《泛函分析》教学大纲（本科）说明本课程的教学目的与要求本大纲

《泛函分析》教学大纲（本科）
说明
1本课程的教学目的与要求
本大纲适用专业为数学与应用数学专业脱产与本科。

《泛函分析》是现代教学中的一门较新的数学分支，它综合地运用分析的，代数和几何的观点、方法研究分析数学中的许多问题，由它把具体的分析问题，由于它把具体的分析问题抽象到一种更加纯粹的代数拓扑结构的形式中进行研究，因此逐步形成了综合运用代数、几何处理问题的新方法，正因为这种纯粹形式的代数，拓扑结构是根植于肥沃的经典分析和数学物理土壤之中的，所以由此发展起来的基本概念，定理和方法也就显的更为广泛，更为深刻，现在泛函分析已成为一门内容丰富，方法系统，体系完备，应用广泛的独立分支，通过该课程的学习，学生不仅能学到泛函分析的基本理论和方法，而且对学习其他数学分支以及把他应用到数理经济，现代控制论，量子场论，统计物理。

工程技术等领域有很大帮助。

2本课程的主要内容：
本课程主要介绍线性泛函分析，重点介绍Banach空间最基本的几个定理，如泛函延拓，逆算子定理共鸣定理及某些具体空间泛函表示定理等，Hilbert空间几何学以及距离空间的必要知识，压缩映象原理等。

3教学重点与难点
本重点是几个最基本的定理，如泛函延拓定理，逆算子定理，共鸣定理，他们也是本章的重点。

4本课程的知识范围及与相关课程的关系
本课程主要可以在学完数学分析、线性代数空间、解析几何及实变函数，复变函数后学习。

5教材的选用
本课程选用程其襄的《实变函数与泛变分析基础》。

6．教学学时分配
本课程为一学期课程，每周４学时，总学时为７２学时，其中授课６２学时，习题课８学时，机动２学时, 函授按脱产学时的百分之四十进行面授。

教学内容
第六章距离空间（２５学时）
一、教学内容
距离空间的概念，距离空间中开集闭集，稠密性与可分性，连续映照的概念，距离空间中完备性，及其上连续映照，具体空间收敛性、完备性判定法及不动点定理。

二、教学目的及要求
要求学生掌握距离空间的一些基本概念，为后面学习打下基础。

三、教学重点
距离空间的完备性，具体空间的收敛性、完备性判别法，不动点定理。

四、教学难点
具体距离空间上收敛性、完备性判判别法及不动点定理。

五、各章节教学时间分配及进度安排
（1）距离空间基本概念
距离空间中定义及例，距离空间中收敛的概念（６学时）
（2）距离空间中的点集及其上的映射
几类特征的点集（内点，聚点，开集闭集，闭包等）稠密性，可分性连续映照（４学时）
（3）完备化，距离空间的完备化
完备的距离空间，距离空间的完备化（４学时）
（4）某些具体空间中集合各列收敛性、完备性判别法的判别条
件（４学时）
（5）不动点定理
压缩映照原理及应用（４学时）
六、主要教学环节组织
在本章最后学时进行有关问题及习题讨论
第七章赋范线性空间与内积空间（１６学时）
一、教学内容
赋范线性空间，具有基的Banach空间，内积空间及特征，内积空间中的直交与直交系。

二、教学目的与要求
要求学生掌握赋范线性空间与内积空间基本概念，特别是范数公理，某些具体空间中范数的定义，直交与直交系等概念要熟练掌握。

三、教学重点
本章重点是赋范线性空间与内积空间
四、教学难点
有限维赋范空间，内积空间的特征
五、各章节教学时间分配及进步安排
（１）赋范线性空间基本概念
线性空间的概念，赋范线性空间的概念以及例，直接和（３学时）（２）具有基的Banach空间，有限维赋范线性空间（３学时）
（３）内积空间的基本概念与性质
内积空间的定义以及例，内积空间的特征（３学时）
（４）内积空间中直交与直交系
直交与直交分解，内积空间中标准在交系，Schmidt直交化法可分Hibert空间的同构性（４学时）
六、主要教学环节组织
在本章最后１学时安排有关问题讨论以及习题讨论
第八章赋范线性空间上的有界线性算子（２５学时）
一、教学内容：有界线性算子基本概念，算子乘法，算子空间，开映照定理，闭图
象定理，共鸣定理以及应用，Hahn-Banach定理，有界线性算子正则集谱。

二、教学目的与要求
要求学生掌握有界线性算子的概念，共轭空间以及Banach空间一系列重要基本定理，其中包括泛函延拓定理，开映照定理，闭图象定理，共鸣定理，这一章是泛函分析的核心内容，因此必须重点讲述。

三、教学重点Banach空间中的几个基本定理
四、各章节教学时间分配以及进度安排
（１）有界线性算子
基本概念与性质，线性算子空间，算子乘法与赋范代数＊（３学时）
（２）Banach开映照定理，逆算子定理，开映照定理，逆算子定理，闭图象定理（４学时）
（３）共鸣定理以及应用
共鸣定理，共鸣定理的应用（４学时）
（４）有界线性泛函的延拓Hahn-Banach定理（３学时）
（５）共轭空间，共轭算子弱收敛（４学时）
（６）有界线性算子正则集与谱
逆算子性质，有界线性算子的正则集与谱正则集与谱的性质，谱本性（３学时）
（７）紧算子（２学时）
（８）非线性泛函分析初步（１学时）
五、主要教学环节组织
在本章最后１学时进行有关问题讨论以及习题讨论
第九章内积空间上的有界线性算子（６学时）
一、教学内容
本章介绍了内积空间中有界算子，特别是有界线性泛函表示定理，共轭算子，共轭算子及自共轭算子。

二、教学目的以及要求
要求学生掌握有关内积空间的线性算子性质，泛函表示定理，共轭算子，自共轭算子概念。

三、教学重点H空间上泛函表示定理，共轭算子概念
四、教学难点自共轭算子的概念以及泛函表示定理
五、各章节教学时间分配与进步安排学时
（１）Hilbert 空间的共轭空间，共轭算子
H空间上的有界线性泛函的表示，共轭算子以及性质（１.５学时）（２）自共轭算子的基本性质
自共轭算子的概念，正算子、双线性Hermite泛函（１学时）（３）投影算子（０.５学时）
（４）谱系与自共轭算子的谱分解定理（０.５学时）
（５）算子以及谱分解定理（０.５学时）
（６）正常算子以及谱分解定理（０.５学时）
六、主要教学环节的组织
在本章最末０.５学时讨论有关问题以及习题
参考书目
2夏道行等编《实变函数论与泛函分析》（第二册），高教出版社
3张恭庆，林源渠编著《泛函分析讲义》（上，下册），北京大学
出版社。

注：
第八章中Banach空间四大基本定理与第九章中共轭算子与自共轭算子将根据各届学生水平决定取舍。

撰写人项昕。