2018全国初中数学竞赛试题及参考答案

中国教育学会中学数学教学专业委员会

“《数学周报》杯”2018年全国初中数学竞赛试题

答题时注意：

1．用圆珠笔或钢笔作答； 2．解答书写时不要超过装订线； 3．草稿纸不上交.

一、选择题<共5小题，每小题7分，共35分.每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）

1．设1a ，则代数式32312612a a a +--的值为(>.

<A ）24<B ）25<C ）10<D ）12

2．对于任意实数a b c d ，，，，定义有序实数对a b （，）与c d （，）之间的运算“△”为：<a b ，）△<c d ，）＝<ac bd ad bc ++，）．如果对于任意实数

u v ，，都有<u v ，）△<x y ，）＝<u v ，），那么<x y ，）为(>.<A ）<0，1）<B ）<1，0）<C ）<﹣1，0）<D ）<0，-1）

3．若1x >，0y >，且满足3y y x

xy x x y

==，，则x y +的值为(>.

<A ）1<B ）2<C ）

92<D ）112

4．点D E ，分别在△ABC 的边AB AC ，上，BE CD ，相交于点F ，设1234BDF BCF CEF EADF S S S S S S S S ∆∆∆====四边形，，，，则13S S 与24S S 的大小关系为

(>.

<A ）1324S S S S <<B ）1324S S S S =<C ）1324S S S S ><D ）不能确定 5．设3

3331111

123

99

S =

++++

，则4S 的整数部分等于(>. <A ）4<B ）5<C ）6<D ）7

二、填空题<共5小题，每小题7分，共35分）

6．若关于x 的方程2(2)(4)0x x x m --+=有三个根，且这三个根恰好可 以作为一个三角形的三条边的长，则m 的取值范围是.

7．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，2，3，3，4；另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，3，4，5，6，8.同时掷这两枚骰子，则其朝上的面两数字之和为奇数的概率是.8．如图，点A B ，为直线y x =上的两点，过A B ，两点分别作y 轴的平

行线交双曲线1y x

=<x ＞0）于C D ，两点.若2BD AC =，则224OC OD -的值为.

9．若

y a ，最为b ，则22a b +的值为.

小值10．如

图，在Rt △ABC 中，斜边AB 的长为35，正方形

CDEF 内接于△ABC ，且其边长为12，则△ABC 的周长为.三、解答题<共4题，每题20分，共80分）

11．已知关于x 的一元二次方程20x cx a ++=的两个整数根恰好比方程

20x ax b ++=的两个根都大1，求a b c ++的值.

12．如图，点H 为△ABC 的垂心，以AB 为直径的⊙1O 和△BCH 的外接圆⊙2O 相交于点D ，延长AD 交CH 于点P ，求证：点P 为CH 的中点.

13．如图，点A 为y 轴正半轴上一点，A B ，两点关于x 轴对称，过点A 任作直线交抛物线2

23

y x =

于P ，Q <第12题）

两点.

<1）求证：∠ABP =∠ABQ ；

<2）若点A 的坐标为<0，1），且∠PBQ =60o ，试求所有满足条件的直线

PQ 的函数解读式.

14．如图，△ABC 中，60BAC ∠=︒，

2AB AC =．点P 在△ABC 内，

且

52PA PB PC ===，，求△ABC 的面积．

中国教育学会中学数学教学专业

委员会

“《数学周报》杯”2018年全国初中数学竞赛试题参考答

案

一、选择题 1．A

解：

由于1a =-

，1a +=262a a =-，所以 2．B

解：依定义的运算法则，有ux vy u vx uy v +=⎧⎨+=⎩，，即(1)0(1)0u x vy v x uy -+=⎧⎨-+=⎩

，

对任何实数

u v ，都成立.由于实数u v ，的任意性，得

<x y ，）=<1，0）．

3．C

解：由题设可知1

y y x -=，于是

341y y x yx x -==，

所以411y -=，

<第13题）

<第14题）

故1

2

y =

，从而4x =．于是92x y +=．

4．C

解：如图，连接DE ，设1D

E F

S S ∆'=，则

14

23S S EF S BF S '==，从而有1324S S S S '=．由于11S S '>，所以1324S S S S >．

5．A

解：当2 3 99k =，，，时，由于

()()()32111112111k k k k k k k ⎡⎤

<=-⎢⎥-+-⎣⎦

， 所以33

31111115111239922991004

S ⎛⎫<=+

+++

<+-< ⎪⨯⎝⎭. 于是有445S <<，故4S 的整数部分等于4．

二、填空题 6．3＜m ≤4

解：易知2x =是方程的一个根，设方程的另外两个根为12 x x ，，则124x x +=，12x x m =．显然1

242x x +=>，所以

122x x -<，164m ∆=-≥0，

2<，164m ∆=-≥0，所以

2<，164m ∆=-≥0，

解之得3＜m ≤4.

7．

1

9

解：在36对可能出现的结果中，有4对：<1，4），<2，3），<2，3），<4

，1

）的和为5，所以朝上的面两数字之和为5

的概率是41

369

=.8．6

解：如图，设点C 的坐标为a b （，），点D 的坐标为c d （，）

,