傅里叶变换推导详解

傅里叶变换推导详解
三角函数标准形式为公式2.1所示
f\left( t \right) = Asin\left( \omega t + \varphi
\right)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2.1)\ \
在物理意义上这个函数又称之为正弦信号(正弦波),其中的t
为时间变量,A为波幅, ω为角速度, φ为相位，我们可以
通过公式2.2求得这个正弦波的频率。

f = \frac{\omega}{2\pi}\ (2.2)
根据等式2.2，角速度和正弦波的频率是正相关的。

同时，因为三角函数是周期函数，其在-π到π的积分必定
为0，由此性质可写出式2.3，2.4
\int_{- \pi}^{\pi}{\sin\left( \text{nx} \right){dx =
0\ \ \ \ \ \ \ \ \ (2.3)}}
\int_{- \pi}^{\pi}{\cos\left( \text{nx} \right){dx =
0\ \ \ \ \ \ \ \ \ (2.4)}}
设某三角函数为
f\left( x \right) = \sin\left( \text{nx} \right)\ \ \ \ \ \ \ \ \ (2.5)
在式2.5两边同时乘以 \sin\left( \text{mx} \right) 同时,对两边在-π到π内进行积分,得出
\int_{- \pi}^{\pi}{f\left( x \right)sin(mx)dx} =
\int_{- \pi}^{\pi}{\sin\left( \text{nx}
\right)sin(mx)dx}\ \ \ \ \ (2.6)
由三角函数的积化和差公式,上式可变形为
\int_{- \pi}^{\pi}{f( x )\sin( \text{mx} )\text{dx}} = \frac{1}{2}\int_{- \pi}^{\pi}{{ \cos\lbrack ( m - n )x \rbrack - \cos\lbrack ( m + n )x \rbrack }\text{dx}} = \frac{1}{2}\int_{- \pi}^{\pi}{\cos\lbrack ( m - n )x \rbrack\text{dx}} - \frac{1}{2}\int_{-
\pi}^{\pi}{\cos\lbrack ( m + n )x \rbrack\text{dx}}\ \ \ (2.7)
依据上述推导方法我们可以继续推导出下列公式:
\int_{-
\pi}^{\pi}{\cos( \text{mx} )\cos( \text{nx} )}dx =
\frac{1}{2}\int_{- \pi}^{\pi}{{ \cos\lbrack ( m - n )x \rbrack + \cos\lbrack ( m + nx ) \rbrack }\text{dx}} = \frac{1}{2}\int_{- \pi}^{\pi}{\cos\lbrack ( m - n )x \rbrack\text{dx}} + \frac{1}{2}\int_{-
\pi}^{\pi}{\cos\lbrack ( m + n )x \rbrack\text{dx}}\ (2.8)
\int_{-
\pi}^{\pi}{\sin( \text{mx} )\cos( \text{nx} )}dx =
\frac{1}{2}\int_{- \pi}^{\pi}{{ \sin\lbrack ( m - n )x \rbrack + \sin\lbrack ( m + n )x \rbrack }\text{dx}} = \frac{1}{2}\int_{- \pi}^{\pi}{\sin\lbrack ( m - n )x \rbrack\text{dx}} + \frac{1}{2}\int_{-
\pi}^{\pi}{\sin\lbrack ( m + n )x \rbrack\text{dx}}\ \ \ (2.9)
因为三角函数在-π到π内的积分为0,因此当 m \neq n 时,式2.7、2.8、2.9的结果必定为0，因此可以得出以下结论，
频率不同的三角函数相乘在一个周期内(-π到π)的积分必定为0。

第二节傅里叶级数推导
法国数学家傅立叶提出傅立叶级数时，认为任何周期信号都可以展开成傅立叶级数，并进一步补充了这一结论。

只有满足狄利克雷条件，周期信号才能展开成傅立叶级数。

其中，狄利克雷条件的定义如下：
1.在一个周期中，存在连续的或有限的第一类不连续点。

2.在一个周期内，最大值和最小值的数量应该是有限的。

3.在一周期内，信号是绝对可积的。

现假设一函数 f\left( t \right) 由一个直流分量和若干余弦函数组成，如式2.10所示
f\left( t \right) = c_{0} + \sum_{n =
1}^{\infty}{c_{n}\cos}\left( n\omega t + \varphi
\right)\text{ } (2.10)
利用三角函数的和差化积公式,上式可以进一步变形为
f\left( t \right) = c_{0} + \sum_{n =
1}^{\infty}{\left\lbrack
c_{n}\text{cosφ}\cos\left( \text{nωt} \right) -
c_{n}\text{sinφ}\sin\left( \text{nωt} \right)
\right\rbrack\ \ \ (2.11)}
设 a_{n},\ b_{n} 为:
a_{n} = c_{n}cos\varphi\ \ \ (2.12)
b_{n} = - c_{n}sin\varphi\ (2.13)
那么,式2.11可写作
f\left( t \right) = c_{0} + \sum_{n =
1}^{\infty}{\left\lbrack a_{n}\cos\left( \t ext{nωt}
\right) + b_{n}\sin\left( \text{nωt} \right)
\right\rbrack\ \ \ (2.14)}
式2.14实际上即是傅里叶级数的展开式,从上式可知,若要将
一个周期信号展开为傅里叶级数形式,实现上就是确定级数
a_{n}b_{n} ，那么就下来我们讨论的就是如何求出
a_{n}b_{n} 。

在式2.14的两边同时乘以一个 \sin\left( \text{kωt}
\right), 并对它们在一个周期内进行积分,那么就有
\int_{0}^{T}{f\left( t \right)}\sin\left( \text{kωt} \right)dt = \int_{0}^{T}{c_{0} \sin\left( \text{kωt} \right)\text{dt}} + \int_{0}^{T}{\sin\left( \text{kωt} \right) \sum_{n = 1}^{\infty}{\left\lbrack
a_{n}\cos\left( \text{nωt} \right) +
b_{n}\sin\left( \text{nωt} \right)
\right\rbrack\text{dt}}\ (2.15)}
根据第一节的推论，频率不同的三角函数相乘在一个周期内的积分必定为0,因此,仅有k=n时不为0,那么其中
\int_{0}^{T}{c_{0} \sin\left( \text{kωt}
\right)\text{dt}} 结果为0, \int_{0}^{T}{a_{n}
\cos\left( \text{nωt} \right)sin\left( \text{kωt}
\right)\text{dt}} 结果也必定为0,因此上式可以进一步化
简为
\int_{0}^{T}{f\left( t \right)}\sin\left( \text{kωt} \right)dt = b_{n}\int_{0}^{T}{\sin\left( \text{nωt} \right)}^{2}dt = b_{n}\frac{T}{2}\ \ \ \ (2.16)
因此,得出
b_{n} = \frac{2}{T}\int_{0}^{T}{f\left( t
\right)\sin\left( \text{nωt} \right)}\text{dt}\ \ \ \ (2.17)
依照上诉方法,同样可以计算出
a_{n} = \frac{2}{T}\int_{0}^{T}{f\left( t
\right)\cos\left( \text{nωt} \right)\text{dt}}\ \ (2.18)
同时,通过以下公式可以得知傅里叶级数与波幅相位之间的关系
c_{n} = \sqrt{{a_{n}}^{2} + {b_{n}}^{2}}\ \ \ \ (2.19)
\varphi = \arctan\left( - \frac{b_{n}}{a_{n}} \right) (2.20)
第三节复变函数到傅里叶级数
常用复数函数表达式：
e^{\text{jθ}} = cos\theta + jsin\theta
其中公式中e是自然对数的底，i是虚数单位。

这个函数涉及复数、指数函数和三角函数。

如果定义一个复平面，其中横坐标方向为实方向，纵坐标方向为虚方向，则复变函数实际上是一个绕原点旋转的圆，如图2.3.1:
图2-3-1 复平面坐标系
由公式
\theta = \omega t = \frac{2\pi}{T}t(2.21)
可知，该复变函数可以看做是一个角速度为 w 周期为T在复平面上绕原点旋转的半径为1的圆。

将公式代回到复变函数中，那么，复变函数可以写成公式2.22的形式
e^{\text{jω}t} = cos\omega t + jsin\omega
t\text{ }(2.22)
设一组三角函数，其频率是 \text{cosω}t的n倍，其中n
是大于0的正整数，那么可以定义这一组三角函数为：
\cos\left( \text{nwt} \right) = \frac{e^{\text{jnωt}} + e^{- jn\omega t}}{2}\text{ }(2.23)
\sin\left( \text{nwt} \right) = \frac{e^{\text{jnωt}} - e^{- jn\omega t}}{2j}\text{ }(2.24)
将公式2.23与2.24代回到式2.14中，可得到如下公式
f\left( t \right) = c_{0} + \sum_{n =
1}^{\infty}\left\lbrack a_{n}\frac{e^{\text{jnωt}} + e^{- jn\omega t}}{2} + b_{n}\frac{e^{\text{jnωt}} - e^{- jn\omega t}}{2j} \right\rbrack(2.25)
进一步化简可以得到:
f\left( t \right) = c_{0} + \sum_{n =
1}^{\infty}{\lbrack\frac{\left( a_{n} - jb_{n}
\right)}{2}e^{\text{jn}\omega t} + \frac{\left( a_{n} + jb_{n} \right)}{2}e^{- jn\omega t}\rbrack}\ (3.26)
因为
a_{- n} = \frac{2}{T}\int_{0}^{T}{f\left( t
\right)\cos\left( - n\omega t \right)\text{dt}} =
a_{n}\ \ (3.27)
b_{- n} = \frac{2}{T}\int_{0}^{T}{f\left( t
\right)\sin\left( - n\omega t \right)}dt = - b_{n}\ \ \ \ (3.28)
因此，上式可变为
f\left( t \right) = c_{0} + \sum_{n =
1}^{\infty}{\lbrack\frac{\left( a_{n} - jb_{n}
\right)}{2}e^{\text{jn}\omega t} + \frac{\left( a_{- n} - jb_{- n} \right)}{2}e^{- jn\omega t}\rbrack}\ (3.29)
即
f\left( t \right) = c_{0} + \sum_{n =
1}^{\infty}{\frac{\left( a_{n} - jb_{n}
\right)}{2}e^{\text{jn}\omega t}} + \sum_{- \infty}^{- 1}{\frac{\left( a_{n} - jb_{n}
\right)}{2}e^{\text{jn}\omega t}}
*这里注意一点 c_0 为直流分量,对应频率为0的情况,即 c_0 为 n=0 的情况
f\left( t \right) = \sum_{n = -
\infty}^{\infty}{\frac{\left( a_{n} - jb_{n}
\right)}{2}e^{\text{jnωt}}}\ (3.30)
设 A_{n} = \frac{\left( a_{n} - jb_{n} \right)}{2} 上
式就写成了
f\left( t \right) = \sum_{n = -
\infty}^{\infty}{A_{n}e^{\text{jnωt}}}\ \ \ (3.31)
式3.31就是复数形式的傅里叶级数,其中, \ A_{n} 是一个复数,在式3.31的两边同时乘以一个 e^{- jk\text{ωt}} ,并对它们在一个周期内进行积分,得到式子3.32
\int_{0}^{T}{f(t)e^{- jk\omega t}}dt =
\int_{0}^{T}{\sum_{n = - \infty}^{+
\infty}{A_{n}e^{j(n - k)\omega t}}}dt\ (3.32)
由第一节的正交性推论可知,当n与k不相等时,积分结果必定为0,仅当 n = k 时,右表达式有值,因此,推导出3.33
\int_{0}^{T}{f(t)e^{- jn\omega t}}dt = A_{n}T (3.33)
即得出复数 A_{n} 的求法
A_{n} = \frac{1}{T}\int_{0}^{T}{f(t)e^{- jn\omega
t}}dt\ \ \
通过求 A_{n} 的模(式2.19),可求得该频率波的幅值的一半
{|A}{n}| = \frac{1}{2}\sqrt{{a_{n}}^{2} + {b_{n}}^{2}} = \frac{1}{2}c_{n}\ \ (3.34)
而通过对其虚部与实部反正切,就可以求得该频率波的相位。

第四节周期离散时间傅里叶变换
傅立叶级数适用于周期连续、长度无限的信号处理。

但是我们需要对要处理的信号进行采样，而信号往往不是周期性的，采样时间不可能是无限的，这就意味着我们需要一个能够处理非周期性离散时间信号的变换公式。

现假设我们对周期连续信号等间距采样，同时保证采样的结果也是周期性的，设离散时间的采样样本为 x\lbrack
t\rbrack ,其周期为T,那么,其应该频率是 \frac{2\pi}{T} ,同时因为其周期性,其应该满足式3.35
x\left\lbrack t \right\rbrack = x\left\lbrack t + kT \right\rbrack\text{}(3.35)
其中,n、k是一个整数,设 t=<T> 表示任意连续的T个采样点，即一个周期内的所有样本点，那么根据式3.31，周期离
散傅里叶级数可以写成3.36这种形式
x\left\lbrack t \right\rbrack = \sum_{n = <
T >}^{}{A_{n}e^{\text{jnωt}}}\text{}(3.36)
其中 A_{n} 就是周期离散傅里叶级数的系数，根据第三节的推导方式，在式子的两边同时乘以 e^{- jk\text{ωt}}得到式子3.37
x\left\lbrack t \right\rbrack e^{- jk\text{ωt}} =
\sum_{n = < T >}^{}{A_{n}e^{\text{jnωt}}e^{-
jk\text{ωt}}}\text{ }(3.37)
然后再同时对两边进行T项上求和，得到3.38
\sum_{t = < T >}^{}{x\left\lbrack t \right\rbrack e^{- jk\text{ωt}}} = \sum_{t = < T >}^{}{\sum_{n = <
T >}^{}A_{n}e^{j(n - k)\omega t}}
上式同样满足当n不等于k时,周期的累加和为0,因此,上式
可变为
\sum_{t = < T >}^{}{x\left\lbrack t \right\rbrack e^{- jk\text{ωt}}} = TA_{n}\ (3.38)
因此,可得到
A_{n} = \frac{1}{T}\sum_{t = < T >}^{}{x\left\lbrack t \right\rbrack e^{- jn\text{ωt}}}\text{ }(3.39)
第五节非周期离散时间傅里叶变换
假设一个离散时间信号,其只在区间[1,3]上有值,其它范围都是0,那么,我们就可以把它当做一个周期无穷大的信号,那么,我们就可以套用公式3.39,取得其傅里叶级数公式3.40
A_{n} = \frac{1}{3}\sum_{t = 1}^{3}{x\left\lbrack t
\right\rbrack e^{- jn\text{ωt}}}\text{}(3.40)
因为在其它区间内的都是0,因此上式又可以写成
A_{n} = \frac{1}{3}\sum_{t = -
\infty}^{\infty}{x\left\lbrack t \right\rbrack e^{-
jn\text{ωt}}}\text{ }(3.41)
如果将区间拓展到某一信号有连续的N个值,那么就得出一个更加通用的公式
A_{n} = \frac{1}{N}\sum_{t = -
\infty}^{\infty}{x\left\lbrack t \right\rbrack e^{-
jn\text{ωt}}}\text{ }(3.42)
设
X\left( e^{\text{jω}} \right) = \sum_{t = -
\infty}^{\infty}{x\left\lbrack t \right\rbrack e^{-
j\omega t}}\text{}(3.43)
根据式那么就有
A_{n} = \frac{1}{N}X\left( e^{\text{jωn}} \right)\ \ \ (3.44)
将3.44代回式子3.36得到
x\left\lbrack t \right\rbrack = \frac{1}{N}\sum_{t = - \infty}^{\infty}{X\left( e^{\text{jωn}}
\right)e^{\text{jnωt}}}\text{ }(3.45)
因为 N = \frac{2\pi}{\omega} ,因此上式又可以写为
x\left\lbrack t \right\rbrack = \frac{1}{2\pi}\sum_{t = - \infty}^{\infty}{X\left( e^{\text{jωn}}
\right)e^{\text{jnωt}}}w(3.46)
随着周期趋近于无穷大， \omega 趋近于无穷小，那么，上式就从累加变成了积分，且因为 X\left( e^{\text{jω}}
\right)e^{\text{jωn}}的周期为2π，且其仅在周期内有值，于是，上式也随之变为了
x\left\lbrack t \right\rbrack =
\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}{X\left( e^{\text{jω}} \right)e^{\text{jωnt}}\text{dω}}\text{ }(3.46)
第六节非周期有限长度离散时间傅里叶变换
依据之前章节的推断,傅里叶变换仅能支持周期离散时间的信号样本,要得到周期样本,可以对有限长度的信号样本进行补值:
图3-6-1 离散时间信号示范
如图3-6-1是一个仅有3个样本的离散时间信号(其中横轴为时间轴),在该信号的其它时间区间,可以假设对取信号进行补值,从而得到一个周期性离散时间信号如图3-6-2是一个对图
3-6-1进行补值后的信号，该信号可以使用第四节的变换公式。

图3-6-1 循环补值后的信号
根据第二章第四节的公式3.39及3.36
A_{n} = \frac{1}{T}\sum_{t = < T >}^{}{x\left\lbrack t \right\rbrack e^{- jn\text{ωt}}}\text{ }(3.39)
x\left\lbrack t \right\rbrack = \sum_{n = <
T >}^{}{A_{n}e^{\text{jnωt}}}\text{ }(3.36)
如果将有限长的信号推广到无限长的信号，先假设信号的样本点数为T个，那么，信号x[t]的t取值范围就可以定义在[0,T-1]，因此,将范围限定于[0,T-1]，式3.36可以写成:
x\left\lbrack t \right\rbrack = \sum_{n = 0}^{T -
1}{A_{n}e^{\text{jn}\omega t}}\text{}(3.47)
因为 \omega = \frac{2\pi}{T} 因此上式可以写成
x\left\lbrack t \right\rbrack = \sum_{n = 0}^{T -
1}{A_{n}e^{\text{jn}\frac{2\pi}{T}t}}\text{}(3.48)
同理,式3.39可以写成
A_{n} = \frac{1}{T}\sum_{t = 0}^{T - 1}{x\left\lbrack t \right\rbrack e^{- jn\frac{2\pi}{T}t}}\text{ }(3.49)
依据上式可知,变换的结果也是一个离散的复信号,其范围同样被限定在[0,T-1],在实际的使用中,常常用大写的X[n]来表示变换后的复信号的T倍(即求其频率密度),即
X\left\lbrack n \right\rbrack = TA_{n}\text{}(3.50)
那么,3.47就可以写成
x\left\lbrack t \right\rbrack = \frac{1}{T}\sum_{n = 0}^{T - 1}{X\left\lbrack n \right\rbrack
e^{\text{jn}\frac{2\pi}{T}t}}\text{}(3.51)
3.49可以写成
X\left\lbrack n \right\rbrack = \sum_{t = 0}^{T -
1}{x\left\lbrack t \right\rbrack e^{-
jn\frac{2\pi}{T}t}}\text{}(3.52)
至此,所有推导完成结束.
*注意,离散福利叶变换的幅度计算和相位计算与傅里叶级数的余弦展开有所不同
依据欧拉公式
e^{-jwt}=cos(wt)-jsin(wt)
其实部对应cos虚部对应sin,与傅里叶级数的余弦展开(参考式2.14)+变-号,那么求其相位应该是:
\varphi = \arctan\left( \frac{b_{n}}{a_{n}} \right)
同时,依据式3.5,其幅度是
c_{n}\ \ = \frac{2}{T}\sqrt{{a_{n}}^{2} + {b_{n}}^{2}}
离散有限长傅里叶变换应该是最常用到的傅里叶变换式,特此说明以免有部分读者对此有所困惑.。