人教版【高中数学】选修2-1第三章空间向量的基本定理讲义(可打印修改)

案例（二）——精析精练
课堂合作研究
重点难点突破
知识点一 共线向量定理
（1）定理内容：对空间两个向量，的充要条件是存在唯一的实数，()0,≠b b a b a //x 使。

此定理可以分解为以下两个命题；①若，则存在唯一实数，使xb a =()0//≠b b a x 。

②存在实数，使，则。

xb a =x ()0≠=b xb a b a // （2）在定理中为什么要规定呢?当时，若，则，也存在实数0≠b 0=b 0=a b a //使；但若，我们知道零向量和任一非零向量共线，但不存在实数，使x xb a =0≠a x ，因此在定理中规定了。

若将定理写成，则应规定。

xb a =0≠b xa b b a =⇔//0≠a 说明：①在功中，对于确定的和，功表示空间与平行或共线且长xb a =x b xb a =b
度为的所有向量；②利用共线向量定理可以证明两线平行，
xb 或三点共线。

知识点二 共面向量定理
（1）共面向量
已知向量，作，如果的基线平行于平面，记作
a a OA =OA a （右图），通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量。

α//a 说明：①是指的基线在平面内或平行平面。

②共面向量是指这些向量的α//a a αα基线平行或在同一平面内，共面向量的基线可能相交、平行或异面。

我们已知，对空间任意两个向量，它们总是共面的，但空间任意三个向量就不一定共面了。

例如，在下图中的长方体，向量、、，无论怎样平移都不能使它们在AB AC AD 同一平面内。

（2）共面向量定理
共面向量定理：如果两个向量、不共线，则向量与向量
a b c
、共面的充要条件是，存在唯一的一对实数，使。

a b y x ,yb xa c +=说明：①在证明充要条件问题时，要证明两个方面即充分性和必要性。

②共面向量的充要条件给出了平面的向量表示，说明任意一个平面可以由
两个不共线的平面向量表示出来，它既是判断三个向量是否共面的依据，又是已知共面条件的另一种形式，可以借此已知共面条件化为向量式，以便我们的向量运算。

③利用共面向量定理可证明点线共面、线面平行等。

三个向量共面，又称做三个向量线性相关。

反之，如果三个向量不共面，则称做三个向量线性无关。

知识点三 空间向量分解定理
（1）空间向量分解定理：如果三个向量、、不共面，那么对空间任一向量，a b c p 存在一个唯一的有序实数组，，，使。

x y z xc yb xa p ++=(2)如果三个向量、、是三个不共面的向量，则、、的线性组合
a b c a b c 能生成所有的空间向量，这时、、叫做空间的一个基底，记作，zc yb xa ++a b c {}c b a ,,其中、、都叫做基向量。

a b c （3）空间向量基本定理说明：①用空间三个不共面的已知和向量组可以线性{}c b a ,,表示出空间任意一个向量，而且表示的结果是唯一的。

②空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底。

③由于0可看做是与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含它们都不是0。

要明确：一个基底是一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念。

典型例题分析
题型1 概念问题
【例1】 设，，，且是空间的个基底，给出下列b a x +=c b y +=a c z +={}c b a ,,向量组：
①，②，③，，④，⑤。

{}x b a ,,{}y b a ,,{}z y x ,,{}y x a ,,{}c b z y x ++,,
其中可以作为空间基底的向量组有 （ ）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
解析 正确理解向量的基底与基向量。

答案 如图所示，设，则，c AA b a ===,,1z AD y x ===,,1，由、、、D 四点不共面，可知、、也不共面，同理可1AC c b a =++A 1B C 1D x y z 知、、和、、、也不共面。

选D.
a b c x y z c b a ++∴ 方法指导 能否作为空间的基底，即是判断给出的向量组中的三个向量是否共面。

充分利用一些常见的几何体，如：正方体、长方体、平行六面体、四面体等可以帮助我们进行直观判断，即模型法的应用。

【变式训练1】 设、、是三个不共面向量，现从
a b c ①，②，③，④，⑤中选出一个使其与、构成空间向b a +b a -c a +c b +c b a -+a b 量的一个基底，则可以选择的向量为 。

【答案】 ③④⑤。

题型2 共线向量定理的应用
【例2】 已知空间三个不共面的向量，若，
p n m ,,p n m a 423--=，且，求实数的值。

()p yn m x b 21+++=b a //y x , 解析 解决向量共线问题的依据是应用共线向量的充要条件，即，且()R a b ∈=λλ是唯一确定的实数及。

λ0≠a 答案 因为，所以，
b a //()R a b ∈=λλ即。

()p n m p yn m x λλλ42321--=+++由于向量不共面，所以p n m ,,⎪⎩
⎪⎨⎧+==-=-,13,
2,24x y λλλ
解之，得故实数的值分别为。

⎪⎩⎪⎨⎧=-=,
1,25y x y x ,1,25-规律总结 待定系数法也可以用来解决空间向量中的有关问题。

在解决本题的过程中有两个关键：一是运用共线向量的充要条件得到相应的关系式；二是根据空间向量定理的推论得到关于的方程组。

y x ,,λ 【变式训练2】 已知空间三个非零向量、、满足，判断向a b c c b a c b a 5,3=-=+量与是否平行。

a b 答案 因为 ⎩⎨⎧=-=+c
b a
c b a 53①①所以得：，得：，所以，故由共线向量充要条件2①①+c a 4=2
①①-c b -=b a 4-=得：。

b a // 【变式训练3】 已知向量、，且，则a b b a b a b a 27,65,2-=+-=+=一定共线的三点是 （ ）
A.A 、B 、D
B.A 、B 、C
C.B 、C 、D
D.A 、C 、D
答案 。

所以，所以b a b a b a 2422765=+=-++-==+//、、三点共线。

选A.
A B D ∴ 题型3
共面向量定理及应用
【例
3】 已知，，三点不共线，对平面外一点，确定下列各条件中的A B C ABC O 点是否与点，，一定共面，（1）2）P A B C OP +=。

--=22 解析 由共面向量定理知，要证明，
，，四点共面，只要证明存在有序实数
P A
B C 对使得。

()y x ,AC y AB x AP +
=
答案
（1）共面。

+=Q ，即()()
5251=-+-==-∴
.
主不共线，共面且具有公共点，从而，AP =AB Q AC AC AB AP ,,∴A P ，，四点共面。

A B C （2）不共面。

如果与，，共面，则存在唯一的实数对，使得
P A B C ()y x ,，对平面外一点，有，
AC y AB x AP +=ABC O ()()
OA OC y OA OB x OA OP -+-=-即，与原式比较得，此方程组无解，故()y x y x ++--=1⎪⎩⎪⎨⎧-=-==--,1,
2,21y x y x ，，，四点不共面。

A B C P 规律总结 判断四点共面，除了本题中的解题方法外，还可以用其变形，即：空间一点位于平面内的充分必要条件是存在有序实数对，使得对空间任一定点，P ABC ()y x ,O 有；或若四点，，，共面，则对空间任一定点，有y x ++=P A B C O 。

()1=++++=z y x z y x 【变式训练4】 若是三个不共面的向量，试问向量，321,,e e e 32123e e e a ++=，是否共面，并说明理由。

3213e e e b ++-=32142e e e c --= 答案 令，
()()()042323321321321=--+++-+++e e e z e e e y e e e x 亦即，，()
()()043223321=--+-+++-e z y x e z y x e z y x 因为是三个不共面的向量，
321,,e e e 所以，解得⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-+=+-,043,02,023z y x z y x z y x ⎪⎩
⎪⎨⎧==-=,5,
7,1z y x 从而三个向量共面。

c b a c b a ,,,57+= 【例4】 求证：三向量共面；若，21212132,23,e e c e e b e e a +=-=+=nc mb a +=试求实数的值。

n m , 解析 要证明三个向量共面，可以利用向量共面21212132,23,e e c e e b e e a +=-=+=定理的推论，证明存在三个不全为零的实数，使得即可。

γμλ,,0=++c b a γμλ
答案
()()()()()2212121321233223e e e e e e e e c b a γμλγμλγμλγμλ+-+++=++-++=++如果，适合方程组γμλ,,⎩⎨⎧=+-=++,
032,
023γμλγμλ那么就能使，
0=++c b a γμλ而显然上述方程组有无数组解，其中。

⎪⎩
⎪⎨⎧==-=,5,,13t t t γμλR t ∈于是有，所以，三向量共面，并且可得。

0513=++-tc tb ta c b a ,,c b a 135131+=
故所求的实数。

13
5,131==m 规律总结 事实上，对于任意两非零向量，则，，21,e e 2111e e a μλ+=2212e e b μλ+=总是共面的。

从本题的解法中不难发现，其解题()R e e c ∈+=3213212313,,,,,μμμλλλμλ方法是一箭双雕，即在证明三向量共面同时，只要对结论稍作变形就得到了与c b a ,,m 的值。

另外，面对解题过程中关于的方程组有数组解的情况，若不能利用其中的n γμλ,,一组解，或者是获得与的值，就不能就得所求的与的值。

λμλ
γm n 【变式训练5】 已知是三个不共面向量，若的起点相同，则当实数为c b a ,,c b a ,,t 何值时，及的终点共面？tc b a ,,()c b a ++4
1答案 由于及
的终点共面，所以等价于及tc b a ,,()c b a ++41a tc a b --,共面，于是，设()a c b a -++4
1，()()()041=⎥⎦⎤⎢
⎣⎡-+++-+-a c b a a tc a b γβα所以.04443=⎪⎭
⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛
---c y b a γβγαγβα
故有方程组 有解，⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=---,04,04,043γβγαγβαy （1）+（2）得：，由（3）得：，所以，即.γβ21=γβt 41-=2141=t 2
1=t 题型4 空间向量分解定理及应用
【例5】 如右图所示，平行六面体，且，
C B A O OAB
D ''''-a =，用表示如下向量：
c b ==,c b a ,,（1）、、；
OB B O 'AC （2）（、分别是侧面和的中心）。

GH G H C C B B ''C B A O '''' 解析 、、不共面，可作为空间的一个基底，其他向量用（、、）表示出来。

答案 （1），
c b a ++=++=+=，
c b a b a c OC OA O O OB O O B O -+=++=++'=+'='。

a c
b A O A A OC A A AO AB C C AC C A -+=-+=++=+=（2）()()
O O B O OC B O OH OG OH GO GH +++-=+-=+=2
121.()()()b c c c b a b c b a -=+++++++-=2
12121规律总结 在平行六面体中，从同一顶点出发的三条棱所对应的向量都可作为基底。

向量法的关键就是用已知表示未知，然后进行
向量的运算。

【变式训练6】如图，空间四边形中，、分别是、的重心，OABC G H ABC ∆OBC ∆设、，，试用向量、、表示向量。

a =
b =
c =a b c 答案 由.
-=
，()()c b OC OB OH +=+⨯==3
12132Q ()
-+=+=+=3
2
，()
()c b a ++=+⨯=3
1312132，即.()()a c b a c b 31313131-=+--+=∴a 31-= 题型5 综合应用
【例6】 如图所示，分别为正方体H G F E ,,,1
111D C B A ABCD -的棱的中点。

求证：
11111111,,,C D C B D A B A （1）四点共面；B D F E ,,,（2）平面平面。

//AEF BDHG 解析 由共面向量定理可知，要证明四点共面，只要证明存在有序实数对B D F E ,,,使得即可；y x ,EF y EB x ED +=要证明平面平面，只要证明平面内的两条直线平行于平面内//AEF BDHG AEF BDHG 的两条相交直线即可。

答案（1），
EF EB D B EB BD B E ED 211+=+=+=Q 共面且具有公共点，
,,∴E 四点共面。

B D F E ,,,∴（2）分别是的中点，H G F E ,,,Q 11111111,,,
C
D C B D A B A
，B BB A AA =+=+===1111,，
BG AF GH EF //,//∴平面，平面，又，
//EF ∴BDHG //AF BDHG F EF AF =I 平面平面。

∴//AEF BDHG 方法指导 （1）要证明四点共面，也可以证明，也即只要证明：B D F E ,,,BD EF //。

，
λ=()
A A A A
B A D A 222211111111=-=-=-=-=Q
共线，又不重合，，即四点共面。

,Q EF BD ,Q EF BD //∴B D F E ,,,（2）要证明两平面平行，只要证明一平面内有两条相交直线平行于另一平面。

转化为向量问题即是要证明，一个平面内两条直线对应的向量分别与另一平面内的两条相交直线所对应的向量共线即可。

【变式训练7】 已知分别是空间四边形的边的H G F E ,,,ABCD DA CD BC AB ,,,中点，
（1）求证：四点共面；
H G F E ,,,（2）求证：平面。

//BD EFGH
答案（1）如图，由题意知且，，四边形EH =FG =FG EH =∴∴是平行四边形，、、、四点共面。

EHGF E ∴F G H
（2）由（1）知，，即.又平面，=//∴EH BD //⊄BD EFGH 平面，平面。

⊂EH EFGH //BD ∴EFGH 规律 方法 总结 （1）0与任一向量是共线向量。

a （2）向量的平行（共线）不具备传递性，即若，不定有。

但当为
b a //
c a //c b //a 非零向量时，平行（共线）的传递性将成立，即若，，，则。

0≠a b a //c a //c b // （3）在共线向量定理中，不可去掉，否则实数就不唯一。

0≠b λ （4）如果、共线，则不是、、共面的充要条件。

原因是：若a b yb xa p +=p a b 、共线，则与、一定共面。

当与、不共线时，无法写成的形a b p a b p a b p yb xa +式；当与、共线时，虽然可以写成的形式，但实数对不唯一。

p a b yb xa p +=y x , （5）利用空间向量的分解定理时，不可忽视条件中三向量“不共面”的条件。

c b a ,, （6）证明两向量共线的方法：
首先判断两向量中是否有零向量。

若有，则两向量共线；若两向量，中，，且a b 0≠b 有，则，共线。

()R x xb a ∈=a b （7）判断三向量是否共面的依据：
共面向量定理是判定三个向量是否共面的依据，要证明三个向量共面，只需存在一c b a ,,对实数，使就可以了。

在证明时要结合空间图形，若通过运算得不出y x ,yc xb a +=的向量等式，、就不存在，就不共面。

但一定要注意：三个向量共面是c b a ,,x y c b a ,,指它们所在的基线平行于同一平面或在同一平面内，并不是指它们的基线一定在同一平面内，利用此定理可以证明四点共面。

（8）空间向量基本定理的应用方法：
选定空间不共面的三个向量作为基向量，用它们表示指定向量时，要结合图形，联想相关的公式和运算法则等表示出与指定向量接近的向量，再变形整理直至符合目标。

定时 巩固 检测
基础训练
1.设是的重心，记，，，，则为（ M ABC ∆a =b =c =0=++c b a ）
A. B. C. D.2c b -2b c -3c b -3b c -【答案】D（点拨：为重心，则
M ABC ∆.）()()()b c -=+=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+=313121322.如图所示，已知三点不共线，为一定点，为平面外任一点，则下列能C B A ,,P O ABC 表示向量的为 （ ）A.22++B.AC
AB OA 23--C.AC
AB OA 23-+
D.32-+【答案】C（点拨：根据、、、四点共面的条件即可求得：。

A B C P AC y AB x AP +=即，由图.）
AC y AB x OA OP ++=2,3-==y x
3.下列命题中真命题的个数是 （ ）
①空间中的任何一个向量都可用表示
c b a ,,②空间中的任何一个向量都可用基向量表示
c b a ,,③空间中的任何一个向量都可用不共面的三个向量表示
④平面内的任何一个向量都可用平面内的两个向量表示
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
【答案】C（点拨：正确的命题是②③。

）
4.已知向量是空间的一个基底，从中选哪一个向量，一定可以与向量()c b a ,,c b a ,,，构成空间的另一个基底（ ）
b a p +=b a q -=A. B. C. D.不存在
a b c 【答案】C（点拨：设，则yc xp zc +=()()()()b y x a y x b a y b a x zc -++=-+++=因为基底，只能有.）
()c b a ,,0===z y x 5.如图所示，已知空间四边形，其对角线为，、分别是的OABC AC OB ,M N BC OA ,中点，点在线段上，且分所成的定比为2，现用向量表示向量G MN MN OC OB OA ,,，设，则，的值分别是 （ ）
z y x ++=z y x ,,A.3
1,31,31===
z y x B.61,31,31===z y x C.3
1,61,31===z y x D.31,31,61===
z y x
【答案】D ，知2=MG OM OG =+=
+-=32
.3
1,61===++=z y x 能力提升
6.空间四边形中，，点在上，且，OABC c b a ===,,M OA MA OM 2=为中点，则为 （ ）N BC MN A.
B.c b a 213221+-c b a 2
12132++-C. D.c b a 322121-+c b a 213232--【答案】B（点拨：++=()
-+-=2
1
.）=
7.已知三点不共线，是平面外任一点，若由确C B A ,,O ABC OC OP λ+=
定的一点与三点共面，则 。

P C B A ,,=λ【答案】（点拨：由与三点共面，，解得.）152P C B A ,,13251=++∴λ15
2=λ8.在长方体中，若为矩形对角线交点，则
1111D C B A ABCD -E ABCD 中的值应为 ， 。

111111D yA B xA A A E A ++=y x ,=x =y 【答案】
（点拨：，21,21()()111111112
121B A D A A A AD AB A A AE A A E A ++=++=+=.）21==∴y x
9.如图所示，已知长方体中，为的中点，在上，且，1AC M 1DD N AC 1:2:=NC AN 为的中点。

求证:三点共线。

E BM N E A ,,1
【答案】设，则
c AA b a ===1,,
=-=-=-=1111AA AA AA A ()()()()[]
111112121,32AA AA A A A c b a -+-=+=-+.()c b a c c b c a 43212
12121-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-++-=
.故三点共线。

A 1=
∴N E A ,,110.如图所示，已知分别为正方体的棱L K H G F E ,,,,,1AC 的中点，求证:三线共面。

111111,,,,,D A D C CC BC AB AA KL GH EF ,,
【答案】设，则。

c AA b a ===1,,()()c a AA AB EF -=-==21211
，()c b GH +===2
1
，()b a +-====2
1.故共面。

KL GH EF --=∴KL GH EF ,,。