2019年高考数学高频考点测试专题47数列数列的通项4构造法文含解析

专题47 数列 数列的通项4（构造法）
【考点讲解】 一、具本目标：
掌握用不同的数学方法求不同形式数列的通项公式.通过数列通项公式的求解过程,利用数列的变化规律,恰当选择方法,是数列的研究和探索奠定基础. 二、知识概述： 1.数列的通项公式：
（1）如果数列{}n a 的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．即()n a f n =,不是每一个数列都有通项公式,也不是每一个数列都有一个个通项公式.
（2）数列{}n a 的前n 项和n S 和通项n a 的关系：.
2.求数列的通项公式的注意事项：
（1）根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，观察出项与n 之间的关系、规律，可使用添项、通分、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公式来求．对于正负符号变化，可用()1n
-或
()
1
1n +-来调整．
（2）根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想．由不完全归纳法得出的结果是不可靠，要注意代值验证.
（3）对于数列的通项公式要掌握：①已知数列的通项公式，就可以求出数列的各项；②根据数列的前几项，写出数列的一个通项公式，这是一个难点，在学习中要注意观察数列中各项与其序号的变化情况，分解所给数列的前几项，看看这几项的分解中．哪些部分是变化的，哪些是不变的，再探索各项中变化部分与序号的联系，从而归纳出构成数列的规律，写出通项公式.
3.数列通项一般有三种类型：（1）已知数列是等差或等比数列，求通项，破解方法：公式法或待定系数法；（2）已知S n ，求通项，破解方法：利用S n -S n -1= a n ，但要注意分类讨论，本例的求解中检验必不可少，值 得重视；（3）已知数列的递推公式，求通项，破解方法：猜想证明法或构造法。

3. 已知数列{}n a 的前n 项和n S ，求数列的通项公式，其求解过程分为三步： (1)先利用11a S =求出1a ；
(2)用1n -替换n S 中的n 得到一个新的关系，利用=n a 1n n S S -- (2)n ≥便可求出当2n ≥时n a 的表达式；
(3)对1n =时的结果进行检验，看是否符合2n ≥时n a 的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分1n =与2n ≥两段来写．
【注】该公式主要是用来求数列的通项，求数列通项时，一定要分两步讨论，结果能并则并，不并则分. 4. 递推公式推导通项公式方法： （1）叠加法：
叠加法（或累加法）：已知，求数列通项公式常用叠加法（或累加法）
即
.
（2）累乘法：已知
求数列通项公式用累乘法.
（3）待定系数法：
（其中,p q 均为常数，
）
解法：把原递推公式转化为：，其中p
q
t -=
1，再利用换元法转化为等比数列求解.
（4）待定系数法：
（其中
,p q 均为常数，
）. （或
,其中,,p q r
均为常数）.
解法：在原递推公式两边同除以1
+n q
，得：
，令n n
n q
a b =
，得：
，再按
第（3）种情况求解.
（5）待定系数法： 解
法
：
一
般
利
用
待
定
系
数
法
构
造
等
比
数
列
，
即
令
，与已知递推式比较，
解出y x ,,从而转化为是公比为p 的等比数列.
（6）待定系数法： 解
法
：
一
般
利
用
待
定
系
数
法
构
造
等
比
数
列
，
即
令
，与已知递推式比较，解出y x ,,从而转化为是公比为p 的等比数
列.
（7）待定系数法：
（其中,p q 均为常数）.
解法：先把原递推公式转化为
其中,s t 满足
s t p
s t q +=⎧⎨
=-⎩
，再按第（4）种情况求解. （8）取倒数法：
解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为，按第（3）种情况求
解.
（
，解法：等式两边同时除以
1n n a a +⋅后换元转化为
，按第（3）种情况求解.）.
（9）取对数r n
n pa a =+1
解法：这种类型一般是等式两边取以p 为底的对数，后转化为，按第（3）
种情况求解.
5. 以数列为背景的新定义问题是高考中的一个热点题型，考查频率较高，一般会结合归纳推理综合命题．常见的命题形式有新法则、新定义、新背景、新运算等．
(1)准确转化：解决数列新定义问题时，一定要读懂新定义的本质含义，将题目所给定义转化成题目要
求的形式，切忌同已有概念或定义相混淆．
(2)方法选取：对于数列新定义问题，搞清定义是关键，仔细认真地从前几项(特殊处、简单处)体会题意，从而找到恰当的解决方法． 类型一：取倒数法
已知函数
,数列
{}
n a 满足
(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式; (Ⅱ)记
,求n S .
【分析】由于{b n }和{c n }中的项都和{a n }中的项有关，{a n }中又有S 1n +=4a n +2，可由S 2n +－S 1n +作切入
点探索解题的途径． 【解析】（Ⅰ）由已知得，1
31+=
+n n n a a a ，
∴3111+=+n n a a ，即3111=-+n
n a a ∴数列⎭
⎬
⎫⎩⎨⎧n a 1是首项11=a ,公差3=d 的等差数列.
∴,
故
(Ⅱ) ∵
类型二：
已知数列{}n a 满足
，求数列{}n a 的通项公式。

【分析】通过对递推关系式的整理，目的是构造成特殊数列.
类型三： 数列{}n a 满足，求数列{}n a 的
通项公式.
【
解
析
】
由
，
得
即
，且
. ∴}{1n n a a -+是以2为公比，3为首项的等比数列.∴
利
用
逐
差
法
可
得
=
=
=
=123-⋅n
∴
()*
∈N n .
类型四：已知数列{}n a 满足
①求数列{}n a 的通项公式n a ；②求
的值.
【真题分析】
1.【2015全国Ⅱ】设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11a =-，
，则n S =________．
【解析】本题考查的是等差数列和递推关系．由已知得
，两边同时除以
1n n
S S +⋅，得
，故数列1n S ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
是以1-为首项，1-为公差的等差数列，则
，所以1n S n
=-
． 【答案】1n
- 2. 【
2018
优
选
题
】
已
知
数
列
{}
n a 满足。

{}n n a S 是的前n
项的和，则
等于 .
【解析】本题考点是周期函数与数列的递推关系. 由
题
意
可
知
由
此
推
得
：
∴
∴
.
【答案】b a 2+
3.【2017届衡水中学押题卷】数列{}n a 满足12a =， 2
1n n a a +=（0n a >），则n a =（ ）
A. 2
10
n - B. 1
10
n - C. 1
210
n - D. 1
22
n -
【答案】D
4.【2017武汉市调研】已知数列{}n a 满足11a =， 213
a =，
若
，则数列{}
n a 的通项n a =（ ） A.
112n - B. 121n - C. 113n - D. 11
21
n -+
【解析】
,
,
,
则
,数列111n n a a +⎧⎫
-⎨
⎬⎩⎭
是首项为2，公比为2的等比数列
， ，利用叠
加
法
，
，
，则1
21
n n
a =
-.选B. 【答案】B
5.【2019优选题】已知数列{}n a ，13a =，且
，求数列{}n a 的通项n a
6.已知数列{}n a 中，6
51=
a ,，求n a ．
【解析】本题考点是二次构造求数列的通项公式.
在两边乘以
1
2+n ，得：
．
令n n
n a b ⋅=2，则
，
由得，，则可求得
，这里的3t =-
所以数列{}3n b -是以43-
为首项，2
3
为公比的等比数列， 所以有：
，所以
．
即()n N *
∈.
7.
【
2018
优
选题】已知数列
{}
n a 满足
， *n N ∈．
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）若
，，求证：
对任意的*n N ∈， 34
n T <
. 【分析】(1)设数列{}n na 的前n 项和为,n S 表示出1n S -两式相减得到关于n a 的表达式,从而求出.n a (2)
n b 化简之后裂项相消求出.n T
（
Ⅱ
）
因
为
.
因
此
有
相
加
整
理
可
得
：
.
所以对任意的*∈
N n ，都有4
3
<
n T 成立. 8.【2019优选题】数列
{}n
a 满足11=a ，22=a ，
．
（1） 设
，证明{}n b 是等差数列；
（2） 求数列{}n a 的通项公式．
【解析】（1）由
，得
所以有
，设数列
，
，所以数列{}n b 是以1为首项，2为公差的等差数列.
9.
已
知
在
数
列
{}
n a 中，
11
a =，22
a =，且
．
（1）设
，证明{}n b 是等比数列；
（2）求数列{}n a 的通项公式.
【解析】（1）证明：由
，得
，
且23+=q a 整理得：
，
因为数列
所以，这样就有：1-=n n qb b ，
由
，
得
所以数列{}n b 是以1为首项，q 为公比的等比数列. （2） 解：由（1）得
，知数列{}n n a a -+1是
以1为首项，q 为公比的等比数列，所以有：，
由
得
：
所以：=
n a 1111
+---q
q n ()
*∈N n . 10.【2018优秀题】设正数列0a ，1a ，n a …，n a ，
…满足2-n n a a 21---n n a a =12-n a )2(≥n 且110==a a ，
求数列的和n S .
【模拟考场】
1.已知数列{}n a满足，则n a= .
【解析】对递推关系取倒数，得.
即，分别用替换n，有
，，，…，
n-个式子相加，得以上1
所以，
【答案】
2.数列{}n a满足，，写出数列{}n a的通项公式__________．
【答案】
3.数列{}n a中, ,则数列的前5项为_______, 猜想它的通项公式是
__________________.
【解析】
由可
得
，数列的通项公式为
.
由取倒数或得，
所以
，即数列
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
n
a
1
是以
1
1
2
=
a为首项公差为1的等差数列，所
以
，即.
4.
【解析】
1
2
+=n n a ∴
.
5．数列{}n a 满足n a =0，求数列{a n }的通
项公式。

分析：递推式
中含相邻三项，因而考虑每相邻两项的组合，
即把中间一项1+n a 的系数分解成1和2，适当组合，可发现一个等比数列}{1--n n a a 。

6.已知数列{}n a ，14a =，且
，求数列{}n a 的通项n a
【解析】将原等式的两边同时除以1
2
n +，得，
所以有
，新数列2n n a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
是以2为首项，公差为1的等差数列，12n n a n =+，即
()
n N *∈
7.已知数列{}n a 满足，12a =，求数列{}n a 的通项公式。

8.设数列{}n a 的前n 项和为
，
（Ⅰ）求14,a a （Ⅱ）证明： {}
12n n a a +-是等比数列；（Ⅲ）求{}n a 的通项公式
【解析】由
得
（1）
知
（2）
（2）-（1）得122n n
a a +- ∴122n n a a +-12n n a +=+即
，
两边同除以12+n ，得：
，
易知：， 又因为
，所以
则
故n
a
9.已知数列{}n a 中，6
51=
a ,，求通项n a .
【解析】由
，两边同除以1
)
2
1(+n 即两边同乘以1
2
+n 得：
令n n
n a b ∙=2，则
,解之得：所以
.
10.设数列{}n a的前n项和为n S，已知
b=时，是等比数列；（Ⅰ）证明：当2
（Ⅱ）求{}n a的通项公式
b≠时，由由（1）
当2
2+n，得：
两边同除以1
令=
n c 2n
n
a ，则,
构造数列}{1x c n ++ 令
则
由待定系数法可知
则2
1
-=
b x
∴
∴}21{-+
b c n 构成了以211-+
b c 为首项，2
b
为公比的等比数列。

从而
.
则
又12a =
可解得：
因此
.
11.数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项n a ；（Ⅱ）求数列{}n na 的前n 项和n T 【解析】（Ⅰ）
12n n a S +=，
，1
3n n
S S +∴
=
又
，∴数列
{}
n S 是首项为1，公比为3的等比数列
，
当2n ≥时，
，
n∈，12.已知：在数列{}n a中，，当N
a.
,求：通项公式
n
【解析】原递推式可化为：
① 比较系数得λ=-3或λ=-2，不妨取λ=-2.①式可化为：
则}2{1n n a a -+是一个等比数列，首项122a a -=2-2（-1）=4，公比为3.
∴.
当
λ=-3
同理可求得：
，所以有：
(
)n N
*
∈.
13.【2019优选题】在数列{}n a 中，12a =，
，n ∈*
N ．
（Ⅰ）证明数列{}n a n -是等比数列； （Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S ；
（Ⅲ）证明不等式14n n S S +≤，对任意n ∈*
N 皆成立．
14.设数列{}n a 满足
（*∈N n ）
（1）求数列{}n a 的通项公式n a ；（2）设n
n a n
b =
，求数列{}n b 的前n 项和n S . 【解析】（1）因为 ①
当n ≥2时， ②
①
－
②
得
：
（2）因为n
n a n b =n
n 3⋅=。