人教版数学【选修】作业：抛物线及其标准方程(含答案)

§2.3 抛物线

2.3.1 抛物线及其标准方程

课时目标 1.掌握抛物线的定义、四种不同标准形式的抛物线方程、准线、焦点坐标及对应的几何图形.2.会利用定义求抛物线方程．

1．抛物线的定义

平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )距离________的点的轨迹叫做抛物线，点F 叫做抛物线的________，直线l 叫做抛物线的________．

2．抛物线的标准方程 (1)方程y 2＝±2px ，x 2＝±2py (p >0)叫做抛物线的________方程．

(2)抛物线y 2

＝2px (p >0)的焦点坐标是__________，准线方程是__________，开口方向________．

(3)抛物线y 2＝－2px (p >0)的焦点坐标是____________，准线方程是__________，开口方向________．

(4)抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点坐标是________，准线方程是__________，开口方向________．

(5)抛物线x 2＝－2py (p >0)的焦点坐标是________，准线方程是________，开口方向________．

一、选择题

1．抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点到其准线的距离是( ) A.|a |4 B.|a |2 C ．|a | D ．－a 2

2．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x 轴，焦点在双曲线x 24－y 2

2

＝1上，则抛物线方

程为( )

A ．y 2＝8x

B ．y 2＝4x

C ．y 2＝2x

D ．y 2＝±8x

3．抛物线y 2＝2px (p >0)上一点M 到焦点的距离是a (a >p

2

)，则点M 的横坐标是( )

A ．a ＋p 2

B ．a －p

2

C ．a ＋p

D ．a －p

4．过点M (2,4)作与抛物线y 2＝8x 只有一个公共点的直线l 有( ) A ．0条 B ．1条 C ．2条 D ．3条

5．已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )

A ．x ＝1

B ．x ＝－1

C ．x ＝2

D ．x ＝－2

6．设抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，过点M (3，0)的直线与抛物线相交于A ，B 两点，与

抛物线的准线相交于点C ，|BF |＝2，则△BCF 与△ACF 的面积之比S △BCF

S △ACF

等于( )

A ．45

B ．23

C ．47

D ．12

7．抛物线x 2＋12y ＝0的准线方程是__________． 8．若动点P 在y ＝2x 2＋1上，则点P 与点Q (0，－1)连线中点的轨迹方程是__________．

9．已知抛物线x 2

＝y ＋1上一定点A (－1,0)和两动点P ，Q ，当P A ⊥PQ 时，点Q 的横坐标的取值范围是______________．

三、解答题

10．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x 轴，抛物线上的点M (－3，m )到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m 的值，并写出抛物线的焦点坐标和准线方程．

11．求焦点在x 轴上且截直线2x －y ＋1＝0所得弦长为15的抛物线的标准方程．

能力提升

12．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆(x －3)2＋y 2＝16相切，则p 的值为( )

A ．1

2

B ．1

C ．2

D ．4

13．求与圆(x －3)2＋y 2＝9外切，且与y 轴相切的动圆圆心的轨迹方程．

1．四个标准方程的区分：焦点在一次项字母对应的坐标轴上，开口方向由一次项系数的符号确定．当系数为正时，开口方向为坐标轴的正方向；系数为负时，开口方向为坐标轴的负方向．

2．焦点在y 轴上的抛物线的标准方程x 2＝2py 通常又可以写成y ＝ax 2，这与以前学习的二次函数的解析式是完全一致的，但需要注意的是，由方程y ＝ax 2来求其焦点和准线时，必须先化成标准形式．

§2.3 抛物线

2．3.1 抛物线及其标准方程

答案

知识梳理

1．相等 焦点 准线

2．(1)标准 (2)(p 2，0) x ＝－p

2

向右

(3)(－p 2，0) x ＝p

2 向左

(4)(0，p 2) y ＝－p

2 向上

(5)(0，－p 2) y ＝p

2

向下

作业设计

1．B [因为y 2＝ax ，所以p ＝|a |2，即该抛物线的焦点到其准线的距离为|a |

2

，故选B.]

2．D [由题意知抛物线的焦点为双曲线x 24－y

22

＝1的顶点，即为(－2,0)或(2,0)，所以抛

物线的方程为y 2＝8x 或y 2

＝－8x .]

3．B [由抛物线的定义知：点M 到焦点的距离a 等于点M 到抛物线的准线x ＝－p

2

的

距离，所以点M 的横坐标即点M 到y 轴的距离为a －p

2

.]

4．C [容易发现点M (2,4)在抛物线y 2＝8x 上，这样l 过M 点且与x 轴平行时，或者l 在M 点处与抛物线相切时，l 与抛物线有一个公共点，故选C.]

5．B [∵y 2＝2px 的焦点坐标为(p

2

，0)，

∴过焦点且斜率为1的直线方程为y ＝x －p 2，即x ＝y ＋p

2

，将其代入y 2＝2px 得

y 2＝2py ＋p 2，即y 2－2py －p 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2p ，∴y 1＋y 2

2

＝p

＝2，∴抛物线的方程为y 2＝4x ，其准线方程为x ＝－1.]

6．A [如图所示，设过点M (3，0)的直线方程为y ＝k (x －3)，代入y 2＝2x 并整理， 得k 2x 2－(23k 2＋2)x ＋3k 2＝0，

则x 1＋x 2＝23k 2

＋2

k 2

.

因为|BF |＝2，所以|BB ′|＝2.

不妨设x 2＝2－12＝3

2

是方程的一个根，