【高中数学必修4学习课件】——人教A版3-1-2-2两角和与差的正切公式
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数学人教A必修4课件：3.1.2.2 两角和与差的正切公式
)
(2)存在 α，β∈R，使 tan(α＋β)＝tan α＋tan β 成立．( )
(3)对任意 α，β∈R，tan(α＋β)＝1t－antaαn＋αttaannββ都成立．(
)
答案：(1)× (2)√ (3)×
2．若 tan α＝3，tan β＝43，则 tan(α－β)等于(
)
A．13
B．12
23°＋tan 37°＋ 3tan 23°tan 37°. (1)tan 75°＝tan(45°＋30°)＝1t－anta4n5°4＋5°ttaann3300°°＝
1＋ 1－
3 3 3 3
＝33＋ － 33＝12＋66 3＝2＋ 3.
(2)原式＝1t＋anta6n0°6－0°ttaann1155°°＝tan(60°－15°)＝tan 45°＝1.
1_－__t_a_n_α_t_a_n__β
两角差 的正切
tan(α－β)＝ tan α－tan β
1_＋__t_a_n__α_t_a_n_β
简记β≠kπ ＋π2(k∈Z)
T(α－β)
α，β，α－β≠kπ ＋π2(k∈Z)
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)tanπ2＋π4能用公式 tan(α＋β)展开．(
则△ABC 是________三角形．(填“锐角”“钝角”或“直
角”)
tan 解析：由根与系数的关系得
tan
A＋tan A·tan
B＝53， B＝13.
5 所以 tan(A＋B)＝1－tatnanA＋A·tatnanBB＝1－3 13＝52，
在△ABC 中，tan C＝tan[π－(A＋B)]＝－tan(A＋B)＝－52＜0， 所以∠C 是钝角，所以△ABC 是钝角三角形． 答案：钝角
高中数学3.1.2.2两角和与差的正切公式课件新人教A版必修4
[规范解答]
[名师批注]
由 sin β＝ 1100，β 为锐角，
得 cos β＝31010，∴tan β＝13.(6 分) ∴tan(α＋β)＝1t－antaαn＋αttaannββ
此处在本题的解决过程中 起到桥梁过渡的作用，若 考虑不到此点，则问题很
＝1－17＋17×13 13＝12.(8 分)
[随堂即时演练] 1．计算：11－＋ttaann 7755°°＝
A． 3
B．－ 3
C．
3 3
答案：D
D．－
3 3
()
[例 3]
是否存在锐角
α
和
β，使
α＋2β＝23π①，且
α tan2
tan β＝2－ 3②，同时成立？若存在，求出 α 和 β 的值；若
不存在，请说明理由．
[解] 由①得α2＋β＝π3，
∴tanα2＋β＝1t－antα2a＋nα2ttaannββ＝ 3.
8.三角函数中的求角问题
[典例] (12 分)已知 tan α＝17，sin β＝ 1100，且 α，β 为 锐角，求 α＋2β 的值．
＝sin cos
αcos αcos
β＋cos β－sin
αsin αsin
ββ＝1t－antaαn＋αttaannββ.
化简求值问题 [例 1] (1)若 α＋β＝π3，tan α＋ 3(tan αtan β＋c)＝0(c 为常数)， 则 tan β＝________. (2)tan 23°＋tan 37°＋ 3tan 23°tan 37°的值是________． [答案] (1) 3(c＋1) (2) 3
[解题流程]
[规范解答]
∵tan α＝17<1且α为锐角，
两角和与差的正弦、余弦、正切公式 课件-高一下学期数学人教A版必修4
OA ⋅ OB=|OA||OB| cos<a,b>=cosα⋅cosβ+sinα⋅sinβ
即：cos(α−β)=cosα⋅cosβ+sinα⋅sinβ
LOGO
（2）cos(α+β)= cos(α-(-β))
=cosα⋅cos(-β)+sinα⋅sin(-β)
又因为cos(-β)=cosβ，sin(-β)=-sinβ
A B
3
3
1
,则
3
1
，则tanacot
3
-
3
4
β=
3. 1
4. 5
5.A
，则tana=
C
tan( a+β )=
D
3
4
LOGO
6.已知cosa=
3
- ，且0＜a＜π，则sina=
5
1
3
7.已知tan( a+β )= ,，tan β=-2，则tana的值为（）
1
7
A
B
1
7
C 7
A
B
1
4
C
3
4
7. C
D -7
求证：tan(A+B)=
1−tanA+tanB
证明：tan(A+B)
将B换成-B会得到什么？
tan（-a）=-tana
sin A+B
=
cos A+B
sin A cos B+cos A sin B
=
cos A cos B−sin AB
分子分母分别除以cosAcosB(cosA不等于0,cosB不等于0)得：
11.在三角形ABC中，已知cosA=
高中数学必修四人教A版 课件《3-1两角和与差的正弦、余弦和正切公式-3》
π
π
2tan
= 2tan 6 = 2 × =
sin
2π 2π cos 5 5 π 2sin 5
1
π
1
3 3
=
3 6
.
sin
=
= .
-11-
探究一
探究二
探究三
思维辨析
-12-
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练1 求下列各式的值:
(1)cos4 -sin4 ;
8 8
π
π
(2)
tan75 °
1-ta n 2 75° π 7
π π 2 4 cos cos π cos π 7 7 7 7 π 8sin 7 4π 7
4sin π cos π cos
2 7 π 8sin 7
=
2sin π cos π 8sin
π 7
4 7
4 7
sin π 8sin
π 7
8 7
=
-sin 8sin
π 7 π 7
=- .
8
-14-
1
探究一
探究二
-9-
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一给角求值 【例1】 求下列各式的值:
(1)sin cos ;
8 8
π
π
(2)1-2sin2 ;
12
5π
(3)
π 12 π 1-ta n 2 12
tan
;
2π 5
(4)cos cos .
5
π
Байду номын сангаас-10-
探究一
探究二
探究三
思维辨析
分析:(1)(2)(3)直接利用公式或逆用公式求值.(4)由 倍角关系,从而可构造用二倍角的正弦公式求解.
人教A版高中数学必修四课件第三章3.1.2两角和与差的正弦余弦正切公式(一)
S(α＋β)：sin(α＋β)＝ sin αcos β＋cos αsin β
.
S(α－β)：sin(α－β)＝ sin αcos β－cos αsin β
.
前置学习
3．两角互余或互补 π
(1)若 α＋β＝ 2 ，其 α、β 为任意角，我们就称 α、β 互余．例 如：π4－α 与 π4＋α 互余，π6＋α 与 π3－α 互余．
解 ∵α∈0，2π，β∈－2π，0，∴α－β∈(0，π)． ∵cos(α－β)＝35，∴sin(α－β)＝45.
∵β∈－π2，0，sin β＝－102，∴cos β＝7102.
∴sin α＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β
＝45×7102＋35×－ 102＝
解析
f(x)＝212sin
x－
3 2 cos
x＝2sinx－3π.
∴f(x)∈[－2,2]．
前置学习
4．已知锐角
α、β
满足
sin
α＝2 5 5，cos
β＝
1100，则
3π α＋β＝__4___.
解析 ∵α，β 为锐角，sin α＝255，cos β＝ 1100，
∴cos α＝ 55，sin β＝31010. cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β
B．－2 5 5
C．
5 5
D．－
5 5
解析 sin C＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)
＝sin Acos B＋cos Asin B
＝
2 2 (cos
B＋
1－cos2B)
＝
22×
1100＋3
10 10
＝2
高中数学人教A必修4课件：3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式
题型一
题型二
题型三
题型三
M 目标导航
HISHI SHULI
Z 重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D典例透析
IANLI TOUXI
题型四
利用角的变换求值
【例 3】 已知 cos(α+β)=
π
2π,
2
Z 知识梳理
UBIAODAOHANG
4
, cos(
5
− ) =
4 3π
− ,
5 2
< + <
< − < π, 求 cos 2的值.
-13-
3.1.2 两角和与差的
正弦、余弦、正切公式
题型一
题型二
题型三
M 目标导航
UBIAODAOHANG
HISHI SHULI
Z 重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D典例透析
IANLI TOUXI
题型四
1
3
π
2
,
2
3
2.
解:∵cos α= , ∈ 0,
∴sin α=
Z 知识梳理
1-cos2
IANLI TOUXI
题型四
4 3π
,
5 2
∴sin(α+β)=− 1-
< + < 2π,
4 2
5
=
3
− .
5
4 π
∵cos(α-β)=− 5 , 2 < − < π,
∴sin(α-β)= 1-
4 2
5
3
5
= .
∴cos 2α=cos[(α+β)+(α-β)]
题型二
题型三
题型三
M 目标导航
HISHI SHULI
Z 重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D典例透析
IANLI TOUXI
题型四
利用角的变换求值
【例 3】 已知 cos(α+β)=
π
2π,
2
Z 知识梳理
UBIAODAOHANG
4
, cos(
5
− ) =
4 3π
− ,
5 2
< + <
< − < π, 求 cos 2的值.
-13-
3.1.2 两角和与差的
正弦、余弦、正切公式
题型一
题型二
题型三
M 目标导航
UBIAODAOHANG
HISHI SHULI
Z 重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D典例透析
IANLI TOUXI
题型四
1
3
π
2
,
2
3
2.
解:∵cos α= , ∈ 0,
∴sin α=
Z 知识梳理
1-cos2
IANLI TOUXI
题型四
4 3π
,
5 2
∴sin(α+β)=− 1-
< + < 2π,
4 2
5
=
3
− .
5
4 π
∵cos(α-β)=− 5 , 2 < − < π,
∴sin(α-β)= 1-
4 2
5
3
5
= .
∴cos 2α=cos[(α+β)+(α-β)]
人教A版高中数学必修四课件：第三章 3.1.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式 (共43张PPT)
你想过普通的生活，就会遇到普通的挫折。你想过最好的生活，就一定会遇上最强的伤害。这个世界很公平，想要最好，就一定会给你最痛 。 人若有志，万事可为。 每个人身上都有惰性和消极情绪，成功的人都是懂得管理自己的情绪和克服自己的惰性，并像太阳一样照亮身边的人，激励身边的人。
成功是一种观念，成功是一种思想，成功是一种习惯，成功是一种心态。 为你制造一些困难和障碍的人未必是你的敌人，把你从困境里拉出来的人未必是你的朋友。不要用眼前的利益得失看人，要看长远，所谓路 遥知马力，日久见人心！ 最可怕的敌人，就是没有坚强的信念。——罗曼·罗兰 要铭记在心：每天都是一年中最美好的日子。 只要我还有梦，就会看到彩虹! 读书给人以快、给人以光彩、给人以才干。 理想的路总是为有信心的人预备着。 不管做什么都不要急于回报，因为播种和收获不在同一个季节，中间隔着的一段时间，我们叫它为坚持。 再好的种子，不播种下去，也结不出丰硕的果实。 人，最大的敌人是自己。 没有爱不会死，不过有了爱会活过来。 明天的希望会让我们忘了今天的痛苦。 不是某人使你烦恼，而是你拿某人的言行来烦恼自己。 在茫茫沙漠，唯有前时进的脚步才是希望的象征。 眼要看远，脚要近迈。 战士的意志要象礁石一样坚定，战士的性格要象和风一样温柔。
成功是一种观念，成功是一种思想，成功是一种习惯，成功是一种心态。 为你制造一些困难和障碍的人未必是你的敌人，把你从困境里拉出来的人未必是你的朋友。不要用眼前的利益得失看人，要看长远，所谓路 遥知马力，日久见人心！ 最可怕的敌人，就是没有坚强的信念。——罗曼·罗兰 要铭记在心：每天都是一年中最美好的日子。 只要我还有梦，就会看到彩虹! 读书给人以快、给人以光彩、给人以才干。 理想的路总是为有信心的人预备着。 不管做什么都不要急于回报，因为播种和收获不在同一个季节，中间隔着的一段时间，我们叫它为坚持。 再好的种子，不播种下去，也结不出丰硕的果实。 人，最大的敌人是自己。 没有爱不会死，不过有了爱会活过来。 明天的希望会让我们忘了今天的痛苦。 不是某人使你烦恼，而是你拿某人的言行来烦恼自己。 在茫茫沙漠，唯有前时进的脚步才是希望的象征。 眼要看远，脚要近迈。 战士的意志要象礁石一样坚定，战士的性格要象和风一样温柔。
高中数学人教A版必修4课件：3.1.2《两角和与差的正弦、余弦、正切公式》(第2课时)
3.1.3
二倍角的正弦、余弦、 正切公式
3.1.3两角和与差的正弦、 余弦、正切公式
3.1.3
二倍角的正弦、余弦、 正切公式
本节课利用两角和与差的正、余弦公式进行简单的三角 函数的求值、化简、计算等体会三角恒等变换特点的过程，
理解推导过程，掌握其应用.并重点学习如何用辅助角公式研
究形如f(x) ＝asinx＋bcosx的性质．注意辅助角的求取要点 和准确性.在解题时首先要学会观察，看题目当中所给的式子 与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式中哪个象限.
3.1.3
二倍角的正弦、余弦、 正切公式
运用两角和与差的正、余弦公式化简、求值要注意灵活进行 三角函数名称以及角的变换，善于构造符合某一公式的特征 结构后，再运用公式化简、求值．如果题目中存在互余角， 要善于发现和利用． π π π π 例如，化简：sin4－3xcos3－3x－cos6＋3x· sin4＋3x. π π π π 解 原式＝sin4－3xcos3－3x－sin3－3x· cos4－3x π π ＝sin4－3x－3－3x π π ＝sin4－3 π π π π ＝sin 4cos 3－cos 4sin 3 2－ 6 2 1 2 3 ＝ 2 ×2－ 2 × 2 ＝ 4 .
(2)sin(54° －x)cos(36° ＋x)＋cos(54° －x)sin(36° ＋x)；
解
(1)原式＝sin 14° cos 16° ＋sin(90° －14° )· cos(90° －16° )
＝sin 14° cos 16° ＋cos 14° sin 16° 1 ＝sin(14° ＋16° )＝sin 30° ＝2.
二倍角的正弦、余弦、 正切公式
3.1.3两角和与差的正弦、 余弦、正切公式
3.1.3
二倍角的正弦、余弦、 正切公式
本节课利用两角和与差的正、余弦公式进行简单的三角 函数的求值、化简、计算等体会三角恒等变换特点的过程，
理解推导过程，掌握其应用.并重点学习如何用辅助角公式研
究形如f(x) ＝asinx＋bcosx的性质．注意辅助角的求取要点 和准确性.在解题时首先要学会观察，看题目当中所给的式子 与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式中哪个象限.
3.1.3
二倍角的正弦、余弦、 正切公式
运用两角和与差的正、余弦公式化简、求值要注意灵活进行 三角函数名称以及角的变换，善于构造符合某一公式的特征 结构后，再运用公式化简、求值．如果题目中存在互余角， 要善于发现和利用． π π π π 例如，化简：sin4－3xcos3－3x－cos6＋3x· sin4＋3x. π π π π 解 原式＝sin4－3xcos3－3x－sin3－3x· cos4－3x π π ＝sin4－3x－3－3x π π ＝sin4－3 π π π π ＝sin 4cos 3－cos 4sin 3 2－ 6 2 1 2 3 ＝ 2 ×2－ 2 × 2 ＝ 4 .
(2)sin(54° －x)cos(36° ＋x)＋cos(54° －x)sin(36° ＋x)；
解
(1)原式＝sin 14° cos 16° ＋sin(90° －14° )· cos(90° －16° )
＝sin 14° cos 16° ＋cos 14° sin 16° 1 ＝sin(14° ＋16° )＝sin 30° ＝2.
高一数学人教A版必修4课件：3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)
第三章 三角恒等变换§3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)明目标知重点填要点记疑点探要点究所然内容索引010203当堂测查疑缺 04明目标、知重点1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式.2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明.3.熟悉两角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活应用.填要点·记疑点1.两角和与差的正切公式(1)T(α＋β)：tan(α＋β)＝2.两角和与差的正切公式的变形(1)T (α＋β)的变形：tan α＋tan β＝ .tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)＝ tan(α＋β)(1－tan αtan β)tan(α＋β)(2)T(α－β)的变形：tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)tan(α－β)探要点·究所然情境导学某城市的电视发射塔建在市郊的一座小山的山顶C处.小山的高BC 约为30米，在地平面上有一点A，测得A、C两点间距离约为67米，从点A处观测电视发射塔的视角(∠CAD)约为45°.求这座电视发射塔的高度.解 设电视发射塔的高CD＝x，∠CAB＝α，在Rt△ABD中，探究点一 两角和与差的正切公式的推导当cos αcos β≠0时，分子分母同除以cos αcos β，得根据α，β的任意性，在上面式子中，以－β代替β得探究点二 两角和与差的正切公式的变形公式思考 两角和与差的正切公式变形形式较多，例如：tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)，这些变形公式在解决某些问题时是十分方便的.请利用两角和与差的正切公式或变形公式完成以下练习.练习：直接写出下列式子的结果：1(2)tan 75°＝；例1 求下列各式的值：(2)tan 15°＋tan 30°＋tan 15°tan 30°.∴tan 15°＋tan 30°＝1－tan 15°tan 30°∴原式＝(1－tan 15°tan 30°)＋tan 15°tan 30°＝1.反思与感悟 公式T (α＋β)，T (α－β)是变形较多的两个公式，公式中有tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者知二可表示出第三个.跟踪训练1 求下列各式的值：例2 若α，β均为钝角，且(1－tan α)(1－tan β)＝2，求α＋β的值.解 ∵(1－tan α)(1－tan β)＝2，∴1－(tan α＋tan β)＋tan αtan β＝2，∴tan α＋tan β＝tan αtan β－1，反思与感悟 此类题是给值求角题，解题步骤如下：①求所求角的某一个三角函数值，②确定所求角的范围.此类题常犯的错误是对角的范围不加讨论，范围讨论的程度过大或过小，会使求出的角不合题意或者漏解.∴△ABC为等腰钝角三角形.反思与感悟 三角形中的问题，A＋B＋C＝π肯定要用，有时与诱导公式结合，有时利用它寻找角之间的关系减少角.跟踪训练3 已知A、B、C为锐角三角形ABC的内角.求证：tan A ＋tan B＋tan C＝tan A tan B tan C.证明 ∵A＋B＋C＝π，∴A＋B＝π－C.∴tan A＋tan B＝－tan C＋tan A tan B tan C.即tan A＋tan B＋tan C＝tan A tan B tan C.4当堂测·查疑缺 123BB2.已知A＋B＝45°，则(1＋tan A)(1＋tan B)的值为( )A.1B.2C.－2D.不确定解析 (1＋tan A)·(1＋tan B)＝1＋(tan A＋tan B)＋tan A tan B＝1＋tan(A＋B)(1－tan A tan B)＋tan A tan B＝1＋1－tan A tan B＋tan A tan B＝2.呈重点、现规律(3)符号变化规律可简记为“分子同，分母反”.2.公式T(α±β)的逆用一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换.3.公式T(α±β)的变形应用只要见到tan α±tan β，tan αtan β时，要有灵活应用公式T(α±β)的意识，就不难想到解题思路.。
人教版高一数学(人教A版)必修4课件：3-1-2-2 两角和与差的正切
∴1t－antAa＋nAt·atannBB＝－
3 3
∴tan(A＋B)＝－
3 3 (2)
又∵A、B、C为△ABC的内角，
∴B＋C＝60°，A＋B＝150°.∴A＝120°，B＝C＝30°.
∴△ABC为顶角为钝角的等腰三角形．
第三章 3.1 3.1.2 第2课时
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修4
成才之路·数学
人教A版 ·必修4
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修4
第三章
三角恒等变换
第三章 三角恒等变换
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修4
第三章
3. 1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
第三章 三角恒等变换
＝－171.
tan(x－y)＝1t＋anxta－nxttaannyy＝1＋14－＋33×14＝13.
第三章 3.1 3.1.2 第2课时
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修4
tan(α－β)＝12，tanβ＝13，则tanα＝( )
A．1
1 B.7
1
5
C.5
D.7
[答案] A
[答案] B
第三章 3.1 3.1.2 第2课时
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修4
[解析] ∵1t－an1ta0n°1＋0°ttaann2200°°＝tan30°＝ 33， ∴tan10°＋tan20°＝ 33(1－tan10°tan20°)． ∴原式＝tan10°tan20°＋1－tan10°tan20°＝1.
3．两角和与差的三角函数公式间的关系
高中数学人教A版必修4课件：3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)
tan32°= ( )
A. 3 m C. 3 (m-1)
B. 3 (1-m) D. 3 (m+1)
【解析】选B.因为28°+32°=60°, 所以tan60°=tan(28°+32°)= tan28＋ tan32＝3，
1tan 28tan 32
因为tan28°·tan32°=m,
所以tan28°+tan32°= 3(1-m).
所以A+B= .
4
【补偿训练】已知tanα ,tanβ 是方程x2+3 3 x+4=0 的两根,且α ,β ∈ ( , ), 则α +β =________.
22
【解析】因为tanα,tanβ是方程x2+3 3x+4=0的两根,
所以
tantan3
30,
tantan40.
3
3
答案: 1
3
【方法技巧】公式T(α ±β )的逆用及变形应用的解题策
略
(1)“1”的代换:在T(α ±β )中,如果分子中出现“1” 常利用1=tan 来代换,以达到化简求值的目的,
4
如 1 1 － ＋ t ta a n n ＝ ta n ( 4 ) ； 3 1 t－ a n t a ＋ n 3 ＝ 3 ta n ( ＋ 4 ） .
【解析】1.选C.由cosα=- 4 且α∈ ( 得 , t a) , nα=
3,
5
所以
tan(
) 4
Байду номын сангаас
3 1 1(43)1
1. 7
2
4
4
2.选B.因为cosB=3 1 0 ,
高中数学人教A版必修4课件：3.1.2《两角和与差的正弦、余弦、正切公式》(第1课时)
sin cos[
( )] cos[(
) ]
sin cos cos sin
sin( ) sin cos cos sin
上述公式就是两角和的正弦公式，记作 。
S ( )
那
sin(－ ) ?
3 解：∵sinα＝5，90° <α<180° ， 4 sinα 3 ∴cosα＝－ 1－sin2α＝－5，tanα＝cosα＝－4. 12 又 cosβ＝13，270° <β<360° ， 5 sinβ 5 ∴sinβ＝－ 1－cos β＝－13，tanβ＝cosβ＝－12.
cos(α+β) = cosαcosβ－ sinαsinβ 上述公式就是两角和的余弦公式，记作 。
c( )
cos 75 cos(30 45 )
cos30 cos 45 sin 30 sin 45
思考：如何求
6 2 4
sin( ).
2 2 cos cos sin sin 2 2
1. 掌握由两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦公式．
2．会用两角和与差的正、余弦公式进行简单的三角函数的求值、
化简、计算等．
-β) = cosαcosβ+ sinαsinβ cos( cos(α ) cos cos sin sin .
上述公式就是两角差的余弦公式，记作 在差角的余弦公式中， 时要注意角的变换，如 式形式的选择. 已经学了两角和与两角差的正弦、余弦公式，今天继续推导两角 。
上述公式就是两角差的正弦公式，记作 。
S ( )
高中数学必修四课件3-1-2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)课件
提示 由两角和的正弦公式知结论正确.
3.存在角α，β，使sin(α－β)≠sin αcos β－cos αsin β.( × )
提示 由两角差的正弦公式知不存在角α，β，使sin(α－β)≠sin αcos β－cos αsin β.
4.存在角α，β，使sin(α＋β)＝sin αcos β－cos αsin β.( √ )
第三章 §3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
学习目标
XUEXIMUBIAO
1.掌握两角和的余弦公式及两角和与差的正弦公式. 2.会用两角和与差的正弦、余弦公式进行简单的三角函数的化简、求值、计 算等. 3.熟悉两角和与差的正弦、余弦公式的灵活运用，了解公式的正用、逆用以 及角的变换的常用方法.
内容索引
NEIRONGSUOYIN
自主学习 题型探究 达标检测
1 自主学习
PART ONE
知识点一 两角和的余弦公式
公式 简记符号 使用条件
cos(α＋β)＝_c_o_s_α_c_o_s_β_－__s_i_n_α_s_in__β_ _C__(α_＋_β_)
α，β都是_任__意__角__
记忆口决：“余余正正，符号相反”.
.
解析 因为 cos α＝－153，sin α＝1123，
所以 cosα＋π6＝cos αcos
π6－s12＝－5
3＋12 26 .
题型二 给值求值
例 2 已知 sin34π＋α＝153，cosπ4－β＝35，且 0<α<π4<β<34π，求 cos(α＋β).
两角和与差的正弦公式应用
典例 ＝
定义运算ca π
3.
db＝ad－bc.若
提示 如α＝β＝0时，sin(α＋β)＝0，sin αcos β－cos αsin β＝0.
3.存在角α，β，使sin(α－β)≠sin αcos β－cos αsin β.( × )
提示 由两角差的正弦公式知不存在角α，β，使sin(α－β)≠sin αcos β－cos αsin β.
4.存在角α，β，使sin(α＋β)＝sin αcos β－cos αsin β.( √ )
第三章 §3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
学习目标
XUEXIMUBIAO
1.掌握两角和的余弦公式及两角和与差的正弦公式. 2.会用两角和与差的正弦、余弦公式进行简单的三角函数的化简、求值、计 算等. 3.熟悉两角和与差的正弦、余弦公式的灵活运用，了解公式的正用、逆用以 及角的变换的常用方法.
内容索引
NEIRONGSUOYIN
自主学习 题型探究 达标检测
1 自主学习
PART ONE
知识点一 两角和的余弦公式
公式 简记符号 使用条件
cos(α＋β)＝_c_o_s_α_c_o_s_β_－__s_i_n_α_s_in__β_ _C__(α_＋_β_)
α，β都是_任__意__角__
记忆口决：“余余正正，符号相反”.
.
解析 因为 cos α＝－153，sin α＝1123，
所以 cosα＋π6＝cos αcos
π6－s12＝－5
3＋12 26 .
题型二 给值求值
例 2 已知 sin34π＋α＝153，cosπ4－β＝35，且 0<α<π4<β<34π，求 cos(α＋β).
两角和与差的正弦公式应用
典例 ＝
定义运算ca π
3.
db＝ad－bc.若
提示 如α＝β＝0时，sin(α＋β)＝0，sin αcos β－cos αsin β＝0.
人教A版高中数学必修四课件：3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)2
1 ， 2 1 3 sin cos sin cos
【解题探究】1.题(1)中，据已知条件要求α+β需要计算该角的什么三角函 数值？ 2.题(2)中，已知角与所求角有什么关系？ 【探究提示】1.要求α+β需要计算该角的正切值，即计算tan(α+β). 2.β－2α＝(β－α)－α.
【自主解答】 (1)因为tan α= 所以tan(α+β)=
tan β=
，
1 1 tan tan 因为α,β均为锐角，所以α+β∈0,π，所以α+β= 2 3 1. . 1 1 1 －tan tan 1 － 答案： 2 3
4
1 ， 2
1 3
4
(2)由条件知 sin cos tan 1 ＝ ＝3， 则tan α＝2. sin2 cos tan 1 2， 因为tan(α－β)＝ ，所以tan(β－α)＝－ 故tan(β－2α)＝tan［(β－α)－α］
2
tan tan 3 1 4 tan( ) －2. 1 4 1 －3 1 －tan tan 4
tan 4 41tan 19
3
【要点探究】 知识点 两角和与差的正切公式 1.公式T(α±β)的结构特征和符号规律 (1)结构特征：公式T(α±β)的右侧为分式形式，其中分子为tanα与tanβ的和或差， 分母为1与tanαtanβ的差或和.
答案：
2 2 4 ＝ ＝ ＝ . 1 tan tan 1 2 2 3 4 3
tan tan
【延伸探究】题(2)条件下，求tan β. 【解析】tan β=tan［α-(α-β)］
【高中数学必修4学习课件】——人教A版3-1-2-2两角和与差的正切公式
答案：B
提高篇03
自我超越
——易错警示系列—— 忽视公式的成立条件致使过程出错 【例】 已知 tanα， tanβ 是方程 x2＋px＋q＝0 的两个根， 求 sin2(α＋β)＋psin(α＋β)cos(α＋β)＋qcos2(α＋β)的值．
【错解】
tanα＋tanβ＝－p， ∵ tanαtanβ＝q，
π π ∴α∈0，2，β∈2，π，∴α－β∈(－π，0)．
1 又∵tan(α－β)＝2>0，
π ∴α－β∈－π，－2，2α－β＝α＋(α－β)∈(－π，0)．
3 而tan(2α－β)＝1，∴2α－β＝－4π.
通法提炼 1关于求值问题，利用角的代换，将所求角转化为已 知角的和与差，再根据公式求解. 2关于求角问题，先确定该角的某个三角函数值，再 根据角的取值范围确定该角的大小.
通法提炼
3－tan105° (1) 等于( 1＋ 3tan105° A．－1 C．－ 3
) B．1 3 D．－ 3
π (2)若α＋β＝ 3 ，tanα＋ 3 (tanαtanβ＋c)＝0(c为常数)， 则tanβ＝________.
3－tan105° tan60° －tan105° 解析：(1) ＝ ＝tan(－45° ) tan105° 1＋ 3tan105° 1＋tan60° ＝－1. tanα＋tanβ π (2)∵α＋β＝3，∴tan(α＋β)＝ ＝ 3， 1－tanαtanβ ∴tanα＋tanβ＋ 3tanαtanβ＝ 3， ∴tanα＋ 3tanαtanβ＋ 3c ＝ 3－tanβ＋ 3c＝0， ∴tanβ＝ 3(c＋1)．
【正解】
∵tanα＋tanβ＝－p，tanα· tanβ＝q，
π ∴当 α＋β＝kπ＋2(k∈Z)时， tanα· tanβ＝1， sin(α＋β)＝1， cos(α＋β)＝0 或 sin(α＋β)＝－1，cos(α＋β)＝0. ∴原式＝1＝q. π 当 α＋β≠kπ＋ (k∈Z)时， 2 tanα＋tanβ －p tan(α＋β)＝ ＝ . 1－tanα· tanβ 1－q ∴原式
提高篇03
自我超越
——易错警示系列—— 忽视公式的成立条件致使过程出错 【例】 已知 tanα， tanβ 是方程 x2＋px＋q＝0 的两个根， 求 sin2(α＋β)＋psin(α＋β)cos(α＋β)＋qcos2(α＋β)的值．
【错解】
tanα＋tanβ＝－p， ∵ tanαtanβ＝q，
π π ∴α∈0，2，β∈2，π，∴α－β∈(－π，0)．
1 又∵tan(α－β)＝2>0，
π ∴α－β∈－π，－2，2α－β＝α＋(α－β)∈(－π，0)．
3 而tan(2α－β)＝1，∴2α－β＝－4π.
通法提炼 1关于求值问题，利用角的代换，将所求角转化为已 知角的和与差，再根据公式求解. 2关于求角问题，先确定该角的某个三角函数值，再 根据角的取值范围确定该角的大小.
通法提炼
3－tan105° (1) 等于( 1＋ 3tan105° A．－1 C．－ 3
) B．1 3 D．－ 3
π (2)若α＋β＝ 3 ，tanα＋ 3 (tanαtanβ＋c)＝0(c为常数)， 则tanβ＝________.
3－tan105° tan60° －tan105° 解析：(1) ＝ ＝tan(－45° ) tan105° 1＋ 3tan105° 1＋tan60° ＝－1. tanα＋tanβ π (2)∵α＋β＝3，∴tan(α＋β)＝ ＝ 3， 1－tanαtanβ ∴tanα＋tanβ＋ 3tanαtanβ＝ 3， ∴tanα＋ 3tanαtanβ＋ 3c ＝ 3－tanβ＋ 3c＝0， ∴tanβ＝ 3(c＋1)．
【正解】
∵tanα＋tanβ＝－p，tanα· tanβ＝q，
π ∴当 α＋β＝kπ＋2(k∈Z)时， tanα· tanβ＝1， sin(α＋β)＝1， cos(α＋β)＝0 或 sin(α＋β)＝－1，cos(α＋β)＝0. ∴原式＝1＝q. π 当 α＋β≠kπ＋ (k∈Z)时， 2 tanα＋tanβ －p tan(α＋β)＝ ＝ . 1－tanα· tanβ 1－q ∴原式
数学必修Ⅳ人教新课标A版3-1-2两角和与差的正弦-余弦-正切公式课件(24张)
a sin x b cos x
a2
b2
a
sin x
a2 b2
a
令
cos sin
a2 b2 b
a2 b2
b
cos x
a2 b2
a2 b2 sin x cos cos x sin
2
2
sin cos - cos sin
两角和与差的正弦公式
sin sin cos cos sin
简记：S( )
sin( ) ? 用 代
sin( ) sin[ ( )] sin cos( ) cos sin( )
sin( ) sin cos cos sin
3.1.2 两角和与差的 正弦、余弦、正切公式
复习
cos ( – ） =cos cos + sinsin cos( ) ? cos cos – sin sin
sin( ) ?
sin( ) ?
二、公式的推导
sin
cos
2
sin( ) ? 用 代
cos
2
cos cos sin sin
tan 1 1 tan
4
3 1
4 1 (
3)
7
4
例3：利用和（差）角公式计算下列各式的值：
（1)sin72。cos 42。 cos 72。sin 42。;
(2) cos 20。cos 70。 sin 20。sin 70。;
1 tan15。 (3) 1- tan15。.
解：（1)由公式得：
sin72。cos 42。 cos 72。sin 42。
3
2
∵ tan(17
28
)
tan17 tan 28 1 tan17 tan 28
高中数学必修四课件3-1-2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)课件
35°．
解
1＋tan (1)1－tan
1155°°＝1t－ant4a5n°1＋5°ttaann1455°°
＝tan(45°＋15°)＝tan 60°＝ 3．
(2)由 tan(α＋β)＝1t－antαan＋αttaannββ的变形
tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)得：
35°＋tan
பைடு நூலகம்
10°tan
35°．
解
1＋tan (1)1－tan
1155°°＝1t－ant4a5n°1＋5°ttaann1455°°
＝tan(45°＋15°)＝tan 60°＝ 3．
(2)由 tan(α＋β)＝1t－antαan＋αttaannββ的变形
tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)得：
(3)熟知变形：两角和的正切公式的常见四种变形： ①tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)； ②1－tan αtan β＝tatnanα＋α＋taβnβ．
【训练 1】 求值：
1＋tan (1)1－tan
1155°°；(2)tan
10°＋tan
35°＋tan
10°tan
A．－ 3
B． 3
C．－
3 3
D．
3 3
解析 ∵α 为第二象限角，∴cos α<0，cos α＝－ 23，
∴tan α＝－ 33． tan β＝tan[(α＋β)－α]＝1t＋antaαn＋αβ＋－βt·atannαα
－ ＝
1＋－
3＋
3 3
3·－
＝－ 3 3
33．
答案 C
规律方法 给值求值问题的两种变换 (1)式子的变换：分析已知式子的结构特点，结合两角和与 差的三角函数公式，通过变形，建立与待求式间的联系以 实现求值． (2)角的变换：首先从已知角间的关系入手，分析已知角与 待求角间的关系，如用α＝β－(β－α)，2α＝(α＋β)＋(α－β) 等关系，把待求的三角函数与已知三角函数巧妙地建立等 量关系，从而求值．
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重点难点
重点：记住并会应用两角和与差的正切公式； 难点：灵活运用公式进行求值、化简、证明.
预习篇01
新知导学
两角和与差的正切公式
两角和与差的正切公式
1．你能总结出公式T(α±β)的结构特征和符号规律吗？ 答：(1)公式T(α±β)的右侧为分式形式，其中分子为tanα 与tanβ的和或差，分母为1与tanαtanβ的差或和．
课堂篇02
合作探究
两角和与差的正切公式的简单应用
【例1】
求值．
1＋tan15° (1) ； 1－tan15° (2)tan10° ＋tan35° ＋tan10° tan35° . 【分析】 (1)采用巧用“1”的代换后，转化成两角
和的正切形式．(2)可以直接利用公式的变形，口答得 出结果，若在选择填空中，可以套入结论处理．
π π π 3 又0<α<2，2<β<π，∴2<α＋β<2π， 3 ∴α＋β＝4π.
两角和与差的正切公式的综合应用
【例 3】 (1)已知 A，B 是三角形 ABC 的两个内角， 且 tanA， tanB 是方程 3x2＋8x－1＝0 的两个实根， 则 tanC ＝________. (2)在△ABC 中，tanB＋tanC＋ 3tanBtanC＝ 3， 3 tanA＋ 3tanB＋1＝tanAtanB，试判断△ABC 的形状．
通法提炼
3－tan105° (1) 等于( 1＋ 3tan105° A．－1 C．－ 3
) B．1 3 D．－ 3
π (2)若α＋β＝ 3 ，tanα＋ 3 (tanαtanβ＋c)＝0(c为常数)， 则tanβ＝________.
3－tan105° tan60° －tan105° 解析：(1) ＝ ＝tan(－45° ) tan105° 1＋ 3tan105° 1＋tan60° ＝－1. tanα＋tanβ π (2)∵α＋β＝3，∴tan(α＋β)＝ ＝ 3， 1－tanαtanβ ∴tanα＋tanβ＋ 3tanαtanβ＝ 3， ∴tanα＋ 3tanαtanβ＋ 3c ＝ 3－tanβ＋ 3c＝0， ∴tanβ＝ 3(c＋1)．
π π ∴α∈0，2，β∈2，π，∴α－β∈(－π，0)．
1 又∵tan(α－β)＝2>0，
π ∴α－β∈－π，－2，2α－β＝α＋(α－β)∈(－π，0)．
3 而tan(2α－β)＝1，∴2α－β＝－4π.
通法提炼 1关于求值问题，利用角的代换，将所求角转化为已 知角的和与差，再根据公式求解. 2关于求角问题，先确定该角的某个三角函数值，再 根据角的取值范围确定该角的大小.
答案：(1)A (2) 3(c＋1)
给值求值(角)
【例2】
1 1 已知tan(α－β)＝2，tanβ＝－7，
α，β∈(0，π)，求2α－β的值． 【分析】 已知α－β及β角的正切，要求2α－β的正
切，必须通过角的变换，2α－β＝α＋(α－β)，α＝(α－β) ＋β，故需先求出α角的正切．
【解】
1 1 ∵tanβ＝－7，tan(α－β)＝2，
∴tanα＝tan[(α－β)＋β] tanα－β＋tanβ ＝ 1－tanα－βtanβ 1 1 2－7 1 ＝ ＝ ， 1 1 3 1－2×－7 tan(2α－β)＝tan[(α－β)＋α]
tanα－β＋tanα ＝ 1－tanα－βtanα 1 1 2＋3 ＝ 1 1＝1. 1－3×2 1 1 ∵tanα＝3>0，tanβ＝－7<0，
1 π 已知tanα＝ ，tanβ＝－2，且0<α< <β<π， 3 2 求(1)tan(α－β)的值； (2)角α＋β的值．
tanα－tanβ 解：(1)tan(α－β)＝ 1＋tanα· tanβ 1 3－－2 ＝ 1 1＋3×－2 ＝7. 1 tanα＋tanβ 3＋－2 (2)∵tan(α＋β)＝ ＝ 1 1－tanα· tanβ 1－3×－2 ＝－1，
2．两角和的正切公式的常用变形形式 (1)tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)． tanα＋tanβ (2)1－tanαtanβ＝ . tanα＋β (3)tanα＋tanβ＋tanαtanβ· tan(α＋β)＝tan(α＋β)． tanα＋tanβ (4)tanαtanβ＝1－ . tanα＋β 于是由正切公式可知，tanαtanβ，tanα＋tanβ(或tanα－ tanβ)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一．注意公 式的正用、逆用、变形使用．
【解】
1＋tan15° tan45° ＋tan15° (1) ＝ 1－tan15° 1－tan15° tan45°
＝tan(45° ＋15° )＝tan60° ＝ 3. tanα＋tanβ (2)由tan(α＋β)＝ 的变形 1－tanαtanβ tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)得： tan10° ＋tan35° ＝tan45° (1－tan10° tan35° ) ＝1－tan10° tan35° ， 所以tan10° ＋tan35° ＋tan10° tan35° ＝1.
第三章
三角恒等变换
3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
3．1.2
两角和与差的正弦、余弦、正切公式
第2课时 预习篇
两角和与差的正切公式 提高篇
课堂篇
巩固篇
课时作业
学习目标
1.理解两角和与差的正切公式及其推导过程. 2.能够灵活运用两角和与差的正切公式进行化简、求 值、证明等，掌握公式的正向、逆向及变形应用.
(2)
符号变化规律可简记为“分子同，分母反”．
1．对两角和与差的正切公式的三点说明 (1)比较tan(α＋β)与tan(α－β)，它们都是角的正切，只 是角的形式不同，容易混淆． (2)两角和与差的正切公式的推导过程是同角三角函数 sinx 的基本关系cosx＝tanx的又一次展现． π (3)公式的适用范围：α，β，α＋β，α－β≠ ＋kπ(k∈ 2 Z)．