北京市北京二中分校2018-2019年第一学期初三月考数学试卷(含答案)

北京市北京二中分校2018-2019年第一学期初三月考数学试卷
一、选择题（每小题2分，共16分）
1．下列安全标志图中，是中心对称图形的是（）
A．B．C．D．
2．以下事件为必然事件的是（）
A．掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数是0
B．多边形的内角和是360°
C．二次函数的图象必过原点
D．半径为2的圆的周长是4π
3．将二次函数y＝x2﹣6x+5用配方法化成y＝（x﹣h）2+k的形式，下列结果中正确的是（）
A．y＝（x﹣6）2+5 B．y＝（x﹣3）2+5 C．y＝（x﹣3）2﹣4 D．y＝（x+3）2﹣9 4．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，CD⊥AB于D，则△CBD与△ABC的周长比是（）
A．B．C．D．
5．如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的两点，若AB＝14，BC＝7．则∠BDC的度数是（）
A．15°B．30°C．45°D．60°
6．已知点A（x
1，y
1
），B（x
2
，y
2
）是反比例函数y＝的图象时的两点，若x
1
＜0＜x
2
，则
下列结论正确的是（）
A．y
1＜0＜y
2
B．y
2
＜0＜y
1
C．y
1
＜y
2
＜0 D．y
2
＜y
1
＜0
7．网球单打比赛场地宽度为8米，长度在球网的两侧各为12米，球网高度为0.9米（如图AB的高度）．中网比赛中，某运动员退出场地在距球网14米的D点处接球，设计打出直线穿越球，使球落在对方底线上C处，用刁钻的落点牵制对方．在这次进攻过程中，为保证战术成功，该运动员击球点高度至少为（）
A．1.65米B．1.75米C．1.85米D．1.95米
8．两个少年在绿茵场上游戏．小红从点A出发沿线段AB运动到点B，小兰从点C出发，以相同的速度沿⊙O逆时针运动一周回到点C，两人的运动路线如图1所示，其中AC＝DB．两人同时开始运动，直到都停止运动时游戏结束，其间他们与点C的距离y与时间x（单位：秒）的对应关系如图2所示．则下列说法正确的是（）
A．小红的运动路程比小兰的长
B．两人分别在1.09秒和7.49秒的时刻相遇
C．当小红运动到点D的时候，小兰已经经过了点D
D．在4.84秒时，两人的距离正好等于⊙O的半径
二、填空题（每小题2分，共16分）
9．已知反比例函数y＝（k是常数，且k≠0）的图象在第二、四象限，请写出一个符合条件的反比例函数表达式．
10．如图，已知扇形的半径为3cm，圆心角为120°，则扇形的面积为cm2．（结果保留π）
11．在某一时刻，测得一根高为2m的竹竿的影长为1m，同时测得一栋建筑物的影长为12m，那么这栋建筑物的高度为m．
12．若二次函数y＝x2﹣6x+m与x轴有两个不同交点，则m的取值范围是．13．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转，点B的对应点为点E，点A的对应点为点D，当点E 恰好落在边AC上时，连接AD，若∠ACB＝30°，则∠DAC的度数是．
14．如图，边长为a的正方形发生形变后成为边长为a的菱形，如果这个菱形的一组对边之间的距离为h，记＝k，我们把k叫做这个菱形的“形变度”．若变形后的菱形有一个角是60°，则形变度k＝．
15．已知函数y＝x2﹣2x﹣3，当﹣1≤x≤a时，函数的最小值是﹣4，则实数a的取值范围是．
16．如图，⊙O的半径为3，A，P两点在⊙O上，点B在⊙O内，tan∠APB＝，AB⊥AP．如果OB⊥OP，那么OB的长为．
三、解答题
17．（6分）阅读下面材料：
在数学课上，老师提出如下问题：尺规作图：作已知角的角平分线．已知：如图，∠BAC．求作：∠BAC的角平分线AP．
小欣的作法如下：
（1）如图，在平面内任取一点O；
（2）以点O为圆心，AO为半径作圆，交射线AB于点D，交射线AC于点E；
（3）连接DE，过点O作射线OP垂直于线段DE，交⊙O于点P；
（4）过点P作射线AP．
所以射线A P为所求
根据小欣设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：∵OP⊥DE
∴＝（）（填推理的依据），
∴∠BAP＝（）（填推理的依据）．
18．（6分）计算：cos30°﹣sin60°+2sin45°•tan45°．
19．（6分）如图，AB∥CD，AC与BD的交点为E，∠ABE＝∠ACB．
（1）求证：△ABE∽△ACB；
（2）如果AB＝6，AE＝4，求AC，CD的长．
20．（6分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（3，3），点B（4，0），点C（0，﹣1）．（1）以点C为中心，把△ABC逆时针旋转90°，画出旋转后的图形△A′B′C；
（2）在（1）中的条件下，
①点A经过的路径的长为（结果保留π）；
②写出点B′的坐标为．
21．（6分）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y＝（x＜0）的图象与直线y＝x+2交于点A（﹣3，m）．
（1）求k，m的值；
（2）已知点P（a，b）是直线y＝x上位于第三象限的点，过点P作平行于x轴的直线，交直线y＝x+2于点M，过点P作平行于y轴的直线，交函数y＝（x＜0）的图象于点N．
①当a＝﹣1时，判断线段PM与PN的数量关系，并说明理由；
②若PN≥PM，结合函数的图象，直接写出b的取值范围．
22．（6分）如图所示是两张形状、大小相同但是画面不同的图片，把两张图片从中间剪断，再把四张形状相同的小图片 （ 标注 a 、b 、c 、d ） 混合在一起，从四张图片中随机摸取一张，接 着再随机摸取一张，则这两张小图片恰好合成一张完整图片的概率是多少？
23．（6分）如图，△ABC 内接于⊙O ，AD 是⊙O 直径，E 是CB 延长线上一点，且∠BAE ＝∠C ． （1）求证：直线AE 是⊙O 的切线； （2）若EB ＝AB ，cos E ＝
，AE ＝24，求EB 的长及⊙O 的半径．
24．（6分）有这样一个问题：探究函数y ＝﹣x 的图象与性质．
小东根据学习函数的经验，对函数y ＝
﹣
x 的图象与性质进行了探究．
下面是小东的探究过程，请补充完整，并解决相关问题： （1）函数y ＝
﹣
x 的自变量x
的取值范围是 ；
（2）下表是y 与x 的几组对应值，求m 的值；
2 ﹣ 1 ﹣
﹣
﹣
（3）如图，在平面直角坐标系xOy 中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描
出的点，画出该函数的图象；
（4）进一步探究发现，该函数图象在第二象限内的最低点的坐标是（﹣2，），结合函数的图象，写出该函数的其它性质（一条即可）．
（5）根据函数图象估算方程﹣x＝2的根为．（精确到0.1）
25．（6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线M：y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A（﹣1，0），且顶点坐标为B（0，1）．
（1）求抛物线M的函数表达式；
（2）设F（t，0）为x轴正半轴上一点，将抛物线M绕点F旋转180°得到抛物线M
1
．
①抛物线M
1的顶点B
1
的坐标为；
②当抛物线M
1
与线段AB有公共点时，结合函数的图象，求t的取值范围．
26．（7分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．在平面内任取一点D，连结AD（AD ＜AB），将线段AD绕点A逆时针旋转90°，得到线段AE，连结DE，CE，BD．
（1）请根据题意补全图1；
（2）猜测BD和CE的数量关系并证明；
（3）作射线BD，CE交于点P，把△ADE绕点A旋转，当∠EAC＝90°，AB＝2，AD＝1时，补全图形，直接写出PB的长．
27．（7分）在平面直角坐标系xOy 中，点P 的坐标为（x 1，y 1），点Q 的坐标为（x 2，y 2），且x 1≠x 2，y 1≠y 2，若PQ 为某个等腰三角形的腰，且该等腰三角形的底边与x 轴平行，则称该等腰三角形为点P ，Q 的“相关等腰三角形”．下图为点P ，Q 的“相关等腰三角形”的示意图．
（1）已知点A 的坐标为（0，1），点B 的坐标为，则点A ，B 的“相关等腰
三角形”的顶角为 °； （2）若点C 的坐标为
，点D 在直线y ＝4
上，且C ，D 的“相关等腰三角形”
为等边三角形，求直线CD 的表达式； （3）⊙O 的半径为
，点N 在双曲线y ＝﹣
上．若在⊙O 上存在一点M ，使得点M 、N
的“相关等腰三角形”为直角三角形，直接写出点N 的横坐标x N 的取值范围．
参考答案一、选择题
1． B．
2． D．
3． C．
4． D．
5． B．
6． A．
7． D．
8． D．
二、填空题
9．答案为：y＝﹣．
10．解：由S＝知
S＝×π×32＝3πcm2．
11．解：设这栋建筑物的高度为xm，
由题意得，＝，
解得x＝24，
即这栋建筑物的高度为24m．
故答案为：24．
12．解：∵二次函数y＝x2﹣6x+m与x轴有两个不同交点，∴（﹣6）2﹣4×1×m＞0，
解得，m＜9，
故答案为：m＜9．
13．解：由旋转的性质可知
△ABC≌△CED
∴AC＝CD，∠ECD＝∠ACB＝30°
∴∠DAC＝∠ADC＝75°
故答案为75°
14．解：由题意得，∠B＝60°，
在Rt△ABC中，∠B＝60°，
∴h＝AC＝AB sin∠B＝a，
∴k＝＝．
故答案为：．
15．解：函数y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4的图象是开口朝上且以x＝1为对称轴的抛物线，当且仅当x＝1时，函数取最小值﹣4，
∵函数y＝x2﹣2x﹣3，当﹣1≤x≤a时，函数的最小值是﹣4，
∴a≥1，
故答案为：a≥1
16．解：如图，连接OA，作AM⊥OB交OB的延长线于M，作PN⊥MA交MA的延长线于N．则四边形POMN是矩形．
∵∠POB＝∠PAB＝90°，
∴P、O、B、A四点共圆，
∴∠AOB＝∠APB，
∴tan∠AOM＝tan∠APB＝＝，设AM＝4k，OM＝3k，
在Rt△OMA中，（4k）2+（3k）2＝32，
解得k＝（负根已经舍弃），
∴AM＝，OM＝，AN＝MN﹣AM＝
∵∠MAB+∠ABM＝90°，∠MAB+∠PAN＝90°，
∴∠ABM＝∠PAN，∵∠AMB＝∠PNA＝90°，
∴＝，
∴＝，
∴BM＝，
∴OB＝OM﹣BM＝1．
故答案为1
三、解答题（17-25每题6分，26-27每题7分
17．解：（1）作图如下：
（2）证明：作图依据是：从画法（1）（2）可知点A、D、E为以点O为圆心，AO为半径的圆上的点，
∴∠DAE为圆O的圆周角，DE为弦
从画法（3）可知半径OP垂直于弦DE，
∵OPDE
∴＝（垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧），
∴∠DAP＝∠CAP（等弧或同弧所对的圆周角相等），
即∠BAP＝∠CAP，
故AP是∠BAC的角平分线（角平分线的定义）．
故答案为；垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧；∠CAP；等弧所对圆周角相等．
18．解：原式＝﹣+2××1
＝．
19．证明：（1）∵∠ABE＝∠ACB，∠A＝∠A，
（2）∵△ABE∽△ACB，
∴，
∴AB2＝AC•AE，
∵AB＝6，AE＝4，
∴AC＝，
∵AB∥CD，
∴△CDE∽△ABE，
∴，
∴．
20．解：（1）如图所示，△A′B′C即为所求；
（2）①∵AC＝＝5，∠ACA′＝90°，
∴点A经过的路径的长为＝，
故答案为：；
②由图知点B′的坐标为（﹣1，3），
故答案为：（﹣1，3）．
21．解：（1）∵函数y＝（x＜0）的图象与直线y＝x+2交于点A（﹣3，m），∴m＝﹣3+2＝﹣1，即A（﹣3，﹣1），
∴k＝﹣1×（﹣3）＝3，
则k的值是3，m的值是﹣1；
（2）①当a＝﹣1时，
∵点P（a，b）是直线y＝x上，
∴P（﹣1，﹣1），
令y＝﹣1，代入y＝x+2，x＝﹣3，
∴M（﹣3，﹣1），即PM＝2，
令x＝﹣1，代入y＝（x＜0），y＝﹣3，
∴N（﹣1，﹣3），即PN＝2，
∴PM＝PN；
②当PN≥PM，结合函数的图象得：b的取值范围为﹣1≤b＜0或b≤﹣3．
22．解：列表如下：
所有等可能的情况有12种；其中两张小图片恰好合成一张完整图片的情况数目有4种，所以两张小图片恰好合成一张完整图片的概率＝＝．
23．（1）证明：连接BD．
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ABD＝90°．
∴∠1+∠D＝90°．
∵∠C＝∠D，∠C＝∠BAE，
∴∠D＝∠BAE．
∴∠1+∠BAE＝90°．
即∠DAE＝90°．
∵AD是⊙O的直径，
∴直线AE是⊙O的切线．
（2）解：过点B作BF⊥AE于点F，则∠BFE＝90°．
∵EB＝AB，
∴∠E＝∠BAE，EF＝AE＝×24＝12．
∵∠BFE＝90°，，
∴＝15．
∴AB＝15．
由（1）∠D＝∠BAE，又∠E＝∠BAE，
∴∠D＝∠E．
∵∠ABD＝90°，
∴．
设BD＝4k，则AD＝5k．
在Rt△ABD中，∠ABD＝90°，由勾股定理得：
AB＝＝3k，可求得k＝5．
∴AD＝25．
∴⊙O的半径为．
24．解：（1）函数y＝﹣x的自变量x的取值范围是：x≠0，故答案为：x≠0；
（2）把x＝4代入y＝﹣x得，y＝﹣×4＝﹣，∴m＝﹣，
（3）如图所示
，
（4）当x＞0时，y随x的增大而减小；
故答案为当x＞0时，y随x的增大而减小；（5）由图象，得
x 1＝0.8，x
2
＝﹣1.2，x
3
＝﹣3.9．
故答案为：x
1＝0.8，x
2
＝﹣1.2，x
3
＝﹣3.9．
25．解：（1）由抛物线M的顶点坐标为B（0，1），设抛物线的解析式为y＝ax2+1，将A（﹣1，2）代入解析式，得a×（﹣1）2+1＝0，
解得a＝﹣1，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+1，
（2）①由旋转的性质，得
B
1
（x，y）与B（0，1）关于F（t，0）对称，
＝t，＝0，
解得x＝2t，y＝﹣1，
B
1
（2t，﹣1）；
故答案为：（2t，﹣1）；
②如图1，
由题意，得顶点是B
1
（2t，﹣1），二次项系数为1，
∴抛物线M 1的解析式为y ＝（x ﹣2t ）2﹣1 （t ＞0）， 当抛物线M 1经过A （﹣1，0），时（﹣1﹣t ）2﹣1＝0， 解得t 1＝﹣1，t 2＝0．
当抛物线M 1经过B （0，1）时， （2t ）2﹣1＝1， 解得t ＝
，
结合图象分析，∵t ＞0，
∴当抛物线M 1与线段AB 有公共点时，t 的取值范围0＜t ≤．
26．解：（1）如图1
（2）BD 和CE 的数量是：BD ＝CE ； ∵∠DAB +∠BAE ＝∠CAE +∠BAE ＝90°， ∴∠DAB ＝∠CAE ， ∵AD ＝AE ，AB ＝AC ， ∴△ABD ≌△ACE ， ∴BD ＝CE ．
（3）结论：PB 的长是
或
．
理由：①由△ACE ≌△ABD ，可知：∠ACE ＝∠ABD ， ∵∠AEC ＝∠BEP ，
∴∠BPE ＝∠EAC ＝90°，∵∠PBE ＝∠ABD ，
∴△BPE∽△BAD，
∴＝，
∴＝，
∴BP＝．
②由△BPE∽△BAD，
∴＝，
∴＝，
∴PB＝．
27．解：（1）如图1中，
∵A的坐标为（0，1），点B的坐标为，
∴点A，B的“相关等腰三角形”△ABC的当C（，0）或（﹣2，1），∵tan∠BAO＝＝，
∴∠BAO＝∠CAO＝60°，
∴∠BAC＝∠ABC′＝120°，
故答案为120．
（2）如图2中，设直线y＝4交y轴于F（0，4），
∵C（0，），
∴CF＝3，
∵且C，D的“相关等腰三角形”为等边三角形，
∴∠CDF＝∠CD′F＝60°，
∴DF＝FD′＝3•tan30°＝3，
∴D（3，4），D′（﹣3，4），
∴直线CD的解析式为y＝x+，或y＝﹣x+．（3）如图3中，
∵点M、N的“相关等腰三角形”为直角三角形，
∴直线MN与x轴的夹角为45°，
可以假设直线MN的解析式为y＝﹣x+b，
当直线与⊙O相切于点M时，易知b＝±2，
∴直线MN的解析式为y＝﹣x+2或y＝﹣x﹣2，
由，解得或，
∴N（﹣1，3），N′（3，1），
由解得或，
∴N
1（﹣3，1），N
2
（1，﹣3），
观察图象可知满足条件的点N的横坐标的取值范围为：﹣3≤x N≤﹣1或1≤x N≤3．。