人教A版高中数学必修二讲义第六章 6.3 6.3.2 6.3.3

6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示
6.3.3平面向量加、减运算的坐标表示
知识点一平面向量的正交分解及坐标表示
( 1)平面向量的正交分解
□01把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量作正交分解．( 2)平面向量的坐标表示
知识点二平面向量加、减运算的坐标运算
1．在直角坐标平面内,以原点为起点的向量OA →
＝a ,点A 的位置被向量a 唯一确定,此时点A 的坐标与向量a 的坐标统一为( x ,y )．
2．平面向量的坐标与该向量的起点、终点坐标有关;应把向量的坐标与点的坐标区别开来,只有起点在原点时,向量的坐标才与终点的坐标相等．
3．符号( x ,y )在直角坐标系中有两重意义,它既可以表示一个固定的点,又可以表示一个向量．为了加以区分,在叙述中,就常说点( x ,y )或向量( x ,y )．
特别注意:向量a ＝( x ,y )中间用等号连接,而点的坐标A ( x ,y )中间没有等号． 4．( 1)平面向量的正交分解实质上是平面向量基本定理的一种应用形式,只是两个基向量e 1和e 2互相垂直．
( 2)由向量坐标的定义,知两向量相等的充要条件是它们的横、纵坐标对应相等,即a ＝b ⇔x 1＝x 2且y 1＝y 2,其中a ＝( x 1,y 1),b ＝( x 2,y 2)．
( 3)向量的坐标只与起点、终点的相对位置有关,而与它们的具体位置无关． ( 4)当向量确定以后,向量的坐标就是唯一确定的,因此向量在平移前后,其坐标不变．
1．判一判( 正确的打“√”,错误的打“×”)
( 1)与x 轴平行的向量的纵坐标为0;与y 轴平行的向量的横坐标为0.( ) ( 2)两个向量的终点不同,则这两个向量的坐标一定不同．( ) ( 3)当向量的始点在坐标原点时,向量的坐标就是向量终点的坐标．( ) ( 4)向量可以平移,平移前后它的坐标发生变化．( ) 答案 ( 1)√ ( 2)× ( 3)√ ( 4)× 2．做一做
( 1)已知AB →
＝( －2,4),则下列说法正确的是( ) A ．A 点的坐标是( －2,4) B ．B 点的坐标是( －2,4)
C ．当B 是原点时,A 点的坐标是( －2,4)
D ．当A 是原点时,B 点的坐标是( －2,4)
( 2)已知AB →
＝( 1,3),且点A ( －2,5),则点B 的坐标为( ) A ．( 1,8) B ．( －1,8) C ．( 3,－2) D ．( －3,2) ( 3)若a ＝( 2,1),b ＝( 1,0),则a ＋b 的坐标是( )
A ．( 1,1)
B ．( －3,－1)
C ．( 3,1)
D ．( 2,0)
( 4)若点M ( 3,5),点N ( 2,1),用坐标表示向量MN →
＝________. 答案 ( 1)D ( 2)B ( 3)C ( 4)( －1,－4)
题型一 平面向量的正交分解及坐标表示
例1 ( 1)已知向量i ＝( 1,0),j ＝( 0,1),对坐标平面内的任一向量a ,给出下列四个结论:
①存在唯一的一对实数x ,y ,使得a ＝( x ,y );
②若x 1,x 2,y 1,y 2∈R ,a ＝( x 1,y 1)≠( x 2,y 2),则x 1≠x 2,且y 1≠y 2; ③若x ,y ∈R ,a ＝( x ,y ),且a ≠0,则a 的始点是原点O ; ④若x ,y ∈R ,a ≠0,且a 的终点坐标是( x ,y ),则a ＝( x ,y )． 其中正确结论的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
( 2)如图所示,在边长为1的正方形ABCD 中,AB 与x 轴正半轴成30°角．求点B 和点D 的坐标以及AB →与AD →
的坐标．
[详细解析] ( 1)由平面向量基本定理,知①正确;例如,a ＝( 1,0)≠( 1,3),但1＝1,故②错误;因为向量可以平移,所以a ＝( x ,y )与a 的始点是不是原点无关,故③错误;当a 的终点坐标是( x ,y )时,a ＝( x ,y )是以a 的起点是原点为前提的,故④错误．
( 2)由题知B ,D 分别是30°,120°角的终边与单位圆的交点． 设B ( x 1,y 1),D ( x 2,y 2)．由三角函数的定义,得 x 1＝cos30°＝32,y 1＝sin30°＝12,∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12.
x 2＝cos120°＝－12,y 2＝sin120°＝3
2, ∴D ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12，32. ∴AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12,AD →
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32.
[答案] ( 1)A ( 2)见详细解析
求点和向量坐标的常用方法
( 1)求一个点的坐标,可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标． ( 2)在求一个向量时,可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标,再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标．
( 1)如图,{e 1,e 2}是一个正交基底,且e 1＝( 1,0),e 2＝( 0,1),则向量a 的坐标为( )
A ．( 1,3)
B ．( 3,1)
C ．( －1,－3)
D ．( －3,－1)
( 2)已知O 是坐标原点,点A 在第一象限,|OA →
|＝43,∠xOA ＝60°, ①求向量OA →
的坐标;
②若B ( 3,－1),求BA →
的坐标． 答案 ( 1)A ( 2)见详细解析
详细解析 ( 1)由图可知a ＝e 1＋3e 2,又e 1＝( 1,0),e 2＝( 0,1), 则a ＝( 1,3)．故选A.
( 2)①设点A ( x ,y ),则x ＝43cos60°＝23, y ＝43sin60°＝6,即A ( 23,6),故OA →＝( 23,6)． ②BA →
＝( 23,6)－( 3,－1)＝( 3,7). 题型二 平面向量加、减运算的坐标表示
例2 ( 1)已知三点A ( 2,－1),B ( 3,4),C ( －2,0),则向量AB →＋CA →＝________,BC →
－AB →
＝________;
( 2)已知向量a ,b 的坐标分别是( －1,2),( 3,－5),求a ＋b ,a －b 的坐标． [详细解析] ( 1)∵A ( 2,－1),B ( 3,4),C ( －2,0), ∴AB →＝( 1,5),CA →＝( 4,－1),BC →
＝( －5,－4)．
∴AB →＋CA →
＝( 1,5)＋( 4,－1)＝( 1＋4,5－1)＝( 5,4)．
BC →－AB →
＝( －5,－4)－( 1,5)＝( －5－1,－4－5)＝( －6,－9)． ( 2)a ＋b ＝( －1,2)＋( 3,－5)＝( 2,－3), a －b ＝( －1,2)－( 3,－5)＝( －4,7)．
[答案] ( 1)( 5,4) ( －6,－9) ( 2)见详细解析
平面向量坐标运算的技巧
( 1)若已知向量的坐标,则直接应用两个向量和、差的运算法则进行． ( 2)若已知有向线段两端点的坐标,则可先求出向量的坐标,然后再进行向量的坐标运算．
( 3)向量加、减的坐标运算可完全类比数的运算进行．
( 1)已知a ＝( 1,2),b ＝( －3,4),求向量a ＋b ,a －b 的坐标;
( 2)已知A ( －2,4),B ( 3,－1),C ( －3,－4),且CM →＝CA →,CN →＝CB →,求M ,N 及MN →
的坐标．
解 ( 1)a ＋b ＝( 1,2)＋( －3,4)＝( －2,6), a －b ＝( 1,2)－( －3,4)＝( 4,－2)． ( 2)由A ( －2,4),B ( 3,－1),C ( －3,－4), 可得CA →
＝( －2,4)－( －3,－4)＝( 1,8), CB →
＝( 3,－1)－( －3,－4)＝( 6,3), 设M ( x 1,y 1),N ( x 2,y 2),
则CM →
＝( x 1＋3,y 1＋4)＝( 1,8),x 1＝－2,y 1＝4; CN →
＝( x 2＋3,y 2＋4)＝( 6,3),x 2＝3,y 2＝－1, 所以M ( －2,4),N ( 3,－1),
MN →
＝( 3,－1)－( －2,4)＝( 5,－5).
题型三 平面向量加、减坐标运算的应用
例3 如图所示,已知直角梯形ABCD ,AD ⊥AB ,AB ＝2AD ＝2CD ,过点C 作CE ⊥AB 于点E ,用向量的方法证明:DE ∥BC .
[证明] 如图,以E 为原点,AB 所在直线为x 轴,EC 所在直线为y 轴建立直角坐标系,
设|AD →|＝1,则|DC →|＝1,|AB →
|＝2. ∵CE ⊥AB ,而AD ＝DC , ∴四边形AECD 为正方形,
∴可求得各点坐标分别为E ( 0,0),B ( 1,0),C ( 0,1),D ( －1,1)． ∵ED →
＝( －1,1)－( 0,0)＝( －1,1), BC →
＝( 0,1)－( 1,0)＝( －1,1),
∴ED →＝BC →,∴ED →∥BC →
,即DE ∥BC .
通过建立平面直角坐标系,可以将平面内的任一向量用一个有序实数对来表示;反过来,任一有序实数对都表示一个向量．因此向量的坐标表示实质上是向量的代数表示,引入向量的坐标后,可使向量运算代数化,将数和形结合起来,从而将几何问题转化为代数问题来解决．
已知平行四边形ABCD 的四个顶点A ,B ,C ,D 的坐标依次为( 3,－1),( 1,2),( m,1),( 3,n )．
求m sin α＋n cos α的最大值．
解 ∵四边形ABCD 为平行四边形,则AD →＝BC →
,
即( 3－3,n ＋1)＝( m －1,1－2),即⎩⎪⎨⎪⎧
m －1＝0，
n ＋1＝－1，得m ＝1,n ＝－2,得m sin α＋
n cos α＝sin α－2cos α＝5sin( α＋φ),其中tan φ＝－2,
故m sin α＋n cos α的最大值为 5.
1．设平面向量a ＝( 3,5),b ＝( －2,1),则a ＋b ＝( ) A ．( 1,6) B ．( 5,4) C ．( 1,－6) D ．( －6,5)
答案 A
详细解析 a ＋b ＝( 3,5)＋( －2,1)＝( 3－2,5＋1)＝( 1,6)． 2．已知向量OA →＝( 1,－2),OB →＝( －3,4),则AB →
＝( ) A ．( －4,6) B ．( 2,－3) C ．( 2,3) D ．( 6,4) 答案 A
详细解析 AB →＝OB →－OA →
＝( －3,4)－( 1,－2)＝( －4,6)． 3．如图,向量a ,b ,c 的坐标分别是________,________,________.
答案 ( －4,0) ( 0,6) ( －2,－5)
详细解析 将各向量分别向基底i ,j 所在直线分解,则a ＝－4i ＋0·j ,∴a ＝( －4,0);b ＝0·i ＋6j ,∴b ＝( 0,6);c ＝－2i －5j ,∴c ＝( －2,－5)．
4．在平面直角坐标系中,|a |＝22,a 的方向相对于x 轴正方向的逆时针转角为135°,则a 的坐标为________．
答案 ( －2,2)
详细解析 因为|a |cos135°＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝－2,|a |·sin135°＝22×22＝2,所
以a 的坐标为( －2,2)．
5．在平面直角坐标系xOy 中,向量a ,b 的位置如图所示,已知|a |＝4,|b |＝3,且∠AOx ＝45°,∠OAB ＝105°,分别求向量a ,b 的坐标．
解 设a ＝( a 1,a 2),b ＝( b 1,b 2),由于∠AOx ＝45°, 所以a 1＝|a |cos45°＝4×2
2＝22, a 2＝|a |sin45°＝4×22＝2 2.
由已知可以求得向量b 的方向相对于x 轴正方向的逆时针转角为120°, 所以b 1＝|b |cos120°＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－32,
b 2＝|b |sin120°＝3×32＝33
2. 故a ＝( 22,22),b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫
－32
，
332.。