3-(1-2)、刚体、转动动能、转动惯量26页PPT

2
2
dI 1 r2dm 2
1(R2Z2 )2dZ
2
Z r dZ
O
R
Y
I dI
X
R1(R2 Z2 )2dZ
R2
8 R5 2m R 2 m 4 R3
故刚体的动能：
E ki n 11 2 m iri2 21 2(i n 1 m iri2) 2
质量不连续分布（离散）
Ek 12(in1miri2)2
r
vi
i
m
i
M
质量连续分布 mi 0
Ek
n
lim
mi0 n
i1
12miri2
2
1( r2dm )21I2
2
2
令I r2dm
Ek
1 2
I 2
角坐标 (t)
约定
rr 沿沿逆逆时时针 针方 方向 向转 转动动
> <
0 0
角位移
(tt)(t)
角速度矢量
limd
t t0 dt
方向: 右手螺旋方向
z (t)
x
参考平面
参考轴
刚体定轴转动（一 维转动）的转动方向可 以用角速度的正负来表 示.
角加速度 d
dt
定轴转动的特点
z
>0
z
<0
1） 每一质点均作圆周运动，圆面为转动平面；
第三章 刚体的转动
3.1 刚体的定轴转动
一. 刚体
在任何情况下形状和大小都不发生变化的
力学研究对象。即每个质元之间的距离无
论运动或受外力时都保持不变。
ri j c
mj
二. 刚体运动的基本形式
mi
1.平动----刚体内任一直线的方位始终保持
不变的运动
二. 刚体运动的基本形式
1.平动----刚体内任一直线的方位始终保持
B
A
h O质
dm
dmdx
X
x dx m/L
L
求：IO
L
Io r2dm x2dm 2Lx2dx
L3 1 mL2
2
求：IBIL BL//2 2(L1r/22d 21m 2x)2(dL 2x x)L23d 3 m 13mL2
B
A
h O质
dm
dmdx
X
x dx m/L
Lቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
求IA 注意：
mh2
或：
IB
Ic
m(L)2 2
IAIc mh2
平行轴定理：刚体对任一轴A的转动惯量IA和
通过质心并与A轴平行的转
动惯量IA Ic有如IC 下关系m：d2
m为刚体的质量、
d
A
C
M
d为轴A与轴C之间的垂直距离
正交轴定理：（仅适用于薄板状刚体）
Iz Ix Iy
（z⊥x、y，xy轴在刚体平面内 Iz－绕垂直其平面的转轴的转动惯量，
Ek平
n i1
12mivi2
1 2
Mv
2 C
vc为质心 的速度
O
X
一、转动动能 刚体绕定轴以角速度旋转 刚体的动能应为各质元动能
之和，为此将刚体分割成很
r
vi
i
mi
M
多很小的质元 m 1, m 2 m i m n
任取一质元 m i距转轴 ri ，则该质元动能：
1 2 m ivi21 2 m i(ri )21 2 m iri2 2
盘，质量均为m，试分别求出对通过质心并与环
面或盘面垂直的转轴的转动惯量。
解：（2）薄圆盘
R
dr dr
r
2r
ds2rdr
dm d s2 rdr
d Ir2dm 2r3dr
2）薄圆盘
dr
r dr
2r
ds2rdr
dm d s2 rdr
d Ir2dm 2r3dr
ICm dI0R2r3dr
2
R4 4
2
m
Ek
1 2
I 2
Ek
1 2
mv2
I－转动惯量
I m i ri2 －质量不连续分布
i
r 2dm －质量连续分布
d －线分布λ＝m/ι dm ds －面分布σ＝m/S
dV －体分布ρ＝m/V
二、决定转动惯量的三因素
1）刚体的质量；
2）刚体的质量分布； （如圆环与圆盘的不同）；
3）刚体转轴的位置。 （如细棒绕中心、绕一端）
IA
r2dm L/2 (hx)2dx L/2
L3 h2L 1 mL2 mh2
12
12
IBIO1 3m2 L 1 1m 22 L m (L 2)2
IAIO(1 1m 22 Lm2)h 1 1m 22Lmh2
B
A
h O质
dm
dmdx
X
x dx m/L
L
注意：
IBIO (质 ) 心 1 3m 2 L 1 1m 22 L m (L 2)2 IAIO (质)心 (1 1m 22 L m2)h 1 1m 22 L
2） 任一质点运动,,均相同，但 v,a不同；
3） 运动描述仅需一个坐标 .
四. 角速度矢量
v r
d
dt
r dmv
3.2 转动动能 转动惯量
刚体的平动动能 其平动动能应为各质元动能和。
CYmCmMjmiCmMjmCimCMMjmCCimmmMjmCiMjmiMjmmi mvMjiiCC
B A h O质
X
例1）求质量为m,长为L的均匀细棒对下面三种
转轴的转动惯量：
转轴通过棒的中心o并与棒垂直
转轴通过棒的一端B并与棒垂直
转轴通过棒上距质心为h的一点A 并与棒垂直
B
A
h O质
dm
X
x dx
已知：L、m
求：IO、IB、IA 解：以棒中心为原点建立坐标OX、将棒分
割 成许多质元dm.
dmdx m/L
r 不变的运动
mj
ij
r r mmj immjimmjimmmj mi mjmjmij i
mi
对（1）式求导：
j
mi
Or v 选 点jj取 O ，参r iv则考 i： ia r ijj rij(a1 i)c
结论：刚体平动时，其上各点具有相同的速度、 加速度、及相同的轨迹。只要找到一点的运 动规律，刚体的运动规律便全知道了。
R2
R4
4
1 mR 2
2
例3）求一质量为m的均匀实心球对其一条直径
为轴的转动惯量。
Z Zr
解：一球绕Z轴旋转，离球
d
Z
心Z高处切一厚为dz的薄圆 盘。其半径为
O X
R
Y r R2Z2
其体积：
dV r2d Z(R 2Z2)dZ
其质量： dm dV (R 2Z2)dZ
其转动惯量：d I1r2dm 1(R2Z2)2dZ
Ix，Iy－在转动平面内两个正交轴的转动惯量。
例2）半径为R的质量均匀分布的细圆环及薄圆 盘，质量均为m，试分别求出对通过质心并与环 面或盘面垂直的转轴的转动惯量。
R
R
解：（1）细圆环 dmdl
dl
R
IC R2dm R2dl
L
R2 dlR22Rm2R
L
例2）半径为R的质量均匀分布的细圆环及薄圆
质心运动定理反映了物体的平动规律。
2.刚体的定轴转动 刚体的各质元在运动中都绕一固定轴作圆 周运动，称为刚体作定轴转动。
➢ 转动：刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运动. 转动又分定轴转动和非定轴转动 .
➢ 刚体的平面运动 .
+ ➢ 刚体的一般运动 质心的平动 绕质心的转动
三. 刚体定轴转动的特点