∠ABC=α，
由（1）知，∠ADE=90°﹣α，
∴∠ADC=∠ADE+∠EDC=90°，
∴AD⊥BC．
∵AB=AC，
∴BD=CD；
②证明：∵AB=AC，∠ABC=α，
∴∠C=∠B=α．
∵四边形ABFE是平行四边形，
∴AE∥BF，AE=BF．
∴∠EAC=∠C=α，
由（1）知，∠DAE=2α，
∴∠DAC=α，
∴∠DAC=∠C．
∴AD=CD．
∵AD=AE=BF，
∴BF=CD．
∴BD=CF．
【总结升华】此题考查了平行四边形的判定与性质以及等腰三角形的性质与判定．注意（2）①中证得AD⊥BC是关键，（2）②中证得AD=CD是关键．
举一反三：
【变式】分别以口ABCD（∠CDA≠90°）的三边AB，CD，DA为斜边作等腰直角三角形，△ABE，△CDG，△ADF．
（1）如图1，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形外部时，连接GF，EF．请判断GF与EF的关系并证明）；
（2）如图2，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形内部时，连接GF，EF，（1）中结论还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．
【答案】
解：（1）GF⊥EF，GF＝EF成立；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，∠DAB＋∠ADC＝180°，
∵△ABE，△CDG，△ADF都是等腰直角三角形，
∴DG＝CG＝AE＝BE，DF＝AF，∠CDG＝∠ADF＝∠BAE＝45°，
∴∠GDF＝∠GDC＋∠CDA＋∠ADF＝90°＋∠CDA，
∠EAF＝360°﹣∠BAE﹣∠DAF﹣∠BAD＝270°﹣（180°﹣∠CDA）＝90°＋∠CDA，
∴∠FDG＝∠EAF，
∵在△EAF和△GDF中，
，
∴△EAF≌△GDF（SAS），
∴EF＝FG，∠EFA＝∠DFG，即∠GFD＋∠GFA＝∠EFA＋∠GFA，
∴∠GFE＝90°，∴GF⊥EF；
（2）GF⊥EF，GF＝EF成立；
理由：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，∠DAB＋∠ADC＝180°，
∵△ABE，△CDG，△ADF都是等腰直角三角形，
∴DG＝CG＝AE＝BE，DF＝AF，∠CDG＝∠ADF＝∠BAE＝45°，
∴∠BAE＋∠FAD＋∠EAF＋∠ADF＋∠FDC＝180°，
∴∠EAF＋∠CDF＝45°，
∵∠CDF＋∠FDG＝45°，
∴∠FDG＝∠EAF，
∵在△EAF和△GDF中，
DF AF
FDG FAE
DG AE
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴△EAF ≌△GDF （SAS ），
∴EF ＝FG ，∠EFA ＝∠DFG ，即∠GFD ＋∠GFA ＝∠EFA ＋∠GFA ，
∴∠GFE ＝90°，
∴GF ⊥EF ．
2、如图，点D 是△ABC 的边AB 的延长线上一点，点F 是边BC 上的一个动点（不与点
B 重合）．以BD 、BF 为邻边作平行四边形BDEF ，又AP BE （点P 、E 在直线AB 的
同侧），如果BD
＝AB ，那么△PBC 的面积与△ABC 面积之比为（ ） A ． B ． C ． D ．
【答案与解析】
解：过点P 作PH∥BC 交AB 于H ，连接CH ，PF ，
∵AP BE ，
∴四边形APEB 是平行四边形，
∴PE∥AB，PE ＝AB ，
∵四边形BDEF 是平行四边形，
∴EF∥BD，EF ＝BD ，
即EF∥AB，
∴P，E ，F 共线，
设BD ＝，∵BD＝AB ，∴PE＝AB ＝4， 则PF ＝PE －EF ＝3，
∵PH∥BC，
∴，
∵PF∥AB，
∴四边形BFPH 是平行四边形，
∴BH＝PF ＝3，
∵＝BH ：AB ＝3：4＝3：4，
DF AF FDG FAE DG AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
14
14351534
a 14
a a HBC BC S S =△△P a :HBC ABC S S △△a a
∴＝3：4．
【总结升华】此题考查了平行四边形的判定与性质与三角形面积比的求解方法．此题难度较大，注意准确作出辅助线，注意等高三角形面积的比等于其对应底的比．
举一反三：
【变式】已知△ABC 中，AB ＝3，AC ＝4，BC ＝5，分别以AB 、AC 、BC 为一边在BC 边同侧作
正△ABD 、正△ACE 和正△BCF ，求以A 、E 、F 、D 四点为顶点围成的四边形的面积．
【答案】
证明：∵ AB ＝3，AC ＝4，BC ＝5，
∴∠BAC ＝90°
∵△ABD 、△ACE 和△BCF 为正三角形，
∴AB ＝BD ＝AD ，AC ＝AE ＝CE ，BC ＝BF ＝FC ,
∠1＋∠FBA ＝∠2＋∠FBA ＝60°
∴∠1＝∠2
易证△BAC ≌△BDF （SAS ），
∴DF ＝AC ＝AE ＝4，∠BDF ＝90°
同理可证△BAC ≌△FEC
∴AB ＝AD ＝EF ＝3
∴四边形AEFD 是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）
∵DF ∥AE ，DF ⊥BD
延长EA 交BD 于H 点，AH ⊥BD ，则H 为BD 中点
∴平行四边形AEFD 的面积＝DF ×DH ＝4
×＝ 6. 3、在平行四边形ABCD 中，点A 1，A 2，A 3，A 4和C 1，C 2，C 3，C 4分别AB 和CD 的五等分点，点B 1，B 2和D 1，D 2分别是BC 和DA 的三等分点，已知四边形A 4B 2C 4D 2的面积为1，则平行四边形ABCD 面积为（ ）
A ．2
B ．
C ．
D ．15
:BC ABC S S △P △32
3553
【思路点拨】可以设平行四边形ABCD 的面积是S ，根据等分点的定义利用平行四边形ABCD 的面积减去四个角上的三角形的面积，就可表示出四边形A 4B 2C 4D 2的面积，从而得到两个四边形面积的关系，即可求解．
【答案】C ；
【解析】
解：设平行四边形ABCD 的面积是S ，设AB ＝5，BC ＝3．
AB 边上的高是3，BC 边上的高是5．
则S ＝5•3＝3•5．即＝
＝． △AA 4D 2与△B 2CC 4全等，B 2C ＝BC ＝，B 2C 边上的高是•5＝4． 则△AA 4D 2和△B 2CC 4的面积是2＝
． 同理△D 2C 4D 与△A 4BB 2的面积是． 则四边形A 4B 2C 4D 2的面积是S －－－－＝，即＝1， 解得S ＝． 【总结升华】考查平行四边形的性质和三角形面积计算，正确利用等分点的定义，得到两个四边形的面积的关系是解决本题的关键．
类型二、三角形的中位线
4、如图，△ABC 的周长为26，点D ，E 都在边BC 上，∠ABC 的平分线垂直于AE ，垂足为Q ，∠ACB 的平分线垂直于AD ，垂足为P ，若BC ＝10，则PQ 的长为（ ）
A. B. C.3 D.4 【答案】C ；
【解析】
解：易证△ABQ ≌△EBQ, AB ＝BE ，Q 为AE 中点，
△ACP ≌△DCP, AC ＝CD ，P 为AD 中点，
a b x y a x b y a x b y 15
S 13b 45
y y b y 215S 15
S 215S 215S 15S 15S 915S 915
S 53
3252
【总结升华】本题考查了三角形的中位线定理及等腰三角形的判定，注意培养自己的敏感性，一般出现高、角平分线重合的情况，都需要找到等腰三角形．
类型三、多边形内角和与外角和
5、若一个多边形的每个外角都等于60°，则它的内角和等于（ ）
A ．180°
B ．720°
C ．1080°
D ．540°
【思路点拨】由一个多边形的每个外角都等于60°，根据边形的外角和为360°计算出多边形的边数，然后根据边形的内角和定理计算即可．
【答案】B ；
【解析】
解：设多边形的边数为，
∵多边形的每个外角都等于60°，
∴＝360°÷60°＝6，
∴这个多边形的内角和＝（6－2）×180°＝720°．
【总结升华】本题考查了边形的内角和定理：边形的内角和＝（－2）•180°；也考查了边形的外角和为360°．
举一反三：
【变式】（2019秋•小金县校级期末）一个多边形的每个内角都相等，且一个外角比一个内角大60°，求这个多边形的每个内角的度数及边数．
【答案】解：设内角是x °，外角是y °， 则得到一个方程组60180y x x y -=⎧⎨+=⎩
， 解得60120
x y =⎧⎨=⎩．
而任何多边形的外角是360°，
则多边形中外角的个数是360÷120=3，
故这个多边形的每个内角的度数是60°，边数是三边形．
6、甲、乙两人想在正五边形ABCDE 内部找一点P ，使得四边形ABPE 为平行四边形，其作法如下：
（甲） 连接BD 、CE ，两线段相交于P 点，则P 即为所求
（乙） 先取CD 的中点M ，再以A 为圆心，AB 长为半径画弧，交AM 于P 点，则P 即为所求． 对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确？（ ）
A ．两人皆正确
B ．两人皆错误
n n n n n n n n n
C ．甲正确，乙错误
D ．甲错误，乙正确
【思路点拨】求出五边形的每个角的度数，求出∠ABP、∠AEP、∠BPE 的度数，根据平行四边形的判定判断即可．
【答案】C ；
【解析】
解：甲正确，乙错误，
理由是：如图，
∵正五边形的每个内角的度数是＝108°， AB ＝BC ＝CD ＝DE ＝AE ，
∴∠DEC＝∠DCE＝×（180°－108°）＝36°， 同理∠CBD＝∠CDB＝36°，
∴∠ABP＝∠AEP＝108°－36°＝72°，
∴∠BPE＝360°－108°－72°－72°＝108°＝∠A，
∴四边形ABPE 是平行四边形，即甲正确；
∵∠BAE＝108°，
∴∠BAM＝∠EAM＝54°，
∵AB＝AE ＝AP ，
∴∠ABP＝∠APB＝×（180°－54°）＝63°，∠AEP＝∠APE＝63°， ∴∠BPE＝360°－108°－63°－63°≠108°，
即∠ABP＝∠AEP，∠BAE≠∠BPE，
∴四边形ABPE 不是平行四边形，即乙错误；
【总结升华】本题考查了正五边形的内角和定理，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，平行四边形的判定的应用，注意：有两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
【巩固练习】
一.选择题
1. 如图所示，一个60°角的三角形纸片，剪去这个60°角后，得到一个四边形，则∠1＋
∠2的度数为（ ）
A ．120°
B ．180°
C ．240°
D ．300°
()521805-⨯︒12
12
2.如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，下列结论正确的是（ ）
A ．
B ．A
C ＝BD
C ．AC ⊥B
D D ．口ABCD 是轴对称图形
3.（2019春•大石桥市校级期末）如图，在四边形ABCD 中，P 是对角线BD 的中点，E 、F 分
别是AB 、CD 的中点，AD=BC ，∠PEF=30°，则∠EPF 的度数是（ ）
A ．120°
B ．150°
C ．135°
D ．140°
4.如图，在Rt△ABC 中，∠B＝90°，AB ＝3，BC ＝4，点D 在BC 上，以AC 为对角线的所有口ADCE 中，DE 最小的值是（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
5.平行四边形的一边长是10cm ，那么这个平行四边形的两条对角线的长可以是（ ）
A.4cm 和6cm
B.6cm 和8cm
C.8cm 和10cm
D.10cm 和12cm
6.如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＝4，∠BAD 的平分线与BC 的延长线交于点E ，与DC 交于点F ，且点F 为边DC 的中点，DG⊥AE，垂足为G ，若DG ＝1，则AE 的边长为（ ）
A.
7.
（2019•凉山州）一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为1080°，那
4AOB ABCD S S △平行四边形
么原多边形的边数为（ ）
A ．7
B ．7或8
C ．8或9
D ．7或8或9
8.如图，平行四边形ABCD 中，AB ：BC ＝3：2，∠DAB＝60°，E 在AB 上，且AE ：EB ＝1：2，F 是BC 的中点，过D 分别作DP⊥AF 于P ，DQ⊥CE 于Q ，则DP ：DQ 等于（ ）
A ．3：4 B.
C.
D.
二.填空题
9.如图，在四边形ABCD
中，∠A＝45°．直线l 与边AB ，AD 分别相交于点M ，N ，则∠1＋∠2＝___________.
10.已知任意直线l 把口ABCD 分成两部分，要使这两部分的面积相等，直线l 所在位置需满
足的条件是________.
11.如图，在直线m 上摆放着三个正三角形：△ABC、△HFG、△DCE，已知BC ＝CE ，F 、G 分别是BC 、CE 的中点，FM∥AC，GN∥DC．设图中三个平行四边形的面积依次是S 1，S ，S 3，若S 1＋S 3＝10，则S ＝_______.
12. 如图所示，在口ABCD 中，E 、F 分别是边AD 、BC 的中点，AC 分别交BE 、DF 于点M 、N ．给
12
出下列结论：①△ABM ≌△CDN ；②AM ＝
AC ；③DN ＝2NF ；④．其中正确的结论是________．(只填序号) 13.如图，口ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，点E ，F 分别是线段AO ，BO 的中点，若AC
＋
BD
＝24厘米，△OAB 的周长是
18厘米，则EF ＝________厘米．
14.（2019·武汉）如图，在口ABCD 中，E 为边CD 上一点，将△ADE 沿AE 折叠至△AD ’E
处，AD ’与CE 交于点F.若∠B ＝52°，∠DAE=20°，则∠FED ’的大小为_____．
15. 如图所示，平行四边形ABCD 中，点E 在边AD 上，以BE 为折痕，将△ABE 向上翻折，
点A 正好落在CD 上的F 处，若△FDE 的周长为8，△FCB 的周长为22，则FC 的长为________．
16.（2019•包河区一模）已知：如图，BD 为△ABC 的内角平分线，CE 为△ABC 的外角平分线，
AD⊥BD 于D ，AE⊥CE 于E ，延长AD 交BC 的延长线于F ，连接DE ，设BC=a ，AC=b ，AB=c ，（a ＜b ＜c ）给出以下结论正确的有 ．
①CF=c﹣a ；②AE=（a+b ）；③DE=（a+b ﹣c ）；④DF=（b+c ﹣a ）
1312
AMB ABC S S △△
三.解答题
17.如图，已知四边形ABDE是平行四边形，C为边BD延长线上一点，连结AC、CE，使AB＝AC．
（1）求证：△BAD≌△AEC；
（2）若∠B＝30°，∠ADC＝45°，BD＝10，求平行四边形ABDE的面积．
18.如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，延长BN交AC于点D，
已知AB＝10，BC＝15，MN＝3 （1）求证：BN＝DN；（2）求△ABC的周长．
19.（合川区校级期中）如图，Rt△ABC中，分别以AB、AC为斜边，向△ABC的内侧作等腰
Rt△ABE、Rt△ACD，点M是BC的中点，连接MD、ME．
（1）若AB=8，AC=4，求DE的长；
（2）求证：AB﹣AC=2DM．
20.（1）如图①，口ABCD的对角线AC，BD交于点O，直线EF过点O，分别交AD，BC于点
E，F．求证：AE＝CF．
（2）如图②，将口ABCD（纸片）沿过对角线交点O的直线EF折叠，点A落在点A1处，点B落在点B1处，设FB1交CD于点G，A1B1分别交CD，DE于点H，I．
求证：EI＝FG．
【答案与解析】
一.选择题
1.【答案】C ；
【解析】根据三角形的内角和定理得：四边形除去∠1，∠2后的两角的度数为180°－60°
＝120°，则根据四边形的内角和定理得：∠1＋∠2＝360°－120°＝240°．
2.【答案】A ；
3.【答案】A ；
【解析】解：∵在四边形ABCD 中，P 是对角线BD 的中点，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，
∴FP，PE 分别是△CDB 与△DAB 的中位线，
∴PF=BC ，PE=AD ，
∵AD=BC，
∴PF=PE，
故△EPF 是等腰三角形．
∵∠PEF=30°，
∴∠PEF=∠PFE=30°，
∴∠EPF=120°．
故选A ．
4.【答案】B ；
【解析】由平行四边形的对角线互相平分、垂线段最短知，当OD⊥BC 时，DE 线段取最小
值．
5.【答案】D ；
6.【答案】B ；
7.【答案】D ；
【解析】设内角和为1080°的多边形的边数是n ，则（n ﹣2）•180°=1080°，解得：n =8．
则原多边形的边数为7或8或9．
8.【答案】D ；
【解析】连接DE 、DF ，过F 作FN⊥AB 于N ，过C 作CM⊥AB 于M ，
根据三角形的面积和平行四边形的面积得出， 求出AF×DP＝CE×DQ，
设AB ＝3，BC ＝2，
12
DEC DFA S S S ==
△△平行四边形ABCD a a
则BF ＝，BE ＝2，BN ＝，BM ＝，FN ＝，CM
， 求出AF
，CE ＝
，代入求出即可．
二.填空题
9.【答案】225°
【解析】∵∠A＝45°，∴∠B＋∠C＋∠D＝360°－∠A＝360°－45°＝315°，∴∠1＋
∠2＋∠B＋∠C＋∠D＝（5－2）•180°，解得∠1＋∠2＝225°．
10.
【答案】经过对角线的交点；
【解析】由于平行四边形是中心对称图形，对称中心为对角线的交点，因而过对角线的
交点的直线就能把平行四边形分成全等的两部分，这两部分的面积也就相等了．
11.【答案】4；
【解析】根据正三角形的性质，△PFC、△QCG 和△NGE 是正三角形，
∵F、G 分别是BC 、CE 的中点
∴BF＝MF ＝AC ＝BC ，CP ＝PF ＝AB ＝BC ∴CP＝MF ，CQ ＝BC ，QG ＝GC ＝CQ ＝AB ，
∴S 1＝S ，S 3＝2S ， ∵S 1＋S 3＝10
∴S ＋2S ＝10 ∴S＝4．
12.【答案】①②③；
【解析】易证四边形BEDF 是平行四边形，△ABM ≌△CDN ．∴ ①正确．
由口BEDF 可得∠BED ＝∠BFD ，∴∠AEM ＝∠NFC ．又∵AD ∥BC ．∴∠EAM ＝∠NCF ， 又AE ＝CF ∴ △AME ≌△CNF ，∴AM ＝CN ．由FN ∥BM ，FC ＝BF ，得CN ＝MN ，∴CN
a a 12
a a 2a a a a 12121212
12
12
＝MN ＝AM ，AM ＝AC ．∴ ②正确． ∵ AM ＝AC ，∴ ，∴④不正确． FN 为△BMC 的中位线，BM ＝2NF ，△ABM ≌△CDN ，则BM ＝DN ，∴DN ＝2NF ，
∴③正确．
13.【答案】3；
【解析】根据AC ＋BD ＝24厘米，可得出出OA ＋OB ＝12cm ，继而求出AB ，判断EF 是△OAB
的中位线即可得出EF 的长度．
14.【答案】36°；
【解析】∵平行四边形ABCD ，∴∠D ＝∠B＝52°，
由折叠性质得∴∠D ＝∠D ’=52°，∠EAD′=∠DAE=20°，
∴∠AEF=∠D+∠DAE=52°+20°=72°，∠AED′=180°-∠EAD′-∠D′=108°， ∴∠FED′=108°-72°=36°．
15.【答案】7；
【解析】∵ 四边形ABCD 是平行四边形，∴ AD ＝BC ，AB ＝CD ． 又∵ 以BE 为折痕，
将△ABE 向上翻折到△FBE 的位置，∴ AE ＝EF ，AB ＝BF ．已知DE ＋DF ＋EF ＝8，即AD ＋DF ＝8，AD ＋DC －FC ＝8．∴ BC ＋AB －FC ＝8．① 又∵ BF ＋BC ＋FC ＝22，即AB ＋BC ＋FC ＝22．②，两式联立可得FC ＝7．
16.【答案】①③；
【解析】解：延长AE 交BC 的延长线与点M ．
∵CE⊥AE，CE 平分∠ACB，
∴△ACM 是等腰三角形，
∴AE=EM，AC═CM=b，
同理，AB=BF=c ，AD=DF ，AE=EM ．
∴DE=FM ，
∵CF=c﹣a ，
∴FM=b﹣（c ﹣a ）=a+b ﹣c ．
∴DE=（a+b ﹣c ）．
故①③正确．
故答案是：①③．
三.解答题
13
1313
AMB ABC S S △
△
17.【解析】
（1）证明：∵AB＝AC ，
∴∠B＝∠ACB．
又∵四边形ABDE 是平行四边形
∴AE∥BD，AE ＝BD ，
∴∠ACB＝∠CAE＝∠B，
在△DBA 和△AEC 中
，
∴△DBA≌△AEC（SAS ）；
（2）解：过A 作AG⊥BC，垂足为G ．设AG ＝x ，
在Rt△AGD 中，∵∠ADC＝45°，
∴AG＝DG ＝x ，
在Rt△AGB 中，∵∠B＝30°， ∴BG＝x ， 又∵BD＝10．
∴BG－DG ＝BD ，即x −x ＝10，
解得AG ＝x ＝＝5＋5， ∴＝BD•AG＝10×（5＋5）＝50＋50．
18.【解析】
（1）证明：在△ABN 和△ADN 中，
∵
∴△ABN ≌△ADN ， ∴BN ＝DN ．
（2）解：∵△ABN ≌△ADN ，
∴AD ＝AB ＝10，DN ＝NB ，
又∵点M 是BC 中点，
∴MN 是△BDC 的中位线，
∴CD ＝2MN ＝6，
故△ABC 的周长＝AB ＋BC ＋CD ＋AD ＝10＋15＋6＋10＝41．
19.【解析】
解：（1）直角△ABE 中，AE=
AB=4， 在直角△ACD 中，AD=AC=2，
AB AC B EAC BD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
3331
-3ABDE S 平行四边形3312AN AN ANB AND ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
则DE=AE ﹣AD=4﹣2=2
；
（2）延长CD 交AB 于点F ．
在△ADF 和△ADC 中，
，
∴△ADF≌△ADC（ASA ），
∴AC=AF，CD=DF ，
又∵M 是BC 的中点，
∴DM 是△CBF 的中位线， ∴DM=BF=（AB ﹣AF ）=（AB ﹣AC ）， ∴AB﹣AC=2DM ．
20.【解析】
证明：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC，OA ＝OC ，
∴∠1＝∠2，
∵在△AOE 和△COF 中，
，
∴△AOE≌△COF（ASA ），
∴AE＝CF ；
（2）∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠A＝∠C，∠B＝∠D，
由（1）得AE ＝CF ，
由折叠的性质可得：AE ＝A 1E ，∠A 1＝∠A，∠B 1＝∠B， ∴A 1E ＝CF ，∠A 1＝∠A＝∠C，∠B 1＝∠B＝∠D，
1234OA OC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠
⎩
又∵∠1＝∠2， ∴∠3＝∠4，
∵∠5＝∠3，∠4＝∠6， ∴∠5＝∠6，
∵在△A 1IE 与△CGF 中， ，
∴△A 1IE≌△CGF（AAS ）， ∴EI＝FG ．
11
56A C A E CF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=
⎩。