高一秋季讲义-第五讲-指数函数(含答案)

第五讲指数函数
1.根式和分数指数幂
1.根式
(1)概念：式子n
a叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数.
(2)性质：(n
a)n＝a(a使
n
a有意义)；当n为奇数时，
n
a n＝a，当n为偶数
时，n
a n＝|a|＝
⎩
⎨
⎧a，a≥0，
－a，a<0.
2.分数指数幂
(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是a m
n
＝
n
a m(a>0，m，n∈N*，且n>1)；正
数的负分数指数幂的意义是a－m
n
＝
1
n
a m
(a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分数指
数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.
(2)有理指数幂的运算性质：a r a s＝a r＋s；(a r)s＝a rs；(ab)r＝a r b r，其中a>0，
b>0，r，s∈Q.
2.指数函数及其性质
(1)概念：函数y＝a x(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是变量，函数的定义域是R，a是底数.
(2)指数函数的图象与性质
当
x<0时，y >1；
当x>0时，0<y<1
在(－∞，＋∞)上是减函数
考点一有理数指数幂及根式
【例题1.1】化简的结果为（）
A．a16B．a8C．a4D．a2
【解答】解：＝＝a4
故选：C．
【例题1.2】已知函数f（x）＝a x+a﹣x，且f（1）＝3，则f（0）+f（1）+f（2）的值是（）A．14B．13C．12D．11
【解答】解：由题意，函数f（x）＝a x+a﹣x，且f（1）＝3，可得a+＝3，
又f（2）＝a2+a﹣2＝﹣2＝7，f（0）＝1+1＝2
所以f（0）+f（1）+f（2）＝2+3+7＝12故选：C．
【例题1.3】方程4x﹣2x+1﹣3＝0的解是．
【解答】解：∵4x﹣2x+1﹣3＝0∴（2x）2﹣2×2x﹣3＝0
∴（2x﹣3）（2x+1）＝0
∵2x＞0∴2x﹣3＝0∴x＝log23故答案为x＝log23
【变式1.1】的分数指数幂表示为（）
A．B．a3C．D．都不对【解答】解：＝＝＝＝．故选：C．
【变式1.2】已知f（x）＝3x+3﹣x，若f（a）＝4，则f（2a）＝（）A．4B．14C．16D．18
【解答】解：∵f（x）＝3x+3﹣x，∴f（a）＝3a+3﹣a＝4，
平方得32a+2+3﹣2a＝16，即32a+3﹣2a＝14．即f（2a）＝32a+3﹣2a＝14．故选：B．【变式1.3】方程的解是．
【解答】解：由方程化为2•32x﹣7•3x﹣4＝0，
化为（2•3x+1）（3x﹣4）＝0，∴3x﹣4＝0，
解得x＝2log32．故答案为：x＝2log32．
考点二指数函数的定义域、值域
【例题2.1】函数y＝的值域是（）
A．（0，1）B．（0，1]C．（0，+∞）D．[0，+∞）
【解答】解：∵函数y＝＝＝1﹣，
当x∈R时，2x＞0，∴2x+1＞1，∴0＜＜1，
∴﹣1＜﹣＜0，∴0＜1﹣＜1；即y＝的值域是（0，1）．故选：A．
【例题2.2】若函数定义域为R，则a的取值范围是[﹣1，0]．【解答】解：∵函数定义域为R
∴≥0恒成立即x2+2ax﹣a≥0恒成立
则△＝（2a）2+4a≤0，解得﹣1≤a≤0故答案为：[﹣1，0]
【例题2.3】函数y＝2|x|的定义域为[a，b]，值域为[1，16]，当a变动时，函数b＝g（a）的图象可以是（）
A．B．
C．D．
【解答】解：根据选项可知a≤0
a变动时，函数y＝2|x|的定义域为[a，b]，值域为[1，16]，
∴2|b|＝16，b＝4故选：B．
【变式2.1】函数﹣1的值域为（）
A．[1，+∞）B．（﹣1，1）C．（﹣1，+∞）D．[﹣1，1）
【解答】解：因为4﹣2x≥0，
所以x≤2，即函数的定义域是（﹣∞，2]，令t＝4﹣2x，则t∈[0，4），
所以，所以y∈[﹣1，1），即函数的值域是[﹣1，1），故选：D．
【变式2.2】设x1＜x2，定义区间[x1，x2]的长度为x2﹣x1，已知函数y＝2|x|的定义域为[a，b]，值域为[1，2]，则区间[a，b]的长度的最大值与最小值的差为1
【解答】解：当x≥0时，y＝2x，因为函数值域为[1，2]即1＝20≤2x≤2＝21，根据指数函数的增减性得到0≤x≤1；
当x≤0时，y＝2﹣x，因为函数值域为[1，2]即1＝20≤2﹣x≤2＝21，根据指数函数的增减性得到0≤﹣x≤1即﹣1≤x≤0．
故[a，b]的长度的最大值为1﹣（﹣1）＝2，最小值为1﹣0＝1或0﹣（﹣1）＝1，则区间[a，b]的长度的最大值与最小值的差为1故答案为1
【变式2.3】定义运算：则函数f（x）＝3﹣x⊗3x的值域为（0，1]．
【解答】解：如图为y＝f（x）＝3﹣x⊗3x的图象（实线部分），
由图可知f（x）的值域为（0，1]．故答案为：（0，1]．
考点三指数函数的图像与性质
【例题3.1】函数y＝e﹣|x﹣1|的图象大致形状是（）
A．B．
C．D．
【解答】解：∵y＝e﹣|x﹣1|＝，
∴函数函数y＝e﹣|x﹣1|的图象大致形状是：
故选：B．
【例题3.2】已知函数f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）（其中a＞b），若f（x）的图象如图所示，则函数g（x）＝a x+b的图象大致为（）
A．B．
C．D．
【解答】解：观察f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）的图象，可得其与x轴的两个交点分别在区间（﹣∞，﹣1）与（0，1）上，
又由a＞b，可得b＜﹣1，0＜a＜1；
在函数g（x）＝a x+b可得，由0＜a＜1可得其是减函数，
又由b＜﹣1可得其与y轴交点的坐标在x轴的下方；故选：A．
【变式3.1】若a＞0且a≠1，函数y＝|a x﹣2|与y＝3a的图象有两个交点，则实数a的取值范围是．
【解答】解：①：当a＞1时，作出函数y＝|a x﹣2|图象：
若直线y＝3a与函数y＝|a x﹣2|（a＞0且a≠1）的图象有两个公共点
由图象可知0＜3a＜2，此时无解．
②当0＜a＜1时，作出函数y＝|a x﹣2|图象：
若直线y＝3a与函数y＝|a x﹣2|（a＞0且a≠1）的图象有两个公共点
由图象可知0＜3a＜2，∴0＜a＜．
综上：a的取值范围是．
【变式3.2】已知函数f（x）＝x﹣4+，x∈（0，4），当x＝a时，f（x）取得最小值b，则函数g（x）＝a|x+b|的图象为（）
A．B．
C．D．
【解答】解：∵x∈（0，4），
∴x+1＞1∴f（x）＝x﹣4+＝x+1+﹣5≥2﹣5＝1，
当且仅当x＝2时取等号，此时函数有最小值1∴a＝2，b＝1，
此时g（x）＝2|x+1|＝，此函数可以看成函数y＝的图象向左平移1个单位，结合指数函数的图象及选项可知A正确，故选：A．
考点四指数函数的单调性
【例题4.1】若函数f（x）＝a|2x﹣4|（a＞0，a≠1），满足f（1）＝，则f（x）的单调递减区间是（）
A．（﹣∞，2]B．[2，+∞）C．[﹣2，+∞）D．（﹣∞，﹣2]
【解答】解：由f（1）＝，得a2＝，于是a＝，因此f（x）＝（）|2x﹣4|．
因为g（x）＝|2x﹣4|在[2，+∞）上单调递增，所以f（x）的单调递减区间是[2，+∞）．故选：B．
【例题4.2】函数f（x）＝（）在区间[1，2]上是单调减函数，则实数a的取值范围是（）
A．a≤﹣4B．a≤﹣2C．a≥﹣2D．a＞﹣4
【解答】解：记u（x）＝x2+ax＝（x+）2﹣，
其图象为抛物线，对称轴为x＝﹣，且开口向上，
∵函数f（x）＝（）在区间[1，2]上是单调减函数，
∴函数u（x）在区间[1，2]上是单调增函数，
而u（x）在[﹣，+∞）上单调递增，所以，﹣≤1，解得a≥﹣2，故选：C．
【例题4.3】定义在R上的偶函数f（x），当x≥0时．f（x）＝2x，则满足f（1﹣2x）＜f（3）的x取值范围是（﹣1，2）．
【解答】解：∵定义在R上的偶函数f（x），当x≥0时．f（x）＝2x，
即偶函数f（x）在（﹣∞，0）上为减函数，在（0，+∞）上为增函数
∴自变量的绝对值越大函数值越大
∴f（1﹣2x）＜f（3）⇔|1﹣2x|＜3
⇔﹣3＜1﹣2x＜3
⇔﹣1＜x＜2故答案为（﹣1，2）
【变式4.1】函数f（x）＝（）的单调递增区间是（﹣∞，1）．【解答】解：设u（x）＝x2﹣2x+6＝（x﹣1）2+5，对称轴为x＝1，
则u（x）在（﹣∞，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增，
而f（x）＝，底∈（0，1），
所以，u（x）的单调性与f（x）的单调性相反，
即f（x）在（﹣∞，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减，
故填：（﹣∞，1）（区间右端点可闭）．
【变式4.2】已知函数f（x）＝，若f（a2﹣2）＞f（a），则实数a的取值
范围是﹣1＜a＜2．
【解答】解：f（x）＝2﹣x﹣1在（﹣∞，0）上单调递减函数
f（x）＝﹣x2﹣2x在（0，+∞）上单调递减函数
而函数在x＝0处连续∴函数f（x）在R上是单调递减函数
而f（a2﹣2）＞f（a），∴a2﹣2＜a，解得a∈（﹣1，2）．故答案为：﹣1＜a＜2．
【变式4.3】已知函数为R上的单调函数，则实数a的取值范围是[﹣1，0）．
【解答】解：①若f（x）在R上单调递增，
则有，解得a∈∅；
②若f（x）在R上单调递减，
则有，解得﹣1≤a＜0，
综上所述，得实数a的取值范围是[﹣1，0）．故答案为：[﹣1，0）．
考点五指数型复合函数的的性质及应用
【例题5.1】设a＞0，b＞0，下列命题中正确的是（）
A．若2a+2a＝2b+3b，则a＞b B．若2a+2a＝2b+3b，则a＜b
C．若2a﹣2a＝2b﹣3b，则a＞b D．若2a﹣2a＝2b﹣3b，则a＜b
【解答】解：∵a≤b时，2a+2a≤2b+2b＜2b+3b，
∴若2a+2a＝2b+3b，则a＞b，故A正确，B错误；
对于2a﹣2a＝2b﹣3b，若a≥b成立，则必有2a≥2b，故必有2a≥3b，即有a≥b，而不是a＞b排除C，也不是a＜b，排除D．故选：A．
【例题5.2】若函数f（x）＝a x（a＞0，a≠1）在区间[﹣1，2]上的最大值为4，最小值为m，
且函数g（x）＝（1﹣4m）x在R内是单调增函数，则a＝．
【解答】解：若函数g（x）＝（1﹣4m）x在R内是单调增函数，
则1﹣4m＞0，则m．
若a＞1，∵函数f（x）＝a x（a＞0，a≠1）在区间[﹣1，2]上的最大值为4，最小值为m，∴a2＝4，m＝解得a＝2，m＝不满足m．
若0＜a＜1，∵函数f（x）＝a x（a＞0，a≠1）在区间[﹣1，2]上的最大值为4，最小值为m，
∴，m＝a2，解得a＝，m＝满足m．∴a＝故答案为：．【例题5.3】已知不等式对任意x∈R恒成立，则实数m的取值范围是﹣3＜m＜5．
【解答】解：不等式等价为，
即x2+x＜2x2﹣mx+m+4恒成立，
∴x2﹣（m+1）x+m+4＞0恒成立，
即△＝（m+1）2﹣4（m+4）＜0，
即m2﹣2m﹣15＜0，解得﹣3＜m＜5，故答案为：﹣3＜m＜5．
【变式5.1】已知函数f（x）在R上是单调函数，且满足对任意x∈R，都有f[f（x）﹣3x]＝4，则f（4）的值是（）
A．85B．82C．80D．76
【解答】解：设f（x）﹣3x＝t．
则f（x）＝3x+t，且f（t）＝4，
令x＝t，则f（t）＝3t+t＝4，
∵f（x）在R上是单调函数，
∴解得t＝1，
∴f（x）＝3x+1，∴f（4）＝34+1＝82，故选：B．
【变式5.2】对于函数f（x）＝4x﹣m•2x+1，若存在实数x0，使得f（﹣x0）＝﹣f（x0）成立，则实数m的取值范围是（）
A．m B．m C．m≤1D．m≥1
【解答】解：∵f（x）＝4x﹣m•2x+1，f（﹣x0）＝﹣f（x0），
∴﹣m•＝﹣+m•，
∴m（+）＝+，
∴2m＝＝＝+﹣，
令t＝+，则t≥2，
∴2m＝t﹣（t≥2），
∵函数y＝t与函数y＝﹣在[2，+∞）上均为单调递增函数，
∴2m＝t﹣（t≥2）在[2，+∞）上单调递增，
∴当t＝2时，2m＝t﹣（t≥2）取得最小值1，即2m≥1，
解得：m≥．故选：B．
考点六指数函数的实际应用
【例题6.1】已知指数函数f（x）＝a x（a＞0，且a≠1）过点（﹣2，9）（1）求函数f（x）的解析式
（2）若f（2m﹣1）﹣f（m+3）＜0，求实数m的取值范围．
【解答】解：（1）将点（﹣2，9）代入到f（x）＝a x得a﹣2＝9，解得a＝，
∴f（x）＝
（2）∵f（2m﹣1）﹣f（m+3）＜0，
∴f（2m﹣1）＜f（m+3），
∵f（x）＝为减函数，
∴2m﹣1＞m+3，解得m＞4，∴实数m的取值范围为（4，+∞）
【例题6.2】已知函数f（x）＝（）x+a的图象经过第二、三、四象限．（1）求实数a的取值范围；
（2）设g（a）＝f（a）﹣f（a+1），求g（a）的取值范围．
【解答】解：（1）如图，
∵函数f（x）＝（）x+a的图象经过第二、三、四象限，
∴a＜﹣1；
（2）g（a）＝f（a）﹣f（a+1）
＝＝．
∵a＜﹣1，∴，
则．故g（a）的取值范围是（2，+∞）．
【例题6.3】已知奇函数f（x）的定义域为[﹣1，1]，当x∈[﹣1，0）时，f（x）＝﹣．（1）求函数f（x）在[0，1]上的值域；
（2）若x∈（0，1]，f2（x）﹣f（x）+1的最小值为﹣2，求实数λ的值．
【解答】解：（1）设x∈（0，1]，则﹣x∈[﹣1，0）时，所以f（﹣x）＝﹣＝﹣2x．又因为f（x）为奇函数，所以有f（﹣x）＝﹣f（x），
所以当x∈（0，1]时，f（x）＝﹣f（﹣x）＝2x，所以f（x）∈（1，2]，
又f（0）＝0．
所以，当x∈[0，1]时函数f（x）的值域为（1，2]∪{0}．
（2）由（1）知当x∈（0，1]时，f（x）∈（1，2]，
所以f（x）∈（，1]．
令t＝f（x），则＜t≤1，
g（t）＝f2（x）﹣f（x）+1＝t2﹣λt+1＝+1﹣，
①当≤，即λ≤1时，g（t）＞g（），无最小值，
②当＜≤1，即1＜λ≤2时，g（t）min＝g（）＝1﹣＝﹣2，
解得λ＝±2（舍去）．
③当＞1，即λ＞2时，g（t）min＝g（1）＝﹣2，解得λ＝4，综上所述，λ＝4．
【变式6.1】已知f（x）＝9x﹣2×3x+4，x∈[﹣1，2]．
（1）设t＝3x，x∈[﹣1，2]，求t的最大值与最小值；
（2）求f（x）的最大值与最小值．
【解答】解：（1）设t＝3x，∵x∈[﹣1，2]，函数t＝3x在[﹣1，2]上是增函数，故有≤t≤9，故t的最大值为9，t的最小值为．
（2）由f（x）＝9x﹣2×3x+4＝t2﹣2t+4＝（t﹣1）2+3，可得此二次函数的对称轴为t＝1，且≤t≤9，
故当t＝1时，函数f（x）有最小值为3，
当t＝9时，函数f（x）有最大值为67．
【变式6.2】已知函数f（x）＝
（1）当a＝b＝1时，求满足f（x）≥3x的x的取值范围；
（2）若y＝f（x）是定义域为R的奇函数，求y＝f（x）的解析式；
（3）若y＝f（x）的定义域为R，判断其在R上的单调性并加以证明．
【解答】解：（1）由题意知，≥3x；
化简得，3（3x）2+23x﹣1≤0，
解得，﹣1≤3x≤；故x≤﹣1；
（2）由题意，f（0）＝＝0，故a＝1；
再由f（1）+f（﹣1）＝0得，b＝3；
经验证f（x）＝是奇函数，
（3）证明：∵y＝f（x）的定义域为R，∴b≥0；
任取x1，x2∈R，且x1＜x2，则
f（x1）﹣f（x2）＝（3a+b），
∵x1＜x2，∴＞0；
故当3a+b＞0时，f（x）在R上单调递减，当3a+b＜0时，f（x）在R上单调递增，当3a+b＝0时，f（x）在R上不具有单调性．
【变式6.3】已知f（x）＝（a x﹣a﹣x）（a＞0且a≠1）．
（1）判断f（x）的奇偶性．
（2）讨论f（x）的单调性．
（3）当x∈[﹣1，1]时，f（x）≥b恒成立，求b的取值范围．
【解答】解：（1）∵f（x）＝，
所以f（x）定义域为R，
又f（﹣x）＝（a﹣x﹣a x）＝﹣（a x﹣a﹣x）＝﹣f（x），
所以函数f（x）为奇函数，
（2）任取x1＜x2
则f（x2）﹣f（x1）＝（a x2﹣a x1）（1+a﹣（x1+x2））
∵x1＜x2，且a＞0且a≠1，1+a﹣（x1+x2）＞0
①当a＞1时，a2﹣1＞0，a x2﹣a x1＞0，则有f（x2）﹣f（x1）＞0，
②当0＜a＜1时，a2﹣1＜0．，a x2﹣a x1＜0，则有f（x2）﹣f（x1）＞0，
所以f（x）为增函数；
（3）当x∈[﹣1，1]时，f（x）≥b恒成立，
即b小于等于f（x）的最小值，
由（2）知当x＝﹣1时，f（x）取得最小值，最小值为（）＝﹣1，
∴b≤﹣1．求b的取值范围（﹣∞，﹣1]．
1．已知a，b∈R，若4a＝23﹣2b，则a+b＝．
【解答】解：∵4a＝23﹣2b，∴22a＝23﹣2b，
∴2a＝3﹣2b，解得a+b＝．故答案为：．
2．已知函数f（x）＝（）x﹣（）x+1的定义域是[﹣3，2]，则该函数的值域为．【解答】解：由于x∈[﹣3，2]，∴≤≤8，令t＝，
则有y＝t2﹣t+1＝+，
故当t＝时，y有最小值为，当t＝8时，y有最大值为57，故答案为[]．3．设函数f（x）＝，则f（2）＝．若f（f（x））≥9，则实数x的
取值范围是．
【解答】解：f（2）＝﹣22+2×2＝0，
当x≥0时，f（x）＝﹣x2+2x＝﹣（x﹣1）2+1≤﹣1，
∵f（f（x））≥9，
∴f（x）≤﹣3，
∴﹣x2+2x≤﹣3且x＞0，解得x≥3，故答案为：0，[3，+∞）
4．函数y＝1+2x+4x a在x∈（﹣∞，1]上y＞0恒成立，则a的取值范围是．【解答】解：由题意，得1+2x+4x a＞0在x∈（﹣∞，1]上恒成立，
∴a＞﹣在x∈（﹣∞，1]上恒成立．
又∵t＝﹣＝﹣（）2x﹣（）x＝﹣[（）x+]2+，
当x∈（﹣∞，1]时t的值域为（﹣∞，﹣]，∴a＞﹣；
即a的取值范围是（﹣，+∞）；故答案为：（﹣，+∞）．
5．设函数f（x）＝a x﹣（k﹣1）a﹣x（a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数．（Ⅰ）求k的值；
（Ⅱ）若f（1）＝，且g（x）＝a2x+a﹣2x﹣2m•f（x）在[1，+∞）上的最小值为﹣2，求m的值．
【解答】解：（Ⅰ）由题意，对任意x∈R，f（﹣x）＝﹣f（x），即a﹣x﹣（k﹣1）a x＝﹣
a x+（k﹣1）a﹣x，
即（k﹣1）（a x+a﹣x）﹣（a x+a﹣x）＝0，（k﹣2）（a x+a﹣x）＝0，
∵x为任意实数，a x+a﹣x＞0，∴k＝2．
（Ⅱ）由（1）知，f（x）＝a x﹣a﹣x，
∵f（1）＝，∴a﹣＝，解得a＝2．
故f（x）＝2x﹣2﹣x，g（x）＝22x+2﹣2x﹣2m（2x﹣2﹣x），
令t＝2x﹣2﹣x，则22x+2﹣2x＝t2+2，由x∈[1，+∞），得t∈[，+∞），
∴g（x）＝h（t）＝t2﹣2mt+2＝（t﹣m）2+2﹣m2，t∈[，+∞），
当m＜时，h（t）在[，+∞）上是增函数，则h（）＝﹣2，﹣3m+2＝﹣2，解得m＝（舍去）．
当m≥时，则h（m）＝﹣2，2﹣m2＝﹣2，解得m＝2，或m＝﹣2（舍去）．
综上，m的值是2．。