江苏省如皋中学2015-2016学年高二下学期第二次阶段检测理数试题解析(解析版)含解斩

一、填空题（本大题共14小题，每题5分，满分70分．）
1.设集合{1,0,1}A =-，2
{|0}
B x x x =+≤，则A
B =
__________.
【答案】{1,0}- 【解析】
试题分析：由2
{|0}
B x x
x =+≤得}01{≤≤-=x B ，故A
B ={1,0}
-。

考点:集合的交集运算和二次不等式的解法. 2。

一质点的运动方程为2
()2S t t t
=+,则该质点在1t =时的瞬时
速度为__________。

【答案】4 【解析】
试题分析：因2
()2S t t
t
=+，故22)(/
+=t t S
，所以瞬时速度为
422)1(/=+==S V .
考点：导数的意义.
3. 若集合{}1,sin A θ=，1,22
B ⎧⎫=⎨⎬⎩
⎭
，则"56πθ=
"是”12A B ⎧⎫
=⎨⎬
⎩⎭
”的
__________条件．（请在“充要、充分不必要、必要不充分、既不充分也不必要”中选择一个填空） 【答案】充分不必要
考点：充分必要条件的判定. 4。

函数12
()log (1)
f x x =-的定义域为__________。

【答案】(1,2] 【解析】
试题分析：由0)1(log 2
1≥-x 可得110≤-<x ，即21≤<x ,故应填
答案(1,2].
考点:对数函数的性质． 5。

曲线3
2123
y x
x x
=-+的所有切线中，斜率最小的切线的方
程为__________。

【答案】3310x y -+=
考点：导数的几何意义．
6。

函数()(3)x
f x x e =-的单调增区间是__________。

【答案】(2,)+∞ 【解析】
试题分析：因x x x e x e x e x f
)2()3()(/
-=-+=，
故由0)2()(/>-=x e x x f 可得2>x ，故单调增区间是(2,)+∞。

考点:导数在研究函数的单调性中的运用. 7。

若函数2
()(21)12f x x a x a
=+-+-在区间(1,0)-及1(0,)2
内各有一个零点,则实数a 的取值范围是
__________。

【答案】13
(,)24
【解析】
试题分析：由题设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><>-0)21(0)0(0)1(f f f ,即⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
>+-<->-0
45
0210
43a a a ，解之得43
21<<a ，即实数的取值范围是)4
3,21(。

考点：二次函数图象及运用． 8。

设集合{A x y =，{}(0)m B y y x m x A x
==+>∈R
，，
若B ，则m 取值范围是
__________. 【答案】(1,9)
【解析】
试题分析：由于),3[]1,(}034|{2
+∞-∞=≥+-= x x x A ,因此
)3,1(=A C R
，又由B 可知关于x 的方程m x
m
x 2=+
在)3,1(上有解，即0)(2=-
m x 在)3,1(上有解,所以2x m =在)3,1(上有解，
故
)9,1(∈m .
考点：二次不等式、函数方程思想．
【易错点晴】本题借助元素与集合之间的关系，建立了关于x 的方程，然后再将问题转化为在给定区间)3,1(上有解的问题，最后在运用函数方程思想将问题进一步的转化与化归，通过求函数2
x y =在区间)3,1(上值域，从而将
问题解决，体现了先抽象概括,再运用所学知识进行分析求解的转化与化归的数学思想的巧妙运用. 9。

已知1
12
2
log
(4)log (32)
x y x y ++<+-，若x y λ-<恒成立，则λ的取
值范围是________. 【答案】[10,)+∞
考点：对数函数的性质、不等式的性质及恒成立问题的解法.
10.已知正实数,x y 满足14
1223x y x y
+=++,则x y +的最小值为__________. 【答案】94
【解析】
试题分析：因y
x y y
x y y
x y x y x y x y x y x
++
+
+-
=+++++=⋅+=+242132)
(421)(，
令t x
y =+1,则y
x y
b y x y a ++
=+-
=2,2，则4,0,0=+>>b a b a ，所以144a b a b
x y a b a b +++=
+=+ 55914444b a a b =++≥+=，当且仅当b a =2时，即x y 2=时取等号。

考点：基本不等式及运用。

【易错点晴】本题考查的是基本不等式的灵活运用.解答本题的难点是如何将问题进行合理的转化与化归。

求解时先巧妙的换元，即令t x
y =+1，再将其进行巧妙的变
形，最后凑成基本不等式的运用情境,从而使问题巧妙地获解.解答本题的难点在于如何观察出分式中的分母
2y
a x y =-
+，2y b x y
=++的和为定值，也是解答本题的关键。

11.若函数()y f x =的图象关于y 轴对称，且当(,0)x ∈-∞时，
()()0
f x x f x '+⋅<成立。

已知 0.20.2(2)(2)
a f =⋅，(log
3)(log 3)b f π
π=⋅,33(log 9)(log 9)
c f =⋅，则a 、b 、c 的
大小关系是 _____. 【答案】c a b <<
考点:导数在函数的单调性中的运用、指数、对数函数的性质．
【易错点晴】本题考查导函数在解决实际问题中的运用。

求解时先将题设中的条件()()0f x x f x '+⋅<逆向转化为函数)()(x xf x F =的导数，再结合已知判断出该函数的单调性,从而将问题进行了合理化归与转化,进而通过分析比较三个数9log 23log 032
.0<<<π的大小关系，
最后借助函数的单调性比较出了
)9(log )2()3(log 32.0F F F <<π的大小关系,即比较出了c b a ,,的大小
关系.
12.关于x 的不等式2
130
ax x a -++≥的解集为R ,则实数a 的取
值范围是__________.
【答案】1[,)2+∞
【解析】
试题分析：若0≤a ，则0|1|≤+x ，不合题意。

则0>a .若01<+x ，则0132
≥+++a x ax
在R 上恒成立，故0)13(41≤+-a a ,解之得6
1
≥
a ；若01≥+x ，则0132
≥-+-a x ax
在R 上恒成立,故0)13(41≤--a a ,解
之得2
1≥a ；综上所求实数a 的取值范围是1[,)2+∞.
考点：二次不等式、二次函数的综合运用．
13。

已知函数()y f x =是定义域为R 的偶函数. 当0x ≥时,
161(),02()2
log ,2
x
x f x x x ⎧≤<⎪=⎨⎪≥⎩，若关
于x 的方程2
[()]()0(,)
f x a f x b a b R +⋅+=∈有且只有7个不同实数
根，则实数a 的取值范围是_____。

【答案】5(2,)4
--
考点：数形结合的思想、转化化归的思想及分析问题解决问题的能力。

【易错点晴】本题通过分段函数为背景设置了方程有解的前提下求参数的取值范围问题考查的是函数的图像与方程的根之间的联系与数形结合的思想的运用.解答时应充分借助分段函数的图象的直观，从图中不难看出当1)(=x f 且)1,4
1()(∈x f 时方程2
[()]
()0(,)
f x a f x b a b R +⋅+=∈有且只有
7个不同实数根，从而将问题进行合理转化,最后获解,
整个解答过程中充满数学思想方法的运用.
14。

设函数()2f x x c =+，()x g x ae =的图象的一个公共点为()2,P t ，且曲线()y f x =,
()
y g x =在点P 处有相同的切线，函数
()()
f x
g x -的负零点在区间(),1k k +()k ∈Z ,则k =__________。

【答案】1- 【解析】
试题分析:因x ae x g x x f
==)(,2)(//
，故由题设42=ae ，又
t ae c ==+24,所以4t =,0c =，2
4a e =，即22
4)(,)(-==x e x g x
x f ，所以
令22
4)()()(--=-=x e x
x g x f x h ，由于24(0)0h e =-
<，3
4(1)10h e -=->，因此在区间)0,1(-必有一个负零点，所以1-=k 。

考点：函数的零点、导数的几何意义。

【易错点晴】本题将函数与方程的思想与数形结合的思想有机地结合在一起，综合考查学生的数学思想的灵活运用和运用所学知识去分析问题和解决问题的能力。

解答过程中首先借助两曲线的切线相同,建立方程求出函数解析式中的参数c a ,，运用整体思想求出了函数的解析式,最后再将问题转化为判断函数2
2
4)()()(--=-=x e x x g x f x h 的零点所在的区间问题.
二、解答题（本大题共6小题,共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.（本题满分14分） 已知命题
p
：
2[1,2],0
x x a ∀∈-≥;命题
q
：
x R
∃∈ ,使得
2(1)10
x a x +-+<.若p q ∨为真，p q ∧
为假,求实数a 的取值范围． 【答案】[1,1]
(3,)
-+∞．
考点：复合命题的真假及运用.
【易错点晴】本题所给的条件是两个命题q p ,含“或”、“且”复合命题p q ∨,p q ∧的真假,以此来分析推断出命题
q p ,的真假，然后建立不等式求解。

解答的过程中由“p q
∨为真，p q ∧为假”可以推知：命题q p ,必有一个为真.若p 真
q 假,则可得不等式组⎩⎨
⎧≤≤-≤3
11
a a ，即11≤≤-a ；若p 假q 真，
则可得不等式组⎩⎨
⎧>-<>3
11
ora a a ,即3>a ，最后再将其整合即可
获得答案。

16。

(本题满分14分) 已知不等式2
364
ax
x -+>的解集为(,1)
(,)
b -∞+∞，a 、b R ∈。

(1）求实数a 、b 的值； （2)解不等式2
()0
ax
ac b x bc -++<。

【答案】（1)2,1==b a ；（2) ①2c >,{}2x x c <<; ②2c <,{}2x c x <<；
③2c =,∅．
考点：二次函数、二次方程及之间的关系． 17。

(本题满分15分)
已知某公司生产品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件，须另投入2。

7万元,设该公司
年内共生产品牌服装x 千件并全部销售完，每1千件的销售收入为()R x 万元，且
()22110.8,01030
1081000,103x x R x x x
x ⎧
-<≤⎪⎪=⎨
⎪->⎪⎩．
(1）写出年利润W （万元)关于年产量x （千件）的函数解析式；
（2)当年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大？
【答案】（1）
31
8.110,010******** 2.7,103x x x W x x x ⎧--<≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+> ⎪⎪⎝⎭⎩；(2） 9．
考点：函数关系的建构及运用二次函数、导数、基本不等式求最值的方法.
【易错点晴】应用题是江苏高考必考的基本题型之一,这类问题的求解首先要认真阅读题意，真正理解和领悟
问题中所提供的有用信息,进而进行抽象概括,建构切合实际的数学模型(函数、不等式、方程数列等等)，然后再运用所学知识,采用合适的数学思想和方法去分析解决所建构的数学模型，通过对问题中数学模型的求解,回答实际应用问题中所要解决的问题。

最后务必要作答，这是解答数学应用题的不可缺少的步骤。

18.（本题满分15分)
已知函数()ln 3()f x a x ax a R =--∈．
（1）当0a >时，求函数()f x 的单调区间;
（2)若函数()y f x =的图象在点(2,(2))f 处的切线的倾斜角为45︒，且函数
21()()2g x x nx mf x '=
++(,)m n R ∈当且仅当在1x =处取得极值，其中()f x '为()f x 的导函数，求
实数m 的取值范围。

【答案】（1） 函数()f x 的单调增区间为(0,1)，单调减区间为(1,)+∞；（2) (,0]-∞．
考点：函数的求导公式、不等式的解法及不等式恒成立的条件的运用．
19。

（本题满分16分)
已知函数2()32log f x x =-，2
()log g x x =. （1）如果[1,4]x ∈，求函数()(()1)()h x f x g x =+⋅的值域;
（2)求函数()()()()()2
f x
g x f x g x M x +--=的最大值； （3）如果对任意[1,4]x ∈不等式2()()()f x f x k g x ⋅>⋅恒成立,求实数k 的取值范围．
【答案】（1) [0,2];(2) 1;（3）(,3)-∞-．
【解析】
试题分析：(1)先运用换元法转化函数与变量之间的关系,再运用二次函数的知识求解；（2）分段求出函数的最值，然后再求出最大值;（3）借助不等式恒成立的条件简陋不等式求解即可。

考点：换元法、二次函数、基本不等式及分类整合的数学思想．
20.(本题满分16分）
设函数1()|||1|x x f x e a e
=-+-，其中a 、x R ∈，e 是自然对数的底数， 2.71828e =⋅⋅⋅.
（1）当0a =时，解不等式()2f x <;
（2）求函数()f x 的单调区间；
（3）若43
a ≥，讨论关于x 的方程1(())4f f x =的解的个数． 【答案】(1） 3515(ln ,ln )-+；（2)当1a ≤时,()f x 在区间(,0)-∞上单调递减，在区间(0,)+∞上单调递增；当1a >时，()f x 在区间(,ln )a -∞上单调递减，在区间(ln ,)a +∞上单调递增；（3)当4
3
a >时，原方程无解；当43
a =时，原方程有两个不同的实数解．
②当01a<<时,
1
1,0,
1
()1,ln0,
1
1,ln.
x
x
x
x
x
x
e a x
e
f x e a a x
e
e a x a
e
⎧
--+≥
⎪
⎪
⎪
=+--<<
⎨
⎪
⎪
-++-≤
⎪
⎩
仿①得()f x在(,ln)a
-∞和(ln,0)a上单调递减,在(0,)+∞上单调递增.
即()f x在区间(,0)
-∞上单调递减，在区间(0,)+∞上单调递增；------——---—--—-—--—-——-6分
③当1a=时，
1
,0, ()
1
,0,
x
x
x
x
e x
e
f x
e x
e
⎧
-≥
⎪⎪
=⎨
⎪-<
⎪⎩
考点：指数对数函数的图象和性质及分类整合的数学思想与方法．。