(完整版)信号与系统知识要点

信号与系统知识要点
第一章 信号与系统
单位阶跃信号 1,0()()0,0t t u t t ε≥⎧==⎨<⎩ 单位冲激信号 ,0()0,0()1t t t t δδ∞
-∞
⎧∞=⎧=⎨⎪⎪≠⎩⎨
⎪=⎪⎩⎰ ()
()d t t dt
εδ=
()()t d t δττε-∞=⎰
()t δ的性质：
()()(0)()f t t f t δδ=
000()()()()f t t t f t t t δδ-=-
()()(0)f t t dt f δ∞
-∞
=⎰
00()()()f t t t dt f t δ∞
-∞
-=⎰
()()t t δδ=-
00()[()]t t t t δδ-=-- 1
()()at t a
δδ=
001
()()t at t t a a
δδ-=
- 单位冲激偶信号 ()t δ'
()()d t t dt
δδ'=
()()t t δδ''=--
00()[()]t t t t δδ''-=---
()0t dt δ∞
-∞'=⎰ ()()t
d t δττδ-∞
'=⎰
()()(0)()(0)()f t t f t f t δδδ'''=-
00000()()()()()()f t t t f t t t f t t t δδδ'''-=---
()()(0)f t t dt f δ∞
-∞
''=-⎰
00()()()f t t t dt f t δ∞
-∞
''-=-⎰
符号函数 sgn()t
1,0sgn()0,01,0t t t t >⎧⎪
==⎨⎪-<⎩
或 sgn()()()2()1t u t u t u t =--=-
单位斜坡信号 ()r t
0,0()(),0
t r t tu t t t <⎧==⎨
≥⎩ ()()t r t u d ττ-∞=⎰ ()
()dr t u t dt =
门函数 ()g t τ
1,()20,t g t ττ⎧
<⎪=⎨⎪⎩其他
取样函数sin ()t
Sa t t
=
0sin lim ()(0)lim
1t t t
Sa t Sa t
→→=== 当 (1,2,
)()0t k k Sa t π==±±=时，
sin ()t Sa t dt dt t
π∞
∞
-∞
-∞
==⎰
⎰
sin lim 0t t
t →±∞=
第二章 连续时间信号与系统的时域分析
1、
基本信号的时域描述
（1）普通信号
普通信号可以用一个复指数信号统一概括，即
st Ke t f =)(，+∞<<∞-t 式中ωσj s +=，K 一般为实数，也可以为复数。

根据σ与ω的不同情
况，)(t f 可表示下列几种常见的普通信号。

)(00)sin (cos )(s )(00sin cos )(s 00)()(s 00)
()(0s )(号振幅变化的正、余弦信时），（即复数时当正弦信号与余弦信号时），（即虚数时当时），（即实指数信号实数时当时），（即直流信号时当≠≠+==≠=+===≠======⎪⎪⎪
⎪
⎪⎩
⎪⎪⎪
⎪⎪⎨
⎧
⇒=-ωσωωωσωωωσωσσσt t Ke t f t j t K t f Ke t f K t f Ke t f t t st （2）奇异信号
常见的连续时间奇异信号有单位冲激偶)(t δ'、单位冲激信号)(t δ、单位阶跃信号)(t u 和斜坡信号)(t r 。

任意的连续信号)(t f 可用冲激信号)(t δ，冲激信号)(t δ是信号进行时域分析的本证信号。

冲激信号的定义：
⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧=≠∞→≠=⎰∞∞
-A dt t A t t A t t A )(0,)(0
,0)(δδδ
式中A 为实数。

若1=A ，冲激信号)(t δ称为单位冲激信号)(t δ。

冲激信号的主要性质：
①筛选特性
)()0()()(t f t t f δδ= )()()()(000t t t f t t t f -=-δδ 0t 为实常数
②取样特性
)0()()(f dt t t f =⎰
∞
∞
-δ
)()()(00t f dt t t t f =-⎰
∞
∞
-δ
③展缩特性
)(1)(a
b
t a b at +=
+δδ，a ，b 为实常数 ④冲激信号、阶跃信号、斜坡信号和冲激偶信号之间关系
)]([)(t dt d t δδ=
' )]([)(t u dt d t =δ )]([)(t r dt
d
t u = )()(t d t
δττδ='⎰
∞
-
)()(t u d t
=⎰
∞
-ττδ
)()(t r d u t
=⎰
∞
-ττ
冲激偶信号的定义：
⎪⎩⎪⎨⎧≠=='0
,00),()(t t t dt d
t δδ
冲激偶信号的主要特性： ①筛选特性
)()()()()()(00000t t t f t t t f t t t f -'--'=-'δδδ 0t 为实常数
②取样特性
)()()(00t f dt t t t f '-=-'⎰
∞
∞
-δ，0t 为实常数
③展缩特性
)(1)(a
b
t a a b at +'=
+'δδ，a ，b 为实常数 )()(t t δδ'-=-' 2、 连续时间信号的时域分析 信号的基本运算：加、乘、微分、积分、翻转、平移、展缩、分解。

3、
卷积积分
（1） 定义 τττd t f f t f t f )()()()(2121-=*⎰
∞
∞
-
（2） 性质
交换律 )()()()(1221t f t f t f t f *=*
分配率 )()()()()]()([)(3121321t f t f t f t f t f t f t f *+*=+* 结合律 )]()([)()()]()([321321t f t f t f t f t f t f **=** 卷积的微积分性质 )()()()()
1(t g t f t g
t f *=*'-
)()()()()()(t g t f t g t f n n *=* )()()()()()(t g t f t g t f n n --*=*
奇异信号的卷积性质
)()()(t f t t f =*δ
)(0t t -δ是0t 秒的延时器 )()()(00t t f t t t f -=-*δ
)(t δ'是微分器 )()()(t f t f t '=*'δ
)(t u 是积分器 )()()()()1(t f d f t f t u t -∞
-==*⎰
ττ
系统的时域分析就是在时间域内分析输入与输出的时间特性，也可以认
为，在输入激励信号已确定的情况下，主要分析输出响应的时间特性。

时域分析有经典法和卷积积分法。

第三章 连续时间信号与系统的频域分析 1、
周期信号的傅里叶级数
对于满足狄里赫利条件的周期为T 的信号)(t f ，可以展开成三角形式和指数形式的傅里叶级数。

记
T
π
ω20=
Ω=，称之为基频。

（1） 三角形式的傅里叶级数 ∑∞
=++
=1
000)]sin()cos([)(n n n
t n b t n a
a t f ωω
（2） 指数形式的傅里叶级数 t jn n n e F t f 0)(ω∑∞
-∞
== 式中 dt e t f T
F t
jn n 0)(1ω-∞∞-⎰=
2、
傅里叶变换
（1） 傅里叶变换的定义式 dt e t f j F t j ωω-∞
∞
-⎰
=
)()( ωωπ
ωd e j F t f t j )(21)(⎰
∞
∞
-=
)(ωj F ——)(ωj F 的模，表示信号)(t f 中各频率分量的相对大小，称之为信号的幅频特性；
)(ωϕ——)(ωj F 的相角，表示信号)(t f 中各频率分量的相对位置关系，称之为信号的相频特性；
（2）傅里叶变换的性质
利用傅里叶变换的性质求定积分 利用零点 dt t f F )()0(⎰
∞
∞
-=
，ωωπ
d F f )(21)0(⎰
∞
∞
-=
，
)()(21)(2
2
ωωπ
d j F dt t f ⎰
⎰
∞
∞
-∞
∞
-=
（3） 周期信号的傅里叶变换
一方面，周期信号)(t f T 可以展开为傅里叶级数：
t
jn n n T e
F t f 0)(ω∑∞
-∞
==
所以 )(2)(0ωωδπ
ωn F j F n n T -=∑
∞
-∞
=，T
πω20=
另一方面，设)(t f 为周期信号)(t f T 对应的主周期信号，)(t f 的傅里叶变换为)(ωj F ，则有 )()()()(t t f nT t f t f T n
T δ*=-=∑
∞
-∞
=
所以
)()()()()(000
00
ωωδωωωωδωωωn jn F n j F j F n n T -=-⨯=∑
∑
∞
-∞
=∞
-∞
=，T
πω20=
3、系统的频率响应
系统的单位冲激响应)(t h 傅里叶变换)(ωj H 称为系统的频率响应，有称为系统函数。

设)
()()(ωϕωωj e
j H j H =，则)(ωj H 称为系统的幅频特性，反映了系统对输入信号各频率分量相对
大小的改变；)(ωϕ称为系统的相频特性，反映了系统对输入信号各频率分量相对位置的改变。

设输入)(t f 的傅里叶变换为)(ωj F ，零状态响应)(t y zs 的傅里叶变换为)(ωj Y zs ，则 )()()(ωωωj H j F j Y zs =，即 )
()
()(ωωωj F j Y j H zs =
4、无失真传输与滤波 （1）无失真传输的条件
时域：)()(0t t k t h -=δ 频域：0
)(t j ke j H ωω-= 或者 k j H =)(ω，0)(t ωωϕ-=
其中，k 和0t 为实常数，且00>t （保证系统的因果性）。

（2）理想低通滤波器
频率响应d c d t j c
c
t j e G e j H ωωωωωωωωω--=⎪⎩⎪⎨⎧>≤=)(,0,)(2
c ω为截止频率。

（3）理想高通滤波器
d c d t j c
c
t
j e G e j H ωωωωωωωωω---=⎪⎩⎪⎨⎧<≥=)](1[,0,)(2
（4）理想带通滤波器
)]()([)()(001ωωδωωδωω-++*=j H j H 5、抽样 （1）冲激串抽样
)()
()()()(nT t t f t t f t f n T s -=•=∑
∞
-∞
=δδ，其中，)()(nT t t n T -=
∑
∞
-∞
=δδ
)(t f s 的频谱为
)(1)(0ωωωjn j F T j F n s -=∑∞-∞=，T
π
ω20
= （2）脉冲串抽样
)()()(t f t P t f T s =，其中，)()(nT t G t P n T -=∑
∞
-∞
=τ
)()2
(
)(00ωωτ
ωτ
ωjn j F n Sa T
j F n s -=
∑
∞
-∞
= （3）时域抽样定理
若)(t f 是频带有限的信号，其频谱只占据),(m m ωω-的范围，则当抽样周期m
s T ωπ
≤
（或抽样频率m s T
ωπ
ω22≥=
）称为奈奎斯特（Nyquist ）频率，把最大允许抽样间隔m s T ωπ=称为奈奎斯特间隔。

（4）抽样信号的恢复
对于冲激串抽样，满足抽样定理时，把抽样信号)(t f s 通过理想低通滤波器
m s c m c c
T j H ωωωωωωωωω-≤<⋅⎩
⎨⎧>≤=,0,)(
就可以将)(t f 完全恢复出来。

这种恢复，在数学上可表示为
)]([)()(nT t Sa nT f T t f c n c
-=
∑
∞
-∞
=ωπ
ω
第四章 连续时间信号与系统的复频域分析
1、拉普拉斯变换的定义 （1）双边拉普拉斯变换 dt e t f s F st
-∞
∞
-⎰
=
)()( ds e s F j t f st j j )(21)(⎰∞
+∞
-=σσπ （2）单边拉氏变换 dt e t f s F st
-∞
⎰
-
=
)()(0 ds e s F j t f st j j )(21)(⎰∞
+∞
-=σσπ，->0t （3）拉普拉斯变换的收敛域 拉普拉斯变换的条件是
∞<-∞
∞
-⎰
dt e t f st )(
对于单边拉氏变换，即为 0)(lim =-∞
→t
t e
t f σ
满足上式的σ的取值范围称为拉氏变换的收敛域（ROC ）。

2、拉普拉斯变换的性质
3、常用信号的拉普拉斯变换
4、拉普拉斯反变换
（1）利用常用信号的拉氏变换以及拉氏变换的性质求解 （2）部分分式法展开
11
10
111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++•••++++•••++==----，设n m <
若0)(=s A 有n 个互不相等的单根，)(s F 可展成如下的部分分式： ∑=-=
n
i i
i
s s K s F 1)(，期中 i
s s i i s F s s K =-=)()(
)()]([)(1
1
t e
K s F L t f n
i t
s i
i ε∑=-=
=
设0)(=s A 有一对共轭单根βαj s ±-=2,1，将)(s F 的展开式分为两个部分：
)())(()()()()(2s A j s j s s B s A s B s F βαβα++-+==
=βαj s K -+1+βαj s K ++2+)
()(22s A s B =)(1s F βαj s K -+1
+β
αj s K ++2 =)(2s F )()(22s A s B
θj e K s A s B K 1111)
()
(='=
θj e K K K -==1*12 )()cos(2)(11t t e K t f t εθβα+=-
设0)(=s A 有从根的情况，例如 3113)1()2()1(3
)(+=+++=
s K s s s s F +2
12)1(+s K +113+s K +2
4+s K 2)]()1[(1311=+=-=s s F s K 1)]()1[(1312-=+=-=s s F s ds
d
K
1)]()1[(!2113
2
213=+=-=s s F s ds
d K 1)]()2[(24-=+=-=s s F s K 3)1(2)(+=s s F -2
)1(1+s +11+s -2
1
+s 取逆变换，得
)(])1[()(22t e e t t t f t t ε---+-=
5、系统的复频域分析
（1）微分方程所表示系统的复频域分析
=+'+•••++--)()()()(01)1(1)(t y a t y a t y a t y a n n n n )()()()(01)
1(1)
(t f b t f b t f
b t f
b m m m m +'+•••++--
（2）电路系统的复频域分析
第五章 离散系统的Z 域分析
1、Z 变换的定义
（1）双边Z 变换：n
n z
n f z F -∞
-∞=∑=)()(
（2）双边Z 变换：n
n z
n f z F -∞
=∑=
)()(
2、Z 变换的收敛域（ROC ）
（1）Z 变换的的收敛域：Z 平面上的区域，满足条件∑
∞
-∞
=-∞<n n z n f )(。

（2）Z 变换的的收敛域的特点：
1）Z 变换的收敛域是以原点为圆心的圆环（半径可以是∞,00）； 2）在收敛域的圆形边界上一定有)(z F 的极点； 3）收敛域不含)(z F 的任何极点；
3、Z 变换的性质
5、Z 反变换
（1）Z 反变换：dz z z F j n f n C
1)(21
)(-⎰=π，C 为收敛域内包含原点的封闭曲线，逆时针方向为正向。

（2）求Z 反变换的方法 1）部分分式展开法
将)(z F 展开成部分分式，再利用常用序列变换求出)(n f 。

2）常除法（幂级数法）
用长除法将)(z F 展开成1
-z 的幂级数，级数中n
z
-项的系数就是)(n f 。

6、Z 变换与拉普拉斯变换的关系
（1）Z 变换与拉普拉斯变换的关系式：sT
e z s z F s F ==)()(
其中)(s F s 是)(t f s 的拉普拉斯变换，∑∞
-∞
=-=n s nT t n f t f )()()(δ（对应理想采样信号）。

（2）Z 平面与s 平面的映射关系
7、利用Z 变换求离散LTI 系统的响应。