第三章 晶格的振动

i [ q ( 2 n2 ) at ]Be it Ae it
原胞内的不同原子以相同的振幅和位相做整体运动。
长声学波代表原胞质心的振动。
2）光频支 2 2 cos qaA ( 2 M ) B 0 两种原子的振幅比：
2 A 2 M2 ( )2 B 2 cos qa
玻恩—卡门边界条件： 晶格振动的波矢数等于晶体的原胞数。 晶格振动的频率数等于晶体的自由度数
（振动模式数）
2. 一维单原子链的波矢数
N M x N 1 x1 i q ( N 1) a t i qa t Ae Ae i qna t x Ae n ei qNa 1 Nqa 2l 2l q Na
光学波代表原胞中两个原子的相对运动。
三、玻恩—卡门边界条件 1. 玻恩—卡门假设和主要结果 a. 由N个原子构成的原子链为无限长的原子 链上的一段，这里N=mM m—每个原胞的原子数，M—原胞数。 b. 把这N个原子组成的一维原子链看成一个 闭合环，它包含有限数目的原子，但实际 上第N+1个原子就是第1个原子。 只要N足够大，圆环半径远远大于晶格常数就 局部看仍认为原子排列在一条直线上从而 得出结论。
0
U 1 2U 2 U ( x0 ) U ( x0 ) ( ) x0 x x0 ( 2 ) x0 x x0 ... x 2 x U 1 2U U ( x0 ) ( ) x0 ( 2 ) x0 2 ... x 2 x
2

mM
{(m M ) [m 2 M 2 2m M cos(2qa)] }
1 2
2. 振动方程及其试探解 类似于一维单原子链的讨论
F 2n 1 x2n2 x2n 2x2n1
F 2n 2 x2n3 x2n1 2x2n2
3. 振动方程及试探解 如果只考虑相邻原子的相互作用，则第n个 原子受到的总的作用力为：
( xn1 xn ) ( xn1 xn )
( xn1 xn1 2xn )
振动方程为
d xn m 2 ( xn 1 xn 1 2 xn ) dt
A • ( B )1 0，相邻两种不同原子的振动方向相同。 A 2 0 ( ) 1 •长波近似下， q->0， 1 1 B 2
说明对于长声学波，相邻原子沿同一方向运 动，相邻原子的位移相同。
当q->0时，
x2 n1 Aei [ q ( 2 n1) at ] Ae it x2 n2 Be
2 q1
4 2 2a a
，即两个波矢差正好是一
个倒格子基矢，根据我们所学的知识可知
相差任意倒格矢的两个波矢只能代表一种
晶格振动的状态，所以这两个格波完全等
价。它们的原子振动完全相同。
看图可以得到：对于原子所在的位置，两种格波的振动 方位完全相同。
二、 一维复式晶格的振动（一维双原子链的振动） 1. 模型和主要结论 在一条无限长的直线上周期地排列着两种不 同的原子，相邻同种原子之间的距离为2a，质 量为m的原子处于…2n-1，2n+1，2n+3…各点， 质量为M的原子处于…2n-2，2n，2n+2…各点， （M>m），原子只能沿直线方向振动形成纵波， 可以求出振动频率为：
格波的独立模式可以用独立谐振子 的振动来表述，根据量子力学，谐振子 的能量是量子化的。 声子：用来表述晶格振动的简谐振 子的能量量子。
3.1一维原子链的振动
一、一维简单晶格的振动（一维单原子链的振动） 1. 模型和主要结论 设由同类原子等距离排列的一条无限长的 直线上形成单原子链，原子之间的距离为a， 质量为m且只能沿直线方向振动形成纵波。 可求出其振动频率 ， 其中q为圆波矢， 为恢复力常数。
是连续介质，把格波看成弹性波。
a m 3）当 4）色散关系的周期：一个倒格子矢量 2a 2 2 xn ( q ) xn ( q ) (q ) (q ) a a 证明： 2 i q na it 2 a xn (q ) Ae Aei qna t ei 2n xn q a
i q 2n1a t

e
得到 m 2 A [ B ( e iqa e iqa ) 2 A] 同理： M 2 B [ A( e iqa e iqa ) 2 B ]
{
( 2 m 2 ) A 2 cos( qa ) B 0 2 cos( qa ) A ( 2 M 2 ) B 0
2

5. 结果讨论
max
1） qa
a , q , 2 2 2 a a
qa qa

0

a
2）当q很小时，即长波情形 sin 2 2 1 1 ,线性关系，可以把介质看成 2 qa 2
2
m qa 2 m
m 2 Aei ( qna t ) A (eiq( n1) a eiq( n1) a 2eiqna )eit
m (e e 2) m 2 2 (1 cosqa)
2 iqa iqa
4 2 qa sin m 2 qa 2 | sin | m 2
( , ) a a
例如：在晶格常数为a的一维简单晶格中，波长 4a, ' 4a / 5 的两个格波所对应的原子振动有 无不同？
答：因为相应于 4a 的格波波矢
而相应于

4a 5
q1
2 ， 4a 2a
的格波波矢
q2
10 5 4a 2a
，
所以 q
A，B不全为0的充分必要条件是系数的行列式为0.
2 m 2 2 cos qa 0 2 2 cos qa 2 M

2

mM
2
{(m M ) [m M 2m M cos(2qa)] }
2 2
1 2
或 者
4m M sin qa (m M ){1 [1 ] } 2 mM (M m)

2
1 2
分析：对于一维复式格子，可以存在两种不 同的 格波，这两种不同的格波各有自己的色散关系。 声频支：

2 1

mM
{(m M ) [m M 2m M cos(2qa)] }
2 2
1 2
光频支：

2 2

mM
{(m M ) [m M 2m M cos(2qa)] }
d 2 x2 n1 ( x2 n 2 x2 n 2 x2 n1 ) m 2 dt 2 d M x2 n 2 ( x 2 n3 x2 n1 2 x2 n 2 ) 2 dt
{
2
x2 n1 Ae i [ q ( 2 n 2 ) a t ] x2 n2 Be
mM 其中 为约化质量 mM
•当 q
2a
2 2 时， 2 {( m M ) [ M m]}
mM m
5. 声频支和光频支的振动特点 1）声频支 2 ( 2 m 两种原子的振幅比： 1 ) A 2 cos qaB 0
A 2 cosqa ( )1 2 B 2 m1
2
它的试探解为

xn Ae
i ( qna t )
qna为第n个原子振动的位相因子。
4. 振动频率 . 由 xn Aei ( qna t ) dxn i Aei ( qna t )
dt d 2 xn 2 2 Aei ( qna t ) dt
代入振动方程
3.3 固体比热
3.4 非简谐效应
1. 格波 晶格振动
由于晶体内原子之间存在相互作用力，各原子的振 动并不是孤立的而是相互联系的，从而使晶体内原子的振 动表现为各种模式 q, 的波，这种波称为格波，振动 为晶格振动。
2. 声子
当温度不太高时，格点振动十分微小，原子之间的 非简谐作用可以忽略不计，即采用简谐近似，那么这种振 动模式是相互独立的，由于晶格的周期性，模式采取的能 量不是连续的，而是分立的，这种独立而又分立的振动就 表示不连续的能量，这就是一种量子的概念，也就是我们 我们需要引入的一个重要概念—声子。
qa q 2 sin m 2

n2
n 1
n
n 1
n2
a
xn2
xn 1
xn
xn 1
xn2
2. 恢复力和位移的关系（类似于胡克定 律） 设在平衡位置时两个原子的相互作 用势能 U x0 ， xn 表示第n个原子离开 平衡位置的位移，第n+1个原子和第n个 原子的相对位移 xn1 xn ，则产生 相对位移后，相互作用势成 U x ， 将它在平衡位置附近展开：
2 2
1 2
2 max
2 min
2
2

,q 0

光频支

2 2 ( ) m 1 2 2 ( ) M
1
2 ,q m 2a
1max
2 ,q M 2a

声频支
1min 0, q 0

2a
0

2a
q
一维复式晶格的色散关系
4. 结果讨论 1）对于声频支 1 •当q=0时， 12 {( m M ) [m 2 M 2 2m M] 2 } 0
U ( ) 0 （平衡位置势能 • 其中 U x0 为常数， x 最小） • 当振动十分微小时，即 很小时，可以 忽略三阶以上的项，称简谐近似。 2 U U • 恢复力 F ( )
x0

x 2
x0
• 恢复力常数
2U x 2 x0
A ( ) 2 0 （相邻两种不同原子的振动方向相反） B 2 A 2 M2 M 2 M ( )2 1 长波近似下， B 2 2 m
Am BM 0
说明对于长光学波，相邻两种不同原子的振动方 向相反，原胞中不同原子做相对运动，质量大的 振幅小，质量小的振幅大，原胞的质心保持不变。
当温度不太高时格点振动十分微小原子之间的非简谐作用可以忽略不计即采用简谐近似那么这种振动模式是相互独立的由于晶格的周期性模式采取的能量不是连续的而是分立的这种独立而又分立的振动就表示不连续的能量这就是一种量子的概念也就是我们我们需要引入的一个重要概念声子
第三章 晶格振动和晶体的热学性质 3.1 一维原子链的振动 3.2 晶格振动的量子化 声子
i [ q ( 2 n1) a t ]
3.色散关系 把试探解代入运动方程得到：
Be Be 两边同时除以 i q 2 n 1a t
i q 2 n1a t
m Ae

i q 2 n2 a t
i q 2 n a t
2 Ae
2 2 m M sin qa 2 1 (m M ){1 [1 ]} 2 mM ( M m) 2 sin 2 qa M m 2 1 sin qa M m

2）对于光频支 1 •当q=0时， 2 2 {( m M ) [m 2 M 2 2m M ] 2 } mM 2 M m 2 Mm
q

, max 2

2 a 2 qa (q ) max sin q sin q max a 2 a 2
4 a

3 a

2 a

a
0
a
2 a
3 a
q
可把q限制在第一布里渊区
mM
•当 q

2a
2 2 时， 1 {( m M ) [ M m]}
mM M
•当q->0时，
4m M sin qa (m M ){1 [1 ] } 2 mM (M m)
2 1

2
1 2
2 4 m M sin qa 当 1 时， 2 (M m)