九年级数学测量知识点分析

测量
情境切入
古希腊，有一位伟大的科学家叫塔列斯。

一天，希腊国王阿马西斯对他说：“听说你什么都知道，那就请你测量一下埃及大金字塔的高度吧！”这在当时条件下是个大难题，因为几乎不可能爬到塔顶。

一天，天气晴朗，塔斯列来到大金字塔旁，在沙地上立起了一根棍子，在太阳光的照射下，棍子把影子留在地上，当棍子和它的影子一般长时，塔斯列就把大金字塔的高度测量出来了。

这是因为同一时刻物高与影长成正比例，只要测量出塔影的长度就知道塔的高度了。

但如果是阴天，能有办法测量大金字塔的高度吗？通过后面知识的学习就能解决这个问题了。

学海导航
知识与技能
了解和感受测量物体的高度是现实生活中经常遇到的问题，掌握常用的测量方法.
过程与方法
结合生活实践，体会测量的现实意义和方法
情感、态度与价值观
经历由情境引出问题，探索掌握有关的数学知识内容，再运用于实践的过程，培养学数学、用数学的意识与能力.
完全解读
知能点1、测量
利用相似三角形的性质可设计方案测量不可到达的两地之间的距离或不可直接量出的物体的高度.
本节介绍了两种测量方法：
（1）构造可以测量的与三角形相似的小三角形，利用对应线段成比例的性质计算求出所求线段的长；
（2）利用比例尺在纸上画一个与实物三角形相似的三角形，通过直尺测量出所求线段在纸上的长度，再根据比例尺计算出实际物体的高度.
友情提醒：在实际测量物体的高度、宽度时，关键是要构造和实物所在三角形相似的三角形，而且要能测量已知三角形的各条线段的长，运用相似三角形的性质列出比例式求解.
例1、请你设计两种方案，测量学校的教学楼的高度。

思维点击：可考虑这样设计方案：一是构造可以测量的与原三角形相似的小三角形；二是利用比例尺在纸上画一个与实物相似的小三角形。

解：方案1：站在距楼底一定远的地方看楼顶，然后拿一根竹竿竖直立在人和楼之间的某处，使竹竿的顶端恰好在人看楼顶的视线上，如图，由于人、竹竿、楼房都垂直于地面，所以△PDE∽△PAB，则由相似三角形的知识计算出楼房的高度。

若人站在距楼底m 米（用皮尺量得），人的高度为h 米，竹竿的长为a 米，人和竹竿的距离为d 米，则楼房高度为()m a h h d -⎡⎤+⎢⎥⎣⎦
米.
方案2：站在距楼底m 米（用皮尺量得）的地方看楼顶，视线PA 与水平面夹角∠APB=α（用量角器量得），然后按1：500的比例在纸上将△PAB 画出来，记为△P′A′B′，用皮尺测量人的身高为h 米，用刻度尺量出纸上A′B′的长度，便可求出教学楼AC 的实际高度，如图.
解后反思：构造实物相似三角形或利用比例尺在纸上画出模型来计算建筑物的实际高度，方法虽然不一样，但实质是一样的，都是运用了相似三角形的性质，操作和计算都比较繁琐，事实上，根据上图中的α和PB 的长就可以直接计算出教学楼的高度为()tan m h α+，
在本章的第三节我们就会学到.
X 例探究
★基础思维探究
探究点1、测量
例1、如图，在同一时刻，小明测得他的影长为1米，距他不远处的一棵槟榔树的影长为5米，已知小明的身高为1.5米，则这棵槟榔树的高是__________米．
思维点击：设槟榔树的高为x 米，根据同一时刻物体的高度与影长成正比例可知1.5,51
x =解得7.5x =米. 答案：7.5
温馨提示：由于太阳光可以看作是一束平行线，人和旗杆都是垂直于地面的，所以太阳光线、实物及实物的影子构成的三角形是相似的（在同一时刻）。

例2、如图，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔5米有一棵树，在北岸边每隔50米有一根电线杆．小丽站在离南岸边15米的点P 处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，则河宽为米．
思维点击：如图所示，作PE⊥AB，交CD 于点F ，由题意知：CD=20，AB=50，PF=15，因为两岸是平行的，所以△PCD∽△PAB，根据相似三角形的对应高的比等于相似比得：CD ：AB=PF ：PE ，所以20：50=15：（15+EF ），解得EF=22.5。

答案：22.5．
解后反思：对于一些实际问题，要构建数学模型来解决，本例是把实际问题转化为数学中的三角形的相似，利用相似三角形的性质解决的。

例3、在一次数学活动课上，老师让同学们到操场上测量旗杆的高度，然后回来交流各自的测量方法，小芳的测量方法是：拿一根高的竹竿立在离旗杆27米的C处（如图），然后沿BC方向到D处，这时目测旗杆顶部A与竹竿顶部E恰好在同一直线上，又测得C、D两点的距离为3米，小芳的目高为，这样便可知道旗杆的高。

你认为这种测量方法是否可行？请说明理由。

思维点击：判断这种方法是否可行，应考虑利用这种方法加之我们现有的知识能否求出旗杆的高，按这种测量方法，过F作FG⊥AB于G，交CE与H，可知△AGF∽△EHF，且GF、HF、EH可求，这样可求得AG，故旗杆高度AB可求。

解：这种测量方法可行，利用如下：
设旗杆高AB=x，过F作FG⊥AB于G，交CE与H（如图），所以△AGF∽△EHF，
∵FD=1.5，GF=27+3=30，HF=3，
∴EH=3.5－1.5=2，AG=x－1.5.
由△AGF∽△EHF，得AG GF
EH HF
=，即
1.530
23
x-
=.
∴x－1.5=20，解得21.5
x=（米）.
所以旗杆的高是。

解后反思：本例是应用相似三角形对应边成比例的性质进行求解的.
★综合思维探究
例4、如图所示，学校的围墙外有一旗杆AB ，甲在操场上C 处，直立3m 高的竹竿CD ，乙从C 处退到E 处恰好看到竹竿顶端D 与旗杆顶端B 重合，量得CE=3m ，乙的眼睛到地面的距离EF=，丙在1C 处也直立3m 高的竹竿11C D ，乙从E 处退后6m 到1E 处，恰好看到两根竹竿与旗杆重合，且竹竿顶端1D 与旗杆顶点B 也重合，量得114C E m =，求旗杆AB 的高.
思维点击：本题考查的是相似三角形中比例线段的应用，解题时运用比例式求解。

解：∵设直线1F F 与AB 、CD 、11C D 分别交于点G 、M 、N ，BG=x ，GM=y
∵MD//BG，
∴△FDM∽△FBG.∴1.53.3x y
=+① 又∵1D N //GB ，∴△11F D N ∽△1F BG
∴1.5463
x y =++.② 由①、②联立方程组，求得9,15.
x y =⎧⎨=⎩
故旗杆AB 的高为9+1.5=10.5（m ）.
温馨提示：在本题的计算中要注意不要忽视加上EF 的高度。

本题的测量方法是运用相似三角形对应边成比例，从而设出辅助未知数，列出方程组求解。

★创新拓展思维探究
例5、为了测量一棵大树的高度，现准备了如下测量工具：①镜子，②皮尺，③长为
★中考热点探究
中考动态：测量问题是中考中常见的问题，主要题型有填空题、选择题和解答题，解决此类问题的常用方法有：利用“同一时刻，物高与影长成比例”、“相似三角形对应边成比例和对应高的比等于相似比”以及勾股定理、等腰三角形等.
例6、如图，小华在地面上放置了一个平面镜E来测量铁塔AB的高度，镜子与铁塔的距离EB=20米，镜子与小华的距离ED=2米时，小华刚好从镜子中看到铁塔的顶端A.已知小华的眼睛距地面的高度CD=，则铁塔AB的高度是________米.
思维点击：本题易得△CDE∽△ABE，据相似三角形的性质可得
1.52,AB 20
CD DE AB BE = 即＝ 所以AB=15（米）
答案：15；
解后反思：本题是一个跨学科的题目，主要考查了利用相似三角形的有关性质进行测量的方法. 整合提升
★知识内在联系
★学习方法指导
本节知识与现实生活的联系比较密切，在学习时要密切联系生活中的一些现象，学会用所学知识解决实际问题.
★规律方法点津
★思维误区警示
本节常见的思维误区有：
1、在求物体的高度时容易因考虑不周而出现计算错误.
例1、有一位同学想利用树影测量树高，他在某一时刻测得小树高为1米，树影长为.但当他马上测量大树影长时，因大树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上（如图），他先测得地面部分的影长为，又测得墙上树影高，求树高多少米？
错解：树的影子长为BC+CD=2.7+1.2=3.9（米）.
根据同一时刻物体的高度与影长成正比例，可知13.90.9AB =，解得AB=399
（米）.
所以这棵大树的高度为399
米. 错解分析：没有明确影子的含义，要注意大树的影子落在墙上的部分CD 的长要比它落在地面上的影子会比较长或短一些.也就是说大树的影子并不是BC+CD.
过D 作DE⊥AB 于E ，则相当于AE 的影长为DE.由同一时刻物体高度与影长成比例可求AE ，从而可求AB.
正解：过D 作 DE⊥AB 于E ，则
10.9AE DE =，即12.70.9
AE =，∴AE=3（米）. ∴AB=AE+EB=3+1.2=4.2（米）.
品味尝试
1、在比例尺是1：38000的某某交通游览图上，玄武湖公园与雨花台烈士陵园之间的距离约为20厘米，则它们之间的实际距离约为（ ）．
2、如图，PA 为旗杆PQ 的影子，小明站在A 处，AC 为小明的影子，在同一时刻，测得PA=20米，AC=2米，如果小明身高AB=，则旗杆PQ 的高度是（ ）
A.20米
B. 16米
C.
D.18米
3、星期天小川和他爸爸到公园散步，小川身高是160cm ，在阳光下他的影长为80cm ，爸爸身高180cm ，则此时爸爸的影长为________cm.
4、如图，有一池塘，现要测量两端A 、B 的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A 和B 的点C ，连结AC 并延长到D ，使CD=CA ，连结BC 并延长到E ，使CE=BC ，连结ED ，如果量出DE 的长为25m ，求池塘宽AB 是多少m?
5、请你设计两种方案，测量你校旗杆的高度，并说明你的做法的理论依据.
6、如图，平面上一幢建筑物AB 与铁塔CD 相距60米，另一幢建筑物EF 与铁塔相距20米，某人发现AB 的顶端A 与建筑物EF 的顶端E 、铁塔的顶端C 恰好在一条直线上。

已知AB 高为15米，EF 高为25米，求铁塔的高。

品味尝试答案
1、D
2、B
3、90
4、解：由题意知2AC BC CD CE
==，且∠ACB=∠DCE， ∴△ACB∽△DCE，
∴AC AB CD
ED =， ∴225
AB AB ED ==，∴AB=50米. 提示：证明△ACB∽△DCE 是解题的关键所在.
5、解：第一种方法：选一个阳光明媚的日子，请你的同学量出你在太阳下的影子的长度和旗杆影子的长度，再根据你的身高，便可以计算出旗杆的高度。

(如图所示)
由于太阳光可以把它看成是平行的，所以有∠BAC＝∠B 1A 1C 1，又因为旗杆和人都是垂直
与地面的，所以∠ACB＝∠A 1C 1B 1＝90°，所以，△ACB∽△A 1C 1 B 1，因此，BC AC ＝B 1C 1A 1C 1
，则BC ＝AC×B 1C 1A 1C 1
，即可求得旗杆BC 的高度。

如果遇到阴天，就你一个人，可以采用下面的方法。

第二种方法：如图所示，站在离旗杆的底部10米处的D 点，用所制作的测角仪测出视线与水平线的夹角∠BAC=34°,并且已知目高AD 为1米,现在请你按1:500(根据具体情况而定,选合适的即可)比例将△ABC 画在纸上，并记作△A 1B 1C l ，用刻度尺量出纸上B l C l 的长度,便可以计算旗杆的实际高度。

由画图可知:
∵∠BAC＝∠B l A l C l ＝34°，∠ABC＝∠A 1B 1C l ＝90°
∴△ABC∽△A l B 1C l
∴B l C 1＝1500
∴BC＝500B l C l ，CE ＝BC ＋BE ，即可求得旗杆的高度。

6、解：过点A 作AM ⊥CD 于点M ，交EF 于N ，
则EN=25-15=10，AN=60-20=40，AM=60，
由题可得△AEN∽△ACM，∴AN EN AM CM =，即：401060CM
=， ∴CM=15，∴CD= CM+MD=15+15=30（米）
答：铁塔的高度为30米。