2021年高三第二次(4月)模拟数学文试题 Word版含答案

2021年高三第二次（4月）模拟数学文试题 Word版含答案
本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）若集合，，则
（A）（B）（C）（D）
（2）下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是
（A）（B）
（C）（D）
（3）在△ABC中，“”是“”的
（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件
（4）若满足则的最大值为
（A）（B）
（C）（D）
（5）执行如图所示的程序框图，若输入的值为2，
则输出的值为
（A）3
（B）4
（C）5
（D）6
（6）已知△ABC 外接圆的圆心为，且，则与的夹角为 （A ）
（B ）
（C ）
（D ）
（7）直线被圆截得的弦长为，则 （A ）±
（B ）±
（C ）
（D ）
（8）为促进资源节约型和环境友好型社会建设，引导居民合理用电、节约用电，北京居民
北京市某户居民xx 年1月的平均电费为0.4983（元/千瓦时），则该用户1月份的 用电量为 （A ）千瓦时
（B ）千瓦时
（C ）千瓦时
（D ）千瓦时
二、填空题共6小题，每小题
5分，共30分。

（9）若，其中，是虚数单位，则___.
（10）为了调查野生动物保护区内某种野生动物的数量，调查人员某天捕到这种动物120
只，做好标记后放回，经过一星期后，又捕到这种动物100只，其中做过标记的有8只，按概率方法估算，该保护区内有___只这种动物. （11） 则 等于___.
（12）某几何体的正（主）视图和俯视图如图所示，
则该几何体的体积的最大值为___ .
（13）抛物线的焦点的坐标为___的中点的纵坐标为4，则线段的长度为___.
（14）观察下面的数表
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 ……
该表中第6行最后一个数是___；设xx 是该表的行第个数，则___.
正（主）视图
俯视图
三、解答题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

（15）（本小题13分）
已知函数.
（Ⅰ）求的值和的最小正周期；
（Ⅱ）求在上的取值范围．
（16）（本小题13分）
已知数列的前项和．
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）求的值.
（17）（本小题13分）
随着2022年北京冬奥会的成功申办，冰雪项目已经成为北京市民冬季休闲娱乐的重要方式．为普及冰雪运动，寒假期间学校组织高一年级学生参加冬令营．其中一班有3名男生和1名女生参加，二班有1名男生和2名女生参加．活动结束时，要从参加冬令营的学生中选出2名进行展示．
（Ⅰ）若要从一班和二班参加冬令营的学生中各任选1名，求选出的2名学生性别相同的概率；
（Ⅱ）若要从参加冬令营的这7名学生中任选2名，求选出的2名学生来自不同班级且性别不同的概率．
（18）（本小题14分）
如图，等腰直角三角形与正方形所在的平面互相垂直，，，平面，且．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求证：平面；（Ⅲ）求点到平面的距离．
F E
D
C B
A
（19）（本小题13分）
已知函数.
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）若直线与曲线没有公共点，求实数的取值范围.
（20）（本小题14分）
已知椭圆：，点，和点
都在椭圆上，，且直线与轴交于点.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程和离心率；
（Ⅱ）求点的坐标；
（Ⅲ）若以为圆心、为半径的圆在椭圆的内部，求的取值范围.
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数学（文）答案及评分标准xx04 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．
二、填空题：每小题5分，共30分．（第一空3分，第二空2分）
9. 10. 11.
12. 13. 14.
三、解答题：本大题共6小题,共80分． 15（共13分）
解: 2()3cos()2cos cos 12
2
x
f x x x x π
=-+++…………………4分 …………………6分
（Ⅰ） ………………………8分
的最小正周期为 ………………………9分 （Ⅱ）因为， 所以 所以
所以 即
………………………………13分
16（共13分） 解：（Ⅰ）当时， ………………2分
当时，221
(26)(26)227n
n n
a S S n n n n n …………4分
也满足上式 ………………5分 所以 的通项公式 ………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知 ， ……8分
所以 是首项为23，公差为-6的等差数列 ………………10分 所以 225831
(23629)3262
n n n
a a a a n n
………………………………13分
17（共13分）
解：一班的3名男生记作,1名女生记作；二班的1名男生记作, 2名女生记作
（Ⅰ）从一班和二班的学生中各任选1名的所有可能结果为
(A 1，a )， (A 1，b 1)，(A 1，b 2)，(A 2，a )， (A 2，b 1)，(A 2，b 2)，(A 3，a )， (A 3，b 1)，(A 3，b 2)，(B ，a )， (B ，b 1)，(B ，b 2)，共12种情况…………2分 其中2名学生性别相同的情况有(A 1，a )， (A 2，a )， (A 3，a )，(B ，b 1)，(B ，b 2)， 共5种 ………………4分 所以 所求概率为
………………………………6分
（Ⅱ）从7名学生中任选2名学生的所有可能的情形为
(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 1，B )，(A 1，a )，(A 1，b 1)， (A 1，b 2)，(A 2，A 3)，(A 2，B )，(A 2，a )，(A 2，b 1)，(A 2，b 2)，(A 3，B )，(A 3，a )，(A 3，b 1)，(A 3，b 2)，(B ，a )，(B ，b 1)，(B ，b 2)，(a ，b 1)，(a ，b 2)，(b 1，b 2)共21种情况．………………9分
2名学生来自不同班级且性别不同的有 (A 1，b 1)， (A 1，b 2)，(A 2，b 1)，(A 2，b 2)，(A 3，b 1)，(A 3，b 2)，(B ，a )，共7种情况． ………………11分
故所求概率为
………………………13分
18（共14分） （Ⅰ）因为平面，平面
所以 ……………2分 因为 为正方形，所以
所以 平面
………………………4分 （Ⅱ）设中点为，连结
因为 为斜边长为2等腰直角三角形 所以 且 ……………………5分 因为 平面平面 平面平面
所以 平面 ……………………6分 又 平面
所以 且 ……………………7分
所以 为平行四边形 所以 ……………………8分 又 平面，平面 所以 平面；
………………………………………9分
（Ⅲ）在直角三角形中所以 在正方形中 所以 …………………11分
设 点到平面的距离 由
…………………13分
解得
………………………………………14分
19（共13分） 解（Ⅰ） ………………………2分 令 得
所以 函数在区间为减函数，在区间为增函数
………………………………5分
（Ⅱ）解法一：直线与曲线没有公共点，等价于 方程无实数解，即无实数解
当时，显然方程无实数解； …………………6分 当时，方程变形为，
设 则 …………………7分
O
A B C D
E F
令得
在区间上，在区间上
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增
…………………………………9分所以，当时，取得最小值……………10分
要使方程无实根，只需……………11分
解得…………………………………13分
综上的取值范围为
解法二：直线与曲线没有公共点，等价于
方程无实数解，不是该方程的解，所以等价
方程无解
设则
令得
在区间上，
在区间上，在区间上
所以在上递增，在上递减，在上递减
所以，当时，取得极大值
当无限增大时，无限趋近于1
所以的值域为
方程无解，则的取值范围为
解法三：
因为直线与曲线没有公共点，
所以方程，即无实数解
所以直线与曲线没有公共点，
设过点的直线与曲线相切于点
因为，所以直线的斜率
所以直线的方程为
因为直线过点，所以，所以
因为直线与曲线无交点
所以，即
20（共14分）
解：（Ⅰ）易知所以
所以椭圆的标准方程是；…………………………2分
离心率为…………………………4分
（Ⅱ）易知…………………………5分
因为，所以…………………………6分
所以的方程为…………………………7分
所以解得或（舍）
所以点的坐标为…………………………………9分
（Ⅲ）直线的方程为
令，得所以点的坐标为………………………10分
以为圆心，为半径的圆在椭圆的内部，等价于小于椭圆的点到点的最小值. 设点为椭圆上任意一点
则MQ===≥
所以的取值范围是
…………………………………14分34577 8711 蜑P 37533 929D 銝II36809 8FC9 迉31005 791D 礝 22968 59B8 妸20735 50FF 僿p_。