2018-2019数学同步新课标导学人教A版必修二通用版练习：本册综合学业质量标准检测 Word版含解析

本册综合学业质量标准检测
本检测仅供教师备用，学生书中没有
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题共60分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(2016·泰安二中高一检测)直线y ＝kx 与直线y ＝2x ＋1垂直，则k 等于导学号09025121( C ) A ．－2 B ．2 C ．－1
2
D ．13
[解析]由题意，得2k ＝－1，∴k ＝－1
2
．
2．空间中到A 、B 两点距离相等的点构成的集合是导学号09025122( B ) A ．线段AB 的中垂线 B ．线段AB 的中垂面 C ．过AB 中点的一条直线
D ．一个圆 [解析]空间中线段AB 的中垂面上的任意一点到A 、B 两点距离相等． 3．若一个三角形的平行投影仍是三角形，则下列命题：
①三角形的高线的平行投影，一定是这个三角形的平行投影的高线； ②三角形的中线的平行投影，一定是这个三角形的平行投影的中线； ③三角形的角平分线的平行投影，一定是这个三角形的平行投影的角平分线； ④三角形的中位线的平行投影，一定是这个三角形的平行投影的中位线． 其中正确的命题有导学号09025124( D ) A ．①② B ．②③ C ．③④
D ．②④
[解析]垂直线段的平行投影不一定垂直，故①错；线段的中点的平行投影仍是线段的中点，故②正确；三角形的角平分线的平行投影，不一定是角平分线，故③错；因为线段的中点的平行投影仍然是线段的中点，所以中位线的平行投影仍然是中位线，故④正确．选D ．
4．如图，在同一直角坐标系中，表示直线y ＝ax 与y ＝x ＋a 正确的是导学号09025125( C )
[解析]当a >0时，直线y ＝ax 的斜率k ＝a >0，直线y ＝x ＋a 在y 轴上的截距等于a >0，此时，选项A 、B 、C 、D 都不符合；当a <0时，直线y ＝ax 的斜率k ＝a <0，直线y ＝x ＋a 在y 轴上的截距等于a <0，只有选项C 符合，故选C ．
5
．
已知圆x 2＋y 2＋4x －4y ＋m ＝0截直线x ＋y ＋2＝0所得弦的长度为2，则实数m 的值是
导学号09025126( C )
A ．3
B ．4
C ．5
D ．7
[解析]圆x 2＋y 2＋4x －4y ＋m ＝0的圆心(－2,2)，半径r ＝8－m (m <8)．圆心(－2,2)到直线x ＋y ＋2＝0
的距离d ＝|－2＋2＋2|
12＋12
＝
2
由题意，得m ＝5．
6．在圆柱内有一个内接正三棱锥，过一条侧棱和高作截面，正确的截面图形是导学号09025127( D )
[解析]如图所示，由图可知选D ．
7．(2016·天水市高一检测)圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0和圆x 2＋y 2－6x ＝0交于A 、B 两点，则AB 的垂直平分线的方程是导学号09025128( C )
A ．x ＋y ＋3＝0
B ．2x －y －5＝0
C ．3x －y －9＝0
D ．4x －3y ＋7＝0
[解析]圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0的圆心C 1(2，－3)，圆x 2＋y 2－6x ＝0的圆心C 2(3,0)，AB 的垂直平分线过圆心C 1、C 2，∴所求直线的斜率k ＝0＋33－2
＝3，所求直线方程为y ＝3(x －3)，即3x －y －9＝0．
8
．
(2016·南平高一检测)已知直线l 与直线2x －3y ＋4＝0关于直线x ＝1对称，则直线l 的方程为
导学号09025129( A )
A ．2x ＋3y －8＝0
B ．3x －2y ＋1＝0
C ．x ＋2y －5＝0
D ．3x ＋2y －7＝0
[解析]由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －3y ＋4＝0x ＝1，得⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝1
y ＝2．
由题意可知直线l 的斜率k 与直线2x －3y ＋4＝0的斜率互为相反数 ∴k ＝－23，故直线l 的方程为y －2＝－2
3(x －1)
即2x ＋3y －8＝0．
9．某几何体的三视图如下所示，则该几何体的体积是导学号09025130( B )
A ．
3
32
B ．1336
C ．
233
D ．1136
[解析]该几何体是一个正三棱柱和一个三棱锥的组合体，故体积V ＝
3
4×22
×3
2＋1
3×3
4
×22×2＝133
6
．
10．(2018·河北定州中学高一期末)曲线y ＝1＋4－x2
与直线y ＝k (x －2)＋4有两个交点，则实数k 的取值范围是导学号09025196( D )
A ．(5
12
，＋∞)
B ．(13，3
4]
C ．(0，5
12
)
D ．(5
12，3
4
]
[解析]根据题意画出图形，如图所示： 由题意可得：直线l 过A (2,4)
又曲线y ＝1＋4－x2图象为以(0,1)为圆心，2为半径的半圆
当直线l 与半圆相切，C 为切点时，圆心到直线l 的距离d ＝r ，即|3－2k|
k2＋1
＝2，解得k ＝5
12．
当直线l 过B (－2,1)时，直线l 的斜率为错误!＝错误!
则直线l 与半圆有两个不同的交点时，实数k 的取值范围为(5
12，3
4
]．故答案选D ．
11．若圆C ：x 2＋y 2－4x －4y －10＝0上至少有三个不同的点到直线l ：x －y ＋c ＝0的距离为22，则
c 的取值范围是导学号09025132( C )
A ．[－2
2，2
2]
B ．(－2
2，2
2)
C ．[－2,2]
D ．(－2,2)
(3
2)2，∴
[解析]圆C ：x 2＋y 2－4x －4y －10＝0整理为(x －2)2＋(y －2)2＝圆心坐标为C (2,2)，半径长为32，要使圆上至少有三个不同的点到
直线l ：x －y ＋c ＝0的距离为22，如右图可知圆心到直线l 的距离应小于等于
2，
∴
d
＝
|2－2＋c|1＋1＝|c|
2
≤2，解得|c |≤2，即－2≤c ≤2．
12．已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M 、N 分别是圆C 1、C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM |＋|PN |的最小值为导学号09025133( A )
A ．5
2－4 B ．17－1 C ．6－2
2
D ．
17
[解析]两圆的圆心均在第一象限，先求|PC 1|＋|PC 2|的最小值，作点C 1关于x 轴的对称点C 1′(2，－3)，则(|PC 1|＋|PC 2|)min ＝|C 1′C 2|＝5
2，所以(|PM |＋|PN |)min ＝5
2－(1＋3)＝5
2－4．
第Ⅱ卷(非选择题共90分)
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)
13．(2016·曲阜师大附中高一检测)△
ABC 中，已知点A (2,1)、B (－2,3)、C (0,1)，则BC 边上的中线所在直线的一般方程为__x ＋3y －5＝0__.导学号09025134
[解析]BC 边的中点D 的坐标为(－1,2)
∴BC 边上的中线AD 所在直线的方程为y －2
1－2＝x ＋1
2＋1，即x ＋3y －5＝0．
14
．
(2016·南安一中高一检测)已知直线y ＝kx ＋2k ＋1，则直线恒经过的定点__(－2,1)__.
导学号09025135
[解析]解法一：直线y ＝kx ＋2k ＋1，即 k (x ＋2)＋1－y ＝0
由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2＝01－y ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝－2
y ＝1
． ∴直线恒经过定点(－2,1)．
解法二：原方程可化为y －1＝k (x ＋2) ∴直线恒经过定点(－2,1)．
15．(2018·全国卷Ⅰ文，15)直线y ＝x ＋1与圆x 2＋y 2＋2y －3＝0交于A ，B 两点，则|AB |＝__.导学号09025217
[解析]根据题意，圆的方程可化为x 2＋(y ＋1)2＝4 所以圆的圆心为(0，－1)，且半径是2
根据点到直线的距离公式可以求得d ＝错误!＝错误!，结合圆中的特殊三角形，可知|AB |＝2错误!＝2
2，故答案为2
2．
16．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，点P 在面对角线BC 1上运动，则下列四个命题：导学号09025137
①三棱锥A －D 1PC 的体积不变；②A 1P ∥平面ACD 1；③DP ⊥BC 1；④平面PDB 1⊥平面ACD 1． 其中正确命题的序号是__①②④__．
[解析]①因为BC 1∥AD 1，所以BC 1∥平面AD 1C ，所以直线BC 1上任一点到平面AD 1C 的距离都相等 所以VA －D 1PC ＝VP －AD 1C ＝VB －AD 1C 为定值，正确；
②因为AC ∥A 1C 1，AD 1∥BC 1，AC ∩AD 1＝A ，A 1C 1∩BC 1＝C 1，所以平面ACD 1∥平面A 1BC 1，因为A 1P ⊂平面A 1BC 1，所以A 1P ∥平面ACD 1，正确；
③假设DP ⊥BC 1，因为DC ⊥BC 1，DC ∩DP ＝D ，所以BC 1⊥平面DPC ，所以BC 1⊥CP ，因为P 是BC 1上任一点，所以BC 1⊥CP 不一定成立，错误；
④因为B 1B ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以B 1B ⊥AC ，又AC ⊥BD ，BD ∩B 1B ＝B ，所以AC ⊥平面BB 1D ，所以AC ⊥DB 1，同理可知AD 1⊥DB 1，因为AC ∩AD 1＝A ，所以DB 1⊥平面ACD 1，因为DB 1⊂平面PDB 1，所以平面PDB 1⊥平面ACD 1，正确．
故填①②④．
三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17
．
(本小题满分10分)已知直线l 1：ax －by －1＝0(a 、b 不同时为0)，l 2：(a ＋2)x ＋y ＋a ＝0.
导学号09025138
(1)若b ＝0且l 1⊥l 2，求实数a 的值；
(2)当b ＝2，且l 1∥l 2时，求直线l 1与l 2之间的距离． [解析](1)若b ＝0，则l 1：ax －1＝0 l 2：(a ＋2)x ＋y ＋a ＝0．
∵l 1⊥l 2，∴a (a ＋2)＝0，∴a ＝－2或0(舍去)，即a ＝－2． (2)当b ＝2时，l 1：ax －2y －1＝0 l 2：(a ＋2)x ＋y ＋a ＝0
∵l 1∥l 2，∴a ＝－2(a ＋2)，∴a ＝－4
3．
∴l 1：4x ＋6y ＋3＝0，l 2：2x ＋3y －4＝0
∴l 1与l 2之间的距离d ＝|3
2
＋4|22＋32
＝111326．
18
．
(本小题满分12分)自A (4,0)引圆x 2＋y 2＝4的割线ABC ，求弦BC 中点P 的轨迹方程.
导学号09025139
[解析]连接OP ，则OP ⊥BC ，设P (x ，y )，当x ≠0时，k OP ·k AP ＝－1 即y
x ·y
x －4＝－1．
即x 2＋y 2－4x ＝0.①
当x ＝0时，P 点坐标为(0,0)是方程①的解，所以BC 中点P 的轨迹方程为x 2＋y 2－4x ＝0(在已知圆内)． 19
．
(本小题满分12分)(2016·葫芦岛高一检测)已知半径为2，圆心在直线y ＝x ＋2上的圆C ．
导学号09025140
(1)当圆C 经过点A (2,2)且与y 轴相切时，求圆C 的方程；
(2)已知E (1,1)、F (1,3)，若圆C 上存在点Q ，使|QF |2－|QE |2＝32，求圆心横坐标a 的取值范围． [解析](1)设圆心坐标为(a ，－a ＋2) ∵圆经过点A (2,2)且与y 轴相切 ∴错误! 解得a ＝2．
∴圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝4． (2)设Q (x ，y )，由已知，得
(x －1)2＋(y ＋3)2－[(x －1)2＋(y －1)2]＝32 即y ＝3.∴点Q 在直径y ＝3上．
又∵Q 在圆C 上，∴圆C 与直线y ＝3相交 ∴1≤－a ＋2≤5，∴－3≤a ≤1． ∴圆心横坐标a 的取值范围为－3≤a ≤1． 20
．
(本小题满分12分)已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0，斜率为1的直线l 与圆C 交于A 、B 两点.
导学号09025141
(1)化圆的方程为标准形式，并指出圆心和半径；
(2)是否存在直线l ，使以线段AB 为直径的圆过原点？若存在，求出直线l 的方程，若不存在，说明理由；
(3)当直线l 平行移动时，求△CAB 面积的最大值． [解析] (1)(x －1)2＋(y ＋2)2＝9.圆心C (1，－2)，r ＝3． (2)假设存在直线l ，设方程为y ＝x ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2) ∵以AB 为直径的圆过圆心O ∴OA ⊥OB ，即x 1x 2＋y 1y 2＝0．
⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝x ＋m x2＋y2－2x ＋4y －4＝0
消去y 得2x 2＋2(m ＋1)x ＋m 2＋4m －4＝0． Δ＞0得－3
2－3＜m ＜3
2－3．
由根与系数关系得：
x 1＋x 2＝－(m ＋1)，x 1x 2＝m2＋4m －42
y 1y 2＝(x 1＋m )(x 2＋m )＝x 1x 2＋m (x 1＋x 2)＋m 2
∴x 1x 2＋y 1y 2＝2x 1x 2＋m (x 1＋x 2)＋m 2＝0． 解得m ＝1或－4．
直线l 方程为y ＝x ＋1或y ＝x －4． (3)设圆心C 到直线l ：y ＝x ＋m 的距离为d |AB |＝2
9－d2
S △CAB ＝1
2
×2
9－d2×d ＝9d2－d4＝
错误!≤错误!，此时d ＝错误!，l 的方程为y ＝x 或y ＝x －6．
21．(本小题满分12分)(2017·全国卷Ⅰ文，18)如图，在四棱锥P －ABCD 中，AB ∥CD ，且∠BAP ＝∠CDP ＝90°.导学号09025142
(1)证明：平面P AB ⊥平面P AD ；
(2)若P A ＝PD ＝AB ＝DC ，∠APD ＝90°，且四棱锥P －ABCD 的体积为83，求该四棱锥的侧面积．
[解析](1)证明：由已知∠BAP ＝∠CDP ＝90°，得AB ⊥AP ，CD ⊥PD ． 因为AB ∥CD ，所以AB ⊥PD ． 又AP ∩DP ＝P ，且AP ，DP ⊂平面P AD 所以AB ⊥平面P AD ． 因为AB ⊂平面P AB 所以平面P AB ⊥平面P AD ．
(2)解：如图，在平面P AD 内作PE ⊥AD ，垂足为点E ．
由(1)知，AB ⊥平面P AD ，故AB ⊥PE ，AB ⊥AD ，又∵AD ∩AB ＝A ． 可得PE ⊥平面ABCD ． 设AB ＝x ，则由已知可得AD ＝
2x ，PE ＝
22x ．
故四棱锥P －ABCD 的体积V P －ABCD ＝1
3AB ·AD ·PE ＝13
x 3．
由题设得13x 3
＝83
，故x ＝2．
从而结合已知可得P A ＝PD ＝AB ＝DC ＝2，AD ＝BC ＝22，PB ＝PC ＝2
2．
可得四棱锥P －ABCD 的侧面积为 1
2P A ·PD ＋12P A ·AB ＋12PD ·DC ＋1
2
BC 2sin60°＝6＋23．
22．(本小题满分12分)(2018·莆田高一检测)已知圆C ：x 2＋y 2＝9，点A (－5,0)，直线l ：x －2y ＝0.导学号09025197
(1)求与圆C 相切，且与直线l 垂直的直线方程；
(2)在直线OA 上(O 为坐标原点)，存在定点B (不同于点A )，满足：对于圆C 上任一点P ，都有PB PA
为一常数，试求所有满足条件的点B 的坐标．
[解析](1)设所求直线方程为y ＝－2x ＋b ，即2x ＋y －b ＝0 ∵直线与圆相切，∴
|－b|
22＋12
＝3，得b ＝±3
5．
∴所求直线方程为y ＝－2x ±35．
(2)假设存在这样的点B (t,0)
当P 为圆C 与x 轴左交点(－3,0)时，PB PA ＝|t ＋3|2；
当P 为圆C 与x 轴右交点(3,0)时，PB PA ＝|t －3|
8
依题意，|t ＋3|2＝|t －3|8，解得，t ＝－5(舍去)，或t ＝－9
5．
下面证明点B (－95，0)，对于圆C 上任一点P ，都有PB
PA 为一常数．
设P (x ，y )，则y 2＝9－x 2
∴PB2PA2＝错误!＝错误!＝错误!＝错误! 从而PB PA ＝3
5
为常数．
∴满足条件的点B 的坐标为(－9
5
，0)．。