数学分析_I_试题(1)doc - 扬州大学
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姓名
线
学号
班
扬州大学 20 —20 学年度第 学期
《数学分析 1》期末考试试卷（试卷编号： 01）
（闭卷 120 分钟）
题 号 一 二 三 四 五 六 七 八 总分 复核
应得分 20 20 20 20 5
5
5
5
实得分
阅卷人
一.判断题（每小题 2 分,共 20 分）
1．设 A，B 为非空数集， S = A ∪ B ，则 sup S = max{sup A,sup B}
F(x) = f (x) 在 (0, +∞) 递增.（5 分）
x
八．若函数 f 在闭区间[a,b]上连续，则 f 在[a,b] 上有最大最小值.（5 分）
第2页共2页 PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建
姓名
线
学号
班
扬州大学 20 —20 学年度第 学期
5．若
f(x)无界，则存在 { xn }
⊂
D(
f
) ，使得
lim
n→+∞
f
(xn )
=
∞
1
6． lim (1+ x)x = e x→+∞
7．若
lim(
n→∞
xn
−
yn
)
=
0
，
则
lim
n→∞
xn
=
lim
n→∞
yn
8．若
f
′
+
(
x0
),
f−′(x0 )
均存在，则
f
′( x0 )
存在
9． f (x) = x −[x] 是周期为 1 的周期函数
R 上的凸函数.
（5 分）
七．设 f(x)在[a,b] 上连续，在 (a,b) 内可导且 f(a)=f(b)=0，证明：存在
ξ ∈ (a,b) 使得 f ′(ξ ) = f (ξ ) .
（5 分）
八．若函数 f 在闭区间[a,b]上连续，则 f 在[a,b] 上有界. （5 分）
第2页共2页 PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建
二 求极限（每题 5 分，共 源自0 分）1． lim(1+ tan x)cot x x→0
2． lim x→0
1+ tan x − x3
1+ sin x
3．
lim
x →1
ln 1
cos(x −1) − sin π x
2
4． lim tan x ln x x→ 0
第1页共2页
年级
订
专业
装
系
PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建
2． lim n sin 1 = 1
n→∞
n
3．设 A，B 是有界非空数集， A ⊂ B ，则 inf A ≤ inf B
4．设 A，B 是有界非空数集， S = A ∩ B ，则 inf S = inf A⋅inf B
5． lim f (x) 存在， lim g(x) 不存在，则 lim f (x)g(x) 一定不存在
x→ x0
x→ x0
x→ x0
6．若
{
xn
}
无界，则存在
{xnk
}
⊂
{xn
}
，使得
lim
k →∞
xnk
=∞
7．若{xn} 单调，且有收敛子列，则{xn} 收敛
8．若{x2n},{x2n−1}均收敛，则{xn} 收敛
9．若
f
′
+
(
x0
),
f
′
−
(
x0
)
存在且相等，则
f
′(x0 )
存在
10．若 f(x)在 (−∞, +∞) 内一致连续，则 f (x) 在 (−∞, +∞) 内有界
1．用定义求 (2x sin x)′ x=0 2．设 y = ln(1+ ex cos2 x) ,求 dy
dx 3．设 y = e−x sin 2x ,求 dy
4．求 (sin 2x)(n)
四．证明题（每题 5 分，共 20 分）
1．证明 lim sin x 不存在 x→+∞
2．若 f(x)在[a,b] 上可导，且 f ′(x) ≤ M , 证明:
n
2． lim 1− 1 = 1.
n→∞
n
3．f 在 R 内可导，且 f ′(x) 有界，证明 f(x)在 R 内一致连续.
4．证明：当 x > 0 时, x − x3 < sin x . 6
五．确定 f (x) = ln2 x 的单调区间.（5 分）
x
六．设 f 在 (a,b) 内连续 f (a + 0), f (b − 0) 存在，证明：f 在 (a,b) 内有界.（5 分） 七．f(x)在[0, +∞) 上连续， f (0) = 0 ，且 f ′(x) 在 (0, +∞) 内递增，证明：
连续
9．若 f (x0 + 0), f (x0 − 0) 均存在且相等，则 f(x)在 x0 连续
10．若 f(x),g(x)均在[0, +∞) 上一致连续，则 f (x)g(x) 在[0, +∞) 上一致连续
二. 求极限（每题 5 分，共 20 分）
1． lim( 1 − 1 ) x→0 x tan x
f (b) ≤ f (a) + M (b − a)
3．证明 f (x) = ln(1+ x) 在[0, +∞) 上一致连续
4．设 x ≠ 0 ,求证： ex > 1+ x
五．讨论 f (x) = ln(1+ x2 ) 的单调性与凸性.
（5 分）
六．设 f(x)是 R 上的凸函数，g(u)是 R 上的凸增函数，证明：z=g(f(x))是
三．计算题（每题 5 分，共 20 分）
1．用导数定义求 (arcsin x)′ x=0 2．设 y = ln(1+ ex cos2 x) , 求 y′
3．设 y = e−x sin 2x ,求 dy
4．求 ( 1 )(n) 3+ 2x
四．证明题（每题 5 分，共 20 分）
1．证明： lim tan x 不存在. x→0 x
x→+∞
x→−∞
2．设 A，B 为非空数集， S = A ∪ B ，则 sup S = sup A + sup B
3．若 lim n→∞
xn
=
A
≠
0 ， lim n→∞
yn
不存在，则 lim n→∞
xn
yn
不存在
4．若 f(x),g(x)均在 x0 不连续，则 f (x) ± g(x) 在 x0 不可导
x→ x0
x→ x0
5．若{xn} 收敛，则{xn} 为单调有界数列
6． lim sin x = 1 x→∞ x
7．若 lim( f (x) − g(x)) = 0 ， 则 lim f (x) = lim g(x)
x→ x0
x→ x0
x → x0
8．若
f
′
+
(
x0
),
f−′(x0 )
存在，则
f
在
x0
10．f(x)在 x0 连续 ⇔ f (x0 + 0), f (x0 − 0) 存在且相等
二 求极限（每题 5 分，共 20 分）
1．
lim
x→0
1
−
cos x4
x
2
sin(x − π )
2．
lim
x→π
1−
2
3 cos x
3
1
3． lim(1− x2 )ln(1−x) x→1−
年级
订
专业
装
系
第1页共2页
《数学分析 1》期末考试试卷（试卷编号： 03）
（闭卷 120 分钟）
题 号 一 二 三 四 五 六 七 八 总分 复核
应得分 20 20 20 20 5
5
5
5
实得分
阅卷人
一.判断题（每小题 2 分,共 20 分）
1．f(x)在 x0 间断，g(x) 在 x0 连续，则 f (x) ± g(x) 在 x0 间断
PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建
4． lim 1 (1 − cot x) x→0 x x
三．计算题（每题 5 分，共 20 分）
1．用定义求 (log5 x)′ x=1 . 2．设 y = arcsin(cos2 x) , 求 y′ .
2．若
lim
n→∞
an
= a > 0 ，证明： lim n→∞
n
an
= 1.
3．求证： f (x) = sin x 在 (−∞, +∞) 内一致连续.
4．设
x
>
0
,求证：
1
x +x
2
<
arctan
x
<
x.
五．讨论 f (x) = x2 + 1 的凸性.（5 分）
x
六．设 f(x)在 x = x0 连续，g(u)在 u0 = f (x0 ) 连续，证明：z=g(f(x))
姓名
线
学号
班
扬州大学 20 —20 学年度第 学期
《数学分析 1》期末考试试卷（试卷编号： 02）
（闭卷 120 分钟）
题 号 一 二 三 四 五 六 七 八 总分 复核
应得分 20 20 20 20 5
5
5
5
实得分
阅卷人
一.判断题（每小题 2 分,共 20 分）
1．设 lim f (x) = a ，且 f 是奇函数，则 lim f (x) = −a
2．设
A
为非空数集，则存在
xn
∈
A(n
= 1, 2,L)
，使得
lim
n→∞
xn
=
inf
A
3．若
lim
n→∞
xn
存在，
lim
n→∞
yn
不存在，则
lim(
n→∞
xn
±
yn
)
可能存在
4．若 lim f (x) = A 和 lim f (x)g(x) 存在，而 lim g(x) 不存在，则 A = 0
x→ x0
1
2． lim (x + 1+ x2 )ln x x→+∞
3．
lim
x→1
ln 1
cos(x −1) − sin π x
2
4． lim sin x ln x x→0+
第1页共2页
年级
订
专业
装
系
PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建
三．计算题（每题 5 分，共 20 分）
3．设 y = ln(arccos x ) , 求 dy .
4．求[
1
](n) .
(x −1)(x − 2)
四．证明题（每题 5 分，共 20 分）
1． lim f (x) = +∞, lim g(x) = A ，证明： lim[ f (x) + g(x)] = +∞ .
x→ x0
x → x0
x→ x0
在 x = x0 上的连续. （5 分）
七．设 f(x)在 (−1,1) 内满足 f (x2 ) = f (x) 且 f(x)在 x = 0 连续，求证：f(x)是
常值函数.（5 分）
八．若函数 f 在闭区间[a,b]上连续，则 f 在[a,b] 上一致连续.（5 分）
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线
学号
班
扬州大学 20 —20 学年度第 学期
《数学分析 1》期末考试试卷（试卷编号： 01）
（闭卷 120 分钟）
题 号 一 二 三 四 五 六 七 八 总分 复核
应得分 20 20 20 20 5
5
5
5
实得分
阅卷人
一.判断题（每小题 2 分,共 20 分）
1．设 A，B 为非空数集， S = A ∪ B ，则 sup S = max{sup A,sup B}
F(x) = f (x) 在 (0, +∞) 递增.（5 分）
x
八．若函数 f 在闭区间[a,b]上连续，则 f 在[a,b] 上有最大最小值.（5 分）
第2页共2页 PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建
姓名
线
学号
班
扬州大学 20 —20 学年度第 学期
5．若
f(x)无界，则存在 { xn }
⊂
D(
f
) ，使得
lim
n→+∞
f
(xn )
=
∞
1
6． lim (1+ x)x = e x→+∞
7．若
lim(
n→∞
xn
−
yn
)
=
0
，
则
lim
n→∞
xn
=
lim
n→∞
yn
8．若
f
′
+
(
x0
),
f−′(x0 )
均存在，则
f
′( x0 )
存在
9． f (x) = x −[x] 是周期为 1 的周期函数
R 上的凸函数.
（5 分）
七．设 f(x)在[a,b] 上连续，在 (a,b) 内可导且 f(a)=f(b)=0，证明：存在
ξ ∈ (a,b) 使得 f ′(ξ ) = f (ξ ) .
（5 分）
八．若函数 f 在闭区间[a,b]上连续，则 f 在[a,b] 上有界. （5 分）
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二 求极限（每题 5 分，共 源自0 分）1． lim(1+ tan x)cot x x→0
2． lim x→0
1+ tan x − x3
1+ sin x
3．
lim
x →1
ln 1
cos(x −1) − sin π x
2
4． lim tan x ln x x→ 0
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年级
订
专业
装
系
PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建
2． lim n sin 1 = 1
n→∞
n
3．设 A，B 是有界非空数集， A ⊂ B ，则 inf A ≤ inf B
4．设 A，B 是有界非空数集， S = A ∩ B ，则 inf S = inf A⋅inf B
5． lim f (x) 存在， lim g(x) 不存在，则 lim f (x)g(x) 一定不存在
x→ x0
x→ x0
x→ x0
6．若
{
xn
}
无界，则存在
{xnk
}
⊂
{xn
}
，使得
lim
k →∞
xnk
=∞
7．若{xn} 单调，且有收敛子列，则{xn} 收敛
8．若{x2n},{x2n−1}均收敛，则{xn} 收敛
9．若
f
′
+
(
x0
),
f
′
−
(
x0
)
存在且相等，则
f
′(x0 )
存在
10．若 f(x)在 (−∞, +∞) 内一致连续，则 f (x) 在 (−∞, +∞) 内有界
1．用定义求 (2x sin x)′ x=0 2．设 y = ln(1+ ex cos2 x) ,求 dy
dx 3．设 y = e−x sin 2x ,求 dy
4．求 (sin 2x)(n)
四．证明题（每题 5 分，共 20 分）
1．证明 lim sin x 不存在 x→+∞
2．若 f(x)在[a,b] 上可导，且 f ′(x) ≤ M , 证明:
n
2． lim 1− 1 = 1.
n→∞
n
3．f 在 R 内可导，且 f ′(x) 有界，证明 f(x)在 R 内一致连续.
4．证明：当 x > 0 时, x − x3 < sin x . 6
五．确定 f (x) = ln2 x 的单调区间.（5 分）
x
六．设 f 在 (a,b) 内连续 f (a + 0), f (b − 0) 存在，证明：f 在 (a,b) 内有界.（5 分） 七．f(x)在[0, +∞) 上连续， f (0) = 0 ，且 f ′(x) 在 (0, +∞) 内递增，证明：
连续
9．若 f (x0 + 0), f (x0 − 0) 均存在且相等，则 f(x)在 x0 连续
10．若 f(x),g(x)均在[0, +∞) 上一致连续，则 f (x)g(x) 在[0, +∞) 上一致连续
二. 求极限（每题 5 分，共 20 分）
1． lim( 1 − 1 ) x→0 x tan x
f (b) ≤ f (a) + M (b − a)
3．证明 f (x) = ln(1+ x) 在[0, +∞) 上一致连续
4．设 x ≠ 0 ,求证： ex > 1+ x
五．讨论 f (x) = ln(1+ x2 ) 的单调性与凸性.
（5 分）
六．设 f(x)是 R 上的凸函数，g(u)是 R 上的凸增函数，证明：z=g(f(x))是
三．计算题（每题 5 分，共 20 分）
1．用导数定义求 (arcsin x)′ x=0 2．设 y = ln(1+ ex cos2 x) , 求 y′
3．设 y = e−x sin 2x ,求 dy
4．求 ( 1 )(n) 3+ 2x
四．证明题（每题 5 分，共 20 分）
1．证明： lim tan x 不存在. x→0 x
x→+∞
x→−∞
2．设 A，B 为非空数集， S = A ∪ B ，则 sup S = sup A + sup B
3．若 lim n→∞
xn
=
A
≠
0 ， lim n→∞
yn
不存在，则 lim n→∞
xn
yn
不存在
4．若 f(x),g(x)均在 x0 不连续，则 f (x) ± g(x) 在 x0 不可导
x→ x0
x→ x0
5．若{xn} 收敛，则{xn} 为单调有界数列
6． lim sin x = 1 x→∞ x
7．若 lim( f (x) − g(x)) = 0 ， 则 lim f (x) = lim g(x)
x→ x0
x→ x0
x → x0
8．若
f
′
+
(
x0
),
f−′(x0 )
存在，则
f
在
x0
10．f(x)在 x0 连续 ⇔ f (x0 + 0), f (x0 − 0) 存在且相等
二 求极限（每题 5 分，共 20 分）
1．
lim
x→0
1
−
cos x4
x
2
sin(x − π )
2．
lim
x→π
1−
2
3 cos x
3
1
3． lim(1− x2 )ln(1−x) x→1−
年级
订
专业
装
系
第1页共2页
《数学分析 1》期末考试试卷（试卷编号： 03）
（闭卷 120 分钟）
题 号 一 二 三 四 五 六 七 八 总分 复核
应得分 20 20 20 20 5
5
5
5
实得分
阅卷人
一.判断题（每小题 2 分,共 20 分）
1．f(x)在 x0 间断，g(x) 在 x0 连续，则 f (x) ± g(x) 在 x0 间断
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4． lim 1 (1 − cot x) x→0 x x
三．计算题（每题 5 分，共 20 分）
1．用定义求 (log5 x)′ x=1 . 2．设 y = arcsin(cos2 x) , 求 y′ .
2．若
lim
n→∞
an
= a > 0 ，证明： lim n→∞
n
an
= 1.
3．求证： f (x) = sin x 在 (−∞, +∞) 内一致连续.
4．设
x
>
0
,求证：
1
x +x
2
<
arctan
x
<
x.
五．讨论 f (x) = x2 + 1 的凸性.（5 分）
x
六．设 f(x)在 x = x0 连续，g(u)在 u0 = f (x0 ) 连续，证明：z=g(f(x))
姓名
线
学号
班
扬州大学 20 —20 学年度第 学期
《数学分析 1》期末考试试卷（试卷编号： 02）
（闭卷 120 分钟）
题 号 一 二 三 四 五 六 七 八 总分 复核
应得分 20 20 20 20 5
5
5
5
实得分
阅卷人
一.判断题（每小题 2 分,共 20 分）
1．设 lim f (x) = a ，且 f 是奇函数，则 lim f (x) = −a
2．设
A
为非空数集，则存在
xn
∈
A(n
= 1, 2,L)
，使得
lim
n→∞
xn
=
inf
A
3．若
lim
n→∞
xn
存在，
lim
n→∞
yn
不存在，则
lim(
n→∞
xn
±
yn
)
可能存在
4．若 lim f (x) = A 和 lim f (x)g(x) 存在，而 lim g(x) 不存在，则 A = 0
x→ x0
1
2． lim (x + 1+ x2 )ln x x→+∞
3．
lim
x→1
ln 1
cos(x −1) − sin π x
2
4． lim sin x ln x x→0+
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年级
订
专业
装
系
PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建
三．计算题（每题 5 分，共 20 分）
3．设 y = ln(arccos x ) , 求 dy .
4．求[
1
](n) .
(x −1)(x − 2)
四．证明题（每题 5 分，共 20 分）
1． lim f (x) = +∞, lim g(x) = A ，证明： lim[ f (x) + g(x)] = +∞ .
x→ x0
x → x0
x→ x0
在 x = x0 上的连续. （5 分）
七．设 f(x)在 (−1,1) 内满足 f (x2 ) = f (x) 且 f(x)在 x = 0 连续，求证：f(x)是
常值函数.（5 分）
八．若函数 f 在闭区间[a,b]上连续，则 f 在[a,b] 上一致连续.（5 分）
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