人教版初中数学方程与不等式之分式方程难题汇编附解析

人教版初中数学方程与不等式之分式方程难题汇编附解析
一、选择题
1．如果关于x 的分式方程
2ax 4
23x x 3
++=--有正整数解，且关于y 的不等式组()3y 34y
y a ⎧-⎨
≥⎩
＞无解，那么符合条件的所有整数a 的和是（ ） A ．﹣16 B ．﹣15
C ．﹣6
D ．﹣4
【答案】D 【解析】 【分析】
先根据分式方程有正整数解确定出a 的值，再由不等式组无解确定出满足题意的a 的值，求出之和即可． 【详解】
解：分式方程去分母得：2+ax ﹣2x+6＝﹣4， 整理得：(a ﹣2)x ＝﹣12(a ﹣2≠0)， 解得：x 12
a 2
=-
-， 由分式方程有正整数解，得到a ＝1，0，﹣1，﹣2，﹣4，﹣10， 当a ＝﹣2时，x ＝3，原分式方程无解， 所以a ＝1，0，﹣1，﹣4，﹣10， 不等式组整理得：y<9
y a -⎧⎨
≥⎩
， 由不等式组无解，即a≥﹣9，
∴符合条件的所有整数a 有1，0，﹣1，﹣4， ∴a ＝1，0，﹣1，﹣4，之和为﹣4， 故选：D ． 【点睛】
此题考查了分式方程的解，解一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
2．解分式方程11222x x x
-+=--的结果是（ ） A ．x="2" B ．x="3"
C ．x="4"
D ．无解
【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】
解：去分母得：1﹣x+2x ﹣4=﹣1，
解得：x=2，
经检验x=2是增根，分式方程无解．故选D．
考点：解分式方程．
3．若数a使关于x的不等式组
()
3x a2x1
1x
2x
2
⎧-≥--
⎪
⎨-
-≥
⎪⎩
有解且所有解都是2x+6＞0的解，且
使关于y的分式方程y5
1y
-
-
+3=
a
y1
-
有整数解，则满足条件的所有整数a的个数是
（）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】D
【解析】
【分析】
由不等式组有解且满足已知不等式，以及分式方程有整数解，确定出满足题意整数a的值即可．
【详解】
不等式组整理得：
1
3
x a
x
≥-
⎧
⎨
≤
⎩
，
由不等式组有解且都是2x+6＞0，即x＞-3的解，得到-3＜a-1≤3，即-2＜a≤4，即a=-1，0，1，2，3，4，
分式方程去分母得：5-y+3y-3=a，即y=
2
2
a-
，
由分式方程有整数解，得到a=0，2，共2个，
故选：D．
【点睛】
本题考查了分式方程的解，解一元一次不等式，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
4．方程
24
2
22
x
x
x x
=-+
--
的解为（）
A．2 B．2或4 C．4 D．无解
【答案】C
【解析】
【分析】
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】
去分母得：2x=（x﹣2）2+4，
分解因式得：（x﹣2）[2﹣（x﹣2）]=0，
解得：x=2或x=4，
经检验x=2是增根，分式方程的解为x=4，
故选C．
【点睛】
此题考查了解分式方程，以及分式方程的解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
5．若 x=3 是分式方程
21
2
a
x x
-
-=
-
的根，则 a 的值是
A．5 B．-5 C．3 D．-3【答案】A
【解析】
把x=3代入原分式方程得，
21
332
a-
-=
-
，解得，a=5，经检验a=5适合原方程.
故选A.
6．如果关于x的不等式（a+1）x>2的解集为x<-1，则a的值是（）．A．a=3 B．a≤-3 C．a=-3 D．a>3【答案】C
【解析】
【分析】
根据不等式的解集得出关于a的方程，解方程即可．
【详解】
解：因为关于x的不等式（a+1）x>2的解集为x<-1，
所以a+1＜0，即a＜-1，且
2
1
a+
=-1，解得：a=-3．
经检验a=-3是原方程的根
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了不等式的解集，当题中有两个未知字母时，应把关于某个字母的不等式中的字母当成未知数，求得解集，再根据解集进行判断，求得另一个字母的值．
7．甲做480个零件与乙做360个零件所用的时间相同，已知两人每天共做140个零件，若设甲每天做x个零件，则可以列出方程为（）
A．480360
140
x x
=
-
B．
480480
140x x
=
-
C．
480360
140
x x
+=D．
360480
140
x x
-=
【答案】A 【解析】
【分析】
设甲每天做x 个零件，根据甲做480个零件与乙做360个零件所用的时间相同，列出方程即可． 【详解】
解：设甲每天做x 个零件，根据题意得：480360
140x x
=-， 故选：A ． 【点睛】
此题考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．本题用到的等量关系为：工作时间＝工作总量÷工作效率．
8．张老师和李老师同时从学校出发，步行15千米去县城购买书籍，张老师比李老师每小时多走1千米，结果比李老师早到半小时，两位老师每小时各走多少千米？设李老师每小时走x 千米，依题意，得到的方程是（ ）
A ．
15151
12x x -=+ B ．
1515112
x x -=+ C ．
15151
12
x x -=- D ．
1515112
x x -=- 【答案】B 【解析】 【分析】
设小李每小时走x 千米，则小张每小时走（x+1）千米，根据题意可得等量关系：小李所用时间-小张所用时间=半小时，根据等量关系列出方程即可． 【详解】
解：设小李每小时走x 千米，依题意得：
1515112
x x -=+ 故选B ． 【点睛】
此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系列出方程．
9．关于x 的方程
m 3+=1x 11x
--解为正数，则m 的范围为（ ） A ．m 2m 3≥≠且 B ． 2 B 3m m >≠
C ．m<2m 3≠且
D ．m>2
【答案】B 【解析】 【分析】
首先解分式方程，然后令其大于0即可，注意还有1x ≠. 【详解】
方程两边同乘以()1x -，得2x m =-
∴210x m x =-⎧⎨-≠⎩
解得2m >且3m ≠ 故选：B. 【点睛】
此题主要考查根据分式方程的解求参数的取值范围，熟练掌握，即可解题.
10．某工程队准备修建一条长1200米的道路，由于采用新的施工方式，实际每天修建道路的速度比原计划快20％，结果提前两天完成任务，若设原计划每天修建道路x 米，则根据题意可列方程为（ ）. A ．12001200
2(120%)x x -=+ B ．1200
1200
2(120%)x x -=- C ．
12001200
2(120%)x x
-=+
D ．1200
1200
2(120%)x x -=-
【答案】A 【解析】
设原计划每天修建道路xm ,则实际每天修建道路为(1+20%)xm ， 由题意得,()12001200
2120%x x
-=+. 故选A.
11．从4-，1-，0，2，5，8这六个数中，随机抽一个数，记为a ，若数a 使关于x 的不
等式组03
31016
x a x -⎧<⎪
⎨⎪+≥⎩无解，且关于y 的分式方程2233y a y y -+=--有非负数解，则符合条件的a 的值的个数是（ ） A ．1个 B ．2个
C ．3个
D ．4个
【答案】C 【解析】 【分析】
由不等式组无解确定出a 的一个取值范围、由分式方程其解为非负数确定a 的一个取值范围，综上可确定a 的最终取值范围，根据其取值范围即可判定出满足题意的值． 【详解】
解：0331016x a
x -⎧<⎪
⎨⎪+≥⎩①②
解①得，x a <
解②得，2x ≥ ∵不等式组无解
∴2a ≤ ∵
2233y a
y y
-+=-- ∴83
a
y -=
∵关于y 的分式方程2233y a
y y
-+=--有非负数解 ∴803a
y -=
≥且
833
a -≠ ∴8a ≤且a≠-1
∴综上所述，2a ≤且1a ≠-
∴符合条件的a 的值有4-、0、2共三个． 故选：C 【点睛】
本题考查了不等式（组）的解法、分式方程的解法，能根据已知条件确定a 的取值范围是解决问题的关键．
12．已知甲车行驶35千米与乙车行驶45千米所用时间相同，且乙车每小时比甲车多行驶 15 千米，设甲车的速度为x 千米/小时，依据题意列方程正确的是
A ．
354515x x =- B ．
3545
+15x x
= C ．
3545
-15x x = D ．
3545+15
x x = 【答案】D 【解析】 【分析】
首先根据甲车的速度为x 千米/小时，表示出乙车的速度为（x+15）千米/小时，再根据关键是语句“甲车行驶35千米与乙车行驶45千米所用时间相同”列出方程即可． 【详解】
解：设甲车的速度为x 千米/小时，则乙车的速度为（x+15）千米/小时，由题意得：
3545+15x x =， 故选D ． 【点睛】
此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，表示出甲乙两车的速度，再根据关键是语句列出方程即可．此题用到的公式是：路程÷速度=时间．
13．如果关于x 的分式方程
有负数解，且关于y 的不等式组
无解，则符合条件的所有整数a 的和为（ ）
A ．﹣2
B ．0
C ．1
D ．3
【答案】B 【解析】 【分析】
解关于y 的不等式组
，结合解集无解，确定a 的范围，再由分式方程
有负数解，且a 为整数，即可确定符合条件的所有整数a 的值，最后求所
有符合条件的值之和即可． 【详解】
由关于y 的不等式组，可整理得
∵该不等式组解集无解， ∴2a +4≥﹣2 即a ≥﹣3 又∵
得x ＝
而关于x 的分式方程有负数解
∴a ﹣4＜0 ∴a ＜4
于是﹣3≤a ＜4，且a 为整数 ∴a ＝﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2、3 则符合条件的所有整数a 的和为0． 故选B ． 【点睛】
本题考查的是解分式方程与解不等式组，求各种特殊解的前提都是先求出整个解集，再在解集中求特殊解，了解求特殊解的方法是解决本题的关键．
14．若整数a 使关于x 的分式方程
111
a x a x x ++=-+的解为负数，且使关于x 的不等式组1
()02
2113x a x x ⎧-->⎪⎪⎨
+⎪-≥
⎪⎩
无解，则所有满足条件的整数a 的值之和是（ ）
A ．5
B ．7
C ．9
D ．10
【答案】C 【解析】 【分析】
解分式方程和不等式得出关于x 的值及x 的范围，根据分式方程的解不是增根且为负数和不等式组无解得出a 的范围，继而可得整数a 的所有取值，然后相加． 【详解】
解：解关于x 的分式方程111
a x a x x ++=-+，得x ＝−2a+1， ∵x ≠±1， ∴a ≠0，a≠1， ∵关于x 的分式方程111
a x a x x ++=-+的解为负数， ∴−2a+1＜0， ∴1
2
a >
， 解不等式1
()02
x a -
->，得：x ＜a ， 解不等式21
13
x x +-≥
，得：x≥4， ∵关于x 的不等式组1
()02
2113x a x x ⎧-->⎪⎪⎨+⎪-≥
⎪⎩
无解，
∴a ≤4，
∴则所有满足条件的整数a 的值是：2、3、4，和为9， 故选：C ． 【点睛】
本题主要考查分式方程的解和一元一次不等式组的解，熟练掌握解分式方程和不等式组的方法，并根据题意得到a 的范围是解题的关键．
15．关于x 的方程2111ax x x -=++的解为非正数，且关于x 的不等式组22533
a x x +⎧⎪
+⎨⎪⎩„…无解，
那么满足条件的所有整数a 的和是（ ） A ．﹣19 B ．﹣15
C ．﹣13
D ．﹣9
【答案】C 【解析】
解：分式方程去分母得：ax ﹣x ﹣1=2，整理得：（a ﹣1）x =3，由分式方程的解为非正数，
得到
3
1
a-
≤0，且
3
1
a-
≠﹣1，解得：a＜1且a≠﹣2．
不等式组整理得：
2
2
4
a
x
x
-
⎧
≤
⎪
⎨
⎪≥
⎩
，由不等式组无解，得到
2
2
a
-
＜4，解得：a＞﹣6，∴满足
题意a的范围为﹣6＜a＜1，且a≠﹣2，即整数a的值为﹣5，﹣4，﹣3，﹣1，0，则满足条件的所有整数a的和是﹣13，故选C．
点睛：此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
16．学校为创建“书香校园”购买了一批图书．已知购买科普类图书花费10000元，购买文学类图书花费9000元，其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格贵5元，且购买科普书的数量比购买文学书的数量少100本．求科普类图书平均每本的价格是多少元？若设科普类图书平均每本的价格是x元，则可列方程为（）
A．10000
x
﹣
9000
5
x-
=100 B．
9000
5
x-
﹣
10000
x
=100
C．10000
5
x-
﹣
9000
x
=100 D．
9000
x
﹣
10000
5
x-
=100
【答案】B
【解析】
【分析】直接利用购买科普书的数量比购买文学书的数量少100本得出等式进而得出答案．
【详解】科普类图书平均每本的价格是x元，则可列方程为：
9000 x5 -﹣
10000
x
=100，
故选B．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，弄清题意，找准等量关系列出方程是解题的关键.
17．小明上月在某文具店正好用 20 元钱买了几本笔记本，本月再去买时，恰遇此文具店搞优惠酬宾活动，同样的笔记本，每本比上月便宜 1 元，结果小明只比上次多用了 4 元钱，却比上次多买了 2 本．若设他上月买了 x 本笔记本，则根据题意可列方程（）
A．
24
x2
+
-
20
x
=1 B．
20
x
-
24
x2
+
=1
C．24
x
-
20
x2
+
=1 D．
20
x2
+
-
24
x
=1
【答案】B
【解析】
试题解析：设他上月买了x本笔记本，则这次买了（x+2）本，
根据题意得：20204
1
2
x x
+
-=
+
，
即：2024
1
2
x x
-=
+
．
故选B．
考点：分式方程的应用.
18．《九章算术》中记录的一道题目译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多1天，如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为x天，则可列方程为（）
A．900900
2
13
x x
⨯=
+-
B．
900900
2
13
x x
=⨯
+-
C．900900
2
13
x x
⨯=
-+
D．
900900
2
13
x x
=⨯
-+
【答案】A
【解析】
【分析】
设规定时间为x天，可得到慢马和快马需要的时间，根据快马的速度是慢马的2倍的速度关系即可列出方程．
【详解】
解：设规定时间为x天，则慢马需要的时间为（x+1）天，快马的时间为（x-3）天，
∵快马的速度是慢马的2倍
∴900900
2
13 x x
⨯=
+-
故选A．
【点睛】
本题考查分式方程的实际应用，正确理解题意找到题中的等量关系即可列方程．
19．甲、乙两船从相距300km的A、B两地同时出发相向而行，甲船从A地顺流航行180km时与从B地逆流航行的乙船相遇，水流的速度为6km/h，若甲、乙两船在静水中的速度均为xkm/h，则求两船在静水中的速度可列方程为（）
A．180
6
x+
=
120
6
x-
B．
180
6
x-
=
120
6
x+
C．180
6
x+
=
120
x
D．
180
x
=
120
6
x-
【答案】A
【解析】
分析：直接利用两船的行驶距离除以速度=时间，得出等式求出答案．
详解：设甲、乙两船在静水中的速度均为xkm/h，则求两船在静水中的速度可列方程为：
1806x +=1206
x -． 故选A ．
点睛：此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，正确表示出行驶的时间和速度是解题关键．
20．已知关于x 的分式方程
13222mx x x -+=--有解,则m 应满足的条件是（ ） A ． 1 2m m ≠≠且
B ．2m ≠
C ．1m =或2m =
D ．1m ≠或2m ≠ 【答案】A
【解析】
【分析】
分式方程去分母转化为整式方程(m-2)x=-2，由分式方程有解可知m-2≠0，最简公分母x-2≠0，求出x 的值，进一步求出m 的取值即可.
【详解】 13222mx x x
-+=--， 去分母得，1-（3-mx ）=2(x-2)
整理得，（m-2）x=-2 ∵分式方程
13222mx x x
-+=--有解， ∴m-2≠0，即m ≠2， ∴22x m -=- ∵分式方程
13222mx x x
-+=--有解， ∴x-2≠0，即x≠2， ∴222
m -≠-，解得，m≠1， 所以，m 的取值为： 1 m ≠且2m ≠
故选：A.
【点睛】 此题主要考查了分式方程的求解，关键是会解出方程的解，注意隐含条件.。