测量学第3章-测量误差基本知识2

• 第二组：
l l l 5, 6, 10
算术平均值分别为 L1, L2
L l l l l 1( )14
1 41 2
4 4
i
i1
L l l l l 1( )110
2 65 6
6 10
j j5
其中误差分别为：
m L1
m 4
m m ,
L1
L2
m2
4
将上式平方，得 2 z i k 2 2 xi (i 1 ,2 n )
求和，并除以n，得
2z k2 2x
n
n
m z
2z n
m x
2x n
m2z

k
2
m
2 x
mz kmx
结论：观测值与常数乘积的中误差，等于观测值中误差乘常数。
最后答案为SAB=11.7m士0.1m
3、线性函救
设有线性函数： z k 1 x 1 k 2 x 2 k n x n
则有
m 2 z ( k 1 m x 1 ) 2 ( k 2 m x 2 ) 2 ( k n m x n ) 2
例5 设有线性函救
z144x1194x2114x3
(2)用钢尺丈量某正方形四条边的边长为 li mli 其中: l 1 l 2 l 3 l 4 l 且 m l 1 m l 2 m l 3 m l 4 m l 求该正方形的周长S和面积A的中误差.
解: (1)周长 S4l , 全微分: dS4dl
周长面的积中误差为, mS 4ml
每个角的测角中误差：m
7.54.3" 3
2
1 3
由于DJ6一测回角度中误差为：
m6" 28.5"
ƒ=(1+2+3)-180
由角度测量n测回取平均值的中误差公式：
m xm n ,
即 4.3"8.5", n
n8.524测回 4.32
用DJ6经纬仪观测三角形内角时，每个内角观 测4个测回取平均，可使得三角形闭合差m15 。
ms smks
式中，S的单位是公里。
结论：在距离丈量中，距离S的量距中误差与长度S的平方根
成正比。
例3 为了求得A、B两水准点间的高差，今自A点开始进行 水准测量，经n站后测完。已知每站高差的中误差均为m站， 求A、B两点间高差的中误差。
解：因为A、B两点间高差hAB等于各站的观测高差hi（i=l， 2…n）之和， 即hAB=HB-HA=h1+h2+…..+hn
f
式中 x i （i=l，2…n）是函数对各个变量所取的偏导 数，以观测值代人所算出的数值，它们是常数，因此
上式是线性函数可为：
2
2
2
m 2z x f1 m 2 1 x f2 m 2 2 x fn m 2 n
例 6 设有某函数z=S·sinα
式 中 S=150.11m ， 其 中 误 差 ms= 士 005m ； α=119°45′00″，其中误差mα=士20.6″；求z的中误 差mz。
解：因为z=S·sinα，所以z是S及a的一般函数。
mz2
s
in2ms2
sc
os2m
由于Δx、Δy均为偶然误差，其符号为正或负的机会相 同，因为Δx、Δy为独立误差，它们出现的正、负号互不相 关，所以其乘积ΔxΔy也具有正负机会相同的性质 ，在求 ［ΔxΔy］时其正值与负值有互相抵消的可能；当n愈大时， 上式中最后一项［ΔxΔy］/n将趋近于零，即
limxy 0
n n
误差传播定律的应用
例2：试用中误差传播定律分析视距测量的精度。 解:(1)测量水平距离的精度基本公式：
DKcl o2s
求全微分：
d D D d l D d K c2 o d s ( l2 K si lc n o )ds
l

其中： (20626) 5
2
m L1
mL2
m 6
m2
6
2
m L2
• 全部同精度观测值的最或然值为：
4
10
X

l

li
i1

l j
j5
10
10
4L16L2 46

2
m L m L 2

1
m m L 1
2
2
1
L2
2
2
m m 2
2
m m L 1
L2
•令
X
m2
pi

m2 Li
式中xi(i=1，2…n)为独立观测值，已知其中误差为mi(i=1 2…n)，求z的中误差。
当xi具有真误差Δ时，函数Z相应地产生真误差Δz。这些 真误差都是一个小值，由数学分析可知，变量的误差与函 数的误差之间的关系，可以近似地用函数的全微分来表达。
z x f1 x1 x f2 x2 x fn xn
§3－5 加权平均值及其精度评定 一、不等精度观测及观测值的权
• 如果对某个未知量进行n次同精度观测，则其 最或然值即为n次观测量的算术平均值：
l l l l X 1( )1 n
n1 2
n n i1 i
在相同条件下对某段长度进行两组丈量：
• 第一组：
l l l 1, 2, 4
xi
3）写出函数中误差与观测值中误差之间的关系式：
m 2z x f1 2m 2 1 x f2 2m 22 x fn 2m 2n
观测值函数中误差公式汇总
函数式
函数的中误差
一般函数
ZF(x1,x2, ,xn)
当z是一组观测值X1、X2…Xn代数和（差）的函数时，即
zx1x2xn
可以得出函数Z的中误差平方为
m z 2m x 2 1m x 22m x 2n
式中mxi是观测值xi的中误差。 结论：n个观测值代数和（差）的中误差平方，等于n个观测值 中误差平方之和。
当诸观测值xi为同精度观测值时，设其中误差为m，即
结论：量距的中误差与丈量段数n的平方根成正比。
例2：如以 30m长的钢尺丈量 90m的距离，当每尺段量距的 中误差为±5mm时，全长的中误差为：
m905 38.7mm
当使用量距的钢尺长度相等，每尺段的量距中误差都为 mL，则每公里长度的量距中误差mKm也是相等的。当对长 度为S公里的距离丈量时，全长的真误差将是S个一公里丈 量真误差的代数和，于是S公里的中误差为：
l

其中： (20626) 5
高差中误差：
m h 1 2K si2 n 2m l2(Kclo 2s )2 m 2
误差传播定律的应用
例3:(1)用钢尺丈量某正方形一条边长为 l ml 求该正方形的周长S和面积A的中误差.
二一般函数的中误差整理课件18观测值函数中误差公式汇总函数式函数的中误差一般函数倍数函数和差函数线性函数算术平均值整理课件19误差传播定律的应用用dj经纬仪观测三角形内角时每个内角观测4个测回取平均可使得三角形闭合差m15180解
§3-4 误差传播定律
在实际工作中有许多未知量不能直接观测而求其值， 需要由观测值间接计算出来。例如某未知点B的高程HB， 是由起始点A的高程HA加上从A点到B点间进行了若干站水 准测量而得来的观测高差h1……hn求和得出的。
设x、y和z的真误差分别为△x、△y和△z则 z x y
若对x、y 均观测了n次，则
z i x i yi ( i 1 ,2 n )
将上式平方，得
2 z i 2 x i 2 y i2 x i yi ( i 1 ,2 n )
求和，并除以n，得 2z 2x 2y 2 x y nnn n
mx1=mx2=mxn=m则为 mz m n
在同精度观测Байду номын сангаас，观测值代数和（差）的中误差，与观 测值个数n的平方根成正比。
例1：设用长为L的卷尺量距，共丈量了n个尺段，已知每尺 段量距的中误差都为m，求全长S的中误差ms。
解：因为全长S=L＋L＋……＋L（式中共有n个L）。而L 的中误差为m。
mS m n
Al2
全微分: dA2ldl
面积的中误差为 mA 2lml
（2）
S=l1l2l3l4
ms2 ml12 ml2 2 ml3 2 ml4 2 ms2 4m2 ms 2m
A l1 l2
m
2 A

l2 m 12

l1 m 2 2
m A2 2m 2
m A 2m
m Zk1 2m 1 2k2 2m 2 2 kn 2m n 2
算术平均值
xn l1 nl11 nl2 1 nln mX

m n
误差传播定律的应用
例1：要求三角形最大闭合差m15，问用DJ6 经纬仪观测三角形每个内角时须用几个测回？
解：由题意：2m= 15,则 m= 7.5
例4 在1：500比例尺地形图上，量得A、 B两点间的距离 SAB=23.4mm，其中误差msab=土0.2mm，求A、B间的实 地距离SAB及其中误差msAB。
解：
SAB=500 × Sab=500 × 23.4=11700mm=11.7m
得 msAB＝500 ×mSab＝500× （士0.2） =土100mm＝ ± 0.1m
水平距离中误差：
2
m D(Kco 2s)2m l2(Ksli2 n)2 m
误差传播定律的应用
例2：试用中误差传播定律分析视距测量的精度。
解: (2)测量高差的精度基本公式：
h 1 Klsin2
求全微分：
2
d D D d l D d K c2 o d s ( l2 K si lc n o )ds
mhAB nm站
结论：水准测量高差的中误差，与测站数n的平方根成正比
2、倍数函数
设有函数： z kx
Z为观测值的函数，K为常数，X为观测值，已知其中误差 为mx，求Z的中误差mZ。
设x和z的真误差分别为△x和△z则 z kx
若对x 共观测了n次，则 z i k xi (i 1 ,2 n )
倍数函数
m Z x F 12m 1 2 x F 22m 2 2 x F n2m n 2
ZKx m ZK 2m x 2Kxm
和差函数
Zx1x2 xn mZ m n
线性函数
Z k 1 x 1 k 2 x 2 k n x n
2

mz 44mm
二、一般函数的中误差 求观测值函数的精度时，可归纳为如下三步：
1）按问题的要求写出函数式： zfx 1 ,x 2x n
2）对函数式全微分，得出函数的真误差与观测值 真误差之间的关系式： z x f1 x1 x f2 x2 x fn xn 式中， f 是用观测值代入求得的值。
这时未知点B的高程H。是各独立观测值的函数。那么 如何根据观测值的中误差去求观测值函数的中误差呢？阐 述观测值中误差与观测值函数中误差之间关系的定律，称
为误差传播定律。
一、观测值的函数
1、和差函数
设有函数： zxy
Z为x、y的和或差的函数，x、y为独立观测值，已知其中误差为 mx、my，求Z的中误差mZ。
观测量的中误差分别为， m 1 3 m ,m 2 m 2 m ,m 3 m 6 mm
求Z的中误差
m z 1 4 4 3 2 1 9 42 2 1 1 46 2 1.6mm
4、一般函数 zfx 1 ,x 2x n
将满足上式的误差Δx、Δy称为互相独立的误差，简称独立 误差，相应的观测值称为独立观测值。对于独立观测值来说，
即使n是有限量，由于 limxy 0 式残存的值不大，一般就
忽视它的影响。根据中误n差定义n，得
mz2 mx2 my2
两观测值代数和的中误差平方，等于两观测值中误差的平方 之和。