江西省南昌市十所省重点中学命制高三数学第二次模拟突

南昌市十所省重点中学2016年二模突破冲刺交流试卷（09）
高三数学（理）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1、已知集合{}
R y y x M =∈=，{
}2
R y y x
N =∈=，则M N =I （ ）
A ．R
B ．∅
C ．[)0,+∞
D ．()0,+∞
2、2
21i i ⎛⎫= ⎪-⎝⎭
（ ）
A ．2i -
B ．4i -
C ．2i
D ．4i 3、设数列{a n }满足a 1＋2a 2＝3，且对任意的n ∈N *
，点列{P n (n ，a n )}恒满足
1n n P P +u u u u u u r
＝(1,2)，则数列{a n }的前n 项和S n 为( )．
A ．3()4n n -
B ．4()3n n -
C ．2()3n n -
D ．1()2
n n -
4、在一组样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )(n ≥2，x 1，x 2，…，x n 不全相等)的散点图中，若所
有样本点(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )都在直线y ＝—1
2
x ＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为 ( )
A ．－1
B ．0 C.—1
2
D ．1
5、已知圆2
2
2410x y x y +-++=和两坐标轴的公共点分别为A ，B ，C ，则C ∆AB 的面积为（ ） A ．4 B ．2 C ．23 D ．3 6、执行如图所示的程序框图，输出2015
2016
s =
，那么判断框内应填（ ） A ．2015?k ≤ B ．2016?k ≤ C ．2015?k ≥ D ．2016?k ≥
7、已知不等式组110x y x y y +≤⎧⎪
-≥-⎨⎪≥⎩
所表示的平面区域为D ，若直线3
y kx =-与平
面区域D 有公共点，则k 的取值范围是（ ）
A ．[]3,3-
B ．11,,33⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝
⎦⎣⎭U C ．(][),33,-∞-+∞U D ．11,33
⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
8、()
421x x x ⎛⎫
+- ⎪⎝⎭
的展开式中x 的系数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．12
9、已知函数2sin y x =的定义域为[],a b ，值域为[]2,1-，则b a -的值不可能是（ ）
A ．53π
B ．
76π C ．π D ．56
π 10．已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积
2
2
是（ ）3
cm
A ．2
B ．4
C ．6
D ． 12
11、如图所示，圆O 为正三角形C AB 的内切圆，P 为圆O 上一点，向量
C x y AP =AB +A u u u r u u u r u u u r
，则x y +的取值范围为（ ）
A ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B ．1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦
C ．1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦
D ．11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦
12、下图展示了一个由区间()0,1到实数集R 的映射过程：区间()0,1中的实数m 对应数轴上的点M （点A 对应实数0，点B 对应实数1）
，如图①；将线段AB 围成一个圆，使两端点A 、B 恰好重合，如图②；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y 轴上，点A 的坐标为()0,1，在图形变化过程中，图①中线段AM 的长度对应于图③中的弧D A M 的长度，如图③，图③中直线AM 与x 轴交于点(),0n N ，则
m 的象就是n ，记作()f m n =．给出下列命题：①114f ⎛⎫
= ⎪⎝⎭；②
102f ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
；③()f x 是奇函数；④()f x 在定义域上单调递增，则所有真命题的序号是（ ）
A ．①②
B ．②③
C ．①④
D ．②④
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
13、若命题“R x ∃∈，使得2
2390x ax -+<成立”为假命题，则实数a 的取值范围是 ． 14、中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线C 的两条渐近线与圆()2
2
21x y -+=都相切，则双曲线C 的
离心率是 ．
15、如图，空间四边形CD AB 中，C D 45∠A =o
，
15
cos C ∠A B =，C 1510A =+，D 25A =，C 6B =．若点E 在线段C A 上运动，则D EB+E 的最小值为 ．
16、设函数()()()
222
ln 2f x x a x a =-+-，其中0x >，R a ∈，存在0x 使得()045
f x ≤
成立，则实数a 的值为
三、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.（理）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知13a =，133n n S S +=+ *
()n N ∈，
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若1n n n
n b a a +=-，求数列{}n b 的前n 项和为n T ，*
n N ∈.
18．(12分)为了解春季昼夜温差大小与某种子发芽多少之间的关系，现在4月份的30天都记录了每天昼夜温差与每天每100颗种子浸泡后的发芽数，从中随机挑选了5天进行分析研究，得到如下表格：
日期 4月1日 4月7日 4月15日
4月21日
4月30日
温差x /℃ 10 11 13 12 8 发芽数y /颗
23
25
30
26
16
(1)请根据4月7日、15日和21日的三天数据，求出y 关于x 的线性回归方程y ^
＝b ^
x ＋a ^
； (2)若某天种子发芽率不低于
1
4
，则称该天种子发芽情况为“长势喜人”。

根据表中5天的数据，以频率为概率，估计4月份的整体种子发芽情况。

若在4月份中随机挑选3天，记“长势喜人”的天数为X ，求X 的分布列及数学期望。

⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫参考公式：b ^＝∑n i ＝1x i y i －n x － y －
∑n
i ＝1x 2i －n x －
2
，a ^＝y －－b ^ x －
19.(本题满分为12分)如图，已知四棱锥P ABCD -的底面为菱形，120BCD ∠=o ，2AB PC ==
，
AP BP ==（Ⅰ）求证：AB PC ⊥；
（Ⅱ）求二面角B PC D --的余弦值.
20、在直角坐标系xOy 中，设点A (－1,0)，B (1,0)，Q 为△ABC 的外心．已知CG →＋2OG →
＝0，QG ∥AB ． (1)求点C 的轨迹Γ的方程；
(2)设经过F (0，2)的直线交轨迹Γ于点E ，H ，直线EH 与直线l ：y ＝32
2交于点M ，点P 是直线y
＝2上异于点F 的任意一点．若直线PE ，PH ，PM 的斜率分别为k 1，k 2，k 3，问是否存在实数t ，使得1k 1＋1
k 2
＝t k 3
？若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由．
21、已知函数()()
222ln 2f x x x x ax =-++.
（1）当1a =-时，求()f x 在点()()
1,1f 处的切线方程；
（2）当0a >时，设函数()()2g x f x x =--，且函数()g x 有且仅有一个零点，若2e x e -<<，
()g x m ≤，求m 的取值范围.
A
D
C
B
P
请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号． 22. (本小题满分10分) 选修4-1：几何证明选讲
如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，D 是AC 上一点，以AD 为直径作⊙O 交AB 于点G .
(1)证明：B 、C 、D 、G 四点共圆；
(2)过点C 作⊙O 的切线CP ，切点为P ，连接OP ，作PH ⊥AD 于H ，若CH ＝165，OH ＝9
5，求CD ·CA 的值．
23. (本小题满分10分) 选修4-4：坐标系与参数方程
已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x 轴非负半轴重合，直线l 的参数方程为：⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝－1＋3
2t y ＝12t
(t 为参数)，曲线C 的极坐标方程为：ρ＝4cos θ.
(1)写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； (2)设直线l 与曲线C 相交于P ，Q 两点，求|PQ |的值． 24. (本小题满分10分) 选修4-5：不等式选讲
已知函数()|1|2|1|f x m x x =---+.
（1）当5m =时，求不等式()2f x >的解集；
（2）若二次函数2
23y x x =++与函数()y f x =的图象恒有公共点，求实数m 的取值范围.
数学（理）参考答案
一、选择题 (本大题共12小题，每小题5分，共60分)．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案
C
A
B
A
D
A
C
C
A
B
B
D
二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）
13. 22,22⎡⎤-⎣⎦
14．
23
或2 15． 7
16．
1
5
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17. (12分)
解：（1）133n n S S +=+，当2n ≥时，133n n S S -=+，两式相减，得：13n n a a +=（2n ≥）
又13a =，代入133n n S S +=+得29a = 3n n a ∴= ()n N +
∈………………………………6分
（2）1n n n n b a a +=
-133n n n +=-123
n n
=g ………………………………7分
231123()23333n n n T =
+++L 2341111231()3233333n n n n n T +-=++++L 23412111111()32333333
n n n n
T +∴=++++-L …………………………10分 解得：36
243n n
n T +=-g ……………………………………12分 18. (12分)
解：(1)由数据得，另3天的平均数x －
＝12，y －
＝27，3 x － y －
＝972，3 x －2
＝432，∑3i ＝1x i y i ＝977，∑3
i ＝1x 2
i ＝434， 所以b ^
＝977－972434－432＝5
2
， ………………………3分
a ^
＝27－52
×12＝－3，
所以y 关于x 的线性回归方程为
y ^
＝52
x －3. ………………………6分
(2)依题意得，选出的5天中，“长势喜人”的天数为3天.所以某一天为“长势喜人”的概率为
3
=5
P （长势喜人） ………………………8分
X 的所有可能取值为0，1，2，3.
030
3238=C ()()55125P =
（X=0） 1213
2336
=C ()()55125
P =（X=1） 212
32354=C ()()55125P =
（X=2） 3033
2327
=C ()()55125
P =（X=3） X 0 1
2 3 P
8125 36125 54125 27125 (3)5X B Q :，,355
EX ∴=⨯= ………………………………………12分
19. (12分)
解析：（Ⅰ）证明：取AB 的中点O ，连接,PO CO AC ，． ∵AP BP =，∴PO AB ⊥
又四边形ABCD 是菱形，且120BCD ∠=︒， ∴ACB V 是等边三角形，∴CO AB ⊥ 又CO PO O =I ，∴AB PCO ⊥平面，
又PC PCO ⊂平面，∴AB PC ⊥ ……………………………………6分
（Ⅱ）由2AB PC ==，2AP BP ==1PO =，3OC =
∴222OP OC PC +=，OP OC ⊥
以O 为坐标原点，以OC ，OB ，OP 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直坐标系O xyz -， 则(0,1,0)B ，(3,0,0)C ，(0,0,1)P ，3,2,0)D -，
∴3,1,0)BC =-u u u r ，(3,0,1)PC =-u u u r ，(0,2,0)DC =u u u r
设平面DCP 的一个法向量为1(1,,)n y z =u r ，则1n PC ⊥u r u u u r ，1n DC ⊥u r u u u r
，
∴1
1
30
20
n PC z
n DC y
⎧⋅=-=
⎪
⎨
⋅==
⎪⎩
u r u u u r
u r u u u r，∴3
z=，0
y=，∴
1
(1,0,3)
n=
u r
…………………………8分
设平面BCP的一个法向量为
2
(1,,)
n b c
=
u u r
，则
2
n PC
⊥
u u r u u u r
，
2
n BC
⊥
u u r u u u r
，
∴2
2
30
30
n PC c
n BC b
⎧⋅=-=
⎪
⎨
⋅=-=
⎪⎩
u u r u u u r
u u r u u u r，∴3
c=，3
b=，∴
2
(1,3,3)
n=
u u r
…………………10分
∴12
12
12
427
cos,
7
||||27
n n
n n
n n
⋅
<>===
⋅⨯
u r u u r
u r u u r
u r u u r，
∵二面角B PC D
--为钝角，∴二面角B PC D
--的余弦值为
27
7
-………………12分20. (12分)
解： (1)设C(x，y)，∵CG
→
＋2OG
→
＝0，∴G(
x
3
，
y
3
)，
设Q(x1，y1)，∵Q为△ABC的外心，
∴Q在线段AB的中垂线上，
∴x1＝0，
又QG∥AB，∴y1＝
y′
3
，
∴Q(0，
y
3
)，
根据|QA|＝|QC|，得x2＋
y2
3
＝1(y≠0)．……………………………5分
(2)当直线EF的斜率不存在时，t＝2.
设直线EF的斜率为k，则直线EH的方程为y＝kx＋2，
点M坐标为(
2
2k
，
32
2
)．
把直线方程代入椭圆方程3x2＋y2＝3并整理，
得(k2＋3)x2＋22kx－1＝0，……………………………7分
设E(x1，y1)，F(x2，y2)，P(a，2)(a≠0)，
则有x1＋x2＝－
22k
k2＋3
，x1x2＝－
1
k2＋3
，…………………………………8分
所以1k 1＝x 1－a y 1－2＝x 1－a kx 1，1k 2＝x 2－a kx 2，1k 3＝1k
－2a .
又因为1k 1＋1k 2＝x 1－a kx 1＋x 2－a kx 2＝2
k
－22a ，…………………………………12分
故存在常数t ＝2符合题意．
21. (12分)
解答：（1）当a=﹣1时，f （x ）=（x 2﹣2x ）•lnx﹣x 2
+2，定义域（0，+∞）， ∴f ′（x ）=（2x ﹣2）•lnx+（x ﹣2）﹣2x ．……………………………………2分 ∴f ′（1）=﹣3， 又f （1）=1，
∴f （x ）在（1，f （1））处的切线方程3x+y ﹣4=0；…………………………4分 （2）g （x ）=f （x ）﹣x ﹣2=0， 则（x 2
﹣2x ）•lnx+ax 2
+2=x+2，即a=，…………………………6分
令h （x ）=
，
则h ′（x ）=，令t （x ）=1﹣x ﹣2lnx ，则t ′（x ）=，
∵x ＞0，∴t ′（x ）＜0，
∴t （x ）在（0，+∞）上是减函数，…………………………8分 又∵t （1）=h ′（1）=0，
∴当0＜x ＜1时，h ′（x ）＞0，当x ＞1时，h ′（x ）＜0， ∴h （x ）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减， ∴h （x ）max =h （1）=1，
∴当函数g （x ）有且仅有一个零点时a=1，
当a=1时，g （x ）=（x 2﹣2x ）•lnx+x 2
﹣x ，
若e ﹣2
＜x ＜e ，g （x ）≤m，只需证明g （x ）max ≤m， ∴g ′（x ）=（x ﹣1）（3+2lnx ）， 令g ′（x ）=0，得x=1或3
2
x e -
=
又∵e ﹣2
＜x ＜e ， ∴函数g （x ）在（e ﹣2
，32
e
-
）上单调递增，在（32
e
-
，1）上单调递减，在（1，e ）上单调递增，
又g （32
e -
）=﹣e ﹣3+232
e
-
，g （e ）=2e 2
﹣3e ， ∵g （32e -
）=﹣e ﹣3
+232
e
-
＜232
e
-＜2e ＜2e （32
e
-
）=g （e ），
∴g （32
e
-
）＜g （e ），
∴m≥2e 2
﹣3e ．…………………………………………………………12分
请考生从22、23、24题中任选一题作答（相应方框填涂）；如果多做，则按所做的第一题计分； 如果不填涂，则按22题计分。

填涂示例 □ □ □
22题 23题 24题
22．(本题满分10分)如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，D 是AC 上一点，以AD 为直径作⊙O 交AB 于点
G .
(1)证明：B 、C 、D 、G 四点共圆；
(2)过点C 作⊙O 的切线CP ，切点为P ，连接OP ，作PH ⊥AD 于H ，若CH ＝165，OH ＝9
5，求CD ·CA 的值．
解： (1)∵AD 是直径，∴∠AGD ＝90°， ∵∠BCA ＝90°，∴∠AGD ＝∠BCA ，
∴B 、C 、D 、G 四点共圆． ………………………………………………………………………5分 (2)∵CP 是⊙O 的切线，CDA 是⊙O 的割线， ∴根据切割线定理得CP 2
＝CD ·CA ， ∵∠CPO ＝90°，PH ⊥AD ， ∴根据射影定理得CP 2
＝CH ·CO ， ∵CH ＝165，CO ＝CH ＋OH ＝165＋9
5＝5，
∴
CP 2
＝CH ·CO ＝
16
5
×5＝16，∴CD ·CA ＝
16. ………………………………………………………………………10分
23．(本题满分10分)已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x 轴非负半轴重合，直线l 的参数方程为：⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝－1＋3
2
t y ＝12t
(t 为参数)，曲线C 的极坐标方程为：ρ＝4cos θ.
(1)写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； (2)设直线l 与曲线C 相交于P ，Q 两点，求|PQ |的值． 解：(1)∵ρ＝4cos θ.
∴ρ2＝4ρcos θ， 由ρ2＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x ，得x 2＋y 2＝4x ，………………………………………………………………………3分
所以曲线C 的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4，
⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1＋32t y ＝12t 消去t 解得：-3+10x y =.所以直线l 的普通方程为
-3+10x y =.…………………………5分
(2)把⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1＋32t y ＝12
t 代入x 2＋y 2＝4x . 整理得t 2－33t ＋5＝0.
设其两根分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝33，t 1t 2＝5.
所以|PQ |＝|t 1－t 2|＝t 1＋t 22－4t 1t 2＝
7.…………………………………………………………………10分
24．(本题满分10分) 选修4-5：不等式选讲
已知函数()121f x m x x =---+.
（I ）当5m =时，求不等式()2f x >的解集；
（II ）若二次函数2
23y x x =++与函数()y f x =的图象恒有公共点，求实数m 的取值范围. 解：（Ⅰ）当m=5时，，由f （x ）＞2可得 ①，或 ②，或 ③．
解①求得﹣＜x ＜﹣1，解②求得﹣1≤x＜0，解③求得x ∈∅，
易得不等式即4﹣3x ＞2 解集为
．………………………………………5分 （2）由二次函数y=x 2+2x+3=（x+1）2+2，该函数在x=﹣1取得最小值2，
因为在x=﹣1处取得最大值m ﹣2，
所以要使二次函数y=x 2
+2x+3与函数y=f （x ）的图象恒有公共点，只需m ﹣2≥2，
求得m≥4………………………………………………………………………………………………………10分。