模拟测头导向机构动力学特性研究

模拟测头导向机构动力学特性研究

强怀博;吴琼

【摘要】模拟测头导向机构的特性对测头导向精度具有较大的影响,在考虑导向簧片非线性、大变形特点的基础上,提出一种测头导向机构动力学建模新方法.根据Bernoulli-Euler方程,结合伪刚体模型,求得系统的动力学方程.建立模拟测头导向机构固有频率与导向簧片几何参数之间的关系,通过实例分析验证该方法的有效性,为平行簧片导向机构的设计提供理论依据.

【期刊名称】《西安工业大学学报》

【年(卷),期】2010(030)002

【总页数】4页(P130-133)

【关键词】动力学建模;导向精度;伪刚体;导向簧片;固有频率

【作者】强怀博;吴琼

【作者单位】西安工业大学,机电工程学院,西安,710032;西安建筑科技大学,机电工程学院,西安,710055

【正文语种】中文

【中图分类】TP216

模拟测头导向机构的作用是将测针位移分解为沿着某一坐标轴向的位移,使得传感单元能够检测和识别.导向机构不仅确保测头可靠地承受外载荷,而且是测头能否精确测量的关键,是影响测头性能的最主要因素.

平行簧片导向机构的优点是无机械摩擦、不需润滑、不产生热量和噪声、运动灵敏度较高.线性范围可达微米级,分辨率可达亚微米级.此外,在测量过程中测量结果不会受测杆长度的变化而改变[1],故此导向机构在精密测量领域得到广泛关注.

在平行簧片导向机构中,导向簧片在大变形情况下呈非线性特性,使得其建模较为复杂,难于精确求解[2].且目前对于此机构的研究多数是以运动轨迹和精度分析为主,随着测量精度和效率要求的不断提高,对测头导向机构的动态性能也就提出了较高的要求.它要求机构不仅具有一定的精度,而且更重要的是具有良好的动态性能.基于柔顺体的伪刚体模型[3-6],本文充分考虑平行簧片机构的变形特征,推导平行簧片动能和势能表达式,进而建立平行簧片机构的动力学方程,在此基础上进行频率特性分析,最后通过实例验证该模型的可行性.

1 簧片机构伪刚体模型

柔顺机构的伪刚体模型是研究测头导向机构力学特性的前提和基础,而建立测头导向机械力学模型的关键是确定导向机构动能和势能表达式[7-11].

为了简化导向簧片的变形曲线,取测量过程中的某工作簧片作为研究对象,采用伪刚体模型进行数学模型分析,如图1所示.图1(a)为一段固定、另一端承受纵向载荷时的簧片变形情况,图1(b)为在此载荷作用下的簧片等效伪刚体模型.且有假设：在纵向载荷F的作用下,其等效前后末端点N的位置和姿态相同.

图1 导向簧片受力变形的伪刚体模型Fig.1 Pseudo rigid body model of guide spring deformation

对于簧片机构,应用 Bernoulli-Euler方程得到作用力与挠度的关系：

为了求解方便,在小变形的情况下,可将式(1)做线性化处理,因为在测头平行簧片导向机构中,其挠度曲线y=f(x)较平坦,使得du/dx较小,故2可忽略不计,于是有

式中：l为导向簧片的全长;x为作用点距固定点的距离.

对于图1中导向簧片的固定端O处,易知其位姿为

则在N(x,y)端点处,其位姿为

由簧片机构的伪刚体模型可知,端点N的位姿为：

式中：r为伪刚体杆的长度;φ为末端点A处的等效转角;cθ为转角系数.

联立式(3)、式(4),得到簧片上任意一点P(x,y)的位姿为

簧片上任意一点P(x,y)对时间求导,即得该点的速度.根据所求得任一点P的速度,对整个簧片动能积分,即得到簧片的动能：

其中m为单位长度的质量.联立式(3)、式(4),解得单个簧片的动能为

设簧片的刚度系数为k,不考虑系统的重力势能,则其在载荷作用下的弹性势能为

2 导向机构的动力学模型

平行簧片导向机构的工作原理如图2所示,通过位于导向杆上下端的两组簧片相连,并以此实现平动杆的导向运动.由上述知,可将其等效为伪刚体模型,其运动特性及效果相同,如图中虚线所示.

图2 平行簧片导向机构的伪刚体模型Fig.2 Pseudo rigid body model of parallel springs mechanism

在平行簧片导向机构中,设各簧片的动能相同,由式(7)可得到导向机构总的动能为

式中：M1为平动杆的质量;J为导向杆的转动惯量.为方便研究,假定各个簧片的刚度系数均为k,则其导向机构总的势能为

其中M2为导向杆的质量.

则系统的Lagrange函数为

可得平行簧片导向机构的动力学方程为

3 导向机构的频率特性分析

导向机构的固有频率是评价测头动态性能的重要指标.其对于系统动力性能优化、实施控制和机构优化设计都有着重要的意义[3].下面就基于上述的伪刚体模型研究平行簧片导向机构固有频率.

不考虑阻尼因素的影响,若设导向簧片的截面为长方形,材料密度为ρ,厚度为h,截面宽度为b,等效工作长度r,则由上述动力学方程可得平行簧片导向机构的固有频率为

从式(13)可以看出,测头导向机构的固有频率与簧片的导向特性及平动杆的结构性能之间存在一定的关系,而与导向杆的结构性能无关.由测头设计工作可知,导向机构的总体质量及测量行程决定了平动杆的结构和质量,即导向机构的结构参数确定后,导向系统的固有频率ωn与簧片性能参数(k,r,h,b)密切相关.

由式(13)可知：①当导向簧片的几何参数确定后,系统的固有频率随着簧片刚度的增加而增大;②当导向簧片的材料及力学性能确定后,系统的固有频率随着簧片的几何参数((r,h,b)的增大而减小;③簧片的等效工作长度r对频率的影响较大,簧片的厚

度h和截面宽度(r,h,b)对系统频率的影响较小,且二者的影响趋势相同.

4 模型算例分析

为了验证导向簧片几何参数和系统频率特性关系,在如图3所示测头x向导向机构进行动态实验测试.导向机构的参数为：两柔顺杆的材料为铍青铜QBe2,其弹性模量为121 GPa,泊松比为0.3.

图3 导向机构动态实验测试Fig.3 Dynamic test of the Guided Mechanism

在研究分析系统的动力特性时,只考虑导向簧片的工作长度r与簧片厚度h对模拟测头导向机构的影响,其它影响因素将在后续研究中进行.利用MATLAB工具对上述测试结果进行最小二乘法拟合,如图4和图5所示.从图4中可以看出：随着参数r的同比增大,导向系统固有频率呈减小的趋势,且其对系统频率的影响较大.故在满足导向行程范围要求时,参数r不能过大.从图5中可以看出：随着参数h减小,导向系统固有频率呈非线性增大的趋势.但簧片厚度变小时,亦会影响k减小.在设计平行簧片导向机构中,要合理选用簧片厚度.这些结论和上述理论分析是吻合的.

图4 导向簧片长度对频率的影响Fig.4 The effect of frequency on guide spring length

图5 导向簧片厚度对频率的影响Fig.5 The effect of frequency on guide spring thickness

5 结论

本文对测头平行簧片导向机构的力学性能进行分析,通过伪刚体模型建立了测头导向机构的动力学方程,其模型能够反映出模拟测头导向系统的动力学特性,经过理论分析和验证,得到测头导向机构的频率特性与簧片结构参数之间的关系.这对于基于平行簧片导向机构的三维模拟测头的设计及其动力学特性研究具有一定的指导意义.