初三数学周末讲义20111021[1]
人教版九年级数学上册讲义(全册)之欧阳体创编
人教版九年级数学上册讲义（全册）第二十一章二次根式教材内容1．本单元教学的主要内容：二次根式的概念；二次根式的加减；二次根式的乘除；最简二次根式．2．本单元在教材中的地位和作用：二次根式是在学完了八年级下册第十七章《反比例正函数》、第十八章《勾股定理及其应用》等内容的基础之上继续学习的，它也是今后学习其他数学知识的基础．教学目标1．知识与技能（1）理解二次根式的概念．（a≥0）是一个非负数，（2=a（a≥0），（2）理解（a≥0）．（a≥0，b≥0；（3a≥0，b>0a≥0，b>0）．（4）了解最简二次根式的概念并灵活运用它们对二次根式进行加减．2．过程与方法（1）先提出问题，让学生探讨、分析问题，师生共同归纳，得出概念．•再对概念的内涵进行分析，得出几个重要结论，并运用这些重要结论进行二次根式的计算和化简．（2）用具体数据探究规律，用不完全归纳法得出二次根式的乘（除）法规定，•并运用规定进行计算．（3）利用逆向思维，•得出二次根式的乘（除）法规定的逆向等式并运用它进行化简．（4）通过分析前面的计算和化简结果，抓住它们的共同特点，•给出最简二次根式的概念．利用最简二次根式的概念，来对相同的二次根式进行合并，达到对二次根式进行计算和化简的目的．3．情感、态度与价值观通过本单元的学习培养学生：利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神，经过探索二次根式的重要结论，二次根式的乘除规定，发展学生观察、分析、发现问题的能力．教学重点（a≥0）的内涵．（a≥0）是一个非负1．二次根式2＝a（a≥0（a≥0）•及其运用．2．二次根式乘除法的规定及其运用．3．最简二次根式的概念．4．二次根式的加减运算．教学难点（a≥0）是一个非负数的理解；对等式（）2＝a1．对（a≥0（a≥0）的理解及应用．2．二次根式的乘法、除法的条件限制．3．利用最简二次根式的概念把一个二次根式化成最简二次根式．教学关键1．潜移默化地培养学生从具体到一般的推理能力，突出重点，突破难点．2．培养学生利用二次根式的规定和重要结论进行准确计算的能力，•培养学生一丝不苟的科学精神．单元课时划分本单元教学时间约需11课时，具体分配如下：21．1 二次根式 3课时21．2 二次根式的乘法 3课时21．3 二次根式的加减 3课时教学活动、习题课、小结 2课时21．1 二次根式第一课时教学内容二次根式的概念及其运用教学目标理解二次根式的概念，并利用（a≥0）的意义解答具体题目．提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题．教学重难点关键1（a≥0）的式子叫做二次根式的概念；2教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们独立完成下列三个问题：，那么它的图象在第一象限问题1：已知反比例函数y=3x横、•纵坐标相等的点的坐标是___________．问题2：如图，在直角三角形ABC中，AC=3，BC=1，∠C=90°，那么AB边的长是__________．问题3：甲射击6次，各次击中的环数如下：8、7、9、9、7、8，那么甲这次射击的方差是S2，那么S=_________．老师点评：问题1：横、纵坐标相等，即x=y，所以x2=3．因为点在第一象限，所以问题2：由勾股定理得问题3：由方差的概念得二、探索新知、，都是一些正数的算术平方根．像这样很明显一些正数的算术平方根的式子，我们就把它称二次根式．因（a≥0）•的式子叫做二次根式，此，一般地，我们把形如（学生活动）议一议：1．-1有算术平方根吗？2．0的算术平方根是多少？有意义吗？3．当a<0老师点评:（略）、例11x（x>0、、1x y +（x ≥0，y•≥0）．分析：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号0．解：二次根式有：、（x>0、-（x ≥0，y ≥0、1x、1x y+． 例2．当x 是多少时，在实数范围内有意义？分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0，•才能有意义． 解：由3x-1≥0，得：x ≥13当x ≥13在实数范围内有意义．三、巩固练习教材P 练习1、2、3． 四、应用拓展 例3．当x11x +在实数范围内有意义？ 分析11x +在实数范围内有意义，必须同时满足0和11x +中的x+1≠0． 解：依题意，得23010x x +≥⎧⎨+≠⎩由①得：x ≥-32由②得：x ≠-1当x ≥-32且x ≠-111x +在实数范围内有意义． 例4(1)已知，求xy的值．(答案:2)(2)，求a 2004+b 2004的值．(答案:25)五、归纳小结（学生活动，老师点评） 本节课要掌握：1（a ≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．2．要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数．六、布置作业1．教材P 8复习巩固1、综合应用5．2．选用课时作业设计． 3.课后作业:《同步训练》 第一课时作业设计一、选择题 1．下列式子中，是二次根式的是（ ） A ．B C D ．x2．下列式子中，不是二次根式的是（ ） AB ．1x3．已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是（ ） A ．5 B．15D ．以上皆不对 二、填空题1．形如________的式子叫做二次根式． 2．面积为a 的正方形的边长为________． 3．负数________平方根． 三、综合提高题1．某工厂要制作一批体积为1m 3的产品包装盒，其高为0.2m ，按设计需要，•底面应做成正方形，试问底面边长应是多少？2．当x 是多少时，x+x 2在实数范围内有意义？3．4.x 有（ ）个． A ．0 B ．1 C ．2 D ．无数5.已知a 、b=b+4，求a 、b 的值． 第一课时作业设计答案: 一、1．A 2．D 3．B二、1a ≥0） 2．没有三、1．设底面边长为x ，则0.2x 2=1，解答：．2．依题意得：2300x x +≥⎧⎨≠⎩，320x x ⎧≥-⎪⎨⎪≠⎩∴当x>-32且x ≠0时，x ＋x 2在实数范围内没有意义．3.134．B5．a=5，b=-421.1 二次根式(2)第二课时教学内容1a ≥0）是一个非负数； 2）2=a （a ≥0）． 教学目标（a ≥0）是一个非负数和（）2=a （a ≥0），并利用它们进行计算和化简．通过复习二次根式的概念，用逻辑推理的方法推出（a ≥0）是一个非负数，用具体数据结合算术平方根的意义导出2=a （a ≥0）；最后运用结论严谨解题． 教学重难点关键1．重点：（a ≥0）是一个非负数；（2=a （a ≥0）及其运用．2．难点、关键：用分类思想的方法导出（a ≥0）是一个非负数；•）2=a （a ≥0）． 教学过程 一、复习引入 （学生活动）口答1．什么叫二次根式？2．当a ≥0a<0有意义吗？ 老师点评（略）． 二、探究新知议一议：（学生分组讨论，提问解答）（a ≥0）是一个什么数呢？做一做：根据算术平方根的意义填空：（）2=_______；（）2=_______；（）2=______；2=_______；（2=______2=_______）2=_______．老师点评：是4的算术平方根，根据算术平方根的意义，是一个平方等于4）2=4．同理可得：（）2=2，（）2=9，（）2=3，（）2=132=72）2=0，所以例1 计算12 2．（2 32 4．（2）2分析2=a （a ≥0）的结论解题．解：（2 =32，（2 =322=32·5=45，2=56）274=．三、巩固练习 计算下列各式的值：（2 2 2 ）2 （2四、应用拓展 例2 计算12（x ≥0） 22 3242分析：（1）因为x ≥0，所以x+1>0；（2）a 2≥0；（3）a 2+2a+1=（a+1）≥0；（4）4x 2-12x+9=（2x ）2-2·2x ·3+32=（2x-3）2≥0．所以上面的4题都可以运用（）2=a （a ≥0）的重要结论解题．解：（1）因为x ≥0，所以x+1>02=x+1（2）∵a 2≥02=a 2 （3）∵a 2+2a+1=（a+1）2又∵（a+1）2≥0，∴a 2+2a+1≥0 =a 2+2a+1 （4）∵4x 2-12x+9=（2x ）2-2·2x ·3+32=（2x-3）2 又∵（2x-3）2≥0∴4x 2-12x+9≥0，∴（2=4x 2-12x+9 例3在实数范围内分解下列因式: （1）x 2-3 （2）x 4-4 (3) 2x 2-3分析：(略) 五、归纳小结 本节课应掌握：1a ≥0）是一个非负数；2）2=a （a ≥0）;反之:a=2（a ≥0）． 六、布置作业1．教材P 8 复习巩固2．（1）、（2） P 9 7．2．选用课时作业设计． 3.课后作业:《同步训练》 第二课时作业设计 一、选择题1．下列各式中、、、、、）． A ．4 B ．3 C ．2 D ．12．数a 没有算术平方根，则a 的取值范围是（ ）． A ．a>0 B ．a ≥0 C ．a<0 D ．a=0 二、填空题1．（）2=________．2_______数． 三、综合提高题 1．计算（12 （2）-）2 （3）（12）2 （4）（2(5)2．把下列非负数写成一个数的平方的形式: （1）5 （2）3.4 （3）16（4）x （x ≥0）3=0，求x y 的值． 4．在实数范围内分解下列因式: （1）x 2-2 （2）x 4-9 3x 2-5 第二课时作业设计答案: 一、1．B 2．C二、1．3 2．非负数三、1．（1）（）2=9 （2）-（）2=-3 （3）（12）2=14×6=32（4）（2=9×23=6 (5)-62．（1）5=2 （2）3.4=2（3）16=2 （4）x=）2（x ≥0） 3．103304x y x x y -+==⎧⎧⎨⎨-==⎩⎩x y =34=81 4.（1）x 2-2=（）（）（2）x 4-9=（x 2+3）（x 2-3）=（x 2+3）（） (3)略21.1 二次根式(3) 第三课时教学内容a （a ≥0） 教学目标（a ≥0）并利用它进行计算和化简．通过具体数据的解答，探究（a ≥0），并利用这个结论解决具体问题．教学重难点关键1a （a ≥0）． 2．难点：探究结论．3．关键：讲清a ≥0a 才成立．教学过程 一、复习引入老师口述并板收上两节课的重要内容；1a ≥0）的式子叫做二次根式； 2a ≥0）是一个非负数； 3．)2＝a （a ≥0）．那么，我们猜想当a ≥0是否也成立呢？下面我们就来探究这个问题． 二、探究新知 （学生活动）填空：=______；=________=_______．（老师点评）：根据算术平方根的意义，我们可以得到：23=37．例1 化简（1（2（3 （4分析：因为（1）9=-32，（2）（-4）2=42，（3）25=52，（4）（-3）2=32，所以都可运用（a ≥0）•去化简．解：（1（2（3（4三、巩固练习 教材P 7练习2． 四、应用拓展例2 填空：当a ≥0；当a<0时，，•并根据这一性质回答下列问题．（1，则a 可以是什么数？（2，则a 可以是什么数？（3，则a 可以是什么数？分析：∵（a ≥0），∴要填第一个空格可以根据这个结论，第二空格就不行，应变形，使“（）2”中的数是正数，因为，当a≤0-a≥0．（1）根据结论求条件；（2）根据第二个填空的分析，逆向思想；（3）根据（1）、（2│a│，而│a│要大于a，只有什么时候才能保证呢？a<0．解：（1，所以a≥0；（2，所以a≤0；（3）因为当a≥0，即使a>a所以a不存在；当a<0，即使-a>a，a<0综上，a<0例3当x>2分析：(略)五、归纳小结本节课应掌握：=a（a≥0）及其运用，同时理解当a<0a的应用拓展．六、布置作业1．教材P8习题21．1 3、4、6、8．2．选作课时作业设计．3.课后作业:《同步训练》第三课时作业设计一、选择题1）．A．0 B．23 C．423D．以上都不对2．a≥0、个选项中正确的是（）．AC．．二、填空题1．=________．2．若是一个正整数，则正整数m的最小值是________．三、综合提高题1．先化简再求值：当a=9时，求的值，甲乙两人的解答如下：甲的解答为：原式=a+（1-a）=1；乙的解答为：原式=a+（a-1）=2a-1=17．两种解答中，_______的解答是错误的，错误的原因是__________．，求a-19952的值．2．若│1995-a│3. 若-3≤x≤2时，试化简│x-2│答案:一、1．C 2．A二、1．-0．02 2．5三、1．甲甲没有先判定1-a是正数还是负数2．由已知得a-•2000•≥0，•a•≥2000=a，=1995，a-所以a-1995+2000=19952，所以a-19952=2000．3. 10-x21．2 二次根式的乘除第一课时教学内容·（a≥0，b≥0（a≥0，b≥0）及其运用．教学目标＝a≥0，b≥0=（a≥0，b≥0），并利用它们进行计算和化简·＝（a≥0，b≥0）由具体数据，发现规律，导出并运用它进行计算；•利用逆向思维，得出0，b≥0）并运用它进行解题和化简．教学重难点关键重点：·＝（a≥0，b≥0），=·（a≥0，b≥0）及它们的运用．a≥0，b≥0）．关键：要讲清（a<0,b<0）=a b，如教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们完成下列各题．1．填空（1=______；（2（3参考上面的结果，用“>、<或＝”填空．×_____，×_____，×2．利用计算器计算填空（1，（2（3（5老师点评（纠正学生练习中的错误）二、探索新知（学生活动）让3、4个同学上台总结规律．老师点评：（1）被开方数都是正数；（2）两个二次根式的乘除等于一个二次根式，•并且把这两个二次根式中的数相乘，作为等号另一边二次根式中的被开方数．例1．计算（1（2（3（4（a≥0，b≥0）计算即可．分析：解：（1（2（3=（4例2 化简（2（3（1（4（5（a≥0，b≥0）直接化简即可．解：（1×4=12（2（3（4=（5三、巩固练习（1）计算（学生练习，老师点评）②×①(2) 化简教材P11练习全部四、应用拓展例3．判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：（1==4（2解：（1）不正确．×3=6（2）不正确．＝五、归纳小结本节课应掌握：（1）·＝=（a≥0，b≥0），=（a≥0，b≥0）及其运用．六、布置作业1．课本P15 1，4，5，6．（1）（2）．2．选用课时作业设计．3.课后作业:《同步训练》第一课时作业设计一、选择题和，1•那么此直角三角形斜边长是（）．．．9cm D．27cmA．2．化简）．A．．-311x-=）A．x≥1 B．x≥-1 C．-1≤x≤1 D．x≥1或x≤-14．下列各等式成立的是（）．．A．C．二、填空题1．210m/s2），若物体下落的高度为720m，则下落的时间是_________．三、综合提高题1．一个底面为30cm×30cm长方体玻璃容器中装满水，•现将一部分水例入一个底面为正方形、高为10cm铁桶中，当铁桶装满水时，容器中的水面下降了20cm，铁桶的底面边长是多少厘米？2．探究过程：观察下列各式及其验证过程．（1）验证：==（2）验证：=同理可得：4==通过上述探究你能猜测出：（a>0）,并验证你的结论．答案:一、1．B 2．C 3.A 4.D2．12s二、1．三、1．设：底面正方形铁桶的底面边长为x，则x2×10=30×30×20，x2=30×30×2，．2．验证：==21．2 二次根式的乘除第二课时教学内容=a≥0，b>0），反过来=（a≥0，b>0）及利用它们进行计算和化简．教学目标（a≥0，b>0）和=（a≥0，b>0）及利用理解它们进行运算．利用具体数据，通过学生练习活动，发现规律，归纳出除法规定，并用逆向思维写出逆向等式及利用它们进行计算和化简．教学重难点关键1．重点：理解=（a≥0，b>0），=（a≥0，b>0）及利用它们进行计算和化简．2．难点关键：发现规律，归纳出二次根式的除法规定．教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们完成下列各题：1．写出二次根式的乘法规定及逆向等式．2．填空（1=________；；（2（3=________；．（43．利用计算器计算填空:=_________，（2）=_________，（3）（1）=______，（4．______；_______；_____；规律：每组推荐一名学生上台阐述运算结果．（老师点评）二、探索新知刚才同学们都练习都很好，上台的同学也回答得十分准确，根据大家的练习和回答，我们可以得到：一般地，对二次根式的除法规定：下面我们利用这个规定来计算和化简一些题目．例1．计算：（1（2（3（4）分析：上面4a ≥0，b>0）便可直接得出答案．解：（1（2==×（3==2（4例2．化简：（1（2（3 （4分析：直接利用（a ≥0，b>0）就可以达到化简之目的．解：（18=（2）83b a=（38y =（4）13y= 三、巩固练习 教材P14 练习1． 四、应用拓展例3．=，且x 为偶数，求（1+x 的值．分析：a ≥0，b>0时才能成立．因此得到9-x ≥0且x-6>0，即6<x ≤9，又因为x 为偶数，所以x=8．解：由题意得9060x x -≥⎧⎨->⎩，即96x x ≤⎧⎨>⎩∴6<x ≤9 ∵x 为偶数 ∴x=8∴原式=（1+x=（1+x=（1+x∴当x=8时，原式的值=．五、归纳小结本节课要掌握=（a ≥0，b>0）和=（a ≥0，b>0）及其运用． 六、布置作业1．教材P 15 习题21．2 2、7、8、9．2．选用课时作业设计． 3.课后作业:《同步训练》 第二课时作业设计 一、选择题1的结果是（ ）．A ．27．27C D ．72．阅读下列运算过程：====数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理）． A ．2 B ．6 C ．13D二、填空题 1．分母有理化=______.2．已知x=3，y=4，z=5，那么的最后结果是_______．三、综合提高题1．有一种房梁的截面积是一个矩形，且矩形的长与宽之比为：1，•现用直径为3cm 的一种圆木做原料加工这种房梁，那么加工后的房染的最大截面积是多少？ 2．计算（1·（（m>0，n>0）（2）（a>0）答案:一、1．A 2．C二、1．2==2 三、1．设：矩形房梁的宽为x （cmxcm ，依题意，）2+x 2=（2，4x 2=9×15，x=32cm ），x ·x 2=135cm 2）．2．（1）原式＝=-22n n m m =-欧阳体创编 2021.02.03 欧阳美创编 2021.02.03欧阳体创编 2021.02.03 欧阳美创编 2021.02.03 （2）原式=-2a21.2 二次根式的乘除(3)第三课时教学内容最简二次根式的概念及利用最简二次根式的概念进行二次根式的化简运算．教学目标理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式．通过计算或化简的结果来提炼出最简二次根式的概念，并根据它的特点来检验最后结果是否满足最简二次根式的要求． 重难点关键1．重点：最简二次根式的运用．2．难点关键：会判断这个二次根式是否是最简二次根式． 教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们完成下列各题（请三位同学上台板书）1．计算（12，（32．现在我们来看本章引言中的问题：如果两个电视塔的高分别是h 1km ，h 2km ，•那么它们的传播半径的比是_________．。
人教版九年级数学全册特色讲义
探索创新
【例8】 若 点 P (x1, y1) 与 Q (x1 n, y2 ) 在 抛 物 线 y x2 4x 3 上 ( 点 P 、 Q 不 重 合 ) ， 且 y1=y2，求代数式 4x12 12x1n 5n2 16n 8 的值.
若函数 y m2 m xm2 2m1 为二次函数，则 m 的值是
⑵ 写出开口方向，对称轴，顶点坐标； ⑶ 求图象与两坐标轴的交点坐标； ⑷ 画出函数图象； ⑸ 说明其图象与抛物线 y 2x2 的关系； ⑹ 当 x 取何值时， y 随 x 增大而减小； ⑺ 当 x 取何值时， y 0 ， y 0 ， y 0 ； ⑻ 当 x 取何值时，函数 y 有最值？其最值是多少？ ⑼ 求函数图象与两坐标轴交点所确定的三角形面积．
知识互联网
y ax2
y ax2 c
y a x h2 y a x h2 k
y ax2 bx c
模块一 二次函数的解析式
知识导航
定义
示例剖析
二次函数的定义：一般地，形如
例如 y x2 2x 3 是二次函数，
y ax2 bx c （ a ，b，c 是常数， a 0 ） 其中二次项系数为1，一次项系数为
C． y1 y2
D． y1 与 y2 的大小不确定
【探索】若二次函数 y 2 x 22 k 的图象上有两个点 A(7.2 ，y1) 、 B(5.8 ，y2 ) ，则 y1 ，
y2 的大小关系为
；若二次函数 y 2 x 22 k 的图象上有两个点
A(5.5 ，y1) 、 B(2.5 ，y2 ) ，则 y1 ， y2 的大小关系为
简称“左同右异”.
⑶ c 的大小决定抛物线与 y 轴交点的位置（抛物线与 y 轴的交点坐标为 0 ，c ）
[中考]初三数学复习讲义
![[中考]初三数学复习讲义](https://img.taocdn.com/s3/m/5b4a103fa32d7375a4178070.png)
2
2 - 3 与3 � 0 1 )3( , 7
� 31
与5
� 5 1 ) 2 ( , 1 1 2 与5
3 ) 1( :小大较比.3
0
)1 � ( , 7 2
,
2
�
, 2� ,
4
3
1
, 4 :差的积的数理无与和的数理有算计,中数实个
2
6 列下在请.2
. 值 的a 数 实 求 , y � x 3 � y x a 若 , 0 � 9 � y 6 � y � 4 � x 3
。
则.
a 1
�值对绝�6� 为数倒的�0≠a�a 若。数倒为互数个两的 积乘�数倒�5�
。
。轴数做叫线直的 和 、 则�数反相为互 b、a 若。数反相为互数个两的同不
) (� �) (�
了定规�轴数�4� 有只�数反相�3�
) )
(� �) (�
� ) � (� ) � 0 � 数理有� ) � � (� � )
2
】析剖题考典经【 �二
④和③�D ④和①�C � �是的式根次二类同是
5. 0 . D 21 . C
5
③和②�B ③和①�A
, 21
3
和72
④�
3 2
③
3
2
②
①�式根次二在 .5
y x .B
2
1+ x
2
�A � �是的式根次二简最于属式各列下 .4
x- 2 = ) 2- x(
2
2�x .D 2≥ x .C 2� x .B
�数负非的要重个三.5
�区校道大城新�
义讲课授化性个育教文龙
-5-
�39213836 �话电询咨�校学导辅化性个业专的赖信得值您——育教文龙
九年级人教版数学讲义
九年级人教版数学讲义你好！欢迎使用九年级人教版数学讲义。
下面我将详细介绍该讲义的主要内容。
一、目录九年级人教版数学讲义主要包括以下内容：第一章：实数与数轴第二章：一次函数第三章：三角形第四章：四边形第五章：圆第六章：统计初步第七章：数学思想方法二、主要内容1. 实数与数轴：本章主要介绍实数的概念和性质，以及数轴的表示方法和基本性质。
通过本章的学习，学生可以更好地理解实数与数轴上的点之间的对应关系。
2. 一次函数：本章主要介绍一次函数的概念、性质和图像，以及一次函数在生活中的应用。
通过本章的学习，学生可以掌握一次函数的基本思想和解题方法。
3. 三角形：本章主要介绍三角形的边角关系、三角形的分类（等腰三角形、直角三角形、一般三角形）、三角形的稳定性在实际中的应用等。
通过本章的学习，学生可以掌握三角形的基本性质和解题方法。
4. 四边形：本章主要介绍平行四边形、矩形、菱形、正方形等基本概念和性质，以及它们在实际中的应用。
通过本章的学习，学生可以掌握四边形的基本性质和解题方法。
5. 圆：本章主要介绍圆的基本概念、性质和定理，以及圆在实际中的应用。
通过本章的学习，学生可以掌握圆的性质和解题方法，并提高空间想象能力。
6. 统计初步：本章主要介绍数据的收集、整理、描述和分析方法，以及统计在生活中的应用。
通过本章的学习，学生可以掌握统计的基本思想和解题方法。
7. 数学思想方法：本章主要介绍数学思想和方法，如函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想等，以及这些思想和方法在解题中的应用。
通过本章的学习，学生可以提高数学思维能力和解题能力。
三、作业与练习九年级人教版数学讲义提供了大量的作业与练习，包括选择题、填空题、解答题等，旨在帮助学生巩固所学知识，提高解题能力。
学生可以通过完成这些作业与练习，加深对所学内容的理解，并提高应用所学知识解决实际问题的能力。
四、教学建议教师在教学过程中，可以根据学生的实际情况和教材内容，适当调整教学进度和难度，注重培养学生的数学思维能力和解题能力。
浙教版九年级数学周末辅导讲义《二次函数经典》
浙教版九年级数学周末辅导讲义二次函数综合（讲解，难度较大）一、二次函数的解析式（三种形式）1．已知二次函数23y x bx c =++的图象与x 轴只有一个交点，且经过点(,)A m n 和(6,)B m n +两点，则n 的值为 ．设为顶点式2()y a x m k =-+，可得0k =，代入两点坐标即得；换言之，在一般情况下成立的结论，在特殊情况下一定成立，可用特殊值法得到答案（正确率高）2．已知抛物线2y ax bx c =++的顶点在第一象限，且经过点(0,1)A 和点(1,0)B -,则设S a b c =++，则S 的取值范围是 ．用几何画析画图，可直观得到答案，或用直线代替抛物线的特殊情况，用不等式求解3．已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠，其中a b c ，，满足0a b c ++=和930a b c -+=，则该二次函数图象的对称轴是直线 ．观察法得到结果4．在关于x ，y 的二元一次方程组221x y a x y +=⎧⎨-=⎩中， （1）若3a =，求方程组的解；（2）设(3)S a x y =+，当a 为何值时，S 有最小值，并求出最小值．换一种说法，用二次函数的定义及性质解题5．二次函数24y x mx =++的图象与坐标轴交于A,B 两点，且AB =4，求m 的值． 人教版教材中要求有韦达定理，但不用定理的内容，直接用交点式也可求出结果6．已知：二次函数22y x ax a =++-．（1）说明抛物线22y x ax a =++-与x 轴有两个不同交点；（2）求这两个交点间的距离（关于a 的表达式）；（3）a 取何值时，两点间最小．7. 当且仅当a x b <<时，抛物线278y x x =+-在直线26y x =+的上方，求,a b 的值．8．将抛物线2325y x x =-+作如下变换，并求出函数解析式.（1）关于y 轴对称；（2）关于x 轴对称；（3）关于y 轴对称．9．将下列抛物线2325y x x =--+作下列平移：(1)向上平移3个单位；（2）向左平移1个单位；（3）向右平移2个单位．10．如图，抛物线223y x x =--与x 轴交A 、B 两点（A 点在B 点左侧），直线l 与抛物线交于A 、C 两点，其中C 点的横坐标为2．（1）求A 、B 两点的坐标及直线AC 的函数表达式；（2）P 是线段AC 上的一个动点，过P 点作y 轴的平行线交抛物线于E 点，求线段PE 长度的最大值；（3）点G 是抛物线上的动点，在x 轴上是否存在点F ，使A 、C 、F 、G 这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F 点坐标；如果不存在，请说明理由综合题，平行四边形存在分类11．如图，对称轴为直线72x =的抛物线经过点A （6，0）和B （0，4）． （1）求抛物线解析式及顶点坐标；（2）设点E （x ，y ）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF 是以OA 为对角线的平行四边形．求平行四边形OEAF 的面积S 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；①当平行四边形OEAF 的面积为24时，请判断平行四边形OEAF 是否为菱形？②是否存在点E ，使平行四边形OEAF 为正方形？若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．综合题，平行四边形存在分类，在平行四边形中，满足什么条件时是菱形，是正方形？A。
初三数学讲义
暑假数学（九年级）教学具体授课计划备注：1.本授课计划的第一、二、五、六、九、十、十六是对七、八年级重点知识点的回顾与复习。
编排次序对应于九年级上册相应知识点，以便更加系统明了地做到知识点之间的融会贯通。
2. 教学进程大体按照该计划进行。
但在授课过程中，也会根据学生的实际情况，适当调整各知识板块的教学进度，或增补缩减相应的资料。
3. 不足之处敬请批评指正。
欢迎各位家长、老师提出更合理中肯的建议！第一讲 数与式的复习（一）【教学目标】1. 理解有理数的有关概念，能用数轴上的点表示有理数，会求倒数、相反数、绝对值.理解近似数和有效数字的概念，会将一个数表示成科学记数法的形式。
2. 了解算术平方根、平方根、立方根的概念，会求非负数的算术平方根和实数的立方根。
3. 了解整式的有关概念，理解去括号法则，能熟练进行整式的加减运算.掌握正整数指数幂的运算性质，能在运算中灵活运用各种性质。
4. 了解分式概念，会求分式有意义、无意义和分式值为0时，分式中所含字母的条件，掌握分式的基本性质和分式的变号法则，能熟练地进行分式的通分和约分。
【重点难点】重点：概念的理解与区分难点：易混淆，各概念的性质及条件 【知识梳理】 1.实数分类：实数⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧无限不循环小数负无理数正无理数无理数数有限小数或无限循环小负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数 2.数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线。
数轴上所有的点与全体实数是一一对应关系，即每个实数都可以用数轴上的一个点表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。
3.实数大小的比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。
（1）正数大于零，零大于负数。
（2）两正数相比较绝对值大的数大，绝对值小的数小。
（3）两负数相比较绝对值大的数反而小，绝对值大小的数反而大。
（4）对于任意两个实数a 和b ，①a>b,②a=b,③a<b,这三种情况必有一种成立，而且只能有一种成立。
人教版初三数学讲义
人教版初三数学讲义数学讲义九年级上册第一学期九年级数学教学进度表说明：2011年1月22日（农历十二月十九日，星期六）寒假开始，2月12日（农历正月初十日，星期六）寒假结束。
2011年2月13日（农历正月十一日，星期日）春季开学，2月14日（农历正月十二日，星期一）正式上课，共21周。
目录第二十一章二次根式21.1二次根式(1)21.2二次根式的乘除（第1课时）(3)21.2二次根式的乘除（第2课时）(5)21.2二次根式的加减（第1课时）(7)21.2二次根式的加减（第2课时）(9)小结(11)第二十二章一元二次方程22.1 一元二次方程(13)22.2.1配方法(第1课时) (15)22.2.1配方法(第2课时) (17)22.2.1公式法(19)22.2.3因式分解法(21)22.2.4 一元二次方程的根与系数关系(23)22.3 实际问题与一元二次方程（第1课时）(25) 22.3 实际问题与一元二次方程（第2课时）(27) 小结(29)第二十三章旋转23.1 图形的旋转(1) (33)23.1 图形的旋转(2) (36)23.1 图形的旋转(3) (39)23.2.1中心对称(1) (42)23.2.1中心对称(2) (45)23.2.1中心对称(3) (48)22.2 中心对称图形，关于原点对称的点的坐标(51)23.3 课题学习图案设计(55)小结(57)第二十四章圆24.1.1 圆(59)24．1．2 垂直于弦的直径(62)24．1．3 弧、弦、圆心角(66)24.1.4 圆周角(70)24.2.2 直线和圆的位置关系(77)24.2.3 圆和圆的位置关系(80)24．3 正多边形和圆(85)24.4圆锥的侧面积和全面积(90)小结(93)第二十五章概率25.1.1随机事件(第一课时) (96)25.1.1 随机事件（第二课时）(98)25.1.2 概率的意义(100)25.2 用列举法求概率(第一课时) (104) 25.2 用列举法求概率(第二课时) (107) 25.2 用列举法求概率(第三课时) (109) 25.3.1利用频率估计概率(111)25.3.2利用频率估计概率(113)25.4课题学习键盘上字母的排列规律(115) 小结(117)第二十一章二次根式教案教学过程设计- 1 -第二十一章二次根式教案- 2 -第二十一章二次根式教案教学过程设计- 3 -第二十一章二次根式教案- 4 -第二十一章二次根式教案教学过程设计- 5 -第二十一章二次根式教案- 6 -第二十一章二次根式教案教学过程设计- 7 -第二十一章二次根式教案- 8 -第二十一章二次根式教案教学过程设计- 9 -第二十一章二次根式教案.- 10 -第二十一章二次根式教案教学过程设计- 11 -第二十一章二次根式教案难度，与实数，有理式，勾股定理等知识综合运用.。
初三数学周末课程(第二讲)提高班
初三数学周末课程（第二讲）提高班1.关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1=0的一个根是0，则a的值为2．定义：如果一元二次方程02= ++cbxax(a≠0)满足0=++cba，那么我们称这个方程为“凤凰”方程.已知是“凤凰”方程02=++cbxax(a≠0)，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是( ) A．a b= B．a c= C．b c= D．a b c==3.若8)2)((2222=+++baba，则22ba+的值是（）A、2B、-4C、2或-4D、1或84. 已知a、b是方程x2﹣x﹣3=0的两个根，则代数式a2+b+3的值为____5. 对于实数a，b，定义运算“*”：例如4*2，因为4>2，所以.若x1，x2是一元二次方程220x x--=的两个根，则= ．6.某农场拟建两间矩形饲养室,一面靠现有墙(墙足够长),中间用一道墙隔开,并在如图所示的三处各留宽相同的门,已知计划中的材料可建墙体(不包括门)总长为27m,若建成的饲养室面积为50㎡，则门宽为米7．如图的△ABC中有一正方形DEFG，其中D在AC上，E、F在AB上，直线AG分别交DE、BC于M、N两点．若∠B=90°，AB=4，BC=3，EF=1，则BN的长度为8.如图，在▱ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则S△DEF：S△AOB的值为9如图，点A1、A2、A3、A4在射线OA上，点B1、B2、B3在射线OB上，且A1B1∥A2B2∥A3B3，A2B1∥A3B2∥A4B3．若△A2B1B2、△A3B2B3的面积分别为1、4，则图中三个阴影三角形面积之和为 .10．如图，D是等边△ABC边AB上的一点，且AD：DB=1:2，现△ABC将折叠，使点C与D重合，折痕为EF，点E、F分别在AC和BC上，则CE:CF=22()*()a ab a ba bab a a b⎧-≥⎪=⎨-<⎪⎩24*24428=-⨯=12*x x11、如图，△ABC的两条中线AD和BE相交于点G，过点E作EF∥BC交AD于点F，这样△EFG∽△BDG，△AEF∽△ACD，那么=．12．如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点E，F分别在CD，AD上，CE＝DF，BE，CF相交于点G．若图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，则△BCG的周长为．13．如图，在斜坡的顶部有一铁塔AB，B 是CD 的中点，CD 是水平的，在阳光的照射下，影DE 留留在坡面上．已知铁塔底座宽CD=12 m，塔影长DE=18 m，小明和小华的身高都是塔1.6m，同一时刻，小明站在点E 处，影子在坡面上，小华站在平地上，影子也在平地上，两人的影长分为2m和1m，那么塔高AB为14．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=2，P是△ABC所在平面内一点，且满足PA⊥PB，则PC 的取值范围为．1．阅读理解：如图①，在四边形ABCD的边AB上任取一点E（点E不与A、B重合），分别连接ED、EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的“相似点”；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的“强相似点”．解决问题：P（1）如图①，∠A＝∠B＝∠DEC＝45°，试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由；（2）如图②，在矩形ABCD中，A、B、C、D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图②中画出矩形ABCD的边AB上的强相似点；（3）如图③，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处，若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，试确定E点位置．2．定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”．理解：（1）如图1，已知Rt△ABC在正方形网格中，请你只用无刻度的直尺在网格中找到一点D，使四边形ABCD是以AC为“相似对角线”的四边形（保留画图痕迹）；（2）如图2，在四边形ABCD中，∠ABC＝70°，∠ADC＝145°，对角线BD平分∠ABC．求证：BD是四边形ABCD的“相似对角线”；（3）如图3，已知FH是四边形EFGH的“相似对角线”，∠EFH＝∠HFG＝30°，连接EG，若△EFG的面积为2，求FH的长．(图1) (图2) (图3)3. 【定义】如图1，点P 为∠MON 的平分线上一点，以P 为顶点的角的两边分别与射线OM ，ON 交于A ，B 两点，如果∠APB 绕点P 旋转时始终满足2OP OB OA =•，我们就把∠APB 叫做∠MON 的智慧角．请利用“智慧角”的定义解决下列两个问题：【运用】如图2，已知∠MON =120°，点P 为∠MON 的平分线上一点，以点P 为顶点的角的两边分别与射线OM ，ON 交于A ，B 两点，且∠APB =120°．求证：∠APB 是∠MON 的智慧角．【探究】如图3，已知∠MON =α（0°<α<90°），OP =4，若∠APB 是∠MON 的智慧角，连接AB ，试用含α的代数式分别表示∠APB 的度数和△AOB 的面积．。
人教版九年级数学上册讲义全册
人教版九年级数学上册讲义（全册）第二十一章二次根式教材内容1．本单元教学的主要内容：二次根式的概念；二次根式的加减；二次根式的乘除；最简二次根式．2．本单元在教材中的地位和作用：二次根式是在学完了八年级下册第十七章《反比例正函数》、第十八章《勾股定理及其应用》等内容的基础之上继续学习的，它也是今后学习其他数学知识的基础．教学目标1．知识与技能（1）理解二次根式的概念．（2）理解a≥0）是一个非负数，2=a（a≥0）（a≥0）．（3a≥0，b≥0），；a≥0，b>0），a≥0，b>0）．（4）了解最简二次根式的概念并灵活运用它们对二次根式进行加减．2．过程与方法（1）先提出问题，让学生探讨、分析问题，师生共同归纳，得出概念．•再对概念的内涵进行分析，得出几个重要结论，并运用这些重要结论进行二次根式的计算和化简．（2）用具体数据探究规律，用不完全归纳法得出二次根式的乘（除）法规定，•并运用规定进行计算．（3）利用逆向思维，•得出二次根式的乘（除）法规定的逆向等式并运用它进行化简．（4）通过分析前面的计算和化简结果，抓住它们的共同特点，•给出最简二次根式的概念．利用最简二次根式的概念，来对相同的二次根式进行合并，达到对二次根式进行计算和化简的目的．3．情感、态度与价值观通过本单元的学习培养学生：利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神，经过探索二次根式的重要结论，二次根式的乘除规定，发展学生观察、分析、发现问题的能力．教学重点1a≥0）的内涵．a≥0）是一个非负数；（）2＝a（a≥0）（a≥0）•及其运用．2．二次根式乘除法的规定及其运用．3．最简二次根式的概念．4．二次根式的加减运算．教学难点1．a≥0）是一个非负数的理解；对等式）2＝a（a≥0）（a≥0）的理解及应用．2．二次根式的乘法、除法的条件限制．3．利用最简二次根式的概念把一个二次根式化成最简二次根式．教学关键1．潜移默化地培养学生从具体到一般的推理能力，突出重点，突破难点． 2．培养学生利用二次根式的规定和重要结论进行准确计算的能力，•培养学生一丝不苟的科学精神．单元课时划分本单元教学时间约需11课时，具体分配如下：21．1 二次根式 3课时21．2 二次根式的乘法 3课时21．3 二次根式的加减 3课时教学活动、习题课、小结 2课时21．1 二次根式第一课时教学内容二次根式的概念及其运用教学目标理解二次根式的概念，并利用a≥0）的意义解答具体题目．提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题．教学重难点关键1a≥0）的式子叫做二次根式的概念；2a≥0）”解决具体问题．教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们独立完成下列三个问题：问题1：已知反比例函数y=3x，那么它的图象在第一象限横、•纵坐标相等的点的坐标是___________．问题2：如图，在直角三角形ABC 中，AC=3，BC=1，∠C=90°，那么AB 边的长是__________．问题3：甲射击6次，各次击中的环数如下：8、7、9、9、7、8，那么甲这次射击的方差是S 2，那么S=_________．老师点评：问题1：横、纵坐标相等，即x=y ，所以x 2=3．因为点在第一象限，所以所以所求点的坐标（．问题2：由勾股定理得问题3：由方差的概念得 二、探索新知很明显，都是一些正数的算术平方根．像这样一些正数的算术平方根的式子，我们就把它称二次根式．因此，一般地，我们把形如（a≥0）•的式子叫做二次根式，（学生活动）议一议：1．-1有算术平方根吗？2．0的算术平方根是多少？3．当a<0有意义吗？老师点评:（略）例11x（x>0）、1x y+x ≥0，y•≥0）．分析：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“”；第二，被开方数是正数或0．（x>0）、x ≥0，y ≥0）；不1x 1x y+．例2．当x 是多少时，分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0，•解：由3x-1≥0，得：x ≥13当x ≥13在实数范围内有意义． 三、巩固练习教材P 练习1、2、3．四、应用拓展例3．当x 是多少时，11x +在实数范围内有意义？分析：11x +在实数范围内有意义，中的≥0和11x +中的x+1≠0． 解：依题意，得23010x x +≥⎧⎨+≠⎩ 由①得：x ≥-32由②得：x ≠-1当x ≥-32且x ≠-111x +在实数范围内有意义．例4(1)已知，求xy的值．(答案:2)(2)=0，求a2004+b2004的值．(答案:25)五、归纳小结（学生活动，老师点评）本节课要掌握：1（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．2．要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数．六、布置作业1．教材P8复习巩固1、综合应用5．2．选用课时作业设计．3.课后作业:《同步训练》第一课时作业设计一、选择题1．下列式子中，是二次根式的是（）A．- B D．x2．下列式子中，不是二次根式的是（）A B D．1 x3．已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是（）A．5 B． C．15D．以上皆不对二、填空题1．形如________的式子叫做二次根式． 2．面积为a的正方形的边长为________．3．负数________平方根．三、综合提高题1．某工厂要制作一批体积为1m3的产品包装盒，其高为0.2m，按设计需要，•底面应做成正方形，试问底面边长应是多少？2．当x2在实数范围内有意义？3．4.x有（）个．A．0 B．1 C．2 D．无数5.已知a、b=b+4，求a、b的值．第一课时作业设计答案: 一、1．A 2．D 3．B二、1（a≥0） 2．．没有三、1．设底面边长为x，则0.2x2=1，解答：2．依题意得：230xx+≥⎧⎨≠⎩，32xx⎧≥-⎪⎨⎪≠⎩∴当x>-32且x≠0x2在实数范围内没有意义．3.1 34．B5．a=5，b=-421.1 二次根式(2)第二课时教学内容1（a≥0）是一个非负数；2．2=a（a≥0）．教学目标a≥0）2=a（a≥0），并利用它们进行计算和化简．（a≥0）是一个非负）2=a（a≥0）；最后运用结论严谨解题．教学重难点关键1a≥0）是一个非负数；（2=a（a≥0）及其运用．2a≥0）是一个非负数；•用探究的方法导出（2=a（a≥0）．教学过程一、复习引入（学生活动）口答1．什么叫二次根式？2．当a≥0时，a<0时，老师点评（略）．二、探究新知议一议：（学生分组讨论，提问解答）（a≥0）是一个什么数呢？老师点评：根据学生讨论和上面的练习，我们可以得出做一做：根据算术平方根的意义填空：）2=_______；）2=_______；2=______；2=_______；2=______；）2=_______；）2=_______．是4的算术平方根，是一个平方等于4）2=4．同理可得：2=2，2=9，2=3，（2=13，2=72，）2=0，所以例1 计算1．2 2．（2 3．2 4．（2）2分析）2=a （a ≥0）的结论解题．解：2 =32，（2 =32·（）2=32·5=45，2=56，）274 ． 三、巩固练习计算下列各式的值：2 （2 （4）2 ）2 （ 2 四、应用拓展例2 计算1．2（x≥0） 2．2 3．24． 2分析：（1）因为x≥0，所以x+1>0；（2）a2≥0；（3）a2+2a+1=（a+1）≥0；（4）4x2-12x+9=（2x）2-2·2x·3+32=（2x-3）2≥0．所以上面的42=a（a≥0）的重要结论解题．解：（1）因为x≥0，所以x+1>0（2=x+1（2）∵a2≥02=a2（3）∵a2+2a+1=（a+1）2又∵（a+1）2≥0，∴a2+2a+1≥0 =a2+2a+1（4）∵4x2-12x+9=（2x）2-2·2x·3+32=（2x-3）2又∵（2x-3）2≥0∴4x2-12x+9≥02=4x2-12x+9例3在实数范围内分解下列因式:（1）x2-3 （2）x4-4 (3) 2x2-3分析：(略)五、归纳小结本节课应掌握：1a≥0）是一个非负数；2．）2=a（a≥0）;反之:a=）2（a≥0）．六、布置作业1．教材P 8 复习巩固2．（1）、（2） P 9 7．2．选用课时作业设计．3.课后作业:《同步训练》第二课时作业设计一、选择题1式的个数是（ ）．A ．4B ．3C ．2D ．12．数a 没有算术平方根，则a 的取值范围是（ ）．A ．a>0B ．a ≥0C ．a<0D ．a=0二、填空题1．（2=________．2_______数．三、综合提高题1．计算（1）2 （2）-2 （3）（12）2 （4）（）2(5)2．把下列非负数写成一个数的平方的形式:（1）5 （2）3.4 （3）16 （4）x （x ≥0）3=0，求x y 的值．4．在实数范围内分解下列因式:（1）x 2-2 （2）x 4-9 3x 2-5 第二课时作业设计答案:一、1．B 2．C二、1．3 2．非负数三、1．（1）2=9 （2）-2=-3 （3）（12）2=14×6=32（4）（2=9×23=6 (5)-62．（1）5=2 （2）3.4=2（3）16=2 （4）x=）2（x ≥0） 3．103304x y x x y -+==⎧⎧⎨⎨-==⎩⎩ x y =34=814.（1）x 2-2=（）（）（2）x 4-9=（x 2+3）（x 2-3）=（x 2+3）（（）(3)略21.1 二次根式(3)第三课时教学内容a （a ≥0）教学目标（a ≥0）并利用它进行计算和化简．通过具体数据的解答，探究（a ≥0），并利用这个结论解决具体问题． 教学重难点关键1a （a ≥0）．2．难点：探究结论．3．关键：讲清a ≥0时，a 才成立．教学过程一、复习引入老师口述并板收上两节课的重要内容；1（a ≥0）的式子叫做二次根式；2（a ≥0）是一个非负数；3．2＝a （a ≥0）．那么，我们猜想当a ≥0是否也成立呢？下面我们就来探究这个问题．二、探究新知（学生活动）填空：；=_______=______；．（老师点评）：根据算术平方根的意义，我们可以得到：；=1102337．例1 化简（1（2 （3 （4）分析：因为（1）9=-32，（2）（-4）2=42，（3）25=52，（4）（-3）2=32（a≥0）•去化简．解：（1）（2（3）（4三、巩固练习练习2．教材P7四、应用拓展例2 填空：当a≥0时，；当a<0，•并根据这一性质回答下列问题．（1，则a可以是什么数？（2，则a可以是什么数？（3，则a可以是什么数？分析（a≥0），∴要填第一个空格可以根据这个结论，第二空格就不行，应变形，使“（）2”中的数是正数，因为，当a≤0那么-a≥0．（1）根据结论求条件；（2）根据第二个填空的分析，逆向思想；（3）根据（1）、（2）│a│，而│a│要大于a，只有什么时候才能保证呢？a<0．解：（1，所以a≥0；（2，所以a≤0；（3）因为当a≥0，即使a>a所以a不存在；当a<0，即使-a>a，a<0综上，a<0例3当x>2，化简分析：(略)五、归纳小结本节课应掌握：（a≥0）及其运用，同时理解当a<0a 的应用拓展．六、布置作业1．教材P8习题21．1 3、4、6、8．2．选作课时作业设计．3.课后作业:《同步训练》第三课时作业设计一、选择题1）．A．0 B．23C．423D．以上都不对2．a≥0的是（）．AC．二、填空题1．=________．2是一个正整数，则正整数m的最小值是________．三、综合提高题1．先化简再求值：当a=9时，求甲乙两人的解答如下：甲的解答为：原式=a+（1-a）=1；乙的解答为：原式（a-1）=2a-1=17．两种解答中，_______的解答是错误的，错误的原因是__________．2．若│1995-a│=a，求a-19952的值．（提示：先由a-2000≥0，判断1995-a•的值是正数还是负数，去掉绝对值）3. 若-3≤x≤2时，试化简│x-2│答案:一、1．C 2．A二、1．-0．02 2．5三、1．甲甲没有先判定1-a是正数还是负数2．由已知得a-•2000•≥0，•a•≥2000所以，=1995，a-2000=19952，所以a-19952=2000．3. 10-x21．2 二次根式的乘除第一课时教学内容a≥0，b≥0）（a≥0，b≥0）及其运用．教学目标＝a≥0，b≥0）（a≥0，b≥0），并利用它们进行计算和化简a≥0，b≥0）并运用它进行计算；•a≥0，b≥0）并运用它进行解题和化简．教学重难点关键a≥0，b≥0）a≥0，b≥0）及它们的运用．（a≥0，b≥0）．关键：要讲清（a<0,b<0）=，如=或×．教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们完成下列各题．1．填空（1；（2．（3．参考上面的结果，用“>、<或＝”填空．×_____，×_____，×2．利用计算器计算填空（1，（2（3（4，（5．老师点评（纠正学生练习中的错误）二、探索新知（学生活动）让3、4个同学上台总结规律．老师点评：（1）被开方数都是正数；（2）两个二次根式的乘除等于一个二次根式，•并且把这两个二次根式中的数相乘，作为等号另一边二次根式中的被开方数．一般地，对二次根式的乘法规定为反过来例1．计算（1（2）（3（4分析：a≥0，b≥0）计算即可．解：（1（2=（3=（4例2 化简（1（2）（3）（4（5分析：利用（a≥0，b≥0）直接化简即可．解：（1×4=12（2×9=36（3×10=90（4=3xy（5三、巩固练习（1）计算（学生练习，老师点评）①②×(2) 化简教材P练习全部11四、应用拓展例3．判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：（1=（2=4解：（1）不正确．改正：×3=6（2）不正确．五、归纳小结本节课应掌握：（1（a≥0，b≥0）（a≥0，b≥0）及其运用．六、布置作业1．课本P151，4，5，6．（1）（2）．2．选用课时作业设计．3.课后作业:《同步训练》第一课时作业设计一、选择题1．若直角三角形两条直角边的边长分别为，•那么此直角三角形斜边长是（）．A．3cm B．．9cm D．27cm2．化简）．A．．3=）A．x≥1 B．x≥-1 C．-1≤x≤1 D．x≥1或x≤-14．下列各等式成立的是（）．A． B．5C．．二、填空题1．2．自由落体的公式为S=12gt2（g为重力加速度，它的值为10m/s2），若物体下落的高度为720m，则下落的时间是_________．三、综合提高题1．一个底面为30cm×30cm长方体玻璃容器中装满水，•现将一部分水例入一个底面为正方形、高为10cm铁桶中，当铁桶装满水时，容器中的水面下降了20cm，铁桶的底面边长是多少厘米？2．探究过程：观察下列各式及其验证过程．（1）2验证：==（2）3验证：=同理可得：==，……通过上述探究你能猜测出： a（a>0）,并验证你的结论．答案:一、1．B 2．C 3.A 4.D二、1． 2．12s三、1．设：底面正方形铁桶的底面边长为x，则x2×10=30×30×20，x2=30×30×2，．2．验证：===21．2 二次根式的乘除第二课时教学内容a≥0，b>0）（a≥0，b>0）及利用它们进行计算和化简．教学目标a≥0，b>0a≥0，b>0）及利用它们进行运算．教学重难点关键a≥0，b>0）（a≥0，b>0）及利用它们1进行计算和化简．2．难点关键：发现规律，归纳出二次根式的除法规定．教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们完成下列各题：1．写出二次根式的乘法规定及逆向等式．2．填空；（1=________；（2；（3（4=________．规律：3．利用计算器计算填空:=_________，（2）=_________，（3）=______，（4）（1）=________．______。
九年级上下册数学培优讲义
DS 金牌数学专题一 一元二次方程㈠★知识点精讲1.一元二次方程的概念⑴ 只含有 个未知数，未知数的最高次数是 且二次项系为_____的整式方程叫一元二次方程.⑴一元二次方程的一般形式()002≠=++a c bx ax ，其中二次项系数为 ，一次项系数为 ，常数项为 .2.一元二次方程的解法⑴直接开平方法：针对()()02≥=+an n a m x⑴配方法：针对()002≠=++a c bx ax ，再通过配方转化成())0(2≥=+n n m x a注：① 配方法的目的是将方程左边化成含未知数的完全平方，右边是一个非负 常数的形式；②配方法常用于证明一个式子恒大于0或恒小于0，或者求二次函数的最值.⑶ 公式法：当0≥∆时（=∆ ），用求根公式 ，求一元二次方程()002≠=++a c bx ax 根的方法.⑶ 因式分解法：通过因式分解，把方程变形为()()0=--n x m x a ，则有m x =或n x =.注：⑴ 因式分解的常用方法（提公因式、公式法、十字相乘法）在这里均可使用，其中十字相乘法是最方便、快捷的方法.⑵ 此法可拓展应用于求解高次方程.典型例题讲解及思维拓展●例1 ⑴方程()0132=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程，则m = .⑴关于x 的一元二次方程()01122=-++-a x x a 有一个根是0，则a = .拓展变式练习11.关于x 的方程03)3(72=+---x x m m 是一元二次方程，则m =__________.2.已知方程012=-+mx x 的一个根121-=x ，则m 的值为 .●例2 解下列方程：⑶0182=+-x x ⑵()()2221239x x -=-拓展变式练习2解下列方程:⑶8632+-=x x ⑵()()2221239x x -=-⑶()()1232=--x x ⑶()222596x x x -=+-⑸04)32(5)23(2=+-+-x x ⑹()()02123122=++-+x x⑺()2223n n m x m x =+-- ⑻a x a ax x -=+-222●例3 已知0132=-+x x ，求⎪⎭⎫ ⎝⎛--+÷--2526332x x x x x 的值.拓展变式练习3 1.已知0200052=--x x ，求()()211223-+---x x x 的值.2.已知0132=+-a a ，求2219294a a a ++--的值.■ 巩固训练题一、填空题1.若方程()()053222=-++--x m x m m 是一元二次方程，则m 的值为 . 2.已知方程()()08=-+x a x 的解与方程0872=--x x 的解完全相同，则a = .3.如果二次三项式226m x x +-是一个完全平方式，那么m 的值是___________.4.若412+-mx x 是一个完全平方式，则m 的值是___________.5.已知06522=--y xy x ，则yx 的值是 . 6.已知7532=++x x ，则代数式2932-+x x 的值为________________.二、解答题1. 解下列方程：⑴ 04052=-x ⑴ ()0644292=-+x⑶20x x -= ⑶ 0813642=+-x x⑶ 22)52()2(+=-x x （6）()x x 210532-=-2. 某商店如果将进价为8元的商品按10元销售，每天可售出200件，通过一段时间的摸索，该店主发现这种商品每涨价0.5元，其销售量就减少10件，每降价0.5元，其销售量就增加10件.（1）你能帮店主设计一种方案，使每天的利润达到700元吗？（2）当售价是多少元时，能使一天的利润最大？最大利润是多少？■思维与能力提升1. 设a 、b 为实数，求542222+-++b b ab a 的最小值，并求此时a 、b 的值.2.设a 、b 、c 为实数，求1984254222+--+++c b c b ab a 的最小值，并求此时c b a ++的值.3.已知()012009200720082=-⨯-x x 的较大根为a ，020*******=--x x 的较小根为b ，求()2003b a +.4.如图，锐角∆ABC 中，PQRS 是∆ABC 的内接矩形，且S S PQRS ABC n 矩形=∆，其中n 为不小于3的自然数，求证：AB BS为无理数.■ 补充讲解■反思与归纳DS 金牌数学专题二 一元二次方程㈡★知识点精讲1.一元二次方程根的判别式⑴ 根的判别式：一元二次方程()002≠=++a c bx ax 是否有实根，由 的符号确定，因此我们把 叫做一元二次方程的根的判别式，并用∆表示，即 .⑵ 一元二次方程根的情况与判别式的关系：⇔>∆0方程有 的实数根；⇔=∆0方程有 的实数根；⇔<∆0方程 实数根；⇔≥∆0方程 实数根.2.根系关系（韦达定理）⑴ 对于一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的两根21x x ，，有ab x x -=+21，ac x x =⋅21 ⑵ 推论：如果方程02=++q px x 的两个根是21,x x ，那么p x x -=+21，q x x =⋅21. ⑶ 常用变形：()2122122212x x x x x x -+=+ ()()212212214x x x x x x -+=- 3.列方程解应用题的一般步骤：⑴______，⑵______，⑶______⑷______，⑸______，⑹______.4.常见题型⑴ 面积问题；⑵ 平均增长（降低）率问题；⑶ 销售问题；⑷ 储蓄问题.典型例题讲解及思维拓展●例1. 若关于x 的方程()()0122122=++--x m x m 有实根，求m 的取值范围.1.若关于x 的方程032)1(22=-+++-m m x x m 有实数根，求m 的值.2.是否存在这样的非负整数m ，使得关于x 的一元二次方程()0191322=-+--m x m mx 有两个不相等的实数根，若存在，请求出m 的值，若不存在，请说明理由.●例2 已知21x x ，是方程03622=++x x 的两根，不解方程，求下列代数式的值： ⑶2112x x x x + ⑶ ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+122111x x x x ⑶ ()221x x -1. 已知21x x ，是方程03622=++x x 的两根，不解方程，，求下列各式的值：⑶ 321231x x x x + ⑶ 112112+++x x x x ⑶ 21x x -2.已知关于x 的方程()024122=+--m x m x ，是否存在正数m ，使方程的两实根的平方和等于224？若存在，则求出来；若不存在，说明理由.●例3 某省为解决农村饮用水问题，省财政部门共投资20亿元对各市的农村饮用水的“改水工程”予以一定比例的补助．2008年，A 市在省财政补助的基础上投入600万元用于“改水工程”，计划以后每年以相同的增长率投资，2010年该市计划投资“改水工程”1176万元．（1）求A 市投资“改水工程”的年平均增长率；（2）从2008年到2010年，A 市三年共投资“改水工程”多少万元？拓展变式练习31. 市政府为解决市民看病贵的问题，决定下调一些药品的价格.某种药品的售价为125元/盒，连续两次降价后的售价为80元/盒，假设每次降价的百分率相同，求这种药品每次降价的百分率.2. 王洪将100元暑期勤工俭学所得的100元，按一年期定期存入少儿银行，到期后取出本息和，其中的50元捐给希望工程，余下的部分又按一年定期存入，这时存款利率已下调到第一年的一半，这样到期后得本息和共63元，求第一年的存款利率.3.一快餐店试销某种套餐，试销一段时间后发现，每份套餐的成本为5元，该店每天固定支出费用为600元(不含套餐成本)．若每份售价不超过10元，每天可销售400份；若每份售价超过10元，每提高1元，每天的销售量就减少40份．为了便于结算，每份套餐的售价x(元)取整数．．，用y(元)表示该店日净收入．(日净收入＝每天的销售额－套餐成本－每天固定支出).⑴求y与x的函数关系式；(2)若每份套餐售价不超过10元，要使该店日净收入不少于800元，那么每份售价最少不低于多少元？(3)该店既要吸引顾客，使每天销售量较大，又要有较高的日净收入．按此要求，每份套餐的售价应定为多少元？此时日净收入为多少？■巩固训练题一、填空题1.已知方程022=+-m x x 的一个根是51-，则另一根为 ，m = .2.如果21x x ，是两个不相等的实数，且12121=-x x ，12222=-x x ，则=21x x .3.若a 、b 是方程0532=--x x 的两个实数根，则b b a 3222-+= .4.以2与－6为根的一元二次方程是 .5. 一种药品经过两次降价，药价从原来每盒60元降至到现在48.6元，则平均每次降价的百分比率是____________.6.巴中日报讯：今年我市小春粮油再获丰收，全市产量预计由前年的45万吨提升到50万吨，设从前年到今年我市的粮油产量年平均增长率为x ，则可列方程为 . 二、解答题1.已知a 、b 是方程042=+-m x x 的两个根，b 、c 是方程0582=+-m x x 的两个根，求m 的值.2.为了落实国务院副总理李克强同志到恩施考察时的指示精神，最近，州委 州政府又出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加.某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为20元/千克.市场调查发现，该产品每天的销售量W(克)与销售价x (元/千克)有如下关系：W=－2x ＋80.设这种产品每天的销售利润y (元).(1)求y 与x 之间的函数关系式.(2)当销售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ (3)如果物价部门规定这种产品的销售价不得高于28元/千克,该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为多少元？■思维与能力提升1.当k 是什么整数时，方程()()072136122=+---x k x k 有两个不相等的正 整数根？2.已知关于x 的方程()0321222=--++-m m x m x 的两个不相等实数根中 有一根为0.是否存在实数k ，使关于x 的方程()02522=-+----m m k x m k x 的两个实根21x x ，之差的绝对值为1？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由.3.已知21x x ，是关于x 的方程()002≠=++p q px x 的两个实数根，且13222121=++x x x x ，()()0211211=+++x x xx ，求q p +的值.4．已知实数a 、b 、c 满足2=++c b a ，4=abc ，求a 、b 、c 中最大者的 最小值.■补充讲解■反思与归纳DS 金牌数学专题三反比例函数★知识点精讲1.反比例函数⑴ 概念：一般地，如果两个变量x ，y 之间的关系可以表示成x k y =（k 为常数，0≠k ）的形式，那么称y 是x 的反比例函数，其中自变量x 不能为零. ⑵ 常见形式：x k y =（k 为常数，0≠k ），1-=kx y （k 为常数，0≠k ）， k xy =（k 为常数，0≠k ） 2.反比例函数的图象 ⑴ 反比例函数x k y =（k 为常数，0≠k ）的图象是由两条曲线组成的，叫 做 ，因为0≠k 、0≠x ，所以函数图象与x 、y 轴均无交点，而且它是一个以原点为对称中心的中心对称图形. ⑵ 图象基本性质0>k 0<k反 比 例 函 数 图 象性 质两分支位于 象限， 在每一象限内，y 随x 的增大 而两分支位于 象限， 在每一象限内，y 随x 的增大 而⑶ k 的几何意义=AOBP S 矩形_________.=∆AOP S Rt __________.3.直线1y k x m =+和双曲线x k y 2=的交点⑴求直线1y k x m =+和双曲线x k y 2=的交点就是求方程组 的解．反之，交点坐标同时满足两个函数的解析式，可利用待定系数法求解. ⑵ 交点个数由两方程组成的方程组转化得到的一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的解的情况决定．①当 时，直线与双曲线有两个交点． ②当 时，直线与双曲线有一个交点．y P(m,n) AoxB③当 时，直线与双曲线没有交点． 4.反比例函数和一次函数的综合应用① 交点与解析式相互转化 ② 求三角形、四边形面积 ③ 特殊三角形、四边形的存在性问题 ④ 其它综合典型例题讲解及思维拓展 ● 例1 若反比列函数1232)12(---=k kx k y 的图像经过二、四象限.⑴求k 的值.⑵ 若点()1,2y A -，()2,1y B -，()3,3y C 都在其图象上，比较，，的大小关系.拓展变式练习11.若反比例函数22)12(--=m x m y 的图像在第一、三象限，则m 的值是 .2.在函数（为常数）的图象上有三个点（-2，），(-1，)，（，），函数值，，的大小为 . 3.设有反比例函数，、为其图象上的两点，若时，，则的取值范围是___________.1y 2y 3y x k y 22--=k 1y 2y 213y 1y 2y 3y●例2 如图，一次函数y kx b =+的图象与反比例函数my x=的图象相交于A 、B 两点.（1）根据图象，分别写出A 、B 的坐标； （2）求出两函数解析式；（3）根据图象回答：当x 为何值时，一次函数的函数值大于反比例函数的函数值拓展变式练习21. 如图，一次函数122y x =-的图象分别交x 轴、y 轴于A 、B ，P 为AB 上一点且PC 为△AOB 的中位线，PC 的延长线交反比例函数(0)ky k x=>的图象于Q ，32OQC S ∆=，求k 的值和Q 点的坐标.2. 已知21y y y -=，1y 与x 成反比例，2y 与2x 成正比例，且当1-=x 时，5-=y ；1=x 时，1=y .求y 与x 之间的函数关系式.x yO A P C QBOxyBA D C 3.已知函数221y y y +=，1y 与2x 成正比例，2y 与x 2成反比例，且当1-=x 时，1=y ；当2=x 时，437=y .求y 关于x 的函数关系式.●例3 如图，已知反比例函数()0<=k y x k 的图象经过点A (3)m -，，过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，且△AOB 的面积为3. ①求k 和m 的值；②若一次函数1y ax =+的图象经过点A ，并且与x 轴相交于点C ，求∠ACO 的度数和AO :AC 的值.拓展变式练习31.已知点A 是直线)1(++-=k x y 和双曲线x k y =在第四象限的交点，AB⊥x 轴于点B ，且S 5.1=∆ABO .（1）求这两个函数的解析式；（2）求直线与双曲线的两个交点A 、C 的坐标和△AOC 的面积；（3）根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x 的取值范围.2.如图，一次函数y kx b =+的图象经过第一、二、三象限，且与反比例函数图象相交于A B ，两点，与y 轴交于点C ，与x 轴交于点D ，5OB =．且点B 横坐标是点B 纵坐标的2倍． （1）求反比例函数的解析式；（2）设点A 横坐标为m ，ABO △面积为S ，求S 与m 的函数关系式，并求出自变量m 的取值范围．3.如图所示，点A 、B 在反比例函数()0≠=k y xk 的图象上，且点A 、B•的横坐标分别为a 、2a （a >0），AC⊥x 轴于点C ，且△AOC 的面积为2． （1）求该反比例函数的解析式． （2）若点（-a ，1y ）、（-2a ，2y ）在该函数的图象上，试比较1y 与2y 的大小． （3）求△AOB 的面积．O xyA C DB●例4 若一次函数12-=x y 和反比例函数x k y 2=的图象都经过点（1，1）．⑴求反比例函数的解析式；⑵已知点A 在第三象限，且同时在两个函数的图象上，求点A 的坐标； ⑶利用（2）的结果，若点B 的坐标为（2，0），且以点A 、O 、B 、P 为顶点的四边形是平行四边形，请你直接写出点P 的坐标．拓展变式练习41.已知反比例函数x k y 2=和一次函数12-=x y ，其中一次函数图像经过（a ，b ）（a ＋1，k b +）两点．（1）求反比例函数的解析式；（2）如图，已知点A 在第一象限，且同时在上述两个函数的图像上，求A 点坐标；（3）利用（2）的结论，请问：在x 轴上是否存在点P ，使△AOP 为等腰三角形？若存在，所符合条件的P 点坐标都求出来；若不存在，请说明理由．2. C 、D 是双曲线x my =在第一象限内的点，直线CD 分别交x 轴、y 轴于 A 、B 两点，设C 、D 坐标分别是(1x ，y 1)、(2x ，y 2)，连结OC 、OD.∠AOD=∠BOC=α，作CE⊥y 轴 ，DF⊥x 轴，且31==OF DFOE CE ，10=OC . ⑴求C 、D 的坐标和m 的值.⑵求OCD S ∆.⑶双曲线上是否存在一点P ，使得POD POC S S ∆∆= 若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由.3.已知双曲线()0163>=x y x，与经过点A(1，0)、B(0，1)的直线交于点P 、Q ，连结OP 、OQ.⑴求证：ΔOAQ≌ΔOBP⑵若C 是OA 上不与O 、A 重合的任意一点，CA=a ，(0<a <1)，CD⊥AB 于D ，DE⊥OB 于E.①a 为何值时，CE=AC ？②在线段OA 上是否存在点C ，使点CE∥AB？若存在这样的点，则请写出点C 的坐标，若不存在，请说明理由.xyCDA B EF OA ． x y OB ． x y OC ．x y O D ． x y O■巩固训练题一、选择题 1.函数x k y =的图象经过点（－4，6），则下列各点中在xk y =图象上的是（ ） A.（3，8） B.（3，－8） C.（－8，－3） D.（－4，－6） 2.已知反比例函数)0(<=k xky 的图像上有两点A(1x ，1y )，B(2x ，2y )，且21x x <，则21y y -的值是（ ）A.正数B.负数C.非正数D.不能确定 3.已知点P 是反比例函数()0≠=k y xk 的图像上任一点，过P•点分别作x 轴，y 轴的平行线，若两平行线与坐标轴围成矩形的面积为2，则k 的值为（ ）A ．2B ．-2C ．±2 D．44.如图，已知函数ky x=-中，0x >时，y 随x 的增大而增大，则y kx k =-的大致图象为（ ）5.已知关于x 的函数()1-=x k y 和y=-kx(k ≠0),它们在同一坐标系内的图像大致是下图中的( )二、解答题1.如图，正比例函数()0>=k kx y 与反比例函数xk y =的图象交于A 、C 两点，过A 点作x 轴的垂线，垂足为B ，过C 点作x 轴的垂线，垂足为D ，求S 四边形ABCD ．2.制作一种产品，需先将材料加热到60C ︒后，再进行操作，设刻材料温度为y C ︒，从开始加热计算的时间为x 分钟，据了解，该材料加热后，温度y 与时间成一次函数关系；停止加热进行操作时，温度y 与时间x 成反比例关系(如图)，已知该材料在操作加工前的温度为15C ︒，加热5分钟后温度达到60C ︒. ⑴分别求出将材料加热和停止加热进行操作时，y 与x 的函数关系；⑵拫据工艺要求，当材料的温度低于15C ︒时，须停止操作，那么从开始加热到停止操作，共经历了多长时间？3.等腰三角形OAB 在直角坐标系中的位置如图，点A 的坐标为（33,3-）， 点B 的坐标为（－6，0）.（1）若三角形OAB 关于y 轴的轴对称图形是三角形O A B ''，请直接写出A 、B 的对称点A 'B '、的坐标；（2）若将三角形OAB 沿x 轴向右平移a 个单位，此时点A 恰好落在反比例函数x y 36=的图像上，求a 的值；（3）若三角形OAB 绕点O 按逆时针方向旋转α度（090α<<）. ①当α=30时点B 恰好落在反比例函数x k y =的图像上，求k 的值． ②问点A 、B 能否同时落在①中的反比例函数的图像上，若能，求出α的值；若不能，请说明理由.y xO56015■思维与能力提升1、如图，在直角坐标平面内，函数x my =（0x >，m 是常数）的图象经过(14)A ，，()B a b ，，其中1a >．过点A 作x 轴的垂线，垂足为C ，过点B 作y 轴的垂线，垂足为D ，连结AD 、DC 、CB ．（1）若ABD △的面积为4，求点B 的坐标；（2）求证：DC AB ∥；（3）当AD BC =时，求直线AB 的函数解析式．2.如图，将一块直角三角形纸板的直角顶点放在()5.01，C 处，两直角边分别与y x ，轴平行，纸板的另两个顶点恰好是直线29+=kx y 与双曲线)0(>=m y x m的交点．（1）求m 和k 的值；（2）设双曲线)0(>=m y xm 在B A ,之间的部分为L ，让一把三角尺的直角顶点P 在L 上滑动，两直角边始终与坐标轴平行，且与线段AB 交于N M ,两点，请探究是否存在点P 使得AB MN 21=，写出你的探究过程和结论．B A ，yONM CP3.如图，已知直线AB 交两坐标于A 、B 两点，且OA=OB=1，点P （a 、b ）是双曲线x y 21=上在第一象内的点过点P 作PM⊥x 轴于M 、PN⊥y 轴于N ．两垂线与直线AB 交于E 、F ．（1）写出点E 、F 的坐标（分别用a 或b 表示） （2）求△OEF 的面积（结果用a 、b 表示）； （3）△AOF 与△BOE 是否相似？请说明理由；（4）当P 在双曲线x y 21=上移动时，△OEF 随之变动，观察变化过程，△OEF 三内角中有无大小始终保持不变的内角？若有，请指出它的大小，并说明理由．■补充讲解■反思与归纳DS 金牌数学专题四直角三角形的边角关系㈠★知识点精讲1.在ABC Rt ∆中，锐角A 的对边与邻边的比叫做A ∠的_________，记做_______，即_______tan =A ；锐角A 的邻边与对边的比叫做A ∠的_________，记做_______，即_______cot =A .2.坡比、坡角①坡面的铅直高度h 与水平宽度l 的比叫做________，用字母i 表示，即________=i ，坡面与水平面的夹角α叫________，即_______tan =α. ②工程上斜坡的倾斜程度通常用坡度来表示，坡面的_______和________的比称为坡度或坡比，坡度是坡角的_______，坡度______，坡面越陡. 3.在ABC Rt ∆中，锐角A 的对边与斜边的比叫做A ∠的_________，记做_______，即_______sin =A ；锐角A 的邻边与斜边的比叫做A ∠的_________，记做_______，即_______cos =A .4.在ABC Rt ∆中，若︒=∠+∠90B A ，则A sin 与A cos 的关系是_______，由此可得()_______90sin =-︒A ，()_______90cos =-︒A .典型例题讲解及思维拓展● 例1. 在ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，如果125tan =A ，且24=AC ，求：⑴BC 和AB 的长；⑵A sin 和A cos 的值.拓展变式练习11. 在ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，如果135tan =A ，且26=AC ，求：⑴BC 和AB 的长； ⑵A sin 和A cos 的值.2.在ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，D 是BC 上的一点，34tan =∠ADC ，21tan =B ，BD=5，求AD 的长.3.在ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，D 是AC 的中点，且BC=AC ，求CDA ∠tan 和DAC ∠sin 的值.●例2.如图，某县为了增强防洪能力，加固长90米，高5米，坝顶宽为4米，迎水坡和背水坡的坡度都是1：1的横断面是梯形的防洪大坝.要讲大坝加高1米，背水坡的坡度改为1：1.5，已知坝顶宽不变，问大坝的横截面积增加了多少平方米？增加了多少立方米土方？拓展变式练习21. 如图，拦水坝的横截面为梯形ABCD，AD∥BC，AB=DC，AD=6，BC=14，梯形ABCD的面积是40，求斜坡AB的坡度.2. 如图，水库大坝的横断面为梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度3:1i，斜坡CD的坡度为c，求斜坡AB的坡角(精确到'1），坝底宽AD和斜坡AB的长.(精确到1.0m)3. 泸杭甬高速公路拓宽宁波段工程进入全面施工阶段，在现有双向四车道的高速公路两侧经加宽形成双向八车道.如图，路基原横断面为等腰梯形ABCD ，AD ∥BC ，斜坡DC 的坡度为i 1，在其一侧加宽DF=7.75米，点E 、F 分别在BC 、AD 的延长线上，斜坡FE 的坡度为i 2(i 1<i 2).设路基的高DM=h 米，拓宽后横断面一侧增加的四边形DCEF 的面积为s 米2. (1)已知i 2=1:1.7，h=3米,求ME 的长.(2)不同路段的i 1、i 2、、、h 是不同的，请你设计一个求面积S 的公式(用含i 1、i 2的代数式表示).● 例3. 计算︒+︒-︒-︒︒30tan 345sin 260cos 45cos 30sin拓展变式练习3 1.计算下列各题：⑴()()2121145sin 260tan 130sin 2-︒+︒---︒-； ⑵()212321+-+÷-x x x ，其中︒-︒=60cos 245sin 4x .2. 在ABC ∆中，若()0cos 1tan 223=-+-B A ，其中A ∠、B ∠均为锐角，求C ∠的度数.3. 已知31tan =α且α为锐角，求ααααcos sin 2cos 2sin 3+-的值.■巩固训练题1.已知211(sin )sin 22αα-=-，则锐角α的取值范围是 .2.在△ABC 中，90C ∠=︒且两直角边a b 、满足22560a ab b -+=，则sin A = .3.如图，已知AD 为等腰△ABC 底边上的高，且4tan 3B =，AC 上有一点E ，满足2:3AE EC =:，那么tan ADE ∠= .二.解答题1.如图，在四边形ABCD 中，60DAB ∠=︒，90ABC CDA ∠=∠=︒,2CD =，3BC =，求AB 的长.2. 两个全等的直角三角形ABC 和DEF 重叠在一起，其中∠A =60°，AC =1. 固定△ABC 不动，将△DEF 进行如下操作：(1) 如图 (1)，△DEF 沿线段AB 向右平移(即D 点在线段AB 内移动)，连结DC 、CF 、FB ，四边形CDBF 的形状在不断的变化，但它的面积不变化，请求出其面积.(2)如图 (2)，当D 点移到AB 的中点时，请你猜想四边形CDBF 的形状，并说明理由.(3)如图 (3)，△DEF 的D 点固定在AB 的中点，然后绕D 点按顺时针方向旋转 △DEF ，使DF 落在AB 边上，此时F 点恰好与B 点重合，连结AE ，请你求出sinα 的值.A B E FC D 图 (1)A B E F CD 图 (2)A B() (F )C D 图 (3) Eα■ 思维与能力提升在ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，若A ∠、B ∠、C ∠的对边分别是a 、b 、c . ⑴若()A A 22sin sin =，()A A 22cos cos =，请根据三角形函数的定义证明：①1cos sin 22=+A A ； ②BBB cos sin tan =.⑵根据上面的两个结论解答：①若2cos sin =+A A ，求A A cos sin -的值；②若2tan =B ，求B B BB sin cos 2sin cos 4+-的值.■ 补充讲解■反思与归纳DS金牌数学专题五直角三角形的边角关系㈡★知识点精讲1.仰角、俯角：①当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的角叫；②当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的角叫.2.方位角：指北或指南方向与_____________所成的夹角叫方位角.典型例题讲解及思维拓展●例1.如图，小唐同学正在操场上放风筝，风筝从A处起飞，几分钟后便飞达C处，此时，在AQ延长线上B处的小宋同学，发现自己的位置与风筝和旗杆PQ的顶点P在同一直线上.（1）已知旗杆高为10米，若在B处测得旗杆顶点P的仰角为30°，A处测得点P的仰角为45°，试求A、B之间的距离；（2）此时，在A处背向旗杆又测得风筝的仰角为75°，若绳子在空中视为一条线段，求绳子AC约为多少？（结果可保留根号）拓展变式练习11.汶川地震后，抢险队派一架直升飞机去A、B两个村庄抢险，飞机在距地面450米上空的P点，测得A村的俯角为30︒，B村的俯角为60︒（如图7）．求A、B两个村庄间的距离．（结果精确到米，参考数据2 1.4143 1.732==，）QB C PA450 60︒30︒图72.在我市迎接奥运圣火的活动中，某校教学楼上悬挂着宣传条幅DC ，小丽同学在点A 处，测得条幅顶端D 的仰角为30°，再向条幅方向前进10米后， 又在点B 处测得条幅顶端D 的仰角为45°，已知测点A 、B 和C 离地面高度都为1.44米，求条幅顶端D 点距离地面的高度．（计算结果精确到0.1米，参考数据．）3.在数学活动课上，九年级（1）班数学兴趣小组的同学们测量校园内一棵大树的高度，设计的方案及测量数据如下：（1）在大树前的平地上选择一点A ，测得由点A 看大树顶端C 的仰角为35°； （2）在点A 和大树之间选择一点B （A 、B 、D 在同一直线上），测得由点B 看大树顶端C 的仰角恰好为45°；（3）量出A 、B 两点间的距离为4.5米.请你根据以上数据求出大树CD 的高度.（可能用到的参考数据：sin35°≈0.57 cos35°≈0.82 tan35°≈0.70）23 1.732≈≈60o4.如图，在小山的西侧A 处有一热气球，以30米/分钟的速度沿着与垂直方向所成夹角为30°的方向升空，40分钟后到达C 处，这时热气球上的人发现，在A 处的正东方向有一处着火点B ，十分钟后，在D 处测得着火点B 的俯角为15°，求热气球升空点A 与着火点B 的距离. 结果保留根号，参考数据：42615sin -=︒，42615cos +=︒，3215tan -=︒，3215cot +=︒.● 例2. 如图，在某海域内有三个港口A 、D 、C ．港口C 在港口A 北偏东60方向上，港口D 在港口A 北偏西60方向上．一艘船以每小时25海里的速度沿北偏东30的方向驶离A 港口3小时后到达B 点位置处，此时发现船舱漏水，海水以每5分钟4吨的速度渗入船内．当船舱渗入的海水总量超过75吨时，船将沉入海中．同时在B 处测得港口C 在B 处的南偏东75方向上．若船上的抽水机每小时可将8吨的海水排出船外，问此船在B 处至少应以怎样的航行速度驶向最近的港口停靠，才能保证船在抵达港口前不会沉没（要求计算结果保留根号）？并指出此时船的航行方向．拓展变式练习21.根据“十一五”规划，元双(双柏—元谋)高速工路即将动工.工程需要测量某一条河的宽度.如图，一测量员在河岸边的A 处测得对岸岸边的一根标杆B 在它的正北方向，测量员从A 点开始沿岸边向正东方向前进100米到达点C 处，测得 68=∠ACB .求所测之处河AB 的宽度.（o o o sin68≈0.93,cos68≈0.37,tan68≈2.48）2.载着“点燃激情，传递梦想”的使用，6月2日奥运圣火在古城荆州传递， 途经A 、B 、C 、D 四地，其中A 、B 、C 三地在同一直线上，D 地在A 地北偏东45º方向，在B 地正北方向，在C 地北偏西60º方向．C 地在A 地北偏东75º方向．B 、D 两地相距2km ．问奥运圣火从A 地传到D 地的路程大约是多少？（最后结果．．．．保留整数，参考数据：2 1.4,3 1.7≈≈）A CB3.如图，A 、B 、C 三个粮仓的位置如图所示，A 粮仓在B 粮仓北偏东26，180千米处；C 粮仓在B 粮仓的正东方，A 粮仓的正南方．已知A 、B 两个粮仓原有存粮共450吨，根据灾情需要，现从A 粮仓运出该粮仓存粮的53支援C粮仓，从B 粮仓运出该粮仓存粮的52支援C 粮仓，这时A 、B 两处粮仓的存粮吨数相等．（sin 260.44=，cos 260.90=，tan 260.49=） （1）A 、B 两处粮仓原有存粮各多少吨？ （2）C 粮仓至少需要支援200吨粮食，问此调拨计划能满足C 粮仓的需求吗？ （3）由于气象条件恶劣，从B 处出发到C 处的车队来回都限速以每小时35公里的速度匀速行驶，而司机小王的汽车油箱的油量最多可行驶4小时，那么小王在途中是否需要加油才能安全的回到B 地？请你说明理由．■巩固训练题 一、选择题1. 已知α为锐角，且cot （90°－α）＝3，则α的度数为（ ） A ．30° B ．60° C ．45° D ．75°北南 西东CB A262.如图，在Ｒt △ＡＢＣ中，∠Ｃ＝900，∠Ａ＝300，Ｅ为ＡＢ上一点且ＡＥ：ＥＢ＝4：1，ＥＦ⊥ＡＣ于Ｆ，连结ＦＢ，则tan ∠CFB 的值等于（ ）32353A 53333、 Ｂ、 Ｃ、 Ｄ、3.已知直角三角形ABC 中，斜边AB 的长为m ，40B ∠=，则直角边BC 的长是（ ）A ．sin 40mB ．cos 40mC ．tan 40mD ．tan 40m4.在Rt △ABC 中， ∠C=90︒，AB=4，AC=1，则cos A 的值是（ ） A ．154B ．14C ．15D ．４5.已知α为锐角，则ααcos sin +=m 的值（ ） A ．1>m B ．1=m C ．1<m D ．1≥m6. 如图，正方形ABCD 中，E 是BC 边上一点，以E 为圆心、EC 为半径的半 圆与以A 为圆心，AB 为半径的圆弧外切，则sin EAB ∠的值为（ ）A ．43B ．34C ．45D ．357.在Rt △ABC 中,∠C=90°,若AC=2BC,则tanA 的值是（ ）A.21B. 2C. 55D. 258.已知ABC ∆中，AC=4，BC=3，AB=5，则sin A =（ ） A. 35B. 45C. 53D. 349. 如图，在平地上种植树时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为4m ．如果在坡度为0.5的山坡上种植树，也要求株距为4m ，那么相邻两树间的坡面距离约为（ ）A ．4.5mB ．4.6mC ．6mD ．8m10.如图，小雅家（图中点Ｏ处）门前有一条东西走向的公路，经测得有一水塔（图中点Ａ处）在她家北偏东60度500m 处，那么水塔所在的位置到公路的距离AB 是（ ）．Ａ.250ｍ Ｂ．2503ｍ Ｃ．50033ｍ Ｄ．2502ｍ．A O B东北A DB E 图6 i =1:C 二.解答题1. 如图，港口B 位于港口O 正西方向120海里处，小岛C 位于港口O 北 偏西60°方向.一艘科学考察船从港口O 出发，沿北偏西30°的OA 方向以20海里/小时的速度驶离港口O.同时一艘快艇从港口B 出发，沿北偏东30°方向以60海里/小时的速度驶向小岛C ，在小岛C 用一小时装补给物资后，立即按原来的速度给考察船送.⑴快艇从港口B 到小岛C 需要多少时间？⑵快艇从小岛C 出发后最少需要多少时间才能和考察船相遇？2. 如图6，梯形ABCD 是拦水坝的横断面图，（图中3:1 i 是指坡面的铅 直高度DE 与水平宽度CE 的比），∠B=60°，AB=6，AD=4，求拦水坝的横断面ABCD 的面积．（结果保留三位有效数字.参考数据：3≈1.732，2≈1.414）。
九年级上册数学周末讲义(北师大版)
特殊的平行四边形一：矩形1.矩形的性质：（1）矩形具备平行四边形的所有性质；（2）矩形的四个角都是直角；（3）矩形的对角线平分且相等（4）矩形是轴对称图形，它有两条对称轴；它也是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点。
2.矩形的判定定理：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形（2）对角线相等的平行四边形是矩形（3）有三个角是直角的四边形是矩形例题：1.矩形ABCD中，对角线AC和BD相交于O，∠AOB=60°，AC=10．（1）求矩形较短边的长．（2）矩形较长边的长．（3）矩形的面积．2.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，DF⊥AC于F点，若∠ADF=3∠FDC，则∠DEC的度数是____3.已知，如图，△ABC中，CE、CF分别是∠ACB和它的邻补角∠ACD的平分线，AE⊥CE于E，AF⊥CF于F，直线EF分别交AB、AC于M、N．求证：（1）四边形AECF是矩形；（2）MN与BC的位置有何关系，证明你的结论．1．如图，在▱ABCD中AB=6，BC=8，AC=10．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）求BD的长．2．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO=CO，BO=DO，且∠ABC+∠ADC=180．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）若∠ADF：∠FDC=3：2，DF⊥AC，求∠BDF的度数．1.菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；2.菱形的性质：（1）菱形具有平行四边形的所有性质；（2）菱形的四边都相等；（3）菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；（4）菱形是轴对称图形，也是中心对称图形；菱形的面积公式：菱形的面积等于对角线乘积的一半。
3.菱形的判定定理：（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形；（2）对角线垂直的平行四边形是菱形；（3）四边相等的四边形是菱形；例题：1.如图所示，在菱形ABCD中，E是AB的中点，且DE⊥AB，AB=2a（1）求∠ABC的度数；（2）求对角线AC的长；（3）求菱形ABCD的面积．2.如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，CE∥BD，EB∥AC，连接OE，交BC于F．（1）求证：OE=CB；（2）如果OC：OB=1：2，OE=√5，求菱形ABCD的面积．3.已知：如图，△ABC中，∠BAC的平分线交BC于点D，E是AB上一点，且AE=AC，EF∥BC交AD于点F，求证：四边形CDEF是菱形．练习：1．已知，在△ABC中，D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，连接DE，DF．（1）如图1，若AC=BC，求证：四边形DECF为菱形；（2）如图2，过C作CG∥AB交DE延长线于点G，连接EF，AG，在不添加任何辅助线的情况下，写出图中所有与△ADG面积相等的平行四边形．2．如图，在△ABC中，DE分别是AB，AC的中点，BE=2DE，延长DE到点F，使得EF=BE，连CF （1）求证：四边形BCFE是菱形；（2）若CE=6，∠BEF=120°，求菱形BCFE的面积．三：正方形1.正方形的性质：（1）正方形的四边都相等，四个角都是90°；（2）正方形的对角线相等且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。
初三数学学生辅导讲义
初三数学学生辅导讲义一、 知识要点：1．把b a 的值叫做线段b a ,的比，若d cb a =，则称线段dc b a ,,,成比例线段。
2．bc ad d c b a dcb a =⇔=⇔=::，其中dc b a ,,,分别叫第一、第二、第三、第四比例项，d a ,称为外项，c b ,称为内项；外项的积等于内项的积。
3．n1=实际距离图上距离，我们称为比例尺，进行有关比例尺的计算时，要注意统一单位4．比例性质：①基本性质：bc ad d c b a =⇔=；②反比性质：c d a b d c b a =⇔=； ③更比性质：ab c a d c b a =⇔=； ④合比性质：d bc b b ad c b a ±=±⇔=；⑤等比性质：n n b a b a b a b a === 332211，则112121b ab b b a a a n n =+++++ 5．比例中项：若ac b =2，则称b 是ac 的比例中项6．若点P 分线段AB 得到较长线段是较短线段和整条线段的比例中项，则称点P 是线段AB的黄金分割点； 7．215,215--==较长线段较短线段整条线段较长线段叫做黄金比值。
二、 例题分析：例1．下列各组中的四条线段成比例的是( )A.a =2，b =3，c =2，d =3B.a =4，b =6，c =5，d =10C.a =2，b =5，c =23，d =15D.a =2，b =3，c =4，d =1例2. 已知线段a 、b 、c 、d 满足ab =cd ，把它改写成比例式，错误的是( )A.a ∶d =c ∶bB.a ∶b =c ∶dC.d ∶a =b ∶cD.a ∶c =d ∶b 例3. 若a =2,b =3,c =33,则a 、b 、c 的第四比例项d 为________ 例4. 若ac =bd ，则下列各式一定成立的是( )A.dc b a =B.c c b d d a +=+C.c dba =22 D.dacd ab = 例5. 已知dcb a =,则下列式子中正确的是（ ） A. a ∶b =c 2∶d 2B. a ∶d =c ∶bC. a ∶b =（a +c ）∶（b +d ）D. a ∶b =（a －d ）∶（b －d ） 例6．已知5:4:2::=c b a ，且632=+-a b a ，求c b a 23-+的值。
(word完整版)人教版初中数学讲义(2021年整理)
(word完整版)人教版初中数学讲义(word版可编辑修改)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（(word完整版)人教版初中数学讲义(word版可编辑修改)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为(word完整版)人教版初中数学讲义(word版可编辑修改)的全部内容。
基本定理1、过两点有且只有一条直线2、两点之间线段最短3、同角或等角的补角相等4、同角或等角的余角相等5、过一点有且只有一条直线和已知直线垂直6、直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短7、平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行8、如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行9、同位角相等，两直线平行10、内错角相等，两直线平行11、同旁内角互补，两直线平行12、两直线平行，同位角相等13、两直线平行,内错角相等14、两直线平行,同旁内角互补15、定理三角形两边的和大于第三边16、推论三角形两边的差小于第三边17、三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°18、推论1 直角三角形的两个锐角互余19、推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和20、推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角21、全等三角形的对应边、对应角相等22、边角边公理(SAS）有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等23、角边角公理（ ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等24、推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等25、边边边公理（SSS）有三边对应相等的两个三角形全等26、斜边、直角边公理（HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等27、定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等28、定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上29、角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合30、等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等（即等边对等角）31、推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边32、等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合33、推论3 等边三角形的各角都相等,并且每一个角都等于60°34、等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）35、推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形36、推论 2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形37、在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半38、直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半39、定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等40、逆定理和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上41、线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合42、定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形43、定理 2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线44、定理3 两个图形关于某直线对称,如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上45、逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称46、勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a2+b2=c247、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形48、定理四边形的内角和等于360°49、四边形的外角和等于360°50、多边形内角和定理 n边形的内角的和等于（n—2）×180°51、推论任意多边的外角和等于360°52、平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等53、平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等54、推论夹在两条平行线间的平行线段相等55、平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分56、平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形57、平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形58、平行四边形判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形59、平行四边形判定定理4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形60、矩形性质定理1 矩形的四个角都是直角61、矩形性质定理2 矩形的对角线相等62、矩形判定定理1 有三个角是直角的四边形是矩形63、矩形判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形64、菱形性质定理1 菱形的四条边都相等65、菱形性质定理2 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角66、菱形面积=对角线乘积的一半，即S=（a×b)÷267、菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形68、菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形69、正方形性质定理1 正方形的四个角都是直角，四条边都相等70、正方形性质定理2正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角71、定理1 关于中心对称的两个图形是全等的72、定理2 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分73、逆定理如果两个图形的对应点连线都经过某一点,并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称74、等腰梯形性质定理等腰梯形在同一底上的两个角相等75、等腰梯形的两条对角线相等76、等腰梯形判定定理在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形77、对角线相等的梯形是等腰梯形78、平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等79、推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰80、推论2 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线,必平分第三边81、三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半82、梯形中位线定理梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半 L=（a+b）÷2 S=L×h83、（1）比例的基本性质：如果a:b=c:d,那么ad=bc 如果 ad=bc ,那么a:b=c:d84、（2)合比性质:如果a／b=c／d，那么（a±b）／b=（c±d）／d85、（3）等比性质：如果a／b=c／d=…=m／n(b+d+…+n≠0)，那么（a+c+…+m）／(b+d+…+n)=a／b86、平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例87、推论平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线），所得的对应线段成比例88、定理如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边89、平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线, 所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例90、定理平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似91、相似三角形判定定理1 两角对应相等,两三角形相似(ASA）92、直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似93、判定定理2 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似（SAS）94、判定定理3 三边对应成比例，两三角形相似(SSS）95、定理如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似96、性质定理1 相似三角形对应高的比,对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比97、性质定理2 相似三角形周长的比等于相似比98、性质定理3 相似三角形面积的比等于相似比的平方99、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值100、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值,任意锐角的余切值等于它的余角的正切值101、圆是定点的距离等于定长的点的集合102、圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合103、圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合104、同圆或等圆的半径相等105、到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆106、和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹,是着条线段的垂直平分线107、到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线108、到两条平行线距离相等的点的轨迹,是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线109、定理不在同一直线上的三点确定一个圆.110、垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧111、推论1①平分弦（不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧112、推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等113、圆是以圆心为对称中心的中心对称图形114、定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等115、推论在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等116、定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半117、推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等118、推论2 半圆(或直径）所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径119、推论3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形120、定理圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角121、①直线L和⊙O相交 d＜r②直线L和⊙O相切 d=r③直线L和⊙O相离 d＞r122、切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线123、切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径124、推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点125、推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心126、切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角127、圆的外切四边形的两组对边的和相等128、弦切角定理弦切角等于它所夹的弧对的圆周角129、推论如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等130、相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等131、推论如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项132、切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项133、推论从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等134、如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上135、①两圆外离 d＞R+r ②两圆外切 d=R+r③两圆相交 R—r＜d＜R+r(R＞r)④两圆内切 d=R—r(R＞r）⑤两圆内含 d＜R—r(R＞r）136、定理相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦137、定理把圆分成n(n≥3）:⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形138、定理任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆139、正n边形的每个内角都等于（n—2）×180°／n140、定理正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形141、正n边形的面积Sn=pnrn／2 p表示正n边形的周长142、正三角形面积√3a／4 a表示边长143、如果在一个顶点周围有k个正n边形的角，由于这些角的和应为360°，因此k×(n-2)180°／n=360°化为（n-2)(k—2）=4144、弧长计算公式：L=n兀R／180145、扇形面积公式：S扇形=n兀R2／360=LR／2146、内公切线长= d-（R-r) 外公切线长= d—（R+r)147完全平方公式：（a+b)2=a2+2ab+b2（a—b)2=a2—2ab+b2148平方差公式：（a+b）（a—b)=a2-b2常用数学公式乘法与因式分 a2-b2=(a+b)（a—b） a3+b3=（a+b)(a2-ab+b2） a3—b3=(a-b（a2+ab+b2）三角不等式 |a+b｜≤|a｜+|b｜ |a-b｜≤|a|+｜b| |a｜≤b〈=〉-b≤a≤b|a-b｜≥｜a｜—|b｜—|a｜≤a≤｜a|一元二次方程的解 -b+√（b2-4ac)/2a -b-√（b2-4ac)/2a根与系数的关系 X1+X2=—b/a X1*X2=c/a 注：韦达定理判别式b2—4ac=0 注：方程有两个相等的实根b2—4ac>0 注：方程有两个不等的实根b2-4ac〈0 注：方程没有实根,有共轭复数根三角函数公式两角和公式sin（A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin（A-B）=sinAcosB—sinBcosAcos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B）=cosAcosB+sinAsinBtan（A+B)=（tanA+tanB）/（1—tanAtanB） tan(A-B）=（tanA—tanB)/(1+tanAtanB）ctg（A+B)=(ctgActgB—1）/（ctgB+ctgA） ctg（A-B)=（ctgActgB+1)/(ctgB—ctgA) 倍角公式tan2A=2tanA/（1—tan2A） ctg2A=(ctg2A—1)/2ctgacos2a=cos2a—sin2a=2cos2a—1=1-2sin2a半角公式sin(A/2）=√（（1—cosA)/2） sin(A/2)=-√（(1-cosA)/2）cos(A/2）=√(（1+cosA）/2） cos(A/2)=-√（(1+cosA)/2）tan(A/2)=√(（1—cosA)/(（1+cosA）） tan(A/2)=—√(（1-cosA）/((1+cosA））ctg（A/2)=√（(1+cosA)/（（1-cosA)) ctg（A/2）=-√((1+cosA）/（（1-cosA))和差化积2sinAcosB=sin（A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B）-sin(A—B）2cosAcosB=cos（A+B)—sin(A-B) -2sinAsinB=cos（A+B)-cos(A-B)sinA+sinB=2sin(（A+B)/2）cos（(A—B)/2 cosA+cosB=2cos（(A+B）/2）sin（(A-B）/2）tanA+tanB=sin（A+B）/cosAcosB tanA—tanB=sin（A-B)/cosAcosBctgA+ctgBsin(A+B）/sinAsinB —ctgA+ctgBsin(A+B）/sinAsinB某些数列前n项和1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n（n+1）/2 1+3+5+7+9+11+13+15+…+（2n-1）=n22+4+6+8+10+12+14+…+（2n)=n（n+1) 12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)（2n+1）/613+23+33+43+53+63+…n3=n2（n+1）2/4 1*2+2＊3+3*4+4*5+5＊6+6＊7+…+n(n+1）=n（n+1)（n+2)/3正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注：其中 R 表示三角形的外接圆半径余弦定理 b2=a2+c2-2accosB 注：角B是边a和边c的夹角圆的标准方程(x-a)2+（y-b）2=r2注：（a,b）是圆心坐标圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2—4F〉0抛物线标准方程 y2=2px y2=-2px x2=2py x2=—2py直棱柱侧面积 S=c＊h 斜棱柱侧面积 S=c'*h正棱锥侧面积 S=1/2c＊h' 正棱台侧面积 S=1/2（c+c’)h’圆台侧面积 S=1/2(c+c')l=π(R+r）l 球的表面积 S=4π*r2圆柱侧面积 S=c*h=2π＊h 圆锥侧面积 S=1/2*c*l=π＊r*l弧长公式 l=a＊r a是圆心角的弧度数r 〉0 扇形面积公式 s=1/2＊l*r锥体体积公式 V=1/3*S＊H 圆锥体体积公式 V=1/3＊π*r2h斜棱柱体积 V=S’L 注：其中，S'是直截面面积， L是侧棱长柱体体积公式 V=s*h 圆柱体 V=π＊r2h。
秋九年级数学北师大版课件：双休作业(1) (共25张PPT)
•
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/9/102021/9/102021/9/102021/9/109/10/2021 •14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月10日星期五2021/9/102021/9/102021/9/10 •15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月2021/9/102021/9/102021/9/109/10/2021 •16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/9/102021/9/10September 10, 2021 •17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/9/102021/9/102021/9/102021/9/10
•9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/9/102021/9/10Friday, September 10, 2021 •10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/9/102021/9/102021/9/109/10/2021 7:49:55 PM •11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑p-21 •12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/9/102021/9/102021/9/10Friday, September 10, 2021
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第11题图 第8题图 初三数学周末讲义 20111021 班级__________ 姓名
一、 选择题：
1、如果关于x 的方程()221310m m m x mx ---++=是一元二次方程，则m 为 ( )
A. －1
B. －1或3
C. 3
D. 1或－3
2、一个三角形的两边长为3和6，第三边的边长是方程()()240x x --=的根，则这个三角形的周长是 ( )
A. 11
B. 11或13
C. 11和13
D. 13
3、下列各组二次根式中是同类二次根式的是 （ ）
A ．2112与
B ．2718与
C ．3
13与 D
．5445与
4、已知a<b,
则化简 （
） A
、- B 、- C 、 D 、5、顺次连接菱形各边中点所得的四边形一定是 （ ） A.等腰梯形
B.正方形
C.平行四边形
D.矩形 6、把b
b 1-的根号外的因式移到根号内的结果是（ ）A 、b - B 、b -- C 、b D 、b - 7、在Rt △ABC 中， ∠C =90︒，AB =4，AC =1，则cos A 的值是
（ ）
A
B ．14
C D ．4 8、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，BC=3，AC=AB 的垂直平分线ED
交BC
的延长线与D 点，垂足为E ，则sin ∠CAD=（
） A 、
14 B 、13 C D 9、关于x 的方程0)1(2)13(2=+++-a x a ax 有两个不相等的实根1x 、2x ，且有a x x x x -=+-12211，则a 的
值是 （ ） A ．1 B ．－1 C ．1或－1 D ． 2
二、 填空题：
10、在Rt △ABC 中，∠C =90°，BC =12，AC =5，则sin A 的值是 ．
11、在△ABC 中，∠C ＝90°，tan A ＝
13，则sin B =_________. 12、如果二次三项式16)122++-x m x （是一个完全平方式，那么m 的值是_______________.
13、已知m ，n 是方程220x x --=的两个根，则32m m n mn -++= ．
14、 实数a 在数轴上的位置如图所示，化简||()a a -+-=122 。
15、计算12327613++-= 。
若()()
05422222=-+-+y x y x ,则=+22y x 16、目前甲型H 1N 1流感病毒在全球已有蔓延趋势，世界卫生组织提出各国要严加防控，因为曾经有一种流感病毒，
若一人患了流感，经过两轮传染后共有81人患流感．如果设每轮传染中平均一个人传染x 个人，那么可列方程为 ．
三、 解答题：17、解下列方程：⑴
()()2232-=-x x x ⑵ 20152=+-x x
D A B C D A B C
D
备用图
18、已知关于x 的方程x 2—2（m+1）x+m 2=0。
（1）当m 为何值时，方程有两个实数根？
（2）为m 选取一个合适的整数，使方程有两个不相等的实数根，并求出这两个根．
19、2008年5月4日，连接南通到苏州的跨江大桥——苏通大桥通车了．通车后，苏南A 地准备开辟南通方向 的运输路线，即货物从A 地经苏通大桥公路运输到南通港，再从南通港经水路运到B 地．若有一批货物（不超过10车）从A 地按此路线运到B 地的运费需8320元，其中从A 地经苏通大桥到南通港的公路运输费用是每车380元，从南通港到B 地的水上运费的计费方式是：一车800元，当货物每增加1车时，每车的水上运费就减少20元．若这批货物有x 车． （1）用含x 的代数式表示每车．．从南通港到B 地的水上运费．．．．P ； （2）求x 的值．
20、如图，一架飞机由A 向B 沿水平直线方向飞行，在航线AB 的正下方有两个山头C 、D ．飞机在A 处时，测得山头C 、D 在飞机的前方，俯角分别为60°和30°．飞机飞行了6千米到B 处时，往后测得山头C 的俯角为30°，而山头D 恰好在飞机的正下方．求山头C 、D 之间的距离．
21、如图：□ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，BD=12cm ，AC=6cm ，点E 在线段BO 上从点B 以1cm/s 的速度运动，点F 在线段OD 上从点O 以2cm/s 的速度运动.
（1）若点E 、F 同时运动，设运动时间为t 秒，当t 为何值时，四边形AECF 是平行四边形.
（2）在（1）的条件下，①当AB 为何值时，四边形AECF 是菱形；②四边形AECF 可以是矩形吗？为什么？
22、在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，CD 是斜边AB 上的高，点E 在斜边AB 上，过点E 作直线与△ABC 的
直角边相交于点F ，设AE ＝x ，△AEF 的面积为y ．
（1）求线段AD 的长； （2）若EF ⊥AB ，当点E 在线段AB 上移动时，
①求y 与x 的函数关系式（写出自变量x 的取值范围） ②当x 取何值时，y 有最大值？并求其最大值；
（3）若F 在直角边AC 上（点F 与A 、C 两点均不重合），点E 在斜边AB 上移动，试问：是否存在直线EF 将△ABC
的周长和面积同时平分？若存在直线EF ，求出x 的值；若不存在直线EF ，请说明理由．。