数学九年级上学期《一元二次方程》单元测试题带答案

九年级上册数学《一元二次方程》单元测试卷
（满分120分,考试用时120分钟）
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.1.下列方程是关于x的一元二次方程的是( )
A . A x2＋
B x＋
C ＝0 B . ＝2 C . x2＋2x＝y2－1
D . 3(x＋1)2＝2(x＋1)
2.2.一元二次方程(x－5)2＝x－5的解是( )
A . x＝5
B . x＝6
C . x＝0
D . x1＝5,x2＝6
3.3.一元二次方程x2－2x＋1＝0的根的情况为( )
A . 有两个相等的实数根
B . 有两个不相等的实数根
C . 只有一个实数根
D . 没有实数根
4.4.已知关于x的一元二次方程x2－B x＋C ＝0的两根分别为x1＝1,x2＝－2,则B 与C 的值分别为( )
A .
B ＝－1,
C ＝2 B . B ＝1,C ＝－2 C . B ＝1,C ＝2
D . B ＝－1,C ＝－2
5.5.用配方法解方程x2＋10x＋9＝0,配方后可得( )
A . (x＋5)2＝16
B . (x＋5)2＝1
C . (x＋10)2＝91
D . (x＋10)2＝109
6.6.如图,老师出示了小黑板上的题目后,小敏回答：“方程有一根为4”,小聪回答：“方程有一根为－1”．则你认为（）
A . 只有小敏回答正确
B . 只有小聪回答正确
C . 小敏、小聪回答都正确
D . 小敏、小聪回答都不正确
7.7.当x取何值时,代数式x2－6x－3的值最小( )
A . 0
B . －3
C . 3
D . －9
8.8.将一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为3 C m的小正方形,做成一个无盖的盒子,已知盒子的容积为300 C m3,则原铁皮的边长为( )
A . 10 C m
B . 13
C m C . 14 C m
D . 16 C m
9.9.关于x的一元二次方程(m－2)x2＋(2m＋1)x＋m－2＝0有两个不相等的正实数根,则m的取值范围是( )
A . m＞
B . m＞且m≠2
C . －＜m＜2
D . ＜m＜2
10.10.已知,是关于的一元二次方程的两个不相等的实根,且满足,则的值
是（）
A . 3或
B . 3
C . 1
D . 或1
二、填空题(每小题4分,共24分)
11.11.把方程3x(x－1)＝(x＋2)(x－2)＋9化成A x2＋B x＋C ＝0的形式为________________．
12.12.解一元二次方程x2＋2x－3＝0时,可转化为解两个一元一次方程,请写出其中的一个一元一次方程
__________．
13.13.已知实数A ,B 是方程x2－x－1＝0的两根,则的值为________．
14.14.六一儿童节当天,某班同学每人向本班其他每个同学送一份小礼品,全班共互送306份小礼品,则该班有_________名同学．
15.15.在一幅长8分米,宽6分米的矩形风景画（如图①）的四周镶宽度相同的金色纸边,制成一幅矩形挂图（如图②）．如果要使整个挂图的面积是80平方分米,求金色纸边的宽．设金色纸边的宽为x分米,请根据题意列出方程：．
16.16.三角形的每条边的长都是方程x2－6x＋8＝0的根,则三角形的周长是__________．
三、解答题(共46分)
17.17.我们已经学习了一元二次方程的四种解法：因式分解法、直接开平方法、配方法和公式法．请选择合适的方法解下列方程．
(1)x2－3x＋1＝0；
(2)(x－1)2＝3；
(3)x2－3x＝0；
(4)x2－2x＝4.
18.18.关于x的一元二次方程x2－3x－k＝0有两个不相等的实数根．
(1)求k的取值范围；
(2)请选择一个k的负整数值,并求出方程的根．
19.19.某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本,其中固定成本每年均为4万元,可变成本逐年增长,
已知该养殖户第1年的可变成本为2.6万元,设可变成本平均每年增长的百分率为x.
(1)用含x的代数式表示第3年的可变成本为______________万元；
(2)如果该养殖户第3年的养殖成本为7.146万元,求可变成本平均每年增长的百分率x.
20.20.某批发商以每件50元的价格购进800件T恤．第一个月以单价80元销售,售出了200件；第二个月如果单价不变,预计仍可售出200件,批发商为增加销售量,决定降价销售,根据市场调查,单价每降低1元,可多售出10件,但最低单价应高于购进的价格；第二个月结束后,批发商将对剩余的T恤一次性清仓销售,清仓时单价为40元．设第二个月单价降低x元．
(1)填表(不需化简)．
(2)如果批发商希望通过销售这批T恤获利9 000元,那么第二个月的单价应是多少元？
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.1.下列方程是关于x的一元二次方程的是()
A . A x2＋
B x＋
C ＝0 B . ＝2 C . x2＋2x＝y2－1
D . 3(x＋1)2＝2(x＋1)
[答案]D
[解析]
[分析]
本题根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证,满足这四个条件者为正确答案.
[详解]解：A . 当二次项系数A =0时,该方程不是一元二次方程；故本选项错误；
B . 该方程属于分式方程,不是整式方程；故本选项错误；
C . 该方程是二元二次方程,故此选项错误；
D . 该方程是只含有一个未知数,且未知数的最高次数是2的整式方程；故本选项正确；
故选：D ．
[点睛]本题主要考查的是一元二次方程的定义,熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
2.2.一元二次方程(x－5)2＝x－5的解是()
A . x＝5
B . x＝6
C . x＝0
D . x1＝5,x2＝6
[答案]D
[解析]
试题解析：方程变形得：（x-5）2-（x-5）=0,
分解因式得：（x-5）（x-5-1）=0,
解得：x1=5,x2=6．
故选D ．
3.3.一元二次方程x2－2x＋1＝0的根的情况为()
A . 有两个相等的实数根
B . 有两个不相等的实数根
C . 只有一个实数根
D . 没有实数根
[答案]A
[解析]
∵A =1,B =−2,C =1,
∴△=B 2−4A C =(−2)2−4×1×1=0,
∴方程有两个相等的实数根。

故选：A .
4.4.已知关于x的一元二次方程x2－B x＋C ＝0的两根分别为x1＝1,x2＝－2,则B 与C 的值分别为()
A .
B ＝－1,
C ＝2 B . B ＝1,C ＝－2 C . B ＝1,C ＝2
D . B ＝－1,C ＝－2
[答案]D
[解析]
∵关于x的一元二次方程x2－B x＋C ＝0的两根分别为x1＝1,x2＝－2,∴x1＋x2＝B ＝1＋（－2）＝－1,x1·x2＝C ＝1×（－2）＝－2,∴B ＝－1,C ＝－2.
5.5.用配方法解方程x2＋10x＋9＝0,配方后可得()
A . (x＋5)2＝16
B . (x＋5)2＝1
C . (x＋10)2＝91
D . (x＋10)2＝109
[答案]A
[解析]
6.6.如图,老师出示了小黑板上的题目后,小敏回答：“方程有一根为4”,小聪回答：“方程有一根为－1”．则你认为（）
A . 只有小敏回答正确
B . 只有小聪回答正确
C . 小敏、小聪回答都正确
D . 小敏、小聪回答都不正确
[答案]C
[解析]
试题解析：设x1,x2是方程的两根,
∵x1x2=k+1=-4,
∴k=-5,
把k=-5代入原方程可得x2-3x+4=0,
解方程可得x1=-1,x2=4．
即小敏,小聪回答都正确．
7.7.当x取何值时,代数式x2－6x－3的值最小()
A . 0
B . －3
C . 3
D . －9
[答案]C
[解析]
x2－6x－3= x2－6x+32－32－3=（x－3）2－12,当x=3时,此时（x－3）2－12最小为－12.
故选C .
点睛：掌握配方法的应用以及偶次方的非负性.
8.8.将一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为3 C m的小正方形,做成一个无盖的盒子,已知盒子的容积为300 C m3,则原铁皮的边长为()
A . 10 C m
B . 13
C m C . 14 C m
D . 16 C m
[答案]D
[解析]
试题分析：设原铁皮的边长为xC m,则(x－6)(x－6)×3=300,解得：x=16或x=－4(舍去),即原铁皮的边长为16C m. 考点：一元二次方程的应用
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9.9.关于x的一元二次方程(m－2)x2＋(2m＋1)x＋m－2＝0有两个不相等的正实数根,则m的取值范围是()
A . m＞
B . m＞且m≠2
C . －＜m＜2
D . ＜m＜2
[答案]D
[解析]
试题分析：根据题意得且△=,解得且,
设方程的两根为A 、B ,则=,,而,∴,即,∴m的取值范围为．故选D ．
考点：1．根的判别式；2．一元二次方程的定义．
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10.10.已知,是关于的一元二次方程的两个不相等的实根,且满足,则的
A . 3或
B . 3
C . 1
D . 或1
[答案]B
[解析]
试题分析：∵α,β是关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2=0的两个不相等的实数根,
∴根据一元二次方程根与系数的关系,得α+β=﹣（2m+3）,αβ=m2。

∵,即,∴,即m2﹣2m﹣3=0。

解得,m=3或m=﹣1。

又∵由方程x2+（2m+3）x+m2=0根的判别式解得,
∴m=﹣1不合题意,舍去。

∴m=3。

故选B 。

二、填空题(每小题4分,共24分)
11.11.把方程3x(x－1)＝(x＋2)(x－2)＋9化成A x2＋B x＋C ＝0的形式为________________．
[答案]2x2－3x－5＝0
[解析]
去括号得3x2－3x=x2－4+9,移项,得2x2－3x－5=0.
故答案为2x2－3x－5=0.
点睛：平方差公式：A 2－B 2=（A +B ）（A －B ）.
12.12.解一元二次方程x2＋2x－3＝0时,可转化为解两个一元一次方程,请写出其中的一个一元一次方程__________．
[答案]x＋3＝0(或x－1＝0)
[解析]
试题分析：把方程左边分解,则原方程可化为x﹣1=0或x+3=0．
解：（x﹣1）（x+3）=0,
x﹣1=0或x+3=0．
故答案为x﹣1=0或x+3=0．
考点：解一元二次方程-因式分解法．
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13.13.已知实数A ,B 是方程x2－x－1＝0的两根,则的值为________．
[答案]－3
[解析]
试题解析：∵实数A ,B 是方程x2-x-1=0的两根,
∴A +B =1,A B =-1,
∴．
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14.14.六一儿童节当天,某班同学每人向本班其他每个同学送一份小礼品,全班共互送306份小礼品,则该班有_________名同学．
[答案]18
[解析]
试题解析：设该班有名x学生,则有x（x-1）=306,
解之,得：x1=18,x2=-17（舍去）．
故该班有18名学生．
点睛：每位同学向本班的其他同学赠送自己制作的小礼物1件,则x位同学时,每位同学赠送（x-1）件．15.15.在一幅长8分米,宽6分米的矩形风景画（如图①）的四周镶宽度相同的金色纸边,制成一幅矩形挂图（如图②）．如果要使整个挂图的面积是80平方分米,求金色纸边的宽．设金色纸边的宽为x分米,请根据题意列出方程：．
[答案]．
[解析]
试题解析：设金色纸边的宽为x分米,则矩形挂图的长为（2x+8）分米,宽为（2x+6）分米,根据等量关系：矩形挂图的长×宽=80,列出方程：（2x+6）（2x+8）=80．
16.16.三角形的每条边的长都是方程x2－6x＋8＝0的根,则三角形的周长是__________．
[答案]6或10或12
[解析]
试题分析：首先用因式分解法求得方程的根,再根据三角形的每条边的长都是方程x2﹣6x+8=0的根,进行分情况计算．
试题解析：由方程x2﹣6x+8=0,得x=2或4．
当三角形的三边是2,2,2时,则周长是6；
当三角形的三边是4,4,4时,则周长是12；
当三角形的三边长是2,2,4时,2+2=4,不符合三角形的三边关系,应舍去；
当三角形的三边是4,4,2时,则三角形的周长是4+4+2=10．
综上所述此三角形的周长是6或12或10．
考点: 1.解一元二次方程-因式分解法；2.三角形三边关系.
三、解答题(共46分)
17.17.我们已经学习了一元二次方程的四种解法：因式分解法、直接开平方法、配方法和公式法．请选择合适的方法解下列方程．
(1)x2－3x＋1＝0；
(2)(x－1)2＝3；
(3)x2－3x＝0；
(4)x2－2x＝4.
[答案]方程(1)用公式法解：x1＝,x2＝.
方程(2)用直接开平方法解：x1＝－＋1,x2＝＋1.
方程(3)用因式分解法解：x1＝0,x2＝3.
方程(4)用配方法解：x1＝－＋1,x2＝＋1.
[解析]
试题分析：（1）利用公式法即可解决问题；
（2）直接开方法即可解决问题；
（3）利用因式分解法即可解决问题；
（4）利用配方法即可解决问题；
试题解析：（1）x2-3x+1=0,
∴A =1,B =-3,C =1,
∵△=9-4=5,
∴x1=,x2=．
（2）（x-1）2=3,
∴x-1=±,
∴x1=1+,x2=1-．
（3）∵x2-3x=0,
∴x（x-3）=0,
∴x=0或x-3=0,
∴x1=,0,x2=3．
（4）∵x2-2x=4,
∴x2-2x+1=4+1,
∴（x-1）2=5,
∴∴x1=1+,x2=1-．
18.18.关于x的一元二次方程x2－3x－k＝0有两个不相等的实数根．
(1)求k的取值范围；
(2)请选择一个k的负整数值,并求出方程的根．
[答案](1) k>－；(2) x1＝,x2＝；x3＝2,x4＝1.
[解析]
试题分析：（1）利用根的判别式＞0,解不等式即可；（2）根据（1）中结果,选取k的值,代入方程,解方程即可,答案不唯一．
试题解析：（1）因为关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
所以＞0,所以；（2）因为；所以取k=-2,所以方程变为,解得；取k=-1,所以方程变为,解得．
考点：根的判别式、解一元二次方程．
19.19.某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本,其中固定成本每年均为4万元,可变成本逐年增长,已知该养殖户第1年的可变成本为2.6万元,设可变成本平均每年增长的百分率为x.
(1)用含x的代数式表示第3年的可变成本为______________万元；
(2)如果该养殖户第3年的养殖成本为7.146万元,求可变成本平均每年增长的百分率x.
[答案](1)2.6(1＋x)2；(2)可变成本平均每年增长的百分率为10%.
[解析]
试题分析：
(1) 将基本等量关系“本年的可变成本=前一年的可变成本+本年可变成本的增长量”以及“本年可变成本的增长量=前一年的可变成本×可变成本平均每年增长的百分率”综合整理可得：本年的可变成本=前一年的可变成本×(1+可变成本平均每年增长的百分率). 根据这一新的等量关系可以由第1年的可变成本依次递推求出第2年以及第3年的可变成本.
(2) 由题意知,第3年的养殖成本=第3年的固定成本+第3年的可变成本. 现已知固定成本每年均为4万元,在第(1)小题中已求得第3年的可变成本与x的关系式,故根据上述养殖成本的等量关系,容易列出关于x的方程,解方程即可得到x的值.
试题解析：
(1) ∵该养殖户第1年的可变成本为2.6万元,
又∵该养殖户的可变成本平均每年增长的百分率为x,
∴该养殖户第2年的可变成本为：2.6(1+x) (万元),
∴该养殖户第3年的可变成本为：[2.6(1+x)](1+x)=2.6(1+x)2 (万元).
故本小题应填：2.6(1+x)2.
(2) 根据题意以及第(1)小题的结论,可列关于x的方程：
4+2.6(1+x)2=7.146
解此方程,得
x1=0.1,x2=-2.1,
由于x为可变成本平均每年增长的百分率,x2=-2.1不合题意,故x的值应为0.1,即10%.
答：可变成本平均每年增长的百分率为10%.
点睛：
本题考查了一元二次方程相关应用题中的“平均增长率”型问题. 对“平均增长率”意义的理解是这类应用题的难点. 这类实际问题中某量的增长一般分为两个阶段且每个阶段的实际增长率不同. 假设该量的值在保持某一增长率不变的前提下由原值增长两次,若所得的最终值与实际的最终值相同,则这一不变的增长率就是该量的“平均增长率”.
视频
20.20.某批发商以每件50元的价格购进800件T恤．第一个月以单价80元销售,售出了200件；第二个月如果单价不变,预计仍可售出200件,批发商为增加销售量,决定降价销售,根据市场调查,单价每降低1元,可
多售出10件,但最低单价应高于购进的价格；第二个月结束后,批发商将对剩余的T恤一次性清仓销售,清仓时单价为40元．设第二个月单价降低x元．
(1)填表(不需化简)．
(2)如果批发商希望通过销售这批T恤获利9 000元,那么第二个月的单价应是多少元？
[答案](1)80－x,200＋10x,800－200－(200＋10x)；(2)第二个月的单价应是70元．
[解析]
试题分析：（1）80﹣x,200+10x,800﹣200﹣
（2）根据题意,得
80×200+（80﹣x）（200+10x）+40[800﹣200﹣（200+10x）]﹣50×800=9000
整理得10x2﹣200x+1000=0,
即x2﹣20x+100=0,
解得x1=x2=10
当x=10时,80﹣x=70＞50
答：第二个月的单价应是70元．
考点：一元二次方程的应用．。