大学物理矢量
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cos x r
cos y r
cos z r
y P r P
o
x
z
1-2 运动的描述
运动方程
如果质点是运动的，则位矢 r
随时间不断变化，记为：
y
y(t)
P
r(t)
r (t) x(t)i y(t) j z(t)k
o
x(t)
x x(t)
z(t)
z
x
或分量式 y y(t)
时间增加到 t t时刻。
当改变量为无限小量，如t 0时，符号“ ” 通常会改写，记为“ dt ”。
（三）积分的含义 一、问题的提出
1 求平面图形的面积
会求梯形的面积，曲边梯形的面积怎样求？若 会，则可求出各平面图形的面积。
考虑如下曲边梯形面积的求法。
y
y f (x)
Sab ?
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
1 位置矢量 确定质点P某一时刻在
坐位标置系矢里 量的, 简位称置位的矢物r理.量称
y
y j
r
*P
r xi yj zk
式中i 、j 、k 分别为x、y、z
z
o
k
x
i
z
x
方向的单位矢量.
1-2 运动的描述
r 位矢 的值为
r r x2 y2 z2
r 位矢 的方向余弦
积分和
积分上限
n
b a
f (x)dx S
lim
0
i 1
f (i )xi
积分下限
被 积 函 数
被积
积 表
分 变
[a,b] — —积分区间.
达 式
量
本章目录
1-0 内容提要 1-1 参考系 坐标系 物理模型 1-2 运动的描述 1-3 相对运动
力学——研究机械运动及其规律的物理学分支。
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
在二维情况下:
Y
A Axi Ay j
Ay
tg Ay
Ax
O Ax
X
如果A Axi Ay j 和 B Bxi By j , 则有:
C Cxi Cy j B A (Ax Bx )i (Ay By ) j
增量的大小 ≠ 大小的增量
位矢长度的变化
1-2 运动的描述
3 速度 是描述物体运动快慢和运动方向的物理量。
1）平均速度
定义：在单位时间间隔质点
运动所 产生 的位移。 r r(t t) r(t)
t 时间内, 质点的平均速度
v
r
x
i
y
j
z
k
t t t t
实际物体的运动往往包含两种或两种以上运 动形式的叠加：如汽车的行进、子弹的飞行、 大分子的热运动等等。
一、运动的绝对性和相对性
• 斗转星移，海陆变迁 • 电子饶着原子核运动
自然界是不停运动的
• 铁生锈，事物腐烂
• 离离原上草，一岁一苦荣 • 少小离家老大还，乡音无改鬓毛衰
广义运动
• 小时四条腿，长大两条腿，老了三条腿
物体抽象为质点的条件：
A
1. 物体做平动；
A
B
物体不变形，不作转动
(此时物体上各点的速
B
度及加速度都相同，物
A
体上任一点可以代表所
有点的运动)。
B
2. 物体做转动时，所研究 的距离远远大于物体本身 的线度。
另一类问题：把物体 化为若干个质点的集 合体来研究。
1-2 运动的描述
一、位置矢量 运动方程 位移
• 奴隶社会-封建社会-资本主义社会-社会主义社
会……
人类社会也是不停运动
结论：世界上一切事物都处于运动和变化中
绝对性：
观察表明： v地日＝30kms-1
相对性：
结论：一切运动都是绝对的，但是只有讨论相对意 义上的运动才有意义。
二、参考系
为描述物体的运动而选择的标准物叫做参考系.
选取的参考系不同，对物体运动情况的描述不 同，这就是运动描述的相对性. 常用的参考系有：
补充：（一）矢量和矢量运算
两种物理量: 标量:只有大小，没有方向。如质量, 速率, 温度…
矢量:既有大小又有方向。如速度, 加速度, 动量..
矢量 A : 它的大小和方向可用从始点O指向终
点P的有向线段OP表示，并标记为 A
oA
*p
在直角坐标系下:
*
OP
A Axi Ay j Azk
xB xA
r
(xB
x A )i
( yB
yA)
j
(zB
z A )k
位移的大小为 r x2 y2 z2
路程（s ）: 质点实际运动轨迹的长度.
1-2 运动的描述
讨论 位移与路程
（A）位移是矢量, 路程是标量.
（B） 一的,
可P1以P2是两点s间或的路s程而是位不移唯r
z z(t) 称为运动方程
注：
运动方程包含了质点运动的全部 信息，是运动学的核心。
1-2 运动的描述
从中消去参数 t 得轨迹方程
f (x, y, z) 0
例如：
1.
r
3sin
ti
3 cos
tj
6
6
x 3sin t
6
y 3cos t
6
x2 y2 9
oa
bx
思路：用已知代未知，利用极限由近似到精确。
用矩形面积近似曲边梯形面积：
y
y
oa
b xo a
bx
（四个小矩形）
（九个小矩形）
一般地，小矩形越多，小矩形面积和越接近曲 边梯形面积．
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
的基本要求对其进行理想化的简化，抽象为可以用 数学方法描述的理想模型。
如果我们研究某一物体的运动，而可以忽略其 大小和形状对物体运动的影响，若不涉及物体的转 动和形变，我们就可以把物体当作是一个具有质量 的点（即质点）来处理 .
质点是经过科学抽象而形成的理想化的物理模 型 . 目的是为了突出研究对象的主要性质 , 暂不考 虑一些次要的因素 .
（点乘、标乘）：
0, cos 1, a b ab
180
o , cos
1, a
b
ab
ca babbcosa, a •
i i j j k k
a = 1
a2,
,
c
os
0,
a
把 [a,b] 分 成 n个 小 y 区 间[ xi 1, xi ]， 长 度 为 xi xi xi1;
在每个[ xi1, xi ] 上
任 取 一 点 i，
o
a
x1
xi1 i xi
xn1
b
x
以 [ xi1, xi ]为底，f (i ) 为高的小矩形面积为
Ai f (i )xi
显然:
C x Ax Bx
C y Ay By
矢量的加法: 两个矢量相加
C AB
AB
矢量的减法: 两个矢量相减
C' A B A (B)
差矢量方向：
减数终端→被减数终端
A
C
B
C'
A
B
矢量的内积
a
b
ab
曲边梯形面积的近似值为
n
A f (i )xi
i 1
当分割无限加细, 即小区间的最大长度
max{x1, x2,xn } 0 时，
n
有，小矩形面积和
f (i )xi A,
i 1
n
即有曲边梯形面积计算公式：A
lim
0 i1
f
( i
)xi。
记为
按研究内容分类
运动学 —— 研究物体运动的规律
力 学
动力学 —— 研究物体运动的原因
静力学 —— 研究物体平衡时的规律
机械运动：宏观物体之间（或物体内各部分之间）相对 位置的变化。
机械运动
平动：物体各点的运动情况完全相同。 转动：物体各点绕轴作圆周运动。 振动：物体各点相对平衡位置作往复运动。
注意：
, k为常量
dt
dt
点乘的微分
d
(a
b)
a
db
da
b
dt
dt dt
叉积的微分
d
(a b)
a
db
da
b
dt
dt dt
（二）“Δt”和“dt”的含义
符号“ ”一般表示改变量或者增加量。如果该
值为正，则表明增加；反之，则表明减少。
当时间由t时刻增加了一定时间间隔时，通常会表述为
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
曲边梯形面积的计算： 在 [a,b]内插入若干个分点，
a x0 x1 x2 xn1 xn b,
地面参考系、地心参考系、太阳参考系、实验 室参考系等等 选取原则：
使问题的研究最方便、最简单
三、坐标系 为定量地描述物体位置而引入。
常用的有直角坐标系、自然坐标系、极坐标系、球
面坐标系或柱面坐标系等。
y et
j
o
k
i
x
P
*
en
en
P*
et
z
直角坐标系
自然坐标系
四、物理模型 对真实的物理过程和对象，根据所讨论的问题
y
s' s
p1 r
p2
是唯一的. 位移反映物体在空间位置的变化， 只决定于质点的始末位置, 与路径
r (t1)
O
r(t2 )
无关.
z
x
（C） 一般情况, 位移大小不
等于路程. r s
（D）什么情况 r s？
不改变方向的直线运动;
当 t 0 时 dr ds .
b
0
i
j
j
k
k
i
0
2
a b axbx a yby azbz
矢量的外积
（叉乘、矢乘）：
aa
ba
b
0
a
a
b
大小：d absin d 方向：右手螺旋法则
i i j j k k 0
i j k, jk i,k i
当 t 0 时
dr ds
1-2 运动的描述
注意
r r
r
xi
yj
zk
r x2 y 2 z 2
y
P1 r
P2
r (t1)
r
r (t2 )
O
z
x P1(x1, y1, z1)
P2 (x2 , y2 , z2 )
r x22 y22 z22 x12 y12 z12
y
B
r
r(t t)
A
r (t)
o
x
平均速度 v 与 r 同方向. z
1-2 运动的描述
若
v
vxi vy j vzk
vx
x t
, vy
y t
, vz
z t
平均速度大小 2）瞬时速度
v ( x )2 ( y )2 ( z )2
B 的位移矢量 , 简称位移.
r r2 r1
1-2 运动的描述
r1 xAi yA j
y
r2 xBi yB j 位移 r r2 r1
yB A r
r y A 1
r2
(xB xA)i (yB yA) j
o
xA
B
yB yA
xB x
若质点在三维空间中运动
z0
为圆周运动
2.
x
v0t
y
1 2
gt 2
y g x2
2v
2 0
为抛体运动
1-2 运动的描述
2 位移
y
A r B
r1
r2
y
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
yB A r
r y A 1
r2
B
yB yA
o
x
o
xA
xB x
xB xA
把
经过时间间隔 t
由始点 A 指向终点
B后的, 有质向点线位段置r矢量发称生为变点化A,到
j
a
b
i ax
j ay
k
az (aybz azby )i (azbx axbz ) j (axby aybx )k
bx by bz
若
a
a(t)
b b(t)
d
(a
b)
da
db
;
dt
dt dt
d
(ka)
k
da
cos y r
cos z r
y P r P
o
x
z
1-2 运动的描述
运动方程
如果质点是运动的，则位矢 r
随时间不断变化，记为：
y
y(t)
P
r(t)
r (t) x(t)i y(t) j z(t)k
o
x(t)
x x(t)
z(t)
z
x
或分量式 y y(t)
时间增加到 t t时刻。
当改变量为无限小量，如t 0时，符号“ ” 通常会改写，记为“ dt ”。
（三）积分的含义 一、问题的提出
1 求平面图形的面积
会求梯形的面积，曲边梯形的面积怎样求？若 会，则可求出各平面图形的面积。
考虑如下曲边梯形面积的求法。
y
y f (x)
Sab ?
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
1 位置矢量 确定质点P某一时刻在
坐位标置系矢里 量的, 简位称置位的矢物r理.量称
y
y j
r
*P
r xi yj zk
式中i 、j 、k 分别为x、y、z
z
o
k
x
i
z
x
方向的单位矢量.
1-2 运动的描述
r 位矢 的值为
r r x2 y2 z2
r 位矢 的方向余弦
积分和
积分上限
n
b a
f (x)dx S
lim
0
i 1
f (i )xi
积分下限
被 积 函 数
被积
积 表
分 变
[a,b] — —积分区间.
达 式
量
本章目录
1-0 内容提要 1-1 参考系 坐标系 物理模型 1-2 运动的描述 1-3 相对运动
力学——研究机械运动及其规律的物理学分支。
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
在二维情况下:
Y
A Axi Ay j
Ay
tg Ay
Ax
O Ax
X
如果A Axi Ay j 和 B Bxi By j , 则有:
C Cxi Cy j B A (Ax Bx )i (Ay By ) j
增量的大小 ≠ 大小的增量
位矢长度的变化
1-2 运动的描述
3 速度 是描述物体运动快慢和运动方向的物理量。
1）平均速度
定义：在单位时间间隔质点
运动所 产生 的位移。 r r(t t) r(t)
t 时间内, 质点的平均速度
v
r
x
i
y
j
z
k
t t t t
实际物体的运动往往包含两种或两种以上运 动形式的叠加：如汽车的行进、子弹的飞行、 大分子的热运动等等。
一、运动的绝对性和相对性
• 斗转星移，海陆变迁 • 电子饶着原子核运动
自然界是不停运动的
• 铁生锈，事物腐烂
• 离离原上草，一岁一苦荣 • 少小离家老大还，乡音无改鬓毛衰
广义运动
• 小时四条腿，长大两条腿，老了三条腿
物体抽象为质点的条件：
A
1. 物体做平动；
A
B
物体不变形，不作转动
(此时物体上各点的速
B
度及加速度都相同，物
A
体上任一点可以代表所
有点的运动)。
B
2. 物体做转动时，所研究 的距离远远大于物体本身 的线度。
另一类问题：把物体 化为若干个质点的集 合体来研究。
1-2 运动的描述
一、位置矢量 运动方程 位移
• 奴隶社会-封建社会-资本主义社会-社会主义社
会……
人类社会也是不停运动
结论：世界上一切事物都处于运动和变化中
绝对性：
观察表明： v地日＝30kms-1
相对性：
结论：一切运动都是绝对的，但是只有讨论相对意 义上的运动才有意义。
二、参考系
为描述物体的运动而选择的标准物叫做参考系.
选取的参考系不同，对物体运动情况的描述不 同，这就是运动描述的相对性. 常用的参考系有：
补充：（一）矢量和矢量运算
两种物理量: 标量:只有大小，没有方向。如质量, 速率, 温度…
矢量:既有大小又有方向。如速度, 加速度, 动量..
矢量 A : 它的大小和方向可用从始点O指向终
点P的有向线段OP表示，并标记为 A
oA
*p
在直角坐标系下:
*
OP
A Axi Ay j Azk
xB xA
r
(xB
x A )i
( yB
yA)
j
(zB
z A )k
位移的大小为 r x2 y2 z2
路程（s ）: 质点实际运动轨迹的长度.
1-2 运动的描述
讨论 位移与路程
（A）位移是矢量, 路程是标量.
（B） 一的,
可P1以P2是两点s间或的路s程而是位不移唯r
z z(t) 称为运动方程
注：
运动方程包含了质点运动的全部 信息，是运动学的核心。
1-2 运动的描述
从中消去参数 t 得轨迹方程
f (x, y, z) 0
例如：
1.
r
3sin
ti
3 cos
tj
6
6
x 3sin t
6
y 3cos t
6
x2 y2 9
oa
bx
思路：用已知代未知，利用极限由近似到精确。
用矩形面积近似曲边梯形面积：
y
y
oa
b xo a
bx
（四个小矩形）
（九个小矩形）
一般地，小矩形越多，小矩形面积和越接近曲 边梯形面积．
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
的基本要求对其进行理想化的简化，抽象为可以用 数学方法描述的理想模型。
如果我们研究某一物体的运动，而可以忽略其 大小和形状对物体运动的影响，若不涉及物体的转 动和形变，我们就可以把物体当作是一个具有质量 的点（即质点）来处理 .
质点是经过科学抽象而形成的理想化的物理模 型 . 目的是为了突出研究对象的主要性质 , 暂不考 虑一些次要的因素 .
（点乘、标乘）：
0, cos 1, a b ab
180
o , cos
1, a
b
ab
ca babbcosa, a •
i i j j k k
a = 1
a2,
,
c
os
0,
a
把 [a,b] 分 成 n个 小 y 区 间[ xi 1, xi ]， 长 度 为 xi xi xi1;
在每个[ xi1, xi ] 上
任 取 一 点 i，
o
a
x1
xi1 i xi
xn1
b
x
以 [ xi1, xi ]为底，f (i ) 为高的小矩形面积为
Ai f (i )xi
显然:
C x Ax Bx
C y Ay By
矢量的加法: 两个矢量相加
C AB
AB
矢量的减法: 两个矢量相减
C' A B A (B)
差矢量方向：
减数终端→被减数终端
A
C
B
C'
A
B
矢量的内积
a
b
ab
曲边梯形面积的近似值为
n
A f (i )xi
i 1
当分割无限加细, 即小区间的最大长度
max{x1, x2,xn } 0 时，
n
有，小矩形面积和
f (i )xi A,
i 1
n
即有曲边梯形面积计算公式：A
lim
0 i1
f
( i
)xi。
记为
按研究内容分类
运动学 —— 研究物体运动的规律
力 学
动力学 —— 研究物体运动的原因
静力学 —— 研究物体平衡时的规律
机械运动：宏观物体之间（或物体内各部分之间）相对 位置的变化。
机械运动
平动：物体各点的运动情况完全相同。 转动：物体各点绕轴作圆周运动。 振动：物体各点相对平衡位置作往复运动。
注意：
, k为常量
dt
dt
点乘的微分
d
(a
b)
a
db
da
b
dt
dt dt
叉积的微分
d
(a b)
a
db
da
b
dt
dt dt
（二）“Δt”和“dt”的含义
符号“ ”一般表示改变量或者增加量。如果该
值为正，则表明增加；反之，则表明减少。
当时间由t时刻增加了一定时间间隔时，通常会表述为
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
曲边梯形面积的计算： 在 [a,b]内插入若干个分点，
a x0 x1 x2 xn1 xn b,
地面参考系、地心参考系、太阳参考系、实验 室参考系等等 选取原则：
使问题的研究最方便、最简单
三、坐标系 为定量地描述物体位置而引入。
常用的有直角坐标系、自然坐标系、极坐标系、球
面坐标系或柱面坐标系等。
y et
j
o
k
i
x
P
*
en
en
P*
et
z
直角坐标系
自然坐标系
四、物理模型 对真实的物理过程和对象，根据所讨论的问题
y
s' s
p1 r
p2
是唯一的. 位移反映物体在空间位置的变化， 只决定于质点的始末位置, 与路径
r (t1)
O
r(t2 )
无关.
z
x
（C） 一般情况, 位移大小不
等于路程. r s
（D）什么情况 r s？
不改变方向的直线运动;
当 t 0 时 dr ds .
b
0
i
j
j
k
k
i
0
2
a b axbx a yby azbz
矢量的外积
（叉乘、矢乘）：
aa
ba
b
0
a
a
b
大小：d absin d 方向：右手螺旋法则
i i j j k k 0
i j k, jk i,k i
当 t 0 时
dr ds
1-2 运动的描述
注意
r r
r
xi
yj
zk
r x2 y 2 z 2
y
P1 r
P2
r (t1)
r
r (t2 )
O
z
x P1(x1, y1, z1)
P2 (x2 , y2 , z2 )
r x22 y22 z22 x12 y12 z12
y
B
r
r(t t)
A
r (t)
o
x
平均速度 v 与 r 同方向. z
1-2 运动的描述
若
v
vxi vy j vzk
vx
x t
, vy
y t
, vz
z t
平均速度大小 2）瞬时速度
v ( x )2 ( y )2 ( z )2
B 的位移矢量 , 简称位移.
r r2 r1
1-2 运动的描述
r1 xAi yA j
y
r2 xBi yB j 位移 r r2 r1
yB A r
r y A 1
r2
(xB xA)i (yB yA) j
o
xA
B
yB yA
xB x
若质点在三维空间中运动
z0
为圆周运动
2.
x
v0t
y
1 2
gt 2
y g x2
2v
2 0
为抛体运动
1-2 运动的描述
2 位移
y
A r B
r1
r2
y
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
yB A r
r y A 1
r2
B
yB yA
o
x
o
xA
xB x
xB xA
把
经过时间间隔 t
由始点 A 指向终点
B后的, 有质向点线位段置r矢量发称生为变点化A,到
j
a
b
i ax
j ay
k
az (aybz azby )i (azbx axbz ) j (axby aybx )k
bx by bz
若
a
a(t)
b b(t)
d
(a
b)
da
db
;
dt
dt dt
d
(ka)
k
da