高等数学(高教版)第八章λ 矩阵第五节

因子，因而它们相似.
反之，如果两个矩阵相似，
则它们有相同的不变因子，因而它们有相同的初
等因子.
综上所述，即得：
定理 8 两个同级复数矩阵相似的充分必要条
是它们有相同的初等因子.
三、初等因子的求法
初等因子和不变因子都是矩阵的相似不变量. 但是初等因子的求法与不变因子的求法比较，反而 方便一些.
在介绍直接求初等因子的方法之前，先来说明 关于多项式的最大公因式的一个性质：
第五节 初等因子
主要内容
定义 不变因子与初等因子的关系 初等因子的求法 举例
一、定义
在这一节与下一节中我们假定讨论中的数域 P 是复数域.
上面已经看到，不变因子是矩阵的相似不变量. 为了得到若尔当标准形，再引入
定义 7 把矩阵 A (或线性变换 A ) 的每个次
数大于零的不变因子分解成互不相同的一次因式方 幂的乘积，所有这些一次因式方幂(相同的必须按
h1()

D(
)

ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ

h2 ()


,
hn ()
其中每个 hi() 的最高项系数都为 1 .
将 hi() 分
解成互不相同的一次因式方幂的乘积：
hi
()

(

)ki1 1
(

2
) ki 2
(

r
)kir
(i 1,2,, n) ,
我们现在要证明的是，对于每个相同的一次
出现的次数计算) 称为矩阵 A (或线性变换 A )的
初等因子.
例 设 12 级矩阵的不变因子是
1, 1, … , 1 , ( - 1 )2 , ( - 1 )2 ( + 1 ) ,
9个
( - 1 )2 ( + 1 )( 2 + 1 )2 .
按定义，它的初等因子有 7 个，即
如果多项式 f1()， f2() 都与 g1()， g2() 互
素，则
(f1()g1() , f2()g2())=(f1() , f2())(g1() , g2()).
事实上，令
( f1()g1() , f2()g2()) = d() , ( f1() , f2()) = d1() , ( g1() , g2()) = d2() .
所以
d() | d1() d2() .
于是
d() = d1() d2() .
证毕
引理 设
A( )


f1 ( ) g1 ( )
0
B()


f2 ()g1()
0
0
f2 ()g2 () ,
0
f1()g2 () ,
如果多项式 f1()， f2() 都与 g1()， g2() 互素，
gi
(
)
(

1
0 ) ki1,1
gi1
(
)

与
等价.
( 1)ki1,1 gi ()
0


0
(

)ki1 1
g i 1 (
)

从而 D() 与对角矩阵
( 1)k11 g1()





D1
(
)




( 1)ki1,1 gi ()
(
j )kij
|
(
)ki1, j j
(i 1,2,n 1; j 1,2,, r) .
因此在 d1() , d2() , … , dn() 的分解式中，属于同
一个一次因式的方幂的指数有递升的性质，即
k1j k2j … knj (j = 1, 2, … , r) .
是 A 的全部初等因子.
( j )kij 就
为方便起见，先对 - 1 的方幂进行讨论.
令
gi () ( 2 )ki2 ( 3)ki3 ( r )kir
(i 1,2,, n),
于是
hi
()

(

)ki1 1
gi
(
)
,
i 1,2,, n ,
设一个 n 级
矩阵的全部初等因子为已知，在全部初等因子中将
同一个一次因式 ( - j) (j = 1, 2, … , r) 的方幂的
那些初等因子按降幂排列，而且当这些初等因子的
个数不足 n 时，就在后面补上适当个数的 1，使得
凑成 n 个. 设所得排列为
( j )knj , ( j )kn1, j ,, ( j )k1 j
其中 f () | f1() , g() | g1() .
由于
( f1() , g2()) = 1 ,
故
( f () , g2()) = 1 .
由 f () | f2() g2() 又得 f () | f2()，因而
f () | d1() .
同理 g() | d2() .
这说明，同一个一次因式的方幂作成的初等因子中
方次最高的必定出现在 dn() 的分解式中，方次次
高的必定出现在 dn-1() 的分解式中.
如此顺推下
去，可知属于同一个一次因式的方幂的初等因子
在不变因子的分解式中出现的位置是唯一确定的.
上面的分析给了我们一个如何从初等因子和矩
阵的级数唯一地作出不变因子的方法.
r 3, n 5 .
例 3 求下列矩阵的不变因子，行列式因子与
初等因子
4 2 5 (1) 6 4 9 ;
5 3 7
2 1 3 (2) 6 3 9 .
4 2 6
本若请本若请本若请节想本若单请节想本若单请节想本若单内请结节想击本若单内请结节想击本 本若 若单内请 请结节想击本 本容若 若单束内请 请结返节想击本 本容若 若单束内请 请结返节 节想 想击本 本容若 若单单束内请 请结返节节已想 想击本本容若单单束回内请结返节节已想 想击本本容若单单束回内 内请结 结返节 节已想 想击击本本容若单单束回内内结请结 结返堂节已想击击本按本容若单束回内内结请结 结返堂节已想击击本按本容 容若单束 束回内 内结请结 结返返堂节已想击击本按容容束单束 束课回内结结返返堂钮节已想击本按容容束单束 束课回内结结返返堂钮节已 已想击本 本按容 容束单束 束课回回内结结返返堂钮已已击本 本按,容束束回回课.内结结!返堂钮已已击本 本按,容束束回课回.内结 结结!返堂 堂钮已 已本 本击按按,容束束课回回.结结!返堂 堂钮已本按按,容束束课回.结结!返堂 堂钮已本按按,容束 束束课 课回.结 结!堂 堂返钮钮已本按按,束束课 课回.结!堂钮钮已本按,束束课 课回.结!堂钮钮已本按,,束束课 课回..结!!堂钮钮按,,束课..结!!堂钮按,,束课..结!!堂钮按,,束课..!!钮,束课.!钮,束课.!钮,.!,.!,.!
所以
证毕
下面的定理给了我们一个求初等因子的方法，
它不必事先知道不变因子.
定理 9 首先用初等变换化特征矩阵 E - A
为对角形式，然后将主对角线上的元素分解成互不
相同的一次因式方幂的乘积，
则所有这些一次因
式的方幂(相同的按出现的次数计算)就是 A 的全
部初等因子.
证明 设 E - A 已用初等变换化为对角形

例 2 已知 - 矩阵 A() 的初等因子，秩 r 与
阶数 n ，求 A() 的标准形.
(1) 2, ( 2)2 , ( 2)3 , 2 , ( 2)3 ;
r 4, n 4 ;
(2) 1, ( 1)2, ( 1)3, 2, ( 2)2;
显然，
d1() | d() , d2() | d() . 由于 ( f1() , g1()) = 1 , 故 ( d1() , d2() ) = 1，因 而 d1() d2() | d() .
另一方面，由于
可令
d() | f1() g1() ,
d() = f () g () ,
( - 1 )2 , ( - 1 )2 , ( - 1 )2 , ( + 1 ) , ( + 1 ) ,
( - i )2 , ( + i )2 . 其中 ( - 1 )2 出现三次， + 1 出现二次.
二、不变因子与初等因子的关系
首先，假设 n 级矩阵 A 的不变因子
因式的方幂
( j )k1 j , ( j )k2 j ,, ( j )knj
( j 1,2,, r)
在 D() 的主对角线上按递升幂次排列后，得到的
新对角矩阵 D () 与 D() 等价.
此时 D () 就是
E - A 的标准形而且所有不为 1 的
( ) 而且每个
1 ki1 都与 gj() (j = 1, 2, …, n) 互
素. 如果有相邻的一对指数 ki1 > ki+1,1 , 则在 D()
( ) ( ) 中将
ki1 与 1
ki1,1 对调位置，而 1
其余因式保持不动.
根据

(

1
)ki1 0

( 1)ki1 gi1()


( 1)kn1 gn ()
等价. 然后对 D1() 作如上的讨论.
如此继续进行
直到对角矩阵主对角线上元素所含 - 1 的方幂是
按递升幂次排列为止.
依次对 - 2 , … , - r 作
同样处理，最后便得到与 D() 等价的对角矩阵
d1() , d2() , … , dn()
为已知. 将 di() (i =1, 2, … , n) 分解成互不相同
的一次因式方幂的乘积：
d1() (

)k11 1
(

2
) k12
(
r )k1r
,
d2 () ( 1)k21 ( 2 )k22 ( r )k2r ,

dn () ( 1)kn1 ( 2 )kn2 ( r )knr ,
则其中对应于 kij 1 的那些方幂
( j )kij (kij 1)
就是 A 的全部初等因子.
我们注意到不变因子有
一个除尽一个的性质，即
从而
di() | di+1() (i =1, 2, … , n - 1) ,
D () ，它的主对角线上所含每个相同的一次因式
的方幂，都是按递升幂次排列的.
证明
四、举例
例 1 求下列 - 矩阵的初等因子.
2 2 3
22 3 5

2 2
1 2 1
0
2 2 3
2 3 4 .
1
( j 1,2,, r) .
于是令
di () ( 1)ki1 ( 2 )ki2 ( r )kir
(i 1,2,, n) ,
则 d1() , d2() , … , dn() 就是 A 的不变因子.
这也说明了这样一个事实：如果两个同级的数
字矩阵有相同的初等因子，则它们就有相同的不变
则 A() 和 B() 等价.
证明 显然， A() 和 B() 有相同的二级行
列式因子. 而 A() 和 B() 的一级行列式因子分别
为
d() =( f1()g1() , f2()g2()) d () =( f2()g1() , f1()g2()) . 由上面的讨论知道， d() 和 d () 是相等的，因 而 A() 和 B() 也有相同的一级行列式因子. A() 和 B() 等价.