三个素数分布定理的初等证明

= e1 f k b ( xe, ) = b = e1 f ( xe, ) k + 1 = b ( xe , ) + 1 = bk + 1 （1-5） ak +1 = e1 f ( xe, )
则 bk 为 p ( xe, ) 的台阶尾数； ak +1 为 p ( xe,1) 台阶的首数。（见[1]388-391） 定义 4
z ( bk )− z ( bk −1 ) ∗ w ( xe, ) = bk −bk −1
（1-12）
-2-

定义 10 我们把构成偶数 x ( pm , x − pm = pi ) 为两个奇素数之和的素数称为 Goldbach 素数。 定义 11 为了比较第一个 X 区间的数字个数与诸 X 区间的数字个数平均值， 将正整数 x 乘 以 2，3，5，… p ( x e, ) 其数值达到
g xe, → 0 0 ≺ g xe, ≤ 0.25
g ( xe ,1) ≺ g ( xe, ) ≺ g ( xe,−1)
( )
（1-14） （1-15） （1-16）
( )
渐近线
g xe, = 0
( )
定义 13 我们把偶数 x 的 Goldbach 素数对数（或称表示法个数） D ( x ) 与 x 的比值称为 Goldbach 素数的实际分布密度，简称分布密度，用 g ∗ ( xe, ) 表示。
g ∗
( xe,) =
D( x ) x
（1-17）
2．不大于 x 的素数个数的计算公式（或称素数分布定理）
对任意 x ∈ Tn ，即 x ∈ [ an , bn ] ，恒有
-3-

hn ( x ) ≤ π n ( x ) ≤ π ( x ) ≤ π n ( x ) 。
w xe, → 0 0 ≺ w xe, ≤ 0.25
w ( xe,1) ≺ w ( xe, ) ≺ w ( xe,−1)
( )
（1-9） （1-10） （1-11）
( )
渐近线
w xe, = 0
( )
定义 9 我们把每个台阶中实际孪生素数对数与该台阶数字个数的比值称为孪生素数在该
∗ 台阶中的平均分布密度，简称分布密度，用 w ( xe, ) 表示。显然第 k 个台阶的分布密度为：
则
g ( xe, ) =
1 ∏ 2 p=2
p −1 p
p 2 p| x p ≤ p ( xe , )
∏
p −1 p −2
p 2 p ≤ p ( xe , )
∏
p−2 p
（1-13）
定义 12
把 xg ( xe, ) 称为 Goldbach 素 我们把 g ( xe, ) 称为 Goldbach 素数的台阶系数。
∏ p
p ≤ p ( xe , )
分成若干个个数相等的 X 区间，其数量为
p ≤ p ( xe , )
个。首先将 2，3 及其合数筛去。然后
把位于数列 {5 + 6 k } （ k ∈ N ）之中，5，7，11，13… p ( xe, ) 及其合数全部筛去，再将这些素 数和合数加 2 的那些数字也全部筛去。将 {1 + 6 k } （ k ∈ N ）之中，5，7，11，13 直到 p ( xe, ) 及其合数全部筛去，再将这些素数和合数减 2 的那些数全部筛去。这种筛法叫 ∏ p 筛法Ⅱ。 经过上述筛分后，在每个
nnmnmxxfxenxfxenmm?????n?m即不在同一台阶213x1?xfxenxfxenmn?????n?m即在同一台阶214或xxxxxnmnmnmnm?????215推论2任意相邻两个素数之间的最大距离公式设np为第n个素数ptnkkn则np与其相邻的下一个素数1np的最大距离1111111nnn?nnnfpkkpppfppeppe?????????????????????216证明
p 3
x 6
p -2 x ∏ = 2 p ≤ p ( xe , ) p
p 3
p ≤3 p ≤ p ( xe , )
∏
p −1 p -2 ∏ p p ≤ p ( xe , ) p
p 3
命
p ≤3 p ≤ p ( xe , )
∏
则
w ( xe, ) =
1 2
p −1 p −2 ∏ ∏ p p p ≤3 p 3 p ≤ p ( xe , ) p ≤ p ( xe , )
π ( bk )−π ( bk −1 )
bk −bk −1
平均分布密度，简称分布密度，用 f ∗ ( xe, ) 表示。显然第 k 个台阶的分布密度为：
f ∗
( xe, ) =
fk =
。（ π ( x ) 的定义见[2]数论导引 90）
∏
（1-7）
p 。然后将其
定义 7
将正整数 x 逐次乘以 2，3，5，..... p ( x e, ) ，其数值达到
p ≤ p ( xe , )
∏
p 。对于每个
p ≤ p ( xe , )
∏
p 区间，首先将 2,3，… p ( xe, ) 及
其合数筛去，再将以这些素数为模与 x 同余的数全部筛去，这种筛法称为 ∏ p 筛法Ⅲ。 在每个
p ≤ p ( xe , )
∏
p 区间中剩余的数字个数为 ：（同余的概念见[4]基础数论，30-47）
f xe, → 0 0 ≺ f xe, ≤ 0.5
f ( xe,1) ≺ f ( xe, ) ≺ f ( xe ,−1)
( )
（1-2） （1-3） （1-4）
p ( x ,) 。
( )
+
渐近线
f xe, = 0
( )
p ( x , ) 与 p ( xe , ) 的关系： 当 x 较小时， p ( xe, ) ≥ p ( x , ) ； 在第 7 台阶后 p ( xe, )
定义 3
将正整数集合 N 分成无限个有限数字组成的台阶，每个台阶中的数字具有同
一个台阶素数 p ( xe, ) ，把这些数字称为同一台阶的数。每一个台阶中第一个数称该台阶的首 数，用 a ( xe, ) 表示；最后一个数称该台阶的尾数，用 b ( xe, ) 表示。 Tk 表示第 k 个台阶。 台阶的划分由台阶系数 f ( xe, ) 来决定. 令
1 4
p −1 p −2
p 2 p| x p ≤ p ( x e, )
∏
p 2 p ≤ p ( x e, )
∏
( p −2 )
x个
∏ p p ≤ p ( xe , )
剩余数字的个数为
x 4
p 2 p| x p ≤ p ( x e, )
∏
p −1 p −2
p 2 p ≤ p ( xe , )
∏
( p−2)
（见[3] 数的诸 X 区间数字对数平均值。 Goldbach 素数对数 （或表示法个数） 用 D ( x ) 表示 解析数论基础） 。 显然第一个 X 区间的 Goldbach 素数以 x 2 为对称轴前后二个数字相加， 均等于偶数 x 。 g ( xe, ) 具有以下性质： （1） g ( xe, ) 是非负有界函数 （2） g ( xe, ) 是单调递减函数 （3） 当 x → ∞ 时

三个素数分布定理的初等证明
许作铭 ，罗贵文
辽宁大学数学学院，沈阳（ 110036 ）
E-mail: xzm9@
摘要：本文通过创立一种新的筛法与台阶理论，研究了素数（孪生素数、哥德巴赫素数） 分布与台阶数、台阶数字个数以及台阶系数的关系，并利用初等方法证明了素数分布定理 （不大于N的素数个数的计算公式） 、 孪生素数定理 （不大于N的孪生素数对数的计算公式） 以及Goldbach's定理（“任何大于等于6的偶数都是两个奇素数之和”表示法个数的计算公 式）。应用本计算公式，可以有效的估算素数、孪生素数和哥德巴赫素数的实际分布。 关键词：素数分布；孪生素数；Goldbach 素数；台阶系数；筛法。 中图分类号：O156.1 O156.4 数学主题分类号：11N05 11P32 文献标识码：A
（1-8）
定义 8 我们把 w ( xe , ) 称为孪生素数（或双生素数）的台阶系数。把 xw ( xe, ) 称为孪生素 数的诸 X 区间数字对数平均值。孪生素数的台阶系数 w ( xe , ) 具有以下性质： （1） w ( xe , ) 是非负有界函数 （2） w ( xe , ) 是单调递减函数 （3） 当 x → ∞ 时
≺7
15 32
成立。
≺ bn
15 32
②假设对任意 k = n x ∈ Tn 即 x ∈ [ an , bn ] n ≤ an 当 k = n + 1 x ∈ Tn +1
，关系式 n ≤ x15 32 成立。则
即 x∈ an+1 , bn+1 时 ∵ an +1 = bn +1 ∴
15 32 15 32 15 32 n ≤ an ≺ bn ≺ an +1
− +
（2-1） （2-2）
并且
π + ( x) lim =1， x→∞ π ( x )
π ( x) lim − = 1， π x→∞ ( x )
− n−1
π ( x) lim = 1。 xf x→∞ ( xe, )
其中：（1）当 1 ≤ n ≤ 50 :
n ≥ 51 : + −
π n ( x ) = ∑ bk − bk −1 fk + x − bn−1 fn − 0.5n k =1
1 ∏ p 中剩余数字对数为 6 p ≤ p ( xe , )
p ≤ p ( xe , ) p 3
∏
( p −2) 。 x 个
p ≤ p ( xe , )
∏
p区
间数字对数为 6
x
p ≤ p ( xe , ) p 3
∏
( p − 2 ) 。平均每一个 X 区间数字对数为
x 2 p −1 p -2 ∏ =xw( xe, ) p p ≤ p ( xe , ) p
1≤1
15 32
e1 f ( xe, ) + 1 = b ( xe, ) + 1 = b + 1 = a ， an ≺ bn 。 n n +1 x ∈ T1
1≤ x
15 32
对任意 因此关系式
即
x∈
[a1 , b1 ] = [1,7]
15 32
由 于 1 ≤ a115 32 ≺ b115 32 即
+
k 设集合 P={2，3，5，7，11，…}。将正整数 x ∈ N 按集合 P 的次序逐次扩大
b
2 × 3 × 5 × ... × pn 倍，然后将这些素数及合数对应的数字也筛去，这种筛法称 ∏ p 筛法Ⅰ。
根据定义 1 及定义 4，把正整数 x 逐次筛分到 p ( x , ) 时， 第一个 X 区间的数字除 1 以
-1-

外全部为素数。当继续扩大筛分到 p ( xe, ) ，这时平均每个 X 区间的数字个数为：
x
p ≤ p ( xe , )
∏
p −1 = xf ( xe, ) p
（1-6）
定义 5 定义 6
我们把 xf ( xe, ) 称为诸 X 区间数字个数的平均值。 我们把每个台阶中实际素数个数与该台阶数字个数的比称为素数在该台阶中
k≤n 。f k = ∏
p ≤ pk p −1 p
(
)
(
)
h ( x) = xf n xf ( xe, ) = n
（2-5）
证明： （1）首先证明 对任意
n≤x
15 32
x ∈ Tn 即 x ∈ an ,bn 恒有
≤
x
（2-6）
由（1-5） x ∈ Tn ： ① 当 k =1 时
1.台阶的划分与 ∏ p 筛法
定义 1 我们把小于并最接近 x 的素数称为方根素数， 用 p ( x , ) 表示。 显然 p ( x , ) ≤ x 。 p −1 定义 2 令 （1-1） ∏ f ( xe, ) =
p ≤ p ( xe, ) p
我们把 p ( xe, ) 称为台阶素数； p ( xe,−1) 为 p ( xe, ) 前面的一个素数； p ( xe,1) 为 p ( xe, ) 后面的 一个素数。称 f ( xe, ) 为素数的台阶系数，简称台阶系数。显然， f ( xe, ) 具有以下性质： （1） f ( xe, ) 是非负有界函数 （2） f ( xe, ) 是单调递减函数 （3） 当 x → ∞ 时
平均每个 X 区间剩余数字个数的平均值为
x 4
p 2 p| x p ≤ p ( xe , )
∏
p −1 p −2
p 2 p ≤ p ( xe , )
∏
p −2 p
命
xg ( xe, ) =
x 4
p 2 p| x p ≤ p ( xe , )
∏
p −1 p−2
p 2 p ≤ p ( xe , )
∏
p−2 ( x ) = ∑ bk − bk −1 fk + x − bn−1 fn − 0.25n − 12.5 k =1
n−1
(
)
(
)
（2-3） （2-4）
（2） π n ( x ) = ∑ bk − bk −1 fk + x − bn−1 fn + 0.5 k =1 （3） pn = p ( xe, ) （4）