高中数学 第一章 导数及其应用 1.7 定积分的简单应用学案 新人教A版选修22

§1.7定积分的简单应用
学习目标 1.会应用定积分求两条或多条曲线围成的图形的面积.2.能利用定积分解决物理中的变速直线运动的路程、变力做功问题．学会用数学工具解决物理问题，进一步体会定积分的价值．
知识点一定积分在几何中的应用
思考怎样利用定积分求不分割型图形的面积？
答案求由曲线围成的面积，要根据图形，确定积分上、下限，用定积分来表示面积，然后计算定积分即可．
梳理(1)当x∈[a，b]时，若f(x)>0，由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积S＝ʃb a f(x)d x.
(2)当x∈[a，b]时，若f(x)<0，由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲
线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积S＝－ʃb a f(x)d x.
(3)当x∈[a，b]时，若f(x)>g(x)>0，由直线x＝a，x＝b(a≠b)和曲线
y＝f(x)，y＝g(x)所围成的平面图形的面积S＝ʃb a[f(x)－g(x)]d x.(如图)
知识点二变速直线运动的路程
思考变速直线运动的路程和位移相同吗？
答案不同．路程是标量，位移是矢量，路程和位移是两个不同的概念．
梳理(1)当v(t)≥0时，求某一时间段内的路程和位移均用2
1()
t t t
⎰v d t求解．
(2)当v(t)<0时，求某一时间段内的位移用2
1()
t t t
⎰v d t求解，这一时段的路程是位移的相反
数，即路程为－2
1()
t t t
⎰v d t.
做变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v＝v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a，b]上的定积分，即s＝ʃb a v(t)d t.
知识点三变力做功问题
思考恒力F沿与F相同的方向移动了s，力F做的功为W＝Fs，那么变力做功问题怎样解决？答案与求曲边梯形的面积一样，物体在变力F(x)作用下运动，沿与F相同的方向从x＝a 到x＝b(a<b)，可以利用定积分得到W＝ʃb a F(x)d x.
梳理如果物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并且物体沿着与F(x)相同的方向从x＝a
移动到x ＝b (a <b )，那么变力F (x )所做的功为ʃb
a F (x )d x .
1．曲线y ＝x 3
与直线x ＋y ＝2，y ＝0围成的图形面积为ʃ10x 3
d x ＋ʃ2
1(2－x )d x .( √ ) 2．在求变速直线运动的路程时，物体运动的速度一定为正．( × ) 3．在计算变力做功时，不用考虑力与位移的方向．( × )
类型一 利用定积分求面积
命题角度1 求不分割型图形的面积
例1 由曲线y 2
＝x ，y ＝x 2
所围图形的面积S ＝________. 考点 利用定积分求曲线所围成图形面积 题点 不需分割的图形的面积求解 答案 13
解析 由
⎩
⎪⎨⎪⎧
y 2
＝x ，
y ＝x 2
，得交点的横坐标为x ＝0及x ＝1.
因此，所求图形的面积为
S ＝S 曲边梯形OABC －S 曲边梯形OABD
＝ʃ1
0x d x －ʃ10x 2
d x ＝
⎪
⎪⎪233
2x 10－
⎪⎪⎪13x 310＝23－13＝13
. 反思与感悟 求由曲线围成图形面积的一般步骤 (1)根据题意画出图形．
(2)找出范围，确定积分上、下限． (3)确定被积函数． (4)将面积用定积分表示．
(5)用微积分基本定理计算定积分，求出结果．
跟踪训练1 求由抛物线y ＝x 2
－4与直线y ＝－x ＋2所围成的图形的面积． 考点 利用定积分求曲线所围成图形面积 题点 不需分割的图形的面积求解
解 由⎩⎪⎨
⎪⎧
y ＝x 2
－4，y ＝－x ＋2，
得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝－3，y ＝5或⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝2，
y ＝0，
所以直线y ＝－x ＋2与抛物线y ＝x 2
－4的交点坐标为(－3,5)和(2,0)， 设所求图形面积为S ，
根据图形可得，S ＝ʃ2
－3(－x ＋2)d x －ʃ2
－3(x 2
－4)d x ＝
⎪⎪⎪⎝
⎛⎭⎪⎫2x －12x 22－3
－
⎪
⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－4x 2－3
＝252－⎝ ⎛⎭⎪⎫－253＝125
6
. 命题角度2 分割型图形面积的求解
例2 求由曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－1
3x 所围成的图形的面积．
考点 利用定积分求曲线所围成图形面积 题点 需分割的图形的面积求解 解 画出图形，如图所示．
解方程组⎩⎨
⎧
y ＝x ，x ＋y ＝2，
⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝x ，y ＝－13x ，⎩
⎪⎨⎪
⎧
x ＋y ＝2，y ＝－13x ，
得交点坐标分别为(1,1)，(0,0)，(3，－1)，
所以S ＝ʃ10⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x d x ＋ʃ31⎣⎢⎡⎦
⎥⎤(2－x )－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x d x
＝ʃ10⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13x d x ＋ʃ31⎝ ⎛⎭⎪⎫2－23x d x ＝
⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫23
32x ＋16x 210＋
⎪
⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －13x 231
＝23＋16＋6－13×9－2＋13＝136
. 反思与感悟 两条或两条以上的曲线围成的图形，一定要确定图形范围，通过解方程组求出交点的坐标，定出积分上、下限，若积分变量选x 运算较烦琐，则积分变量可选y ，同时要更换积分上、下限．
跟踪训练2 求由曲线y ＝x 2
，直线y ＝2x 和y ＝x 所围成的图形的面积． 考点 利用定积分求曲线所围成图形面积 题点 需分割的图形的面积求解
解 由⎩
⎪⎨
⎪⎧
y ＝x 2
，y ＝x 和⎩
⎪⎨
⎪⎧
y ＝x 2
，
y ＝2x ，解出O ，A ，B 三点的横坐标分别是0,1,2.
故所求的面积S ＝ʃ1
0(2x －x )d x ＋ʃ2
1(2x －x 2
)d x ＝
⎪⎪⎪x 22
1
＋
⎪
⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－x 3
321
＝12－0＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4－83－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＝7
6. 类型二 定积分在物理中的应用
例3 一点在直线上从时刻t ＝0 s 开始以速度v ＝t 2
－4t ＋3(v 的单位：m/s)运动，求： (1)该点在t ＝4 s 时的位置； (2)该点前4 s 走过的路程． 考点 利用定积分求路程问题 题点 利用定积分求路程问题
解 (1)在t ＝4 s 时，该点的位移为ʃ4
0(t 2
－4t ＋3)d t ＝
⎪
⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫13t 3－2t 2＋3t 40＝43，即在t ＝4 s 时，该点与出发点的距离为43
m.
(2)因为v (t )＝t 2
－4t ＋3＝(t －1)(t －3)，所以在区间[0,1]及[3,4]上，v (t )≥0，在区间
[1,3]上，v (t )≤0，所以走过的路程s ＝ʃ1
0(t 2
－4t ＋3)d t ＋||ʃ3
1(t 2
－4t ＋3)d t ＋ʃ4
3(t 2
－4t ＋3)d t
＝ʃ10(t 2－4t ＋3)d t －ʃ31(t 2－4t ＋3)d t ＋ʃ43(t 2
－4t ＋3)d t ＝4(m)，即前4 s 走过的路程为4 m.
反思与感悟 (1)求变速直线运动的物体的路程(位移)方法
①用定积分计算做直线运动物体的路程，要先判断速度v (t )在时间区间内是否为正值，若
v (t )>0，则运动物体的路程为s ＝ʃb a v (t )d t ；若v (t )<0，则运动物体的路程为s ＝ʃb
a |v (t )|d t
＝－ʃb
a v (t )d t ；
②注意路程与位移的区别． (2)求变力做功的方法步骤
①首先要明确变力的函数式F (x )，确定物体在力的方向上的位移； ②利用变力做功的公式W ＝ʃb
a F (x )d x 计算；
③注意必须将力与位移的单位换算为牛顿与米，功的单位才为焦耳．
跟踪训练3 一弹簧在弹性限度内，拉伸弹簧所用的力与弹簧伸长的长度成正比．若20 N 的力能使弹簧伸长3 cm ，则把弹簧从平衡位置拉长13 cm(在弹性限度内)时所做的功W 为( ) A.169
30 J B ．5 J C.159
30
J D ．6 J
考点 利用定积分求变力做功问题 题点 定积分在弹力做功中的应用 答案 A
解析 设拉伸弹簧所用的力为F N ，弹簧伸长的长度为x m ，则F ＝kx . 由题意知20＝0.03k ，得k ＝
2 000
3
， 所以F ＝2 000
3x .由变力做功公式，
得W ＝ʃ0.130
2 000
3
x d x ＝
⎪
⎪⎪1 000x 2
30.130
＝169
30(J)， 故把弹簧从平衡位置拉长13 cm 时所做的功为169
30
J.
1．由曲线y ＝x 2
与直线y ＝2x 所围成的平面图形的面积为( ) A.43 B.83 C.163
D.23
考点 利用定积分求曲线所围成图形面积
题点 不需分割的图形的面积求解 答案 A
解析 如图，画出曲线y ＝x 2
和直线y ＝2x 的图象，
则所求面积S 为图中阴影部分的面积． 解方程组⎩⎪⎨
⎪⎧
y ＝2x ，y ＝x 2
，
得⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝0，
y ＝0，
⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝2，
y ＝4.
所以A (2,4)，O (0,0)． 所以S ＝ʃ2
02x d x －ʃ20x 2
d x ＝x 2⎪⎪⎪⎪⎪⎪2
0－13x 320＝4－⎝ ⎛⎭⎪⎫83－0＝43
.
2．一物体在力F (x )＝3x 2
－2x ＋5(力的单位：N ，位移单位：m)的作用下沿与力F (x )相同的方向由x ＝5 m 运动到x ＝10 m ，则F (x )做的功为( ) A ．925 J B ．850 J C ．825 J
D ．800 J
考点 利用定积分求变力做功问题 题点 定积分在弹力做功中的应用 答案 C
解析 依题意F (x )做的功是
W ＝ʃ105F (x )d x ＝ʃ105(3x 2
－2x ＋5)d x
＝(x 3－x 2＋5x )|10
5＝825(J)．
3．由曲线y ＝1
x
与直线x ＝1，x ＝2，y ＝1所围成的封闭图形的面积为________．
考点 利用定积分求曲线所围成图形面积 题点 不需分割的图形的面积求解 答案 1－ln 2
解析 因为函数y ＝1x 在[1,2]上的积分为S 2＝ʃ211x
d x ＝ln x |2
1＝ln 2，
所以围成的封闭图形的面积S 1等于四边形ABCD 的面积减去S 2的面积，即S 1＝1－ln 2. 4．一辆汽车的速度—时间曲线如图所示，则汽车在1分钟内行驶的路程为________ m.
考点 利用定积分求路程问题 题点 利用定积分求路程问题 答案 900
解析 由速度—时间曲线得 v (t )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
3t ，0≤t ≤10，－3
5
t ＋36，10<t ≤60，
所以汽车在1分钟内行驶的路程为 ʃ10
03t d t ＋ʃ60
10
⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭
⎪⎫－35t ＋36d t ＝32t 2100
＋
⎪
⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫－310t 2＋36t 6010
＝150＋750＝900 m.
5．求由抛物线y ＝x 2
－1，直线x ＝2，y ＝0所围成的图形的面积． 考点 利用定积分求曲线所围成图形面积 题点 需分割的图形的面积求解
解 作出草图如图所示，所求图形的面积为图中阴影部分的面积．
由x 2
－1＝0，得抛物线与x 轴的交点坐标是(－1,0)和(1,0)， 因此所求图形的面积为
S ＝ʃ1－1|x 2－1|d x ＋ʃ21(x 2
－1)d x
＝ʃ1－1(1－x 2)d x ＋ʃ21(x 2
－1)d x ＝
⎪
⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 3
31－1＋
⎪
⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3
3－x 21
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13－⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13×23－2－⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1 ＝8
3
.
对于简单图形的面积求解，我们可直接运用定积分的几何意义，此时 (1)确定积分上、下限，一般为两交点的横坐标； (2)确定被积函数，一般是上曲线与下曲线对应函数的差．
这样所求的面积问题就转化为运用微积分基本定理计算定积分了．注意区别定积分与利用定
积分计算曲线所围图形的面积：定积分可正、可负或为零；而平面图形的面积总是非负的．
一、选择题
1.用S表示图中阴影部分的面积，则S的值是( )
A．ʃc a f(x)d x
B．|ʃc a f(x)d x|
C．ʃb a f(x)d x＋ʃc b f(x)d x
D．ʃc b f(x)d x－ʃb a f(x)d x
考点利用定积分求曲线所围成图形面积
题点需分割的图形的面积求解
答案 D
解析∵x∈[a，b]时，f(x)<0，x∈[b，c]时，f(x)>0，
∴阴影部分的面积S＝ʃc b f(x)d x－ʃb a f(x)d x.
2．一物体以速度v＝(3t2＋2t)m/s做直线运动，则它在t＝0 s到t＝3 s时间段内的位移是( )
A．31 m B．36 m
C．38 m D．40 m
考点利用定积分求路程问题
题点利用定积分求路程问题
答案 B
解析S＝ʃ30(3t2＋2t)d t＝(t3＋t2)|30＝33＋32＝36(m)，故选B.
3．一物体在力F(x)＝4x－1(单位：N)的作用下，沿着与力F相同的方向，从x＝1运动到x ＝3处(单位：m)，则力F(x)所做的功为( )
A．8 J B．10 J C．12 J D．14 J
考点利用定积分求变力做功问题
题点定积分在弹力做功中的应用
答案 D
解析由变力做功公式有W＝ʃ31(4x－1)d x＝(2x2－x)|31＝14(J)，故选D.
4．由直线x ＝0，x ＝2π
3，y ＝0与曲线y ＝2sin x 所围成的图形的面积等于( )
A ．3 B.32 C ．1 D.1
2
考点 利用定积分求曲线所围成图形面积 题点 不需分割的图形的面积求解 答案 A
解析 直线x ＝0，x ＝2π
3
，y ＝0与曲线y ＝2sin x 所围成的图形如图所示，
其面积为
S ＝
2π3
2sin d x x ⎰
＝－2cos x 2π30
|
＝－2cos 2π
3
－(－2cos 0)＝1＋2＝3，故选A.
5．由y ＝x 2
，y ＝14x 2及x ＝1围成的图形的面积S 等于( )
A.12
B.13
C.14
D ．1
考点 利用定积分求曲线所围成图形面积 题点 不需分割的图形的面积求解 答案 C
解析 y ＝x 2
，y ＝1
4
x 2，x ＝1所围成的图形如图所示，
S ＝ʃ10x 2d x －ʃ101
4
x 2
d x
＝ʃ1034
x 2d x ＝
⎪⎪⎪14x 310＝14
. 6．由直线y ＝x ，曲线y ＝x 3
围成的封闭图形的面积为( )
A.14
B.34
C.12
D.43
考点 利用定积分求曲线所围成图形面积 题点 需分割的图形的面积求解 答案 C
解析 由直线y ＝x ，曲线y ＝x 3
围成的封闭图形如图，所以由直线y ＝x ，曲线y ＝x 3
围成的封闭图形的面积为2ʃ10(x －x 3
)d x ＝12
，故选
C.
7．由曲线y ＝x 与直线y ＝2x －1及x 轴所围成的封闭图形的面积为( ) A.12 B.1112 C.16
D.512
考点 利用定积分求曲线所围成图形面积 题点 需分割的图形的面积求解 答案 D
解析 联立曲线y ＝x 与直线y ＝2x －1，构成方程组
⎩⎨
⎧
y ＝x ，y ＝2x －1，
解得⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝1，y ＝1.
联立直线y ＝2x －1，y ＝0构成方程组，解得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝12
，
y ＝0.
∴曲线y ＝x 与直线y ＝2x －1及x 轴所围成的封闭图形的面积为
S ＝ʃ1
x d x －11
2
(21)d x x -⎰
31212012
2|()|3x x x
=--
＝23＋14－12＝512
.
二、填空题
8．一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝7－3t ＋
25
1＋t
(t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是________． 考点 利用定积分求路程问题 题点 利用定积分求路程问题 答案 4＋25ln 5 解析 由v (t )＝7－3t ＋
251＋t ＝0，可得t ＝4⎝ ⎛⎭
⎪⎫t ＝－83舍去，因此汽车从刹车到停止一共行驶
了4 s ，此期间行驶的距离为ʃ40v (t )d t ＝ʃ40⎝ ⎛⎭⎪⎫7－3t ＋251＋t d t ＝
⎪
⎪⎪⎣⎢⎡⎦⎥⎤7t －32t 2＋25ln (1＋t )40
＝4
＋25ln 5.
9．由曲线y ＝e x ，y ＝e －x
及x ＝1所围成的图形的面积为____________． 考点 利用定积分求曲线所围成图形面积 题点 不需分割的图形的面积求解 答案 e ＋1
e
－2
解析 如图，所围成的图形的面积为
ʃ1
0(e x －e －x
)d x ＝(e x
＋e －x
)|1
＝e ＋e －1
－2＝e ＋1e
－2.
10.如图，已知点A ⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，14，点P (x 0，y 0)(x 0>0)在曲线y ＝x 2
上，若阴影部分的面积与△OAP
的面积相等，则x 0＝________.
考点 导数与积分几何意义的应用 题点 导数与积分几何定义的应用 答案
64
解析 由题意知12×x 0×1
4＝
20
d ,x x x ⎰
即18x 0＝13
x 3
0，
解得x 0＝
64或x 0＝－6
4
或x 0＝0. ∵x 0>0，∴x 0＝
6
4
. 11．若两曲线y ＝x 2与y ＝cx 3
(c >0)围成图形的面积是23，则c ＝________.
考点 利用定积分求曲线所围成图形的面积 题点 已知曲线所围成图形的面积求参数 答案 12
解析 由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝x 2
，
y ＝cx 3
，
得x ＝0或x ＝1
c
.
∵当0<x <1c
时，x 2>cx 3
，
∴S ＝123
(-)d c
x cx x ⎰
＝
⎪⎪⎪⎝
⎛⎭⎪⎫13x 3－14cx 41
0c ＝
13c 3－14c 3＝112c 3＝2
3
. ∴c 3
＝18，∴c ＝12.
三、解答题
12．求由抛物线y 2
＝8x (y >0)与直线x ＋y －6＝0及y ＝0所围成图形的面积． 考点 利用定积分求曲线所围成图形的面积 题点 需分割的图形的面积求解 解 如图所示，
由⎩⎪⎨
⎪⎧
y 2
＝8x (y >0)，x ＋y －6＝0，
得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝2，y ＝4，所以抛物线y 2
＝8x (y >0)与直线x ＋y －6＝0的交点坐标
为(2,4)．
方法一 (选y 为积分变量)
S ＝ʃ40⎝ ⎛⎭
⎪⎫6－y －1
8
y 2d y ＝
⎪
⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫6y －12y 2－124y 340
＝24－8－124×64＝40
3.
方法二 (选x 为积分变量)
S ＝ʃ20(8x )d x ＋ʃ6
2(6－x )d x
＝
⎪
⎪⎪8×233
2x 2
0＋
⎪
⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫6x －12x 262
＝163＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤
⎝ ⎛⎭⎪⎫6×6－12×62－⎝ ⎛⎭⎪⎫6×2－12×22
＝40
3
. 13.已知函数f (x )＝x 3
＋ax 2
＋bx (a ，b ∈R )的图象如图所示，它与直线y ＝0在原点处相切，此切线与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为
27
4
，求a 的值．
考点 利用定积分求曲线所围成图形面积 题点 已知曲线所围成图形的面积求参数
解 由题图知方程f (x )＝0有两个实根，其中有一个实根为0，于是b ＝0， 所以f (x )＝x 2
(x ＋a )． 有274＝ʃ－a 0[0－(x 3＋ax 2)]d x ＝－
⎪
⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫x 44＋ax 33－a 0＝a 4
12， 所以a ＝±3.
又－a >0，即a <0，所以a ＝－3. 四、探究与拓展
14.如图，在边长为e(e 为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，
则它落在阴影部分的概率为________． 考点 利用定积分求曲线所围成图形面积 题点 不需分割的图形的面积求解 答案
2e
2 解析 ∵S 阴＝2ʃ10(e －e x )d x ＝2(e x －e x )|1
0＝2，
S 正方形＝e 2，∴P ＝2
e
2.
15.已知S 1为直线x ＝0，y ＝4－t 2
及y ＝4－x 2
所围成图形的面积，S 2为直线x ＝2，y ＝4－t 2
及曲线y ＝4－x 2
所围成图形的面积(t
为
常
数)．
(1)若t ＝2，求S 2；
(2)若t ∈(0,2)，求S 1＋S 2的最小值． 考点 利用定积分求曲线所围成图形面积 题点 需分割的图形的面积求解 解 (1)当t ＝2时，S 2＝
22
(4)]d x x --
＝
⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－2x
＝43(2－1)． (2)当t ∈(0,2)时，S 1＝ʃt
0[(4－x 2
)－(4－t 2
)]d x ＝
⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2x －13x 3t 0
＝23
t 3. S 2＝ʃ2t [(4－t 2)－(4－x 2
)]d x
＝
⎪
⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－t 2x 2t ＝83
－2t 2＋23t 3.
所以S ＝S 1＋S 2＝43t 3－2t 2
＋83
.
S ′＝4t 2－4t ＝4t (t －1)，
令S ′＝0，得t ＝0(舍去)或t ＝1，
当0<t <1时，S ′<0，S 单调递减，当1<t <2时，S ′>0，S 单调递增，所以当t ＝1时，S min ＝2.。