浙江省2019高考数学精准提分练压轴小题突破练(3)

压轴小题突破练(3)
1．如图，过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点F (－c ,0)(c ＞0)，作圆x 2＋y 2
＝a 24
的切线，
切点为E ，延长FE 交双曲线右支于点P ，若OP →＝2OE →－OF →
，则双曲线的离心率为( )
A.10
B.
103
C.
102
D. 2
答案 C
解析 由OP →＝2OE →－OF →
，得 OE →
＝12
(OF →＋OP →
)，可知E 为PF 的中点，
令右焦点为F ′，则O 为FF ′的中点，|PF ′|＝2|OE |＝a ， 又∵|PF |－|PF ′|＝2a ，∴|PF |＝3a ， ∵E 为切点，∴OE ⊥PF ，PF ′⊥PF ，
∴|PF |2
＋|PF ′|2
＝|FF ′|2
，∴10a 2
＝4c 2
，e ＝
102
. 2．在△ABC 中，BC ＝7，AC ＝6，cos C ＝267.若动点P 满足AP →＝(1－λ)AB →＋2λ3AC →
(λ∈R )，
则点P 的轨迹与直线BC ，AC 所围成的封闭区域的面积为( ) A ．5 B ．10 C ．2 6 D ．4 6
答案 A
解析 设AD →＝23
AC →
，
所以AP →＝2λ3AC →＋(1－λ)AB →＝λAD →＋(1－λ)AB →，
则B ，P ，D 三点共线，故P 点的轨迹为直线BD .
则点P 的轨迹与直线BC ，AC 围成的封闭区域为△BCD 及其内部区域．因为sin C ＝1－cos 2
C
＝57，则S △BCD ＝12BC ²CD ²sin C ＝12³7³13³6³5
7
＝5. 3．已知向量a ，b 满足|a |＝22|b |≠0，且关于x 的函数f (x )＝2x 3
＋3|a |x 2
＋6a ²b x ＋7在实数集R 上单调递增，则向量a ，b 的夹角的取值范围是( )
A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6
B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3
C.⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π4 D.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π6，π4 答案 C
解析 求导可得f ′(x )＝6x 2
＋6|a |x ＋6a ²b ，则由函数f (x )＝2x 3
＋3|a |x 2
＋6a ²b x ＋7在实数集R 上单调递增，可得f ′(x )＝6x 2
＋6|a |x ＋6a ²b ≥0在R 上恒成立， 即x 2
＋|a |x ＋a ²b ≥0恒成立， 故判别式Δ＝a 2
－4a²b ≤0恒成立， 再由|a |＝22|b |≠0，
可得8|b |2
≤82|b |2
cos 〈a ，b 〉， ∴cos〈a ，b 〉≥
2
2
， 又∵〈a ，b 〉∈[0，π]，∴〈a ，b 〉∈⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π4.
4．设A ，B 分别为双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的左、右顶点，P 是双曲线上不同于A ，B 的一
点，设直线AP ，BP 的斜率分别为m ，n ，则4b a ＋a b ＋1
2mn ＋2ln ||m ＋2ln ||n 取得最小值时，双
曲线的离心率为( ) A. 5 B. 6 C.52
D.62
答案 C
解析 设A (－a,0)，B (a,0), P (x 0，y 0)(x 0≠±a )，点P 在双曲线上，得x 20a 2－y 20
b 2＝1，所以k PA k PB
＝y 0
x 0＋a ²y 0
x 0－a ＝y 20
x 20－a
2＝b 2a 2，即mn ＝b 2
a 2， 4
b a ＋a b ＋12mn ＋2ln|m |＋2ln|n |≥4＋1
2mn
＋2ln ||mn ， 设函数f (x )＝2ln x ＋12x (x >0), f ′(x )＝2x －12x 2＝4x －12x 2，
所以f (x )在区间⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，14上单调递减，
在区间⎝ ⎛⎭
⎪⎫14，＋∞上单调递增．f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫14，即mn ＝b 2
a 2＝14，又基本不等式等号成立的条
件为当且仅当a 2
＝4b 2
，所以e ＝1＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫b a 2＝
5
2
.
5．如图，在边长为2的正方形ABCD 中，E ，F 分别为AD ，CD 的中点，连接BF ，交AC ，CE 于G ，H 两点，记I 1＝GA →²GB →，I 2＝GF →²GC →，I 3＝HE →²HF →
，则I 1，I 2，I 3的大小关系是( )
A ．I 1<I 2<I 3
B ．I 1<I 3<I 2
C ．I 3<I 2<I 1
D ．I 2<I 3<I 1
答案 C
解析 建立平面直角坐标系，如图所示，
则A (0,2)，B (2,2)，C (2,0)，E (0,1)，F (1,0)， 由⎩⎪⎨⎪⎧ 12x ＋12y ＝1，
y ＝2x －2，求得G ⎝ ⎛⎭
⎪⎫43，23， 由⎩⎪⎨⎪⎧
12x ＋y ＝1，y ＝2x －2，
求得H ⎝ ⎛⎭
⎪⎫65，25， ∴I 1＝GA →²GB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－43³⎝ ⎛⎭⎪⎫2－43＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2－23³⎝ ⎛⎭⎪⎫2－23＝89
，
I 2＝GF →²GC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫
1－43³⎝
⎛⎭⎪⎫2－43＋⎝
⎛⎭⎪⎫
－23³⎝ ⎛⎭⎪⎫－23
＝29，
I 3＝HE →²HF →
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－65³⎝
⎛⎭⎪⎫1－65＋⎝
⎛
⎭⎪⎫
1－25³⎝ ⎛⎭
⎪⎫－25
＝0，
∴I 3<I 2<I 1.故选C.
6．在△ABC 中，已知AB →²AC →＝9，sin B ＝cos A ²sin C ，S △ABC ＝6，P 为线段AB 上的点，且CP →
＝
x ²
CA
→
||
CA →＋y ²
CB
→
||
CB →
，则xy 的最大值为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 答案 C
解析 由题设sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝sin C cos A ， 即sin A cos C ＝0， 因为sin A ≠0，
所以cos C ＝0，∴C ＝90°， 又∵bc cos A ＝9，故b 2
＝9，即b ＝3. ∵1
2
ab ＝6，故a ＝4，c ＝5， 故建立如图所示平面直角坐标系xOy ，
则A (3,0)，B (0,4)，则由题设可知P (x ，y )， 直线AB 的方程为x 3＋y 4＝1且x ＞0，y ＞0，
∴x 3＋y
4
＝1≥2xy
12
，即xy ≤3，
当且仅当x ＝3
2，y ＝2时“＝”成立，
故选C.
7．已知点M (1,0)，A ，B 是椭圆x 2
4
＋y 2＝1上的动点，且MA →²MB →＝0，则MA →²BA →
的取值范围是( )
A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1 B ．[1,9] C.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤23，9 D.⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤
63，3 答案 C
解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
则MA →＝(x 1－1，y 1)，MB →
＝(x 2－1，y 2)， BA →
＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，
由题意有MA →²MB →
＝(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2＝0， 所以MA →²BA →
＝(x 1－1)(x 1－x 2)＋y 1(y 1－y 2) ＝(x 1－1)x 1－(x 1－1)x 2＋y 2
1－y 1y 2
＝x 2
1－x 1＋y 2
1－[(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2＋(x 1－1)] ＝x 2
1－x 1＋1－14x 21－x 1＋1＝34x 21－2x 1＋2
＝34⎝
⎛
⎭⎪⎫x 1－432＋23，x 1∈[－2,2]．
所以当x ＝－2时，MA →²BA →
有最大值9， 当x ＝43时，MA →²BA →
有最小值23
，故选C.
8．在△ABC 中，AB ＝3, AC ＝2，∠BAC ＝60°，点P 是△ABC 内一点(含边界)，若AP →＝23AB →＋
λAC →
，则||
AP →的取值范围为( )
A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，210＋333
B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，83
C.⎣
⎢⎡⎦⎥⎤
0，2133
D.⎣
⎢⎡⎦⎥⎤2，2133
答案 D
解析 如图所示，以靠近点B 的三等分点为平行四边形的一个顶点，A ，C 为另外两个顶点构造平行四边形ADEC ，DE 与BC 交于点F ，则点P 位于线段DF 上，所以当点P 在点D 处时，||
AP →最小，||
AP
→min
＝AD ＝2；当点P 在点F 处时，||
AP →最大，因为AP →＝23
AB →＋λAC →，所以当λ
＝1
3
时，||
AP →max
＝2133，则||
AP →的取值范围为⎣
⎢⎡⎦⎥⎤2，2133.
9．如图2，“六芒星”由两个全等的正三角形组成，中心重合于点O 且三组对边分别平行．点
A ，
B 是“六芒星”(如图1)的两个顶点，动点P 在“六芒星”上(内部以及边界)，若OP →＝xOA
→
＋yOB →
，则x ＋y 的取值范围是( )
A.[]－4，4
B.[]－21，21
C.[]－5，5
D.[]－6，6 答案 C
解析 如图建立平面直角坐标系：
令正三角形边长为3，则OB →＝i ，OA →
＝－32i ＋32j ，
可得i ＝OB →，j ＝233
OA →＋3OB →
，
由图知当P 在C 点时有，OP →＝3j ＝2OA →＋3OB →
，此时x ＋y 有最大值5，
同理在与C 相对的下顶点时有OP →＝－3j ＝－2OA →－3OB →
，此时x ＋y 有最小值－5.
10．设S n ，T n 分别为等差数列{a n }，{b n }的前n 项和，且S n T n ＝3n ＋2
4n ＋5
.设点A 是直线BC 外一点，
点P 是直线BC 上一点，且AP →＝a 1＋a 4b 3
²AB →＋λ²AC →
，则实数λ的值为( )
A ．－325B.2825C.325D ．－2825
答案 A
解析 不妨取S n ＝3n 2
＋2n ，T n ＝4n 2
＋5n ，当n ＝1时，a 1＝S 1＝5，当n ≥2时，
a n ＝S n －S n －1＝6n －1，验证得当n ＝1时上式成立．综上，a n ＝6n －1.
同理可得b n ＝8n ＋1，即
a 1＋a 4
b 3＝28
25
. 点P 在直线BC 上，设BP →＝kBC →
，
AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋kBC →＝AB →＋k (AC →－AB →) ＝(1－k )AB →＋kAC →＝2825AB →＋λ²AC →
，
即1－k ＝2825，λ＝k ＝－3
25
.
11．已知向量a ，b ，c 满足|a |＝1，|b |＝2，|c |＝3,0≤λ≤1，若b ²c ＝0，则|a －λb －(1－λ)c |的最大值为__________，最小值为________． 答案 4
613
13
－1 解析 设n ＝λb ＋(1－λ)c ，|a －λb －(1－λ)c |＝|a －n |，|n |－|a |≤|a －n |≤|n |＋|a |，即|n |－1≤|a －n |≤|n |＋1，|n |2
＝|λb ＋(1－λ)c |2
＝λ2
|b |2
＋(1－λ)2
|c |2
＋2λ(1－λ)b ²c
＝4λ2
＋9(1－λ)2
＝13λ2
－18λ＋9(0≤λ≤1)，由二次函数性质可得，
3613≤|n |2
≤9，61313≤|n |≤3，61313－1≤|n |－1≤|a －n |≤|n |＋1≤4，∴|a －λb －(1－λ)c |的最大值为4，最小值为61313
－1.
12．已知抛物线y 2
＝4x ，其焦点记为F ，过点F 作直线l 交抛物线于A ，B 两点，则|AF |－
2|BF |的最小值为________． 答案 22－2
解析 因为F (1,0)，当直线l 与x 轴不垂直时， 设直线AB ：y ＝k (x －1)，代入y 2
＝4x 可得k 2x 2
－(2k 2
＋4)x ＋k 2
＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
则x 1²x 2＝1，不妨设x 1＜1，x 2＞1.
由抛物线的定义可得|AF |＝x 1＋1，|BF |＝x 2＋1，
所以|AF |－2
|BF |＝x 1＋1－2x 2＋1＝(x 1＋1)(x 2＋1)－2x 2＋1＝x 1＋x 2x 2＋1＝1＋x 2
2
x 2＋x 22
＝
1
1＋x 2－1
x 2
2＋1
，
令x 2－1＝t ，则x 2＝t ＋1， 所以|AF |－
2|BF |
＝
1
1＋t
t 2
＋2t ＋2
＝
11＋
1
2＋t ＋
2t
≥
11＋
1
2＋22
＝
2(1＋2)3＋22
＝
21＋2
＝2(2－
1)，
当且仅当t ＝2时取“＝”．
当直线l 与x 轴垂直时，可求得|AF |＝2，|BF |＝2， 所以|AF |－
2
|BF |＝1， 综上，|AF |－2
|BF |
的最小值为22－2.
13．若向量a ，b 满足4a 2
＋a ²b ＋b 2
＝1，则|2a ＋b |的最大值为________． 答案
210
5
解析 向量a ，b 满足4a 2
＋a ²b ＋b 2
＝1，
∴(2a ＋b )2
＋(2a －b )2
＝8a 2
＋2b 2
，(2a ＋b )2
－(2a －b )2
＝8a ²b ， ∴(2a ＋b )2
＋(2a －b )2
2＋(2a ＋b )2
－(2a －b )2
8＝1，
∴5(2a ＋b )2
8＋3(2a －b )
2
8＝1，
∴58(2a ＋b )2＝1－38(2a －b )2
≤1， ∴(2a ＋b )2
≤85，∴|2a ＋b |≤2105，
即|2a ＋b |的最大值为210
5
.
14．已知O 为△ABC 的外心，且BO →＝λBA →＋μBC →
. ①若∠C ＝90°，则λ＋μ＝______________；
②若∠ABC ＝60°，则λ＋μ的最大值为______________． 答案 12 23
解析 ①若∠C ＝90°，则O 为AB 边的中点，BO →＝12BA →
，即λ＝12，μ＝0，故填12.
②设△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，因为O 为△ABC 的外心，且BO →＝λBA →＋μBC →
， 所以⎩⎪⎨
⎪⎧
BO →²BA →＝λBA →2＋μBA →²BC →
，
BO →²BC →＝λ
BA →²BC →＋μBC →
2，
即⎩⎪⎨⎪⎧
12c 2
＝λc 2＋1
2μac ，12a 2
＝1
2λac ＋μa 2
，
化简得⎩⎪⎨⎪⎧
λc ＋12μa ＝12
c ，12λc ＋μa ＝1
2
a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧
λ＝23－a
3c ，μ＝23－c
3a ，
则λ＋μ＝43－⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3c ＋c 3a ≤43－23＝2
3，当且仅当△ABC 为等边三角形时“＝”成立．
15．如图，在△ABC 中，已知BD →＝12DC →，P 为AD 上一点，且满足CP →＝mCA →＋49CB →
，若△ABC 的面
积为3，∠ACB ＝π
3
，则||
CP →的最小值为________．
答案 43
解析 设AP →＝λAD →，则CP →＝CA →＋λAD →＝CA →
＋λ()CD →－CA →＝(1－λ)CA →＋23λCB →.
由平面向量基本定理可得⎩⎪⎨⎪
⎧
1－λ＝m ，49＝2
3
λ，解得m ＝1
3
，
∴CP →＝13CA →＋49
CB →，令||CA →＝x ，||
CB →＝y ， 则S △ABC ＝12||CA →³||
CB →³sin∠ACB ＝34
xy ＝3， ∴xy ＝4，且x >0，y >0. ∴||CP →2
＝19x 2
＋1681y 2
＋427xy ＝19x 2
＋1681y 2
＋16
27
≥2
19x 2³1681y 2＋1627＝169
， 当且仅当19x 2＝1681
y 2
，即3x ＝4y ，即3||CA →＝4||CB →时等号成立．即||
CP →min
＝4
3
. 16．在△ABC 中，AB ＝62，AC ＝6，∠BAC ＝π4，点D 满足BD →＝23BC →
，点E 在线段AD 上运动，
若AE →＝λAB →＋μAC →，则3λ＋13μ取得最小值时，向量AE →
的模为________．
答案 2 5
解析 在△ABC 中，AB ＝62，AC ＝6，∠BAC ＝π
4
，可得BC ＝6.
∴AC 2＋BC 2＝AB 2
，即AC ⊥BC .∵点D 满足BD →＝23BC →，
∴CD ＝2.
如图建立平面直角坐标系，则A (0,6)，B (6,0)，D (2,0)，
设AE →＝kAD →＝(2k ，－6k )，AE →＝λAB →＋μAC →
＝λ(6，－6)＋μ(0，－6)＝(6λ，－6λ－6μ)， ∴2k ＝6λ，－6k ＝－6λ－6μ，∴μ＝2λ， ∴3λ＋13μ＝3λ＋1
6λ
≥2
1
2
＝2， 当且仅当λ2
＝118
时等号成立．
此时AE →＝(6λ，－18λ)，|AE →|＝36λ2＋324λ2
＝2 5.
17．已知a ，b ，c 是三个单位向量，且c ²a ＝c ²b >0，则对于任意的正实数t ，⎪⎪⎪⎪
⎪
⎪c －t a －1t b 的最小值为1
2，则a ²b ＝________.
答案 18或－78
解析 设a ，c 夹角为θ，则a ，b 夹角为2θ， ∴⎪⎪⎪⎪
⎪⎪c －t a －1t b 2＝1＋t 2
＋1t
2－2⎝ ⎛⎭
⎪⎫t ＋1t a ²c ＋2a ²b
＝⎝
⎛⎭
⎪⎫t ＋1t 2－2⎝ ⎛⎭
⎪⎫t ＋1t cos θ＋2cos2θ－1(t >0)，
将⎪⎪⎪⎪
⎪⎪c －t a －1t b 2看作关于t ＋1t
的二次函数，
∵0<cos θ≤1，t ＋1
t
≥2，
∴当t ＋1t ＝2即t ＝1时，⎪⎪⎪⎪⎪⎪c －t a －1t b 2min ＝14， 即4－4cos θ＋2cos2θ－1＝1
4，
解得cos θ＝14或cos θ＝3
4
.
11 当cos θ＝14时，cos2θ＝－78，∴a ²b ＝－78
， 当cos θ＝34时，cos2θ＝18，∴a ²b ＝18
， 综上，a ²b ＝18或－78
.。