双曲线的几何性质--优质课
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我们是通过椭圆的标准方程来研究它的几何性 质的。 那么我们类比椭圆的几何性质的研究，我们也 可以来研究双曲线的几何性质
焦点
x 在轴上双曲线
x2 y 2 1(a 0, b 0) a 2 b2
y M B1 F2A
1
一、标准方程
二、图象
x
O B2 A2 F1
三、焦点
F1 (c,0), F2 (c,0)
x2 y 2 1 4 3
小结： 一、双曲线有哪些几何性质 二、求双曲线方程先定位再定量
作业布置:
a x a, b y bBiblioteka 关于x 轴，y 轴，原点对称
A1 (a, 0), A2 (a, 0) B1 (0, b), B2 (0.b) e
(其中A A
1
2
2a 叫椭圆的长轴， B1B2 2b 叫椭圆的短轴)
c b2 1 2 (0 e 1) a a
思考：我们是如何研究椭圆的几何性质的。
1 2
1 2
A1 (a, 0), A2 (a, 0)
1
2
七、离心率
e
c b2 1 2 (e 1) a a
学生活动：请同学们对比焦点 x 在轴上 的双曲线的性质，找出焦点在 y 轴上的 双曲线的性质
例题讲解
例1、求双曲线 的实轴长、虚轴长、焦点和顶 点坐标、离心率及渐近线方程。 a 4 ，离心率 例2、（1）已知双曲线焦点在 x 轴上， 3 为 2 ，求双曲线的标准方程 （2）已知双曲线离心率为 2 ，且过点 P(0, 2) ，求双曲线 的标准方程 5 （3）已知双曲线虚轴长12 ，离心率为 4 ，求双曲线的标 准方程
双曲线的几何性质
情景引入：
我们前面学习了椭圆的性质的研究。请同 学们回忆一下，椭圆有哪些几何性质
椭圆（焦点在轴上）
标准方程
x2 y 2 1(a b 0) a 2 b2
y B2 M x A1 F1 O B1 F2 A2
图象
焦点 范围 对称性 顶点 离心率
F1 (c,0), F2 (c,0) (其中叫焦距)
(其中 F F 叫焦距)
1 2
四、范围 由方程
x2 y 2 1 a 2 b2
可知，双曲线上任一点
( x, y )
的坐标都满足
x2 y 2 1 1 a 2 b2
所以
x2 1 a2
即
xa
或
x a
五、渐近线
y
b x a
六、顶点 B (0, b), B (0.b) (其中叫 A A 2a 双 B B 2b 曲线的实轴， a 叫实半轴长； b 叫虚半轴长；) 叫双曲线的虚轴，
焦点
x 在轴上双曲线
x2 y 2 1(a 0, b 0) a 2 b2
y M B1 F2A
1
一、标准方程
二、图象
x
O B2 A2 F1
三、焦点
F1 (c,0), F2 (c,0)
x2 y 2 1 4 3
小结： 一、双曲线有哪些几何性质 二、求双曲线方程先定位再定量
作业布置:
a x a, b y bBiblioteka 关于x 轴，y 轴，原点对称
A1 (a, 0), A2 (a, 0) B1 (0, b), B2 (0.b) e
(其中A A
1
2
2a 叫椭圆的长轴， B1B2 2b 叫椭圆的短轴)
c b2 1 2 (0 e 1) a a
思考：我们是如何研究椭圆的几何性质的。
1 2
1 2
A1 (a, 0), A2 (a, 0)
1
2
七、离心率
e
c b2 1 2 (e 1) a a
学生活动：请同学们对比焦点 x 在轴上 的双曲线的性质，找出焦点在 y 轴上的 双曲线的性质
例题讲解
例1、求双曲线 的实轴长、虚轴长、焦点和顶 点坐标、离心率及渐近线方程。 a 4 ，离心率 例2、（1）已知双曲线焦点在 x 轴上， 3 为 2 ，求双曲线的标准方程 （2）已知双曲线离心率为 2 ，且过点 P(0, 2) ，求双曲线 的标准方程 5 （3）已知双曲线虚轴长12 ，离心率为 4 ，求双曲线的标 准方程
双曲线的几何性质
情景引入：
我们前面学习了椭圆的性质的研究。请同 学们回忆一下，椭圆有哪些几何性质
椭圆（焦点在轴上）
标准方程
x2 y 2 1(a b 0) a 2 b2
y B2 M x A1 F1 O B1 F2 A2
图象
焦点 范围 对称性 顶点 离心率
F1 (c,0), F2 (c,0) (其中叫焦距)
(其中 F F 叫焦距)
1 2
四、范围 由方程
x2 y 2 1 a 2 b2
可知，双曲线上任一点
( x, y )
的坐标都满足
x2 y 2 1 1 a 2 b2
所以
x2 1 a2
即
xa
或
x a
五、渐近线
y
b x a
六、顶点 B (0, b), B (0.b) (其中叫 A A 2a 双 B B 2b 曲线的实轴， a 叫实半轴长； b 叫虚半轴长；) 叫双曲线的虚轴，