计量经济学习题与解答9.

第九章 时间序列计量经济学模型的理论与方法
练习题
1、 请描述平稳时间序列的条件。

2、 单整变量的单位根检验为什么从DF 检验发展到ADF 检验？
3、设,10,sin cos ≤≤+=t t t x t θηθξ其中ηξ，是相互独立的正态分布N(0, 2
σ)随机变量，θ是实数。

试证：{10,≤≤t x t }为平稳过程。

4、 用图形及LB Q 法检验1978-2002年居民消费总额时间序列的平稳性，数据如下：
5、 利用4中数据，用ADF 法对居民消费总额时间序列进行平稳性检验。

6、 利用4中数据，对居民消费总额时间序列进行单整性分析。

7、 根据6中的结论，对居民消费总额的差分平稳时间序列进行模型识别。

8、 用Yule Walker 法和最小二乘法对7中的居民消费总额的差分平稳时间序列进行时间序
列模型估计，并比较估计结果。

9、 有如下AR(2)随机过程： t t t t X X X ε++=--2106.01.0 该过程是否是平稳过程？
10、求MA(3)模型3213.05.08.01---+-++=t t t t t u u u u y 的自协方差和自相关函数。

11、设动态数据,92.0,82.0,74.0,9.0,7.0,8.0654321======x x x x x x ,78.07=x
,84.0,72.0,86.01098===x x x 求样本均值x ，样本方差0ˆγ，样本自协方差1ˆγ、2ˆγ和样本自相关函数1ˆρ
、2ˆρ。

12、判断如下ARMA 过程是否是平稳过程：
12114.01.07.0----+-=t t t t t x x x εε
13、以t Q 表示粮食产量，t A 表示播种面积，t C 表示化肥施用量，经检验，他们取对数后
都是I （1）变量且相互之间存在CI （1，1）关系。

同时经过检验并剔除了不显著的变量（包括滞后变量），得到如下粮食生产模型：
t t t t t t C C A Q Q μααααα+++++=--1432110ln ln ln ln ln
推导误差修正模型的表达式，并指出误差修正模型中每个待估参数的经济意义。

14、固定资产存量模型t t t t t I I K K μαααα++++=--132110中，经检验，
)1(~),2(~I I I K t t ，试写出由该ADL 模型导出的误差修正模型的表达式。

参考答案
1、如果时间序列{t X }满足下列条件：
1）均值μ=)(t X E 与时间t 无关的常数； 2）方差2σ)var(=t X 与时间t 无关的常数；
3）协方差k k t t X X γ=+)cov( 只与时期间隔k 有关，与时间t 无关的常数。

则称该随机时间序列是平稳的。

2、在使用DF 检验时，实际上假定了时间序列是由具有白噪声随机误差项的一阶自回归过程（AR(1)）生成的。

但在实际检验中，时间序列可能是由更高阶的自回归过程生成的，或者随机误差项并非是白噪声，这样用OLS 法进行估计均会表现出随机误差项出现自相关，导致DF 检验无效。

另外，如果时间序列包含有明显的随时间变化的某种趋势（如上升或下降），则也容易导致上述检验中的自相关随机误差项问题。

为了保证DF 检验中随机误差项的白噪声特性，Dicky 和Fuller 对DF 检验进行了扩充，形成了ADF 检验。

3、E （t x ）=0)(sin )(cos =+ηθξθtE tE
θ
σθθθθσξηθθξηθθηθθξθθθηθξθηθξk t k t t k t tE k t tE k t tE k t tE k t t t k t k t E x x E r t k t k cos ]sin )(sin cos )([cos )(cos )(sin )(sin )(cos )(sin )(sin )(cos )(cos ]}
sin cos )][(sin )(cos {[)(2222=+++=+++++++=++++==+20)var(σ==r X t
所以{10,≤≤t x t }为平稳过程
4、居民消费总额时间序列图：
10000
20000
30000
40000
50000
78
808284868890929496980002
序列图表现出了一个持续上升的过程，即在不同的时间段上，其均值是不同的，因此可初步判断是非平稳的。

居民消费总额时间序列相关图及相关系数、LB Q 统计量：
从图中可以看出，样本自相关系数是缓慢下降的，表明了该序列的非平稳性。

滞后12期的
LB Q 统计量计算值为75.18，超过了显著性水平5%时的临界值21.03，因此进一步否定了该
时间序列的自相关系数在滞后一期之后的值全部为0的假设。

这样，结论是1978~2002年间居民消费总额时间序列是非平稳序列。

5、经过偿试，模型3取了3阶滞后：
321123.078.024.106.014.19585.894----∆+∆-∆+-+-=∆t t t t t X X X X T X
（-1.37） (2.17) (-1.68) (5.17 ) (-2.33) （0.94） DW 值为2.03，可见残差序列不存在自相关性，因此该模型的设定是正确的。

从1-t X 的参数值看，其t 统计量的绝对值小于临界值绝对值，不能拒绝存在单位根的
零假设。

同时，由于时间T 的t 统计量也小于ADF 分布表中的临界值，因此不能拒绝不存在趋势项的零假设。

需进一步检验模型2 。

经试验，模型2中滞后项取3阶：
321130.095.043.101.061.401----∆+∆-∆++=∆t t t t t X X X X X
（1.38） (0.33) (5.84) (-2.62) （1.14）
DW 值为2.01,模型残差不存在自相关性，因此该模型的设定是正确的。

从1-t X 的参数值看，其t 统计量为正值，大于临界值，不能拒绝存在单位根的零假设。

同时，常数项的t 统计量也小于ADF 分布表中的临界值，因此不能拒绝不存常数项的零假设。

需进一步检验模型1。

经试验，模型1中滞后项取3阶：
321135.002.153.101.0----∆+∆-∆+=∆t t t t t X X X X X （0.63） (6.35) (-2.77) (1.29)
DW 值为1.99，残差不存在自相关性，因此模型的设定是正确的。

从1-t X 的参数值看，其t 统计量为正值，大于临界值，不能拒绝存在单位根的零假设。

至此，可断定居民消费总额时间序列是非平稳的。

6、利用ADF 检验，经过试算，发现居民消费总额是2阶单整的，适当的检验模型为：
13123471.0854.0--∆+∆-=∆t t t X X X
（-3.87） （2.30）
Correlogram-Q-Statistics 检验证明随机误差项已不存在自相关。

从12-∆t X 的参数值看，其t 统计量绝对值3.87大于临界值的绝对值，所以拒绝零假设，认为居民消费总额的二阶差分是平稳的时间序列，即居民消费总额是2阶单整的。

7、居民消费总额经二阶差分后的新序列X2的样本自相关函数图与偏自相关函数图及数据如图所示：
417.02≈n
（二阶差分后样本数n 为23），偏自相关函数值的绝对值在k>2后均小于此值，
而自相关函数是拖尾的，可认定该序列是一个2阶自回归过程。

8、有如下Yule Walker 方程：
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-23.041.0141.041.01ˆˆ1
21ϕϕ
解为：479.0ˆ,606.0ˆ21-==ϕϕ
用OLS 法回归的结果为：
t t t t X X X ε+-=--212471.02617.02
(3.04) （-2.30）
348.02=R .2R =0.313 DW.=2.08
加入常数项,回归如下式
t t t t X X X ε+-+=--212488.02607.0022.1112
（0.62） （2.94） （-2.32）
2R =0.361 . 2R =0.291 DW.=2.11
可见，三个模型的残差序列都接近于白噪声。

9、
特征方程为：3
/10,50)3.01)(2.01(0
06.01.01212===-+=--z z z z z z
特征方程的根都在单位圆外，所以该过程是平稳的。

10、
152
.0/131.0/126.0/1
3
,03.026.0)]8.0()3.0(5.0[)(25.0)]3.0(5.0)8.0(5.08.0[)(98.1])3.0(5.0)8.0(1[)1(3
.0,5.0,8.003302201102
23322231222223221112222222322210321==-=====>==-=-=-⨯-+-=+-==-⨯+-⨯+=++-==-++-+=+++=-==-=r r r k r k u u u u u u u u u u u γργργρρσσθγσσσθθθγσσσθθθθθγσσσθθθγθθθ
11、
∑===101808.0101t t x x ∑==-=10
120004976
.0)(101ˆt t x x γ ∑=+-=--=9
1110026784
.0))((101ˆt t t x x x x γ ∑=+=--=8
1
220009712.0))((101ˆt t t x x x x γ
538.0ˆ/ˆˆ011-==γγρ
195.0ˆ/ˆˆ022==γγρ
12、12114.01.07.0----+-=t t t t t x x x εε
ARMA 模型的平稳性取决于AR 部分的平稳性。

对于AR 部分，特征方程为：
5
,20
1.07.01212===+-z z z z
特征方程的根都在单位圆外，所以该AR 过程是平稳的，可知ARMA 过程也是平稳的。

13、
t
t t t t t t
t t t t t t t t t t C A Q C A C C C A A A Q Q Q Q μααααα
αααααμααααααα+-+-----
--∆+∆=+++-++-+-+=-=∆---------)ln 1ln 11)(ln 1(ln ln ln )()ln (ln ln )ln (ln ln )1(ln ln ln 11
431121011321431312121101短期播种面积变化1%，将引起粮食产量变化2α%；短期化肥施用量变化1%，将引起粮食产量变化3α%；-（1-1α）的大小反映了对偏离长期均衡的调整力度。

14、
t t t t t I I K K μαααα+++=---132011，令t t t D K K =--11α，则
)
)(()()(1320121121320113201--------+---∆=+--+++=+-++=-=∆t t t t t t t t t t t t t t t I D I D I I I D I I D D D ααααμααααμααα即t t t t t t t I K K I K K μαααααα++----∆=-∆----])()[()(1320211211
15、 （1）、初步分析 首先，将人均食品支出和人均年生活费收入消除物价变动的影响，得到实际人均年食品支出C 和实际人均年生活费收入Y ；然后对C 和Y 分别取对数，记c=lnC,y=lnY （2）、单整的单位跟检验
容易验证lnC 与lnGDP 是一阶单整的，它们适合的检验模型如下：
12736.0-∆-=∆t t c c
（-4.723） DW=2.03
221212070.0173.0425.0---∆+∆-∆-=∆t t t t y y y y
（-2.332） DW=1.89
在5%的显著性水平下，上述两方程的ADF 检验临界值分别为-1.95与-1.95。

（3）、协整检验
首先，建立c 与y 的回归模型
t t y c 912.0077.0+-=
（-1.15） (75.61) 2
R =0.993 DW=1.18 残差项的稳定性检验：
1ˆ598.0ˆ--=∆t t e e
（-4.03）
=2R 0.294 DW=1.97
这里的t 检验值小于5%显著性水平下的ADF 临界值-1.95，说明c 与y 是（1，1）阶协整的， 误差修正项11)912.0077.0(---+=t t y c ECM （4）、建立误差修正模型
以c 的差分c ∆为被解释变量，以c ∆的各阶滞后，y 的差分y ∆及其各阶滞后和误差修正项为解释变量，利用OLS 法进行估计并剔除不显著的解释变量，得误差修正模型：
t t t t ECM y c μ+-∆=∆-1641.0777.0
2R =0.716 DW=1.933
由协整检验可知，食品消费与收入之间具有长期均衡关系；模型中误差修正项的系数达到了-0.641，说明收入与食品消费之间的长期均衡机制对消费的变化具有强烈的制约作用。