(参考答案)2024届高一期中数学复习题选(一)

（参考答案）2024届高一期中数学复习题选（一）
★集合与逻辑用语
（江苏省连云港市2022-2023学年高一上学期期中数学试题）
关于x 的方程20x ax b ++=，有下列四个命题：甲：2x =是该方程的根；乙：1x =是该方程的根；丙：该方程两根之和是为1；丁：该方程两根异号.如果只有一个假命题，则该命题是（）
A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
【答案】B 【解析】
【分析】利用假设法，逐一验证不同命题为假的情况下，是否符合题意，结合一元二次方程的性质，可得答案.
【详解】由题意，假设甲与乙两个命题为真，则丙和丁两个命题一定都为假命题，不符合题意；
假设命题甲为假命题，由命题乙与命题丙为真，则方程20x ax b ++=的两个根分别为1和0，此时命题丁为假命题；
综上，只有命题乙为假命题，符合题意.故选：B.
（常州市十校2022-2023学年高一上学期期中联合调研数学试题）
现有两个条件：①方程()410f x +=的解集为32⎧⎫
⎨⎩⎭；②不等式()0f x <的解集为
{}12x
x <<∣；请你在上述两个条件中任选一个补充到下面的问题中，并求解(请答题时首先说明所选条件的序号)
已知二次函数2()f x ax bx c =++的图象过点()3,2，且满足________(填所选条件的序号)．
（1）求函数()f x 的解析式；
（2）已知实数1m <，()()2g x mf x x =-+，解关于x 的不等式()0g x <．解：（1）若选①，
因为方程()410f x +=的解集为32⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
，
所以231
()()24f x a x =--，
……2分
将()3,2代入，231
2(3)24
a =--，
解得：1a =，
……4分所以22
31()()3224
f x x x x =--=-+．
……6分
若选②，
因为不等式()0f x <的解集为{}12x
x <<∣，所以()(1)(2)f x a x x =--，其中0a >，……2分将()3,2代入，22a =，解得：1a =，……4分所以2()(1)(2)32f x x x x x =--=-+．
……6分
（2）()()(1)(2)2(1)(2)0
g x mf x m x x x mx m x ==---+=---<当0m =时，(2)0x --<，解集为(2,)+∞……8分当0m <时，112m +
<，解集为1
(,1)(2,)m -∞++∞ ……10分当01m <<时，112m +
>，解集为1
(2,1)m
+……12分
（常州市溧阳市2022-2023学年高一上学期期中数学试题）
已知集合{
}
22
430D x x x t =++=，{
}
2
2320B x x x =∈+-≤Z ，{}3,2,1C =---，
且集合D 满足D B =∞ ，D C ≠∞ ．（1）求实数t 的值：
（2）对集合{}12,,,(2)n A a a a k =≥ ，其中(1,2,,)i a i k ∈=Z ，定义由A 中的元素构成
两
个
相
应
的
集
合
中
：
{}
(,),,S a b a A b A a b A =∈∈+∈，
{}(,),,T a b a A b A a b A =∈∈-∈，其中(,)a b 是有序数对，集合S 和T 中的元素个数分
别为m 和n ，若对任意的a A ∈，总有a A -→，则称集合A 具有性质P ．
①请检验集合B C 与C D 是否具有性质P ，并对其中具有性质P 的集合，写出相应的集合S 和T ；
②试判断m 和n 的大小关系，并证明你的结论．
（1）由题：{}
{}1(21)(2)022,1,02B x N x x x Z x ⎧⎫
=∈-+≤=∈-≤≤
=--⎨⎬⎩
⎭
·····························1分{}{}()(3)03D x x t x t x x t x t =++===-=-或，
又{}3,2,1C =---，D B =∅ ，D C ≠∅
则3D -∈，即3t -=-或333t t -=-⇒=或1t =······································································3分当3t =时，{}3,9D =--满足题意．当1t =时，{}1,3D =--不满足D B =∅
综上可知，3t =···················································································································4分（2）①由（1）知{}
3,2,1,0B C =--- 由0B C ∈ ，0B C -∈ 知，B C 不具有性质P ····································································5分
{}9,3,2,1C D =---- 满足任意的a C D ∈ ，总有a C D
-∉ 所以，C D 具有性质P ········································································································6分其中{}(1,2),(2,1),(1,1)S =------，{}(2,1),(3,2),(3,1)T =------·········································8分②m n =·····························································································································9分证明如下：
若(,)a b S ∈，则有a A ∈，b A ∈，且a b A +∈从而有(,)a b b T
+∈若(,)a b ，(,)c d 为S 中的不同元素，则a c =，b d =中至少有一个不成立即a b c d +=+，b d =中至少有一个不成立即(,)a b b +，(,)c d d +也是T 中不同的元素
故m n ≤····························································································································11分若(,)a b T ∈，则有a A ∈，b A ∈，且a b A -∈从而有(,)a b b S
-∈若(,)a b ，(,)c d 为T 中的不同元素，则a c =，b d =中至少有一个不成立即a b c d -=-，b d =中至少有一个不成立即(,)a b b -，(,)c d d -也是S 中不同的元素
故m n
≥综上可知，m n =················································································································12分
★指数与对数、基本不等式
（江苏省连云港市2022-2023学年高一上学期期中数学试题）
大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵，研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v （单位：m/s ）可以表示为31log 2100
O
v =
，其中O 表示鱼的耗氧量的单位数若一条鱼的游速是1.5m/s ，则这条鱼的耗氧量是（
）个单位.
A.2400
B.2700
C.6400
D.8100
【答案】B 【解析】
【分析】将 1.5m/s v =代入函数解析式，利用指数式与对数式的互化即可求解.【详解】由31log 2100
Q v =，当 1.5v =时，则311.5log 2100Q =
，即3log 3100Q =，解得3327100
Q ==，所以2700Q =.
故选：B.
（江苏省镇江中学2022-2023学年高一上学期期中数学试题）
围棋棋盘共19行19列，361个格点，每个格点上可能出现黑、白、空三种情况，因此有6133种不同的情况，我国北宋学者沈括在他的著作《梦溪笔谈》中也讨论过这个问题，他分析得
出一局围棋不同的变化大约有“连书万字五十二”种，即52
10000，下列最接近361
52
310000的是
（注：lg 30.477≈）（）A.2510- B.26
10- C.35
10- D.36
10-【答案】D
（江苏省南京市第一中学2022-2023学年高一上学期期中数学试题）
已知0a >，0b >，若42log (4)log a b +=a b +的最小值为（
）A.5+ B.9
C.7
D.
5+
【答案】B
【解析】
【分析】根据对数的运算法则及对数函数的性质可得41
1b a
+=，然后利用基本不等式即得.
【详解】因为()424log (4)log log a b ab +==，
所以4a b ab +=，即41
1b a
+=，
所以()414559a b a b a b b a b a ⎛⎫
+=++=++≥= ⎪⎝⎭
，当且仅当
4a b
b a
=，即3,6a b ==时取等号，所以a b +的最小值为9.故选：B.
★基本初等函数
（江苏省南京市第一中学2022-2023学年高一上学期期中数学试题）定义在R 上的奇函数()f x ，对任意()12,,0x x ∈-∞且12x x ≠，都有
()()()12120x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦，()30f =，则不等式()0xf x ≤的解集是（
）
A.(][),33,∞∞--⋃+
B.[]
3,3-C.
(]{}[)
,303,-∞-+∞ D.
(][]
,30,3-∞-⋃【答案】C 【解析】
【分析】判断函数的单调性，结合函数的奇偶性判断函数的函数值的正负情况，即可得答案.【详解】由题意定义在R 上的奇函数()f x ，()30f =，则(0)0,(3)(3)0f f f =-=-=，对任意()12,,0x x ∈-∞且12x x ≠，都有()()()12120x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦，则()f x 在(),0x ∈-∞时单调递减，
则当3x <-时，()0f x >，此时()0xf x <；当30x -<<时，()0f x <，此时()0xf x >；根据奇函数的对称性可知，当3x >时，()0f x <，此时()0xf x <；当03x <<时，
()0f x >，此时()0xf x >；
故不等式()0xf x ≤的解集是(]{}[),303,-∞-+∞ ，故选：C.
（江苏省南京市第一中学2022-2023学年高一上学期期中数学试题）已知函数3()5()R f x x x x =+∈，若不等式(
)2
2(4)0f m mt f t ++<对任意实数2t ≥恒
成立，则实数m 的取值范围为（）
A.(
2,- B.4,3⎛⎫-∞-
⎪⎝
⎭
C.
(
)
,-∞+∞
D.
(,-∞【答案】B 【解析】
【分析】根据题意，分析可得函数()f x 为奇函数且为增函数，进而可以将原问题转化为
42m t t
<-
+
对任意实数2t ≥恒成立，由对勾函数的性质分析，可得m 的取值范围．【详解】解：函数3()5f x x x =+的定义域为R ，
且()()()()
()3
3
55f x x x x x f x -=-+-=-+=-，所以()f x 为奇函数，
又3y x =与y x =在定义域R 上单调递增，所以()f x 在定义域R 上单调递增，若不等式(
)2
2(4)0f m mt
f t ++<对任意实数2t ≥恒成立，
则()
()()2
244f m mt f t f t +<-=-，即224m mt t +<-对任意实数2t ≥恒成立，
所以242t
m t <-
+对于任意实数2t ≥恒成立，即
4
2m t t
<-
+任意实数2t ≥恒成立，因为函数()2
g t t t
=+在[)2,+∞上单调递增，所以()()min 23g t g ==，则42t t
-+有最小值43
-，
若
4
2m t t
<-+对任意实数2t ≥恒成立，所以4
3m <-．
即m 的取值范围为4,3⎛⎫-∞- ⎪⎝
⎭
．故选：B ．
（江苏省连云港市2022-2023学年高一上学期期中数学试题）（多选题）已知函数2(1)4f x x +=-，则（）
A.()f x 是R 上的偶函数
B.()2y f x x =+是R 上的偶函数
C.()f x 在区间(,1]-∞上单调递减
D.当[]1,2x ∈-时，|()|y f x =的最
大值是4【答案】BCD 【解析】
【分析】由条件求出函数()f x 的解析式，根据偶函数的定义判断A ，根据二次函数的性质判断函数()f x 的单调性，判断C ，求函数()f x 在[]1,2x ∈-上的值域，判断D ，根据偶函数的定义判断函数()2y f x x =+的奇偶性.
【详解】因为2(1)4f x x +=-，将x 变换为1x -可得()2
()14f x x =--，
因为()1044f =-=-，()1440f -=-=，()()11f f ≠-，所以函数()f x 不是R 上的偶函数，A 错误；
因为()2
()14f x x =--，由二次函数性质可得函数()f x 在区间(,1]-∞上单调递减，C 正
确；
由12x -≤≤，可得211x -≤-≤，所以()2
014x ≤-≤，所以当[]1,2x ∈-时，
()40f x -≤≤，所以函数|()|y f x =在[]1,2-上的最大值是4，D 正确，
设()()2g x f x x =+，则()2
3g x x =-，所以()()()2
233g x x x g x -=--=-=，所以
函数()2y f x x =+是R 上的偶函数，B 正确；故选：BCD
.
（江苏省南京市第一中学2022-2023学年高一上学期期中数学试题）
已知函数254,0
()22,0
x x x f x x x ⎧++≤⎪=⎨->⎪⎩，若()y f x a x =-恰有3个零点，则a 的可能值为
（）
A.0
B.
1
2
C.1
D.2
【答案】AD 【解析】
【分析】画出函数的图象，通过a 的取值，结合x 的范围，判断函数的零点个数，然后推出实数a 的取值范围．
【详解】分别作出函数()y f x =与||y a x =
的图象，由图知，
a<0时，函数()y f x =与||y a x =无交点，
0a =时，函数()y f x =与||y a x =有三个交点，
故0a >．当0x >，2a ≥时，函数()y f x =与||y a x =有一个交点，当0x >，02a <<时，函数()y f x =与||y a x =有两个交点，当0x <时，若y ax =-与254y x x =---，(41)x -<<-相切，则由Δ0=得：1a =或9a =（舍，切点在x 轴下方)，
因此当0x <，1a >时，函数()y f x =与||y a x =有两个交点，当0x <，1a =时，函数()y f x =与||y a x =有三个交点，当0x <，01a <<时，函数()y f x =与||y a x =有四个交点，所以当2a ≥时，函数()y f x =与||y a x =恰有3个交点．
综上，()y f x a x =-恰有3个零点，a 的取值范围是0a =或2a ≥．
故选：AD ．
（江苏省连云港市2022-2023学年高一上学期期中数学试题）已知函数9
()f x x a a x
=+-+在区间[1,9]上的最大值是10，则实数a 的取值范围是_________．【答案】(],8-∞【解析】
【分析】先求出x 9
x
+∈[6，10]，再分类讨论，根据函数的单调性求出函数的最值，即可求出a 的范围．
【详解】当x ∈[1，9]，x 9
x
+
∈[6，10]，①当a ≥10时，f （x ）＝2a ﹣x 4
x -，f （x ）max ＝2a ﹣6＝10，∴a ＝8，舍去
②当a ≤1时，f （x ）＝x 9
x
+≤10，此时命题成立；
③当1＜a ＜10时，f （x ）max ＝max {|6﹣a |+a ，|10﹣a |+a }，
则610610a a a a a a ⎧-+≥-+⎪⎨-+=⎪⎩或6101010
a a a a a a ⎧-+-+⎪⎨-+=⎪⎩＜，解得a ＝8或a ＜8，
综上可得，实数a 的取值范围是（﹣∞，8]．
【点睛】本题考查根据函数的最值求解参数范围的问题，关键是能够利用最值构造出与函数值域有关的不等式，通过求解函数的值域求得结果.
（江苏省南京市第一中学2022-2023学年高一上学期期中数学试题）
已知函数()2,02,0
x x x f x x x ⎧-+≥=⎨-<⎩，若关于x 的不等式[]2()(1)()0f x m f x m -++<恰有
两个整数解，则实数m 的取值范围是_________.
【答案】20[)(4,6]⋃-，
.【解析】
【分析】根据函数解析式，作出其图象，解不等式[]2
()(1)()0f x m f x m -++<可得
()[()]10f x m f x ⎤⎦-⎡⎣-<，讨论m 和1的大小关系，确定不等式解集，结合函数图象确定
解集中的两个整数解，进而确定m 的取值范围.
【详解】由于函数()2,02,0
x x x f x x x ⎧-+≥=⎨-<⎩,作出其图象如图：
由[]2
()(1)()0f x m f x m -++<得：()[()]10f x m f x ⎤⎦-⎡⎣-<，
当1m =时，2[()0]1x f -<，不等式无解；
当1m <时，由()[()]10f x m f x ⎤⎦-⎡⎣-<得∶()1m f x <<，若不等式恰有两个整数解，由于1
()12
f -=,(0)0,(1)21f f =-=>，则整数解为0和1，又()()1022f f ==-，，∴20m -≤<；
当1m >时，由()[()]10f x m f x ⎤⎦-⎡⎣-<得：()1f x m <<，若不等式恰有两个整数解，由于1()12
f -=，则整数解为1-和2-，又()()2436f f -=-=，，∴46m <≤，
综上所述：实数m 的取值范围为20[)(4,6]⋃-，,故答案为∶20[)(4,6]⋃-，
.（江苏省南京市第一中学2022-2023学年高一上学期期中数学试题）已知函数2
()x b
g x x a
+=
+，()1,1x ∈-.从下面三个条件中任选一个条件，求出a ，b 的值，并在此基础上．．．．．解答后面的问题.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）①已知函数2()(1)4f x x a x =--+，()f x 在定义域[]1,1b b -+上为偶函数；
②()()=0f x ax b a +>在[]1,2上的值域为[]1,2；③已知函数3
()f x b x a
=+-，满足()()110f x f x -++=.
（1）选择_________，求a ，b 的值；
（2）判断并用定义证明()g x 在()1,1-上的单调性；（3）解不等式()()120g t g t -+<.【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）10,3⎛
⎫ ⎪
⎝
⎭
【解析】
【分析】选①利用二次函数的性质及偶函数的定义即得，选②利用函数的单调性即求；选③
知()f x 关于()1
0，对称，即可求出a ，b 的值；（2）利用单调性的定义即证；
（3）利用奇函数的定义可得()g x 为奇函数，进而利用函数的单调性及奇偶性解不等式.
【小问1详解】
选①：因为()f x 在[1,1]b b -+上是偶函数，则10a -=，且(1)(1)0b b -++=，所以1a =，0b =；
选②：当0a >时，()f x 在[]1,2上单调递增，
则有1
22a b a b +=⎧⎨+=⎩
，
得1a =，0b =；选③：函数3
()f x b x a
=+
-，满足()()110f x f x -++=，所以()f x 关于()1
0，对称，所以函数0,1b a ==.【小问2详解】
由（1）得2
()1
x
g x x =
+，(1,1)x ∈-，任取12,(1,1)x x ∈-，且1211x x -<<<，则()()()()()()
211212
122222
121211111
x x x x x x g x g x x x x x ---=
-=++++∵1211x x -<<<，则210x x ->，1210x x -<，∴()()120g x g x -<，即()()12g x g x <则()g x 在(1,1)-上单调递增.【小问3详解】
∵2()1x
g x x =+，(1,1)x ∈-，又()()2
1
x
g x g x x --==-+，∴()g x 为奇函数，
由()()120g t g t -+<，得()()21g t g t <-，又因为()g x 在()1,1-上单调递增，
则121
11121t t t t
-<<⎧⎪
-<-<⎨⎪<-⎩
，解得103t <<，
所以10,3t ⎛⎫∈ ⎪⎝
⎭
.
（江苏省南京市鼓楼区2022-2023学年度第一学期期中高一数学试题）
我们知道，函数y ＝f (x )的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y ＝f (x )为奇函数．有同学发现可以将其推广为如下结论：函数y ＝f (x )的图象关于点P (a ，b )成中心对称图形的充要条件是函数y ＝f (x ＋a )－b 为奇函数．已知该结论是真命题．(1)求函数h (x )＝x 3－6x 2图象的对称中心；(2)还有同学提出了如下两个命题：
命题①已知函数y ＝f (x )的定义域为R ，如果函数y ＝f (x ＋1)为偶函数，那么函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1成轴对称图形；
命题②已知函数y ＝f (x )的定义域为R ，如果函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1成轴对称图
形，那么函数y＝f(x＋1)为偶函数；
请你在这两个命题中选择一个，判断它是否是真命题，并给出理由．(若两个都选，则只对你选的第一个评分)
（江苏省连云港市2022-2023学年高一上学期期中数学试题）已知函数t
y x x
=+
有如下性质：若常数0t >，则该函数在(
t 上是单调减函数，在)
t +∞上是单调增函数.
（1）已知()2
21
4123
x f x x x +=--，[]0,1x ∈，利用上述性质，求函数()f x 的单调区间和值域；
（2）对于（1）中的函数()f x 和函数()2
2
2g x x ax a =+-，若对任意[]10,1x ∈，总存在
[]20,1x ∈，使得()()211g x f x =成立，求实数a 的取值范围.
【答案】（1）单调增区间为10,2⎡⎤
⎢⎥⎣⎦，单调减区间为1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦，值域为11,34⎡⎤--⎢⎥
⎣⎦（2）3,162,15⎡⎡⎤--+⎣⎣⎦
【解析】
【分析】（1）设[]211,3x m +=∈，则21x m =-，可得出
1
4
8
y m m
=
+-，利用对勾函数的单调性结合复合函数的单调性可得出函数()f x 的增区间和减区间，再结合函数()f x 的单调性可求出函数()f x 的值域；
（2）求出当[]0,1x ∈时，
()
[]1
4,3f x ∈--，分析可知[]4,3--是函数()g x 在[]0,1上值域的子集，然后对实数a 的取值进行分类讨论，分析函数()g x 在区间[]0,1上的单调性，结合题意可得出关于实数a 的不等式组，综合可求得实数a 的取值范围.
【小问1详解】
解：设[]211,3x m +=∈，则21x m =-，且()2
2844120m m m -+=--<，所以
()
()2
2
1
04481613
8
m
m y m m m m m m
=
=
=<+-----+-，其中13m ≤≤，由已知得4
8u m m
=+-在[]1,2上单调递减，在[]2,3上单调递增，又因为21m x =+在[]0,1上单调递增，函数1
y u
=在(),0∞-上为减函数，
由1212x ≤+≤可得1
02x ≤≤
，由2213x ≤+≤可得112
x ≤≤，所以，由复合函数的单调性可知，函数()f x 的单调增区间为10,2⎡⎤
⎢⎥⎣⎦，单调减区间为1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，
所以，()max 12121634f x f ⎛⎫
===- ⎪--⎝⎭
，又因为()103f =-
，()3111f =-，故()min 13
f x =-，所以，函数()f x 的单调增区间为10,2⎡⎤
⎢⎣⎦，减区间为1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦，值域为11,34⎡⎤--⎢⎥⎣⎦
.
【小问2详解】
解：因为()()121f x g x ⋅=，当[]0,1x ∈时，()0f x ≠，所以()()
211
g x f x =
，由（1）知
()
[]11
4,3f x ∈--由题意，得[]
4,3--是()g x 的值域的子集，
因为函数()2
2
2g x x ax a =+-的图象开口向上，对称轴为x a =-.
①当0a ≥时，则0a -≤，函数()g x 在[]0,1上单调递增，
则当[]0,1x ∈时，()()2
min 0g x g a ==-，()()2
max 112g x g a a ==+-，
故22
4123a a a ⎧-≤-⎨+-≥-⎩
，解得21a ≤≤+；②当10a -<<时，则01a <-<，
函数()g x 在[]0,a -上单调递减，在[],1a -上单调递增，
所以，当[]0,1x ∈时，()()()2
min 22,0g x g a a =-=-∈-，不满足()min 4g x ≤-，舍去；
③当1a ≤-时，则1a -≥，函数()g x 在[]0,1上单调递减，
故当[]0,1x ∈时，()()2
min 112g x g a a ==+-，()()2
max 0g x g a ==-，
故22
3124
a a a ⎧-≥-⎨+-≤-⎩，解得1a ≤≤-
综上所述，实数a 的取值范围是2,1⎡⎡-+⎣⎣ .
（常州市溧阳市2022-2023学年高一上学期期中数学试题）
记函数21
()()n n n
ax f x n N x +=∈．
（1）判断并证明1()f x 的奇偶性；
（2）证明：当0a >时，2()f x 在14,a -⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
上单调递增；
（3）当2a =时，关于x 的方程3()f x b =有解，求b 的取值范围．
（1）211
()ax f x x
+=为奇函数，证明如下：
1()f x 的定义域为{}0A x x =≠······························································································1分
对x A ∀∈，都有：
2211()11
()()
a x ax f x f x x x
-++-==-=--故1()f x 为奇函数··················································································································4分
（2）证明：42
22211()ax f x ax x x +==+
任取1412,,x x a ⎡⎫
∈+∞⎪⎢⎣⎭
且12
x x <
()()221212221211f x f x ax ax x x ⎛⎫⎛⎫
-=+-+ ⎪ ⎪
⎝
⎭⎝⎭()()22
12121222
12
1
ax x x x x x x x -=+-·································································································6分由14
21x x a
-
>≥知：
120x x +>，120x x -<，22
1210
ax x ->即有()()()()
1212
0f x f x f x f x -<⇒<故2()f x 在14
,a ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
上单调递增······························································································8分
（3）当2a =时，由3()f x b =得：
6633
21210x b x bx x
+=⇒-+=令3
(0)x t t =≠，则：
关于t 的方程2
210(0)t bt t -+=≠有解···················································································10分
280
b ∆=-
≥b ⇒≤-
b ≥······································································································12分
（常州市溧阳市2022-2023学年高一上学期期中数学试题）已知函数2
()1f x x a x =+-．（1）当2a =时，求()f x 的值域；
（2）若存在x ∈R ，使得不等式()22f x x ≤-成立，求a 的取值范围；（3）讨论函数()f x 在[)0,+∞上的最小值．
（1）当2a =时，22
222,1
()2122,1x x x f x x x x x x ⎧+-≥=+-=⎨-+<⎩
··························································1分
1x ≥时，[)
2()(1)31,f x x =+-∈+∞
1x <时，[)
2()(1)11,f x x =-+∈+∞故()f x 的值域为[)1,+∞········································································································3分
（2）由()22f x x ≤-得：2
(1)110x a x -+-+≤（*）
当1x =时，（*）显然不成立···································································································4分
当1x ≠时，max
111a x x ⎡⎤⎛⎫≤--+⎢⎥ ⎪ ⎪-⎢⎥⎝⎭⎣⎦
又1121x x -+
≥-当且仅当1
11
x x -=
-即0x =或2x =时等号成立则max 11121211x x x x ⎡⎤
⎛⎫⎛⎫--+≤-⇒--+=-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎢⎥⎝⎭⎝
⎭⎣⎦···························································6分综上，a 的取值范围为(],2-∞-·······························································································7分
（3）由题知22,1(),01
x ax a x y f x x ax a x ⎧+-≥==⎨-+≤<⎩···········································································8分
当2a <-时，12a -
>，12
a
<-当1x ≥时，()f x 的最小值为224a a f a
⎛⎫
-=-- ⎪⎝⎭
当01x ≤<时，(0)f a
=22a a a --≤即8a ≤-时，2min ()24a a f x f a ⎛⎫
=-=-- ⎪⎝⎭2
2
a a a -->即82a -<<-时，min ()(0)f x f a ==当2a ≥-时，12
a
-
≤，2()f x x ax a =+-在[)1,+∞上的最小值为(1)1f =当20a -≤≤时，102
a
-≤≤，min ()(0)f x f a
==当02a <<时，012a <<，2min ()24a a f x f a
⎛⎫
==-+ ⎪⎝⎭
当2a ≥时，12
a
≥，min ()(1)1f x f ==综上可知：
当8a ≤-时，2min
()24a a f x f a ⎛⎫
=-=-- ⎪⎝⎭
·············································································9分
当80a -<≤时，2
min
()24a a f x f a ⎛⎫
==-+ ⎪⎝⎭
·········································································10分
当02a <<时，2min
()24a a f x f a ⎛⎫
==-+ ⎪⎝⎭
···········································································11分
当2a ≥时，min ()(1)1
f x f ==12分。