辽宁省葫芦岛市第一高级中学2016届高三上学期期中考试数学(理)试卷-Word版含

2015—2016学年度上学期期中考试
高三数学（理科）试题
命题人：才忠勇 校对人：陈丽君
一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求的.） 1.设i 为虚数单位，则复数5i
2i
z =
-的共轭复数在复平面内所对应的点位于（ ） .A 第一象限 .B 第二象限 .C 第三象限 .D 第四象限
2.函数1
)(log 1)(2
2-=
x x f 的定义域为（ ）
.A 1(0)2， .B (2)+∞，
.C 1
(0][2)2
+∞，， .D 1
(0)(2)2
+∞，，
3.下列结论错误的是（ ）
.A 命题“若0432=--x x ，则4=x ”的逆否命题是“若4≠x ，则0432≠--x x ” .B 命题“若0>m ，则方程02=-+m x x 有实根”的逆命题为真命题 .C “4=x ”是“0432=--x x ”的充分条件
.D 命题
“若022=+n m ，则0=m 且0=n ”的否命题是“若02
2≠+n m ，则0≠m 或0≠n ” 4.若实数x ，y 满足40
24020+-⎧⎪
--⎨⎪-+⎩
x y x y x y ………，则目标函数23=+z x y 的最大值为（ ）
.A 11 .B 24 .C 36 .D 49
5.在等差数列{}n a 中，若1201210864=++++a a a a a ，则751
3
a a -的值为（ ）
.A 8 .B 12 .C 16 .D 72
6.已知1e ，2e 是夹角为60的两个单位向量，若21e e a +=，2124e e b +-=，则a 与b 的夹角为（ ）
.A 30 .B 60 .C
120 .D
150
7.对于直线m ，n 和平面α，β，αβ⊥的一个充分条件是（ ）
.A m n ⊥，m αβ=，n α⊂ .B m n ⊥，//m α，//n β
.C //m n ，n β⊥，m α⊂ .D //m n ，m α⊥，n β⊥
8.若函数)2
sin(3)sin()(x x x f ωπ
ωπ++-=(0)x ω∈>R ，满足2)(-=αf ，0)(=βf ，
且βα-的最小值为
2
π
，则函数)(x f 的单调递增区间为（ ） .A 5[22]()66k k k ππππ-+∈Z ， .B 5[22](
1212k k k ππππ-+，.C []()36k k k ππππ-+∈Z ， .D 5[](1212
k k k π
πππ-+，9.设M 是ABC ∆内一点，且23AB AC ⋅=30BAC ∠=.定义()f M m n p 、、分别是MBC MCA
MAB ∆∆∆、、的面积.若1
()(2
f P x y =，，值是
.A 8 .B 9 .C 16 .D 18
10.已知函数()f x 的大致图象如图所示，则函数()y f x =的解析式为（ .A 2ln()()x f x x x =-
.B 2
ln()
()x f x x x =+ .C 2ln()()x f x x x
=-
.D ln()
()x f x x x
=+
11.已知四棱锥P ABCD -的五个顶点都在球O 的球面上，底面ABCD 是矩形，平面PAD 垂直于平面ABCD ，在PAD ∆中，2PA PD ==，120APD ∠=o
，2AB =，则球O 的外接球的表面积等于
.A 16π .B 20π .C 24π .D 36π
12.已知函数)(x f y =的定义域为R ，当0<x 时，1)(>x f ，且对任意的实数x y ∈R ，，等式)()()(y x f y f x f +=⋅成立，若数列{}n a 满足)11(1)(1n
n a f a f +=
+，*
()n ∈N ，且)0(1f a =，则下列结论成立的是（ ）
.A 20132016()()f a f a > .B 20142015()()f a f a > .C 20162015()()f a f a < .D 20142016()()f a f a <
二、填空题（本大题共4题，每小题5分，共20分.）
13.若lg 2, lg(21)x
-，lg(23)x
+成等差数列，则x 的值等于________.
14.36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为22
3623=⨯，所以36的所有正约数之和为
22222222(133)(22323)(22323)(122)(133)91++++⨯+⨯++⨯+⨯=++++=，参照上
述方法，可求得200的所有正约数之和为 . 15.某几何体的三视图如右图,则此几何体的体积为 .
16.已知()e x
f x x =⋅，（其中e 为自然对数的底数），方程
2
()()10f x tf x ++=()t ∈R 有四个实数根，则实数t 的取
值范围为 .
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（本小题满分10分）
已知向量(sin 1)a x =-，，1(3cos )2
b x =-，，函数2)()(-⋅+=a b a x f ．
（Ⅰ）求函数)(x f 的最小正周期T ；
（Ⅱ）已知a 、b 、c 分别为ABC ∆内角A 、B 、C 的对边, 其中A 为锐角，32=a ，4=c ,且1)(=A f ，求A ，b 和ABC ∆的面积S ．
18．（本小题满分12分）
已知如图几何体，正方形ABCD 和矩形ABEF 所在平面互相垂直，
222AF AB AD ===，M 为AF 的中点，CE BN ⊥，
垂足为N . （Ⅰ）求证: //CF 平面BDM ； （Ⅱ）求二面角N BD M --的大小. 19．（本小题满分12分）
已知首项都是1的数列{}n a ，{}n b *
(0)n b n ≠∈N ，满足113n n
n n n
a b b a b ++=
+.
（Ⅰ）令n
n n
a c
b =
，求数列{}n c 的通项公式； （Ⅱ）若数列{}n b 为各项均为正数的等比数列，且2
3264b b b =⋅，求数列{}n a 的前n 项和n S .
N M F
E
D C
B
A
20.（本小题满分12分）
如图，我国南海某处的一个圆形海域上有四个小岛，小岛B 与小岛A 、小岛 C 相距都为5n mile ，与小岛D
相距为.小岛A 对小岛B 与
D 的视角为钝角，且3sin 5
A =. （Ⅰ）求小岛A 与小岛D 之间的距离和四个小岛所形成的四边形的面积； （Ⅱ）记小岛D 对小岛
B 与
C 的视角为α，小岛B 对小岛C 与
D 的视角为β，求sin(2)αβ+的值.
21.（本小题满分12分）
数列{}n a ，{}n b 的每一项都是正数，81=a ，161=b ，且n a ，n b ，1+n a 成等差数列，n b ，1+n a ，
1+n b 成等比数列， 321，，=n .
（Ⅰ）求2a ，2b 的值；
（Ⅱ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （Ⅲ）证明：对一切正整数n ，有7
2
11111121<-++-+-n a a a .
22. （本小题满分12分）
已知函数2
()2ln f x x ax x =-+（其中a 是实数）. （Ⅰ）求()f x 的单调区间；
（Ⅱ）
若设5a <<，且()f x 有两个极值点1x ，2x （12x x <），求12()()f x f x -的取值范围.（其中e 为自然对数的底数，*
n ∈N ）.
D
20152016学年度上学期期中考试
高三理科数学参考答案
一、选择题
1～6：CDBACC 7～12：CADABD 二、填空题
13．5log 2 14. 465 15.2 16.2e ()e
+1
-∞-，
三、解答题
17.解:（Ⅰ）2
()()22f x a b a a a b =+⋅-=+⋅-
21
sin 1cos 22
x x x =+++-，…………………………………………………2分
1cos 21122cos 2sin(2)2226
x x x x x π-=-=-=-.………………4分
因为2ω=，所以22
T π
π==.…………………………………………………………5分
（Ⅱ）()sin(2)16
f A A π
=-=，
因为(0)2A π
∈，，52()666A π
ππ-
∈-，，所以262
A ππ-=，3A π
=. ……………7分
则2222cos a b c bc A =+-，所以2
11216242
b b =+-⨯⨯，即2440b b -+=，则2b =……
9分
从而11
sin 24sin 602322
S bc A =
=⨯⨯⨯=………………………………………10分 18．（Ⅰ）证明：连结AC 交BD 于O ，连结OM .
因为M 为AF 中点， O 为AC 中点，所以//FC MO ， 又因为MO ⊂平面MBD ，FC ⊄平面MBD ，
所以//FC 平面MBD .……………………………………………………………4分 （Ⅱ）因为正方形ABCD 和矩形ABEF 所在平面互相垂直，所以AF ⊥平面ABCD . 以A 为原点，以AD ，AB ，AF 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系.
(110)C ，，，(001)M ，，，(010)B ，，，(100)D ，，，42
(1)55
N ，，， 设平面BDM 的法向量为()p x y z =，，，
p BD p BM ⎧⋅=⎪⎨
⋅=⎪⎩，(111)p =，，.…………………………6分 设平面BDN 的法向量为()q x y z =，，，
q BD q BN ⎧⋅=⎪⎨
⋅=⎪⎩，(112)q =-，，.…………………………………………8分 设p 与q 的夹角为θ，cos 0p q p q
θ⋅=
=⋅……………………………………………………10分
所以二面角M BD N --的大小为90.………………………………………………………12分 19. 解：（Ⅰ）由题意可得，1113n n n n n n a b a b b b +++⋅=⋅+⋅，
两边同除以1n n b b +⋅，得113n n
n n
a a
b b ++=+， 又n
n n a c b =
，13n n c c +∴-=，…………………………………………………………………3分 又1111a
c b ==，∴数列{}n c 是首项为1，公差为3的等差数列.
13(1)32n c n n ∴=+-=-，*n ∈N .…………………………………………………………5分
（Ⅱ）设数列{}n b 的公比为(0)q q >，23264b b b =⋅Q ，2426
114b q b q ∴=⋅，
整理得：2
14q =
，12q ∴=，又11b =，11()2
n n b -∴=，*
n ∈N ，………………………7分 11
(32)()2
n n n n a c b n -=⋅=-⨯…………………………………………………………………8分
1231n n n S a a a a a -∴=+++++
0121
11111()4()7()(32)()
2222
n n -=⨯+⨯+⨯++-⨯…………① 12311111
1()4()7()(32)()22222
n n S n ∴=⨯+⨯+⨯++-⨯…………② ……………9分 ①—②得：
1211111113()3()3()(32)()22222
n n n S n -=+⨯+⨯++⨯--⨯ 211111
13[()()](32)()2222n n n -=+⨯+++--⨯
111[1()]
12213(32)()1212n n n --=+⨯--⨯-………………………………………………10分
111
13[1()](32)()22
n n n -=+⨯---⨯
11
4(632)()4(34)()22n n n n =-+-⨯=-+⨯
1
8(68)()2
n n S n ∴=-+⨯……………………………………………………………………
…12分
20.解：（Ⅰ）
3
sin 5
A =，且角A 为钝角，4cos
5A ∴==-.
在ABD ∆中，由余弦定理得，222
2cos AD AB AD AB A BD +-⋅⋅=，
2224
525()5
AD AD ∴+-⋅
⋅-=，28200AD AD ∴+-=，解得2AD =或10
AD =-（舍），
∴小岛A 与小岛D 之间的距离为2n mile .…………………………………………………………2分
A ，
B ，
C ，
D 四点共圆，∴角A 与角C 互补.
3sin 5C ∴=
，4cos cos(180)cos 5
C A A =-=-=.
在BDC ∆中，由余弦定理得，222
2cos CD CB CD CB C BD +-⋅⋅=，
2224
5255
CD CD ∴+-⋅⋅=，28200CD CD ∴--=，
解得2CD =-（舍）或10CD =.……………………………………………………………………
4分
11
sin sin 1822
ABC BCD ABCD S S S AB AD A CB CD C ∆∆∴=+=
⋅⋅+⋅⋅=四边形， ∴四个小岛所形成的四边形的面积为18平方
n mile .………………………………………………6分
（Ⅱ）在BCD ∆中，由正弦定理，sin sinC BC BD α=
，即5sin 5
α=
，解得sin α=
. 222DC DB BC +>，α∴
为锐角，cos 5α∴=.……………………………………………8分 又
3
sin()sin(180)sin 5C C αβ+=-==，
4
cos()cos(180)cos 5
C C αβ+=-=-=-.……………………………………………………
…10分
sin(2)sin[()]sin cos()cos sin()25
αβααβααβααβ∴+=++=+++=
.……………12分
21.解：(Ⅰ)由题意得2112a a b +=，可得242112=-=a b a .
由2122
b b a =，可得361
22
2==b a b (2)
分
(Ⅱ)因为n a ，n b ，1+n a 成等差数列，所以12++=n n n a a b ，————————① 因为n b ，1+n a ，1+n b 成等比数列，所以12
1+=+n n b b a n ，
因为{}n a ，{}n b 的每一项都是正数，所以11++=n n n b b a ，————————② 于是，当2n …
时，n a = 将②③代入①式，可得112+-+=n n n b b b ， 因此数列}{n b 是首项为4，公差为2的等差数列，
所以22)1(1+=-+=n d n b b n ，于是2
)1(4+=n b n ，………………………………………
6分
由③式，可得当2n …
时，)1(4+=n n a n 当1=n 时，81=a ，满足上式，所以对一切正整数n ，都有)1(4+=n n a n .……………………8分
(Ⅲ)由(Ⅱ)可知，所证明的不等式为
7
21441471231712<-+++++n n .
【方法1】首先证明)1
1
1(7214412+-<-+n n n n
即证n n n n 77214412
2+<-+，即证022
>-+n n ，即证0)2)(1(>+-n n ， 所以当2n …时，7
2217271)]111()3121[(72711441471231712=⨯+<+-++-+<-+++++n n n n . 当1n =时，7
2
71<.
综上所述：对一切正整数n ，有
7
2
11111121<-++-+-n a a a .……………………………………12分 【方法2】)3
21
121(41)32)(12(134********
+--=+-=-+<-+n n n n n n n n . 当3n …时，)]321121()121321()11
171()9151[(41231711441471231712+--++--++-+-++<-+++++n n n n n n )7151(4123171+++< 27
< 当1n =时，72
71<；当2n =时，7
2717123171=+<+.
综上所述：对一切正整数n ，有
7
2
11111121<-++-+-n a a a .…………………………………12分
【方法3】)1
21121(21)12)(12(114114412
2+--=+-=-<-+n n n n n n n 当4n ?时，
)]1
21121()121321()11191()9171[(21471231711441231712+--+---++-+-+++<-++++n n n n n n 7214147123171<+++<. 当1n =时，72
71<；当2n =时，72717123171=+<+；当3n =时，7
21411417147123171=++<++.
综
上
所
述
：
对
一
切
正
整
数
n
，有
7
2
11111121<-++-+-n a a a .……………………………………12分 22.解：（Ⅰ）()f x 的定义域为(0)+∞，，2222
()2x ax f x x a x x
-+'=-+=，
令2()22g x x ax =-+，2
16a ∆=-，对称轴4
a x =，(0)2g =，
（1）当0∆?，即44a -剟
时，()0f x '…，
于是，函数()f x 的单调递增区间为(0)+∞，，无单调递减区间.
（2）当0∆>0，即4a <-或4a >时，
①当4a <-时，()0f x '>恒成立，于是，()f x 的单调递增区间为(0)+∞，，无减区间.
②当4a >时，令()0f x '=
，得1x =
，2x =，
当12(0)()x x x ∈+∞，，
时，()0f x '>，当12()x x x ∈，时，()0f x '<. 于是，()f x 的单调递增区间为1(0)x ，和2()x +∞，
，单调递减区间为12()x x ，. 综上所述：当4a …时，()f x 的单调递增区间为(0)+∞，，无单调递减区间.
当4a >时， ()f x 的单调递增区间为1(0)x ，和2()x +∞，
，单调递减区间为12()x x ，.………4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，若()f x 有两个极值点，则4a >， 且
1202
a x x +=
>，
121
x x =，
1201x x ∴<<<………………………………………………………6分
又2
11220x ax -+=，1112()a x x =+
，5a <<，
111122x x +<+<+，又101x <<，
解得112x <<，…………………………………
8分
于是，22
121211222()()()ln ()ln 2f x f x x x a x x ax x -=--+-+ 22
121212)(2(ln l (n ))x x x x x x a =----+
112122)2()(ln 2x x x x a
a x x -⋅-=+- 11111
))4l 11
(n (x x x x x -⋅+=-+
21121
1
4ln x x x =
+-………………………………………………………………10分 令2
2()l 14n h x x x x =-
+1(2x <<，则223
2(1)()0x h x x --'=<恒成立， ()h x ∴
在1(2
上单调递减，1
()()2h h x h ∴<<，
即12115e 2()()4ln 2e 4f x f x --<-<-，
故12()()
f x f x -的取值范围为
115
(e 24ln 2)e 4
---，.………………………………………………12分。