专题41 数列的概念及等差数列-2020年江苏省高考数学考点探究(解析版)

专题41 数列的概念及等差数列
专题知识梳理
1．数列的概念
(1) 按照一定次序排列的一列数称为数列，数列中的每个数都叫做这个数列的项．数列可以看做是定义域为N *或其非空子集的函数，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值，其图象是一群孤立的点．
注：数列是特殊的函数，应注意其定义域，不要和函数的定义域混淆．
(2) 数列的一般形式可以写成a 1，a 2，a 3，…，a n ，…，简记为{a n }，其中a 1称为数列{a n }的第1项(或称为首项)，a 2称为第2项，…，a n 称为第n 项．
2．数列的分类
(1)数列按项数的多少来分：项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列． (2)按前后项的大小来分：从第二项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列；从第二项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列；各项相等的数列叫做常数列．
3．数列的通项公式
一般地，如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列{a n }的通项公式．
注：并不是每一个数列都有通项公式，有通项公式的数列，其通项公式也不一定唯一． 4．数列的表示方法
数列可以用通项公式来描述，也可以通过图象或列表来表示． 5．等差数列的定义
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示．
6．等差数列的通项公式
一般地，对于等差数列{a n }的第n 项a n ，有a n ＝a 1＋(n －1)d ，这就是等差数列{a n }的通项公式，其中a 1为首项，d 为公差．第二通项公式为：a n ＝a m ＋(n －m )d ．
注：当公差d ≠0时，a n 是n 的一次式，一次项系数为d ；当d ＝0时，a n ＝a 1，此数列是常数列． 7．等差数列的前n 项和公式
等差数列{a n }的前n 项和公式：S n ＝n （a 1＋a n ）2或S n ＝na 1＋n （n －1）
2
d ．
注：当公差d ≠0时，前n 项和S n 是关于n 的二次式，二次项系数为d 2，一次项系数为a 1－d
2
，常数项为
0；当d ＝0时，S n ＝na 1，此数列是常数列．
8．等差数列的性质
(1)如果a ，A ，b 这三个数成等差数列，那么A ＝a ＋b
2
，我们把A 叫做a 和b 的等差中项．
(2)等差数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则有a m ＋a n ＝a p ＋a q ，特别地，当m ＋n ＝2p 时，则有a m ＋a n ＝2a p ．
(3)等差数列中，S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 成等差数列，其公差是m 2d ． 9．数列的前n 项和S n 与通项公式a n 之间的关系
a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1 S n －S n －1
，n ≥2.
考点探究
考向1 由数列的前几项求数列的通项公式
【例】写出下面各数列的一个通项公式： （1） 12，34，78，1516，31
32，…；
（2）－1，32，－13，34，－15，3
6，…；
（3） 1，3，6，10，…
【解析】(1)每一项的分子比分母少1，而分母组成数列
21，22，23，24，…，所以
a n ＝2n －1
2
n .
(2)奇数项为负，偶数项为正，故通项公式中含因子(－1)n ；各项绝对值的分母组成数列1，2，3，4，…；而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为1，偶数项为3，即奇数项为2－1，偶数项为2＋1，所以a n ＝(－1)n
·2＋（－1）n
n
.
(3) 将数列各项改写为261220
2222，，，，…，即12233445(1)
22222
n n ⨯⨯⨯⨯+，，，，
… 故a n =(1)
2
n n +． 题组训练
1.数列{a n }的前4项是32，1，710，9
17，则这个数列的一个通项公式是a n ＝____．
【解析】数列{a n }的前4项可变形为2×1＋112＋1，2×2＋122＋1，2×3＋132＋1，2×4＋142＋1，故a n ＝2n ＋1
n 2＋1.
2.设数列{a n }的通项公式是a n ＝—n 2＋9n ，那么20这个数是其中的第_______项． 【解析】令 —n 2＋9n =20，解得 n=4或5．
考向2 由Sn 求an
【例】已知数列{a n }的前n 项和S n ，求通项a n .
(1) S n ＝n 2—4n ＋1； (2) S n ＝3n ＋b .
【解析】(1)n ＝1时，a 1＝S 1＝—2；
n ≥2时，a n ＝S n －S n －1
＝n 2—4n ＋1—[（n —1） 2—4（n —1）＋1] =2n —1 —4 =2 n —5.
当n ＝1时a 1＝—2，不符合上式．
∴a n ＝2, 1,25, 2.
n n n -=⎧⎨-≥⎩
(2) n ＝1时，a 1＝S 1＝3＋b .
n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2·3n －
1.
∴当b ＝－1时，a 1＝3－1＝2适合a n ＝2·3n －
1，∴a n ＝2·3n －
1. 当b ≠－1时，a 1＝3＋b 不适合a n ＝2·3n －
1.
故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3＋b ，n ＝1，
2·3n －1，n ≥2.
题组训练
1.已知下列数列{a n }的前n 项和S n ，分别求出它们的通项公式．
(1) S n ＝2n 2＋3n ； (2) log 2(S n ＋1)＝n ＋1.
【解析】(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2×12＋3×1＝5；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2＋3n )－＝4n ＋1.当n ＝1时，4×1＋1＝5＝a 1，∴a n ＝4n ＋1.
(2)由已知条件可得S n ＋1＝2n ＋
1，∴S n ＝2n ＋
1－1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋
1－1－2n ＋1＝2n ，当n
＝1时，a 1＝S 1＝3，不符合a n ，∴a n ＝⎩
⎪⎨⎪
⎧3，n ＝1，2n ，n ≥2.
考向3 等差数列中基本量的运算
【例】设等差数列{}n a 的其前n 项的和为S n ．
（1）（2019· 苏州模拟）若4610+=a a ，55=S ，则其公差是 ．
（2）已知24=-a ，且222413=2()+a a a ，求a n 及S n ．
【解析】（1）设{a n }的公差为d ，把4610a a +=，55=S 代入公式，得
112810,5105a d a d +=⎧⎨
+=⎩即11
45,
2 1.a d a d +=⎧⎨+=⎩ 解得d =2． （2）设a n =1(1)a n d +-，由24=-a ，11=4,(4)+-∴=-+a d d a ①
由222413=2()a a a +，得222111(3)2[(2)]a d a a d +=++，化简得2211320a a d d +-=② 将①代入②，得22111132(4)(4)0a a a a -+-+=，11∴=-a ，=3-d ， a n =32-+n ，2(1)31
(3)222
n n n S n n n -=-+-=-+． 题组训练
1.在等差数列{a n }中，a 3＝7，a 6＝16，则a 9=_______．
【解析】设1(1)n a a n d =+-，则111
27,1,
516. 3.a d a a d d +==⎧⎧⎨⎨
+==⎩⎩ 故a 9= 1+（9—1）×3=25.
2.在等差数列{a n }中，已知a 1＝8，n ＝5，a n ＝1
2
，则S n ＝____．
【解析】将数据代入通项公式，得12=8+（5—1）d ，解得15
8
=-d ，再代入等差数列的求和公式，得
5541585
58()284
S ⨯=⨯+
-=
． 3.若数列}{n a 成等差数列，且712,a a 是方程260x x c -+=的两个实数根，则18S = . 【解析】由等差数列性质得711812++6a a a a ==，则1181818()186
5422
a a S +⨯=
==． 4.在等差数列{a n }中，已知d ＝12，a n ＝32，S n ＝－15
2
，则a 1＝___．
【解析】将数据代入两个公式，得121
13(1),227300(1)115
222a n n n n n na ⎧
+-=⎪⇒--=⎨
-⎪+=-⎩g ∴10(3==-n n 舍去），a 1=－3．
5.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知其前6项和为36，S n ＝324，最后6项的和为180(n >6)，则a 9＋a 10= ．
【解析】由题意可知a 1＋a 2＋…＋a 6＝36①，a n ＋a n －1＋a n －2＋…＋a n －5＝180②，①＋②得，(a 1＋a n )＋
(a 2＋a n －1)＋…＋(a 6＋a n －5)＝6(a 1＋a n )＝216，于是a 1＋a n ＝36.又S n ＝n （a 1＋a n ）
2＝324，∴18n ＝324.即n ＝
18.从而可得a 1＋a 18＝36，故a 9＋a 10＝a 1＋a 18＝36.
考向4 等差数列的性质及前n 项和
【例】在等差数列}{n a 中，若1>m 且2110-+-+=m m m a a a ，2138-=m S ，求m 的值．
【解析】∵}{n a 是等差数列，11=m m m m a a a a -+∴++，条件式变为220,0-=∴=m m m a a a 或2=m a ，
12121(21)()(21)()(21)2(21)222
m m m m
m m m a a m a a m a S m a ---+-+-=
===-=38，
显然0=m a 不合题意，则2=m a ，代入上式，得21-m =19，m =10. 题组训练
1.等差数列}{n a 前n 项和n S 的最大值为7S ，且||||87a a <，使n S >0的n 的最大值为 .
【解析】由7S 最大知780,0≥<a a ，由||||87a a <得78<-a a ,∴780+<a a ．寻求n S >0的n ，∵
115780a a a a +=+<，114720a a a +=>，∴114141402
a a S +=
>（）
， 11515152
a a S +=
（）
，故n 的最大值为14. 2.（2019·苏北四市模拟）在等差数列
中，已知2811+=a a ，则3113+a a 的值为 ．
【解析】由等差数列的通项公式及2811+=a a ，得12811+=a d ，故311113=416=2(28)22a a a d a d +++=． 3.若数列{a n }满足a 1＝1，
111
111+=+++n n
a a ，则a 10＝ ．
【解析】变形成
111111n n a a +-=++，则1
{}1n a +为等差数列，首项为
12
，公差为1，故10101011217
=(101)1,1,121919
a a a +-⨯∴+=∴=-+． 4.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 3＝12，且S 12＞0，S 13＜0.
(1) 求公差d 的范围；
(2) 该数列前几项的和最大？说明理由．
【解析】(1)根据题意，有⎩⎪⎨⎪⎧12a 1＋12×112
d >0
13a 1＋13×122
d <0
a 1
＋2d ＝12
，整理得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋112d >0a 1＋6d <0a 1
＋2d ＝12.
，解得－24
7＜d ＜－3.
(2)由d ＜0可知，{}a n 为一个递减数列．因此，在1≤n ≤12中，必存在一个自然数n ，使得a n ≥0，a n ＋
1＜0，此时对应的
S n 就是前n 项和的最大值．由于
⎩
⎪⎨⎪⎧S 12＝6（a 6＋a 7）>0S 13＝13a 7<0，于是a 7＜0，从而a 6＞0.因此，S 6最大．
考向5 等差数列的判定及证明
【例】已知数列}{n a 是等差数列，公差为d ，设221+=-n n n b a a ． （1）求证：数列{n b }是等差数列；
（2）若a 1=a ，求数列{n b }的通项公式及前n 项和n S ． 【解析】 (1) ∵数列{}n a 的公差为d ,
则22221211()()n n n n n n b b a a a a ++++-=--- =212111()()()()n n n n n n n n a a a a a a a a ++++++-+--+ =211()n n n n d a a a a ++++-- =22()2n n d a a d +-= 为常数． ∴数列{n b }是等差数列.
(2)由（1）知， 数列{n b }的公差为22d .
∴ 22121222
(1)222n b b n d a a d n d =+-=-+-
2222(22)a a d n d d =-+-+222+2=d n ad d -，
∴2222
1((22+2(42
2
2
)
)
)
n n n b b n ad d n ad d n ad d S d n --=
++=
=+
．
题组训练
1.已知数列{a n }中，a 1＝5且a n ＝2a n －1＋2n －1(n ≥2且n ∈N *)．
(1) 求证：数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
a n －12n 为等差数列；
(2) 求数列{a n }的通项公式．
【解析】 (1)证明：∵a 1＝5，当n ≥2时，
a n －12n －a n －1－12n －1＝（2a n －1＋2n －1）－12n －a n －1－1
2
n －1＝1， ∴⎩⎨⎧⎭
⎬⎫a n －12n 是以a 1－12＝2为首项，以1为公差的等差数列．
(2) 由(1)知a n －1
2n ＝2＋(n －1)×1，∴a n ＝(n ＋1)2n ＋1.
2.已知数列{a n }中，a 1＝3，前n 项和S n ＝1
2(n ＋1)(a n ＋1)－1.
(1) 求证：数列{a n }是等差数列． (2) 求{a n }的通项公式a n 及S n ．
【解析】 (1)证明：∵S n ＝12(n ＋1)(a n ＋1)－1，∴S n ＋1＝12(n ＋2)(a n ＋1＋1)－1，∴a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝1
2.整理
得na n ＋1＝(n ＋1)a n －1，∴(n ＋1)a n ＋2＝(n ＋2)a n ＋1－1，∴(n ＋1)a n ＋2－na n ＋1＝(n ＋2)a n ＋1－(n ＋1)a n ，∴2(n ＋1)a n ＋1＝(n ＋1)(a n ＋2＋a n )，∴2a n ＋1＝a n ＋2＋a n ，∴数列{a n }为等差数列．
(2) a 1＝3，na n ＋1＝()n ＋1a n －1，∴a 2＝2a 1－1＝5，a 2－a 1＝2，即公差为2， ∴ a n ＝a 1＋()n －1d ＝3＋2()n －1＝2n ＋1.
∴ S n ＝12(n ＋1)(a n ＋1)－1=1
2(n ＋1)(2n ＋2)—1=22n n ．。