人教版八年级上册数学期末复习：代数几何综合 专项练习题(Word版,含答案)

人教版八年级上册数学期末复习：代数几何综合专项练习题【课前引入】
如图所示，在平面直角坐标系中，在△ABC中，OA＝2，OB＝4，点C的坐标为（0，3）．（1）求A，B两点坐标及S△ABC；
（2）若点D是第一象限的点，且满足△CBD是以BC为直角边的等腰直角三角形，请直接写出满足条件的点D的坐标．
【典型例题】
如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，t），过点B作CB⊥AB，且CB＝AB．
（1）若∠CBO＝60°，求BC的长度；
（2）求点C的坐标（用含t的代数式表示）．
【平行练习1】
如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B分别是x轴正半轴、y轴正半轴上的一点，以AB为斜边作等腰直角三角形，直角顶点C（a，b）在第二象限．
（1）探究a、b之间的数量关系并证明；
（2）若BO平分∠ABC，AC与OB交于点D，且A（2，0），B（0，2+2），求点D的坐标．
【平行练习2】
如图，在平面直角坐标系中，△AOP为等边三角形，A（0，2），点B为y轴上一动点，
以BP为边作等边△PBC，延长CA交x轴于点E．
（1）求证：OB＝AC；
（2）∠CAP的度数是；（直接写出答案，不需要说明理由．）
（3）当B点运动时，猜想AE与OP的关系，并说明理由；
（4）在（3）的条件下，在y轴上存在点Q，使得△AEQ为等腰三角形，请写出点Q的坐标：．（直接写出答案，不需要说明理由．）
如图1，A（﹣2，6），C（6，2），AB⊥y轴于点B，CD⊥x轴于点D．
（1）求证：△AOB≌△COD；
（2）如图2，连接AC，BD交于点P，求证：点P为AC中点；
（3）如图3，点E为第一象限内一点，点F为y轴正半轴上一点，连接AF，EF．EF⊥CE且EF＝CE，点G为AF中点．连接EG，EO，求证：∠OEG＝45°．
如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在y轴上，顶点C在x轴上，∠BAC＝90°，AB ＝AC，点E为边AC上一点，连接BE交y轴于点F，交x轴于点G，作CD⊥BE交BE延长线于点D，且CD＝BF，连接AD，CF．
（1）求证：△ABF≌△ACD；
（2）若∠ACF＝2∠CBF，求证：∠ACO＝∠FCO；
（3）在（2）的条件下，若点A的坐标为（0，2），求点C的坐标．
1、如图，在直角坐标系中，已知两点A（m，0），B（0，n）（n>m>0），点C在第一象限，
且AB⊥BC，BC＝BA．
（1）求点C的坐标（用含m，n的式子表示）；
（2）若点P在线段OB上，OP＝OA，AP的延长线与CB的延长线交点M，AB与CP交于点N，试探索CN与AM之间的关系，并进行证明．
2、如图，在平面直角坐标系中，△OAB是等腰三角形，OA=AB，点A在第一象限，过点A作直线垂直x轴于点C，过点B作BD⊥AC于点D，AC=BD，设点A的坐标是（a，b），且a>b.
（1）求B点坐标（用含a，b的式子表示）；
（2）设直角梯形OCDB的面积为S₁，以AB为边的正方形面积为S₂，求S₁，S₂的值（用含a，b 的式子表示）；
（3）试比较S₁，S₂的大小．
3、在如图所示的平面直角坐标系中，点A，点B在x轴上，且关于y轴对称，点C在y轴上，AC=4，∠CAB=30°，OD∥BC交AC与点D，连接BD ．
（1）求证：△OCD是等边三角形；
（2）以BD为一边，作∠BDE=60°，DE交y轴于点E．请你在图中画出完整图形，并求出点E的坐标．
4、如图1，等腰直角三角形ABC与△A'B'C'关于y轴对称，AB在x轴上，点A与原点重合，
AB=4. 当△ABC沿x轴以每秒1个单位的速度向右运动时，△A'B'C'就相应地向左运动.设运动时间为t秒，两个三角形重合部分的面积为S，当点B到达原点O时，运动停止.
（1）如图2，原点O恰好位于AB的中点，求此时S的值；
（2）当原点O不位于AB的中点时，请在图3中画出图形，求面积S.（用含t的式子表示）
5、平面直角坐标系中，点A坐标为（0，﹣2），B，C分别是x轴、y轴正半轴上一点，过点C
作CD∥x轴，CD＝3，点D在第一象限，S△ACD＝S△AOB，连接AD交x轴于点E，∠BAD＝45°，连接BD．
（1）请通过计算说明AC＝OB；
（2）求证：∠ADC＝∠ADB；
（3）请直接写出BE的长为．
6、如图，在平面直角坐标系中，点A（0，4）在y轴上，点B（b，0）是x轴上一动点，且﹣4
＜b＜0，△ABC是以AB为直角边，B为直角顶点的等腰直角三角形．
（1）求点C的坐标（用含b的式子表示）；
（2）以x轴为对称轴，作点C的对称点C′，连接BC′、AC′，请把图形补充完整，并求出△ABC′的面积（用含b的式子表示）；
（3）点B在运动过程中，∠OAC′的度数是否发生变化，若变化请说明理由；若不变化，请直接写出∠OAC′的度数．
参考答案
课前引入：
解：（1）OA＝2，OB＝4，且点A在x轴的负半轴上，点B在x轴的正半轴上，∴A（﹣2，0），B（4，0），
∵C（0，3），
∴OC＝3，
∵AB＝2+4＝6，OC⊥AB，
∴S△ABC＝×6×3＝9．
（2）如图2，∠BCD＝90°，CD＝BC，
作DE⊥y轴于点E，则∠CED＝∠BOC＝90°，
∴∠DCE＝90°﹣∠OCB＝∠CBO，
在△CED和△BOC中，
，
∴△CED≌△BOC（AAS），
∴ED＝OC＝3，EC＝OB＝4，
∴OE＝3+4＝7，
∴D（3，7）；
如图3，∠CBD＝90°，DB＝BC，
作DF⊥x轴于点F，则∠DFB＝∠BOC＝90°，
∴∠DBF＝90°﹣∠OBC＝∠BCO，
在△DFB和△BOC中，
，
∴△DFB≌△BOC（AAS），
∴FD＝OB＝4，FB＝OC＝3，
∴OF＝4+3＝7，
∴D（7，4），
综上所述，点D的坐标为（3，7）或（7，4）．
典型例题：
解：（1）∵∠CBO＝60°，CB⊥AB，
∴∠ABO＝30°，
∵∠AOB＝90°，OA＝2，
∴AB＝2OA＝4，
∵BC＝AB，
∴BC＝4，
故答案：4；
（2）过C作CD⊥OB于D，如图所示：
则∠CDB＝90°，
∵∠BOA＝90°，
∴∠CDB＝∠BOA，
∵CB⊥AB，
∴∠ABO＝90°﹣∠CBD＝∠BCD，
在△CDB和△BOA中，
，
∴△CDB≌△BOA（AAS），
∴BD＝OA＝2，CD＝OB，
由已知可得OB＝t，
∴CD＝t，OD＝OB﹣BD＝t﹣2，
∴C的坐标为：（﹣t，t﹣2）．
平行练习1：
解：（1）a、b之间的数量关系为：a＝﹣b．
过点C作CE⊥OA，CF⊥OB分别交x轴，y轴于
点E、F两点，如图（1）所示：
∵∠CBF+∠OBA+∠BAC＝90°，
∠OBA+∠BAC+∠CAE＝90°，
∴∠CBF＝∠CAE，
又∵CE⊥OA，CF⊥OB，
∴∠CEA＝∠CFB＝90°，
在△ACE和△BCF中，
∴△ACE≌△BCF（ASA），
∴CE＝CF，
又∵点C在第二象限，CE＝b，CF＝﹣a，
∴a＝﹣b．
（2）作BC的延长线交x轴于点G，设点D的坐标为（0，m），如图（2）所示：
∵BO平分∠ABC，
∴∠GBO＝∠ABO，
在△GBO和△ABO中，
∴△GBO≌△ABO（ASA），
∴AO＝GO，
又∵AO＝2，∴GO＝2，
∴AG＝4，
在△ACG和△BCD中，
∴△ACG≌△BCD（ASA）
∴AG＝BD，
又∵BD+OD＝OB，OB＝2+2，
∴OD＝m＝2+2﹣4＝2﹣2，
∴点D的坐标为（0，2﹣2）．
平行练习2：
（1）证明：∵△BPC和△AOP是等边三角形，
∴OP＝AP，BP＝PC，∠APO＝∠CPB＝60°，
∴∠APO+∠APB＝∠BPC+∠APB，
即∠OPB＝∠APC，
在△PBO和△PCA中，
∴△PBO≌△PCA（SAS），
∴OB＝AC；
（2）解：当点B在y轴正半轴上时，
由（1）知∠PBO＝∠PCA，
∴∠BAC＝∠BPC＝60°，
又∵∠OAP＝60°，
∴∠CAP＝60°．
当点B在y轴负半轴上时，如图，
∵△AOP和△BCP是等边三角形，
∴AP＝OP，PC＝PB，∠AOP＝∠APO＝∠BPC＝60°，∴∠APC＝∠OPB，
∴△APC≌△OPB（SAS），
∴∠CAP＝∠BOP＝180°﹣∠AOP＝120°，
∵延长CA交x轴于点E，
∴此种情况不符合题意，舍去，
故答案为60°；
（3）解：当B点运动时，AE＝2OP，且AE//OP
理由是：∵A（0，2），
∴OA＝2，
∵∠EAO＝∠BAC＝60°，∠AOE＝90°，
∴∠AEO＝30°，
∴AE＝2AO＝2OP，
∵∠EAO＝∠AOP＝60°
∴AE//OP
即当B点运动时，AE＝2OP，且AE//OP
（4）由（3）知，AE＝4，∠OAE＝60°，
当点Q在y轴负半轴时，
∵OA⊥O E，
∴点Q与点A关于x轴对称，
∴Q（0，﹣2），
当点Q在y轴正半轴时，A Q＝AE＝4，
∴OQ＝OA+EQ＝6，
∴Q（0，6）．
即：满足条件的点Q的坐标为（0，﹣2）或（0，6），
故答案为（0，﹣2）或（0，6）．
拓展提升：
（1）证明：如图1中，
∵AB⊥y轴于点B，CD⊥x轴于点D，
∴∠ABO＝∠CDO＝90°，
∵A（﹣2，6），C（6，2），
∴AB＝CD＝2，OB＝OD＝6，
∴△AOB≌△COD（SAS）．
（2）解：如图2中，作CH∥AB交BD于H．
∵AB⊥y轴，OD⊥y轴，
∴AB∥OD，
∵AB∥OD，CH∥AB，
∴CH∥OD，
∵CD⊥OD，
∴CD⊥CH，
∵OB＝OD，∠BOD＝90°，
∴∠ODB＝45°，
∵∠CDO＝∠DCH＝90°，
∴∠CDH＝∠CHD＝45°，
∴CH＝CD＝AB，
∵AB∥CH，
∴∠BAP＝∠HCP，
∵∠APB＝∠CPH，
∴△ABP≌△CHP（AAS），
∴PA＝PC，
∴点P为AC中点．
（3）证明：如图3中，延长EG到M，使得GM＝GE，连接AM，OM，延长EF交AO 于J．
∵AG＝GF，∠AGE＝∠FGE，GM＝GE，
∴△AGM≌△FGE（SAS），
∴AM＝EF，∠AMG＝∠GEF，
∴AM∥EJ，
∴∠MAO＝∠AJE，
∵EF＝EC，
∴AM＝EC，
∵∠AOC＝∠CEJ＝90°，
∴∠AJE+∠EJO＝180°，∠EJO+∠ECO＝180°，
∴∠AJE＝∠ECO，
∴∠MAO＝∠ECO，
∵AO＝CO，
∴△MAO≌△ECO（SAS），
∴OM＝OE，∠AOM＝∠EOC，
∴∠MOE＝∠AOC＝90°，
∴∠MEO＝45°，即∠OEG＝45°．
课堂检测：
解（1）证明：∵CD⊥BE，
∴∠CDE＝∠BAC＝90°，
∵∠CED＝∠AEB，
∴∠DCE＝∠ABF，
在△ABF和△ACD中，
，
∴△ABF≌△ACD（SAS）；
（2）∵△ABF≌△ACD，
∴AF＝AD，∠BAF＝∠CAD，
∴∠BAC＝∠FAD＝90°，
∴∠ADF＝45°，
∵∠ACB＝∠ADB＝45°，∠AED＝∠BEC，∴∠DAE＝∠CBE，
∵∠DAF＝∠COF＝90°，
∴AD∥OC，
∴∠DAE＝∠ACO，
∴∠CBE＝∠ACO，
∵∠ACF＝2∠CBF，
∴∠ACF＝2∠ACO，
∴∠FCO＝∠ACO．
（3）过点D作DH⊥OC交OC于点H，
∵∠AOC＝∠COF＝90°，∠ACO＝∠FCO，∴∠OAC＝∠OFC，
∴AC＝CF，
∵CA＝CF，CO⊥AF，
∴OA＝OF＝2，
∴AD＝AF＝4，
∵AD∥OC，
∴AO＝DH＝2，
∵DH⊥OC，∠DCG＝45°，
∴DH＝HC＝2，
∴OC＝OH+HC＝6
∴C（6，0）．
课后作业：
1、（1）解：过C点作CE⊥y轴于点E，
∵CE⊥y轴，
∴∠BEC＝90°，
∴∠BEC＝∠AOB，
∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
∴∠ABO+∠CBE＝90°，
∵∠ABO +∠BAO ＝90°， ∴∠CBE ＝∠BAO ， 在△AOB 与△BEC 中，
，
∴△AOB ≌△BEC （AAS ）， ∴CE ＝OB ＝n ，BE ＝OA ＝m ， ∴OE ＝OB +BE ＝m+n ，
∴点C 的坐标为（n ，m+n ）；
（2）AM ＝CN ，且AM ⊥CN ，理由是： 证明：∵△AOB ≌△BEC ， ∴BE ＝OA ＝OP ，CE ＝BO ， ∴PE ＝OB ＝CE ，
∴∠EPC ＝45°，∠APC ＝90°， ∴∠BCN ＝∠BAM ，AM ⊥CN ， 在△ABM 与△CBN 中， ∵
，
∴△ABM ≌△CBN （ASA ）， ∴AM ＝CN ．
2、解：（1）∵点A 的坐标是（a ，b ） ∴OC =a ，AC =b ，
∵AC ⊥ x 轴， BD ⊥AC ， ∴∠ACO=∠ADB =90° ∵OA=AB ，AC=BD ，
∴Rt ∆AOC ≌Rt ∆BAD (HL) ························ 2分 ∴OC =AD =a
∴B 点横坐标=OC -BD =a-b ，B 点的纵坐标=AC +AD =a +b B （a -b ，a +b ） ···························· 3分 （2）S ₁=2)(2
1))((2
1)(2
1b a b a b a CD BD OC +=++=⋅+=222
12
1b ab a ++ ······ 5分 由（1）知Rt ∆AOC ≌Rt ∆BAD ∴∠OAC =∠ABD ，
又∠OAC +∠OAB =∠ABD +∠ADB
∴∠OAB =90°∴△OAB 是等腰直角三角形
S ₂=2
∵
= S ₁-2
=222121b ab a ++-ab 212⨯=2
22
121b a +
∴S ₂=2
2
b a + ···························· 8分
(3) S ₁-S ₂=)2121(22b ab a ++—)(22b a +=222
12
1
b ab a -+-=2)(2
1b a --
∵a >b ，∴2)(2
1
b a --<0
∴S ₁<S ₂ ····························· 11分 3、（1）证明：由题意得，OA =OB ，OC ⊥AB ，
y
∴AC =BC ，∠AOC =90° ∴∠CAB =CBA =30° ∴∠ACO =60° ∵OD ∥BC
∴∠AOD =∠ABC =∠BAC =30° ∴∠CDO =∠COD =∠ACO =60°
∴△OCD 是等边三角形 ························ 2分 （2）如图，①当点E 在y 轴负半轴时， ∵△OCD 是等边三角形，OD ∥BC
∴∠EDB =∠ODC =∠OCD =∠ECB =60°
∴∠BCD =DOE =120°
∵∠EDB -∠ODB =∠ODC -∠ODB ∴∠CDB =ODE ∵OD =CD
∴△DOE ≌△DCB ∴OE =BC =AC =4 ∴E (0，-4) ·············· 6分 ②当点E 在y 轴正半轴时，
过点O 作OG ∥AC ，交BC 于点G ，交BD 于点F ， 由（1）可得△OCE 是等边三角形，OG =BG ∵AC=4，∠CAB =30°， ∠AOC =90° ∴OC =OD =OE =BE =2 ∴∠DCE =∠DOF =120°，∠OFD =∠GFB ， ∴△OFD ≌△GFB
∴OF =GF =1 ∵∠EDC =∠BDO ，DO =DC ，∠DCE =∠DOF =120° ∴△DCE ≌△DOF ∴CE =OF ∴OE =2+1=3 ∴E （0，3）
综上，点P 的坐标是E (0，-4)，（0，3） 12分
4、解：（1）∵当原点O 恰好位于AB 的中点，AB=4
∴
∵∠CAB=45°，∠DOA=90° ∴∠ADO=∠CAB=45°
∴∴1
2
S DO AB =
••1
242
=⨯⨯ 4=
（2）①如图2，当02t ≤<时，-------------------5分 ∵等腰直角三角形ABC 与△A 'B 'C '关于y 轴对称
∴AO= A 'O =t
∴A A '=2t --------------------------------------6分 由（1）可得DO=AO=t ∴'1
'2
AA D S S DO AA ∆==
•• 1
22
t t =
••2t =-------------------------------------------7分 ②如图3，当24t ≤≤时，--------------------8分 ∵等腰直角三角形ABC 与△A 'B 'C '关于y 轴对称
∴AO= A 'O =t
∴BO=AB-AO=4t ----------------------------9分 ∴B ' O =BO=4t -
∴A B '= AO- B ' O=(4)24t t t --=---------10分
∵∠A B 'F=90°，∠FA B '=∠A FB '=45° ∴F B '=A B '=24t -
2'11
''(24)22
AB F S AB FB t ∆=••=------------11分
同理可得2
'1(24)2A BE S t ∆=-
由①可得2
'AA D S t ∆=
∴'''AA D AB F A BE S S S S ∆∆∆=--
22211
(24)(24)22
t t t =----
231616t t =-+-----------------------------12分
5、解：（1）∵点A 坐标为（0，﹣2） ∴OA ＝2 ∵CD ＝3 ∴
，
∵S △ACD ＝S △AOB ∴
∴AC ＝OB
（2）延长DC 至点H ，使得CH ＝OA ，连接AH
∵OB＝AC，CD∥x轴
∴∠HCA＝∠AOB＝90°
在△ACH和△BOA中，
∴△ACH≌△BOA（SAS）
∴AH＝AB，∠HAC＝∠CAD，∠H＝∠CAB ∵∠H+∠HAC＝90°
∴∠CAB+∠HAC＝90°
∵∠BAD＝45°
∴∠HAD＝∠BAD
在△HAD和△BAD中，
∴△HAD≌△BAD（SAS）
∴∠ADC＝∠ADB
（3）∵△HAD≌△BAD
∴BD＝DH＝CD+CH＝3+2＝5
∵CD∥OB
∴∠ADC＝∠DEB
∵∠ADC＝∠ADB
∴∠BDE＝∠BED
∴BE＝BD＝5
6、解：（1）如图，过点C作CE⊥x轴，垂足为E，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB＝BC，∠ABC＝90°，
∵∠ABE+∠CBE＝90°，∠CBE+∠BCE＝90°，
∴∠ABE＝∠BCE，且AB＝BC，∠AOB＝∠BEC＝90°，
∴△ABO≌△BCE（AAS）
∴BO＝CE，AO＝BE，
∵点A（0，4），点B（b，0），且﹣4＜b＜0，
∴BE＝OA＝4，BO＝EC＝﹣b，
∴OE＝4+b
∴点C坐标（4+b，b）
（2）根据题意画出图形，如下图，
∵点C与点C'关于x轴对称，
∴点C'（4+b，﹣b），C'C⊥x轴，
∵S△ABC'＝S△ABO+S梯形AOEC'﹣S△BEC'＝×（﹣b）×4+×（4﹣b）（4+b）﹣×4×（﹣b），∴S△ABC'＝8﹣b2，
（3）点B在运动过程中，∠OAC′的度数不发生变化，
理由如下：如图，过点A作AF⊥EC'，垂足为F，
∵AF⊥EC'，EC'⊥BE，AO⊥OE，
∴四边形AOEF是矩形，
∴AO＝EF＝4，OE＝AF＝4+b，
∵C'F＝EF﹣EC'＝4﹣（﹣b）＝4+b，∴AF＝C'F，且∠AFE＝90°，
∴∠FAC'＝45°，且∠OAF＝90°，∴∠OAC'＝45°。