2014-2015年上海市闸北区市北中学高一(下)期中数学试卷和答案

2014-2015学年上海市闸北区市北中学高一（下）期中数学试卷
一、填空题（每题3分，共计30分）
1．（3分）已知扇形的圆心角为120°，半径为3，则扇形的面积是．2．（3分）已知角α的顶点在原点，始边与x轴正半轴重合，点P（﹣4，3）是角α终边上一点，则sinα+2cosα=．
3．（3分）函数y=tan2x的最小正周期．
4．（3分）已知，，则tan2x=．
5．（3分）在△ABC中，若a=4，b=3，c=2，则△ABC的最小角为（用反三角函数表示）
6．（3分）已知，α为第二象限角，则=．7．（3分）已知tan（π﹣x）=3，则sin2x=．
8．（3分）函数f（x）=cos2x+sin2x图象向左平移m（m＞0）个单位，所得函数图象关于原点对称，则m的最小值为．
9．（3分）关于函数f（x）=x•arcsinx有下列命题：
①f（x）的定义域是R；
②f（x）是偶函数；
③f（x）在定义域内是增函数；
④f（x）的最大值是，最小值是0，
其中正确的命题是．（写出你所认为正确的所有命题序号）
10．（3分）方程x2﹣cosx=0的解可视为函数y=cosx的图象与函数y=x2的图象交点的横坐标，则方程实数解的个数为．
二、选择题（每题4分，共计16分）
11．（4分）△ABC中，“A＞B”是“cosA＜cosB”的（）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件
12．（4分）“φ=0”是“函数y=cos（x+φ）为偶函数”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
13．（4分）在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（）
A．b=10，A=45°，C=60°B．a=6，c=5，B=60°
C．a=7，b=5，A=60°D．a=3，b=4，A=45°
14．（4分）车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数，单位为辆/分，上班高峰期某十字路口的车流量由函数F（t）=50+4sin（其中t∈R0≤t≤20）给出，F（t）的单位是辆/分，t的单位是分，则在下列哪个时间段内车流量是增加的（）
A．[0，5]B．[5，10]C．[10，15]D．[15，20]
三、解答题（第15题8分，第16题10分，第17、18、19题各12分）
15．（8分）已知，，，且，求
的值？
16．（10分）位于A处的雷达观测站，发现其北偏东45°，与A相距海里的B处有一货船正以匀速直线行驶，20分钟后又测得该船位于观测站A北偏东
45°+θ（0°＜θ＜45°）的C处，．在离观测站A的正南方某处E，
（1）求cosθ；
（2）求该船的行驶速度v（海里/小时）．
17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且，b=3，sinC=2sinA．
（1）求c的值；
（2）求cos2A的值和三角形ABC的面积．
18．（12分）已知函数，
（1）若，求a；
（2）如果关于x的方程|f（x）|=m在区间（0，π）上有两个不同的实根，求实数m的取值范围．
19．（12分）已知函数f（x）=cos4x+2sinxcosx﹣sin4x
（1）求函数f（x）奇偶性、最小正周期和单调递增区间
（2）当时，求函数f（x）的最大值和最小值．
2014-2015学年上海市闸北区市北中学高一（下）期中数
学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（每题3分，共计30分）
1．（3分）已知扇形的圆心角为120°，半径为3，则扇形的面积是3π．
【解答】解：扇形的圆心角为1200，即扇形的圆心角为，则扇形的面积是α r2=
=3π，
故答案为：3π．
2．（3分）已知角α的顶点在原点，始边与x轴正半轴重合，点P（﹣4，3）是角α终边上一点，则sinα+2cosα=﹣1．
【解答】解：∵点P（﹣4，3）是角α终边上一点，∴x=﹣4，y=3，r=|OP|=5，
∴sinα==，cosα==﹣，则sinα+2cosα=﹣=﹣1，
故答案为：﹣1．
3．（3分）函数y=tan2x的最小正周期．
【解答】解：函数y=tan2x的最小正周期为，
故答案为：．
4．（3分）已知，，则tan2x=．
【解答】解：∵，，∴sinx=﹣∴tanx=﹣
∴tan2x===
故答案为：
5．（3分）在△ABC中，若a=4，b=3，c=2，则△ABC的最小角为arccos（用反三角函数表示）
【解答】解：由大边对大角可知，边c所对的角C最小，
由余弦定理可得：cosC==．
∵0°＜C＜180°，∴C=arccos．
故答案为：arccos．
6．（3分）已知，α为第二象限角，则=3．
【解答】解：∵已知=cosα，α为第二象限角，∴sinα=
=，
则==3，
故答案为：3．
7．（3分）已知tan（π﹣x）=3，则sin2x=﹣．
【解答】解：由tan（π﹣x）=3可得，tanx=﹣3，sin2x=2sinxcosx=
故答案为：﹣
8．（3分）函数f（x）=cos2x+sin2x图象向左平移m（m＞0）个单位，所得函数
图象关于原点对称，则m的最小值为．
【解答】解：把函数f（x）=cos2x+sin2x=sin（2x+）图象向左平移m（m＞0）个单位，
可得y=sin（2x+2m+）的图象，
根据所得函数图象关于原点对称，可得2m+=kπ，k∈Z，则m的最小值为，故答案为：．
9．（3分）关于函数f（x）=x•arcsinx有下列命题：
①f（x）的定义域是R；
②f（x）是偶函数；
③f（x）在定义域内是增函数；
④f（x）的最大值是，最小值是0，
其中正确的命题是②④．（写出你所认为正确的所有命题序号）
【解答】解：对于①﹣1≤x≤1，∴函数的定义域不可能为R，故①错误；
对于②f（﹣x）=f（x），两个奇函数乘积偶函数，∴为偶函数，故②正确；
对于③由于是偶函数，则f（x）在定义域内不可能单调，故③错误；
对于④左边单减，右边单增，∴f（x）的最大值是，最小值是0，故④正确．故答案为：②④．
10．（3分）方程x2﹣cosx=0的解可视为函数y=cosx的图象与函数y=x2的图象交点的横坐标，则方程实数解的个数为4．
【解答】解：∵，∴sin=（x≠0），
令f（x）==（x+），
则f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
做出y=sin和y=f（x）在（0，+∞）上函数图象如图所示：
由图象可知y=sin和y=f（x）在（0，+∞）上有2个交点，
又y=sin和y=f（x）都是奇函数，
∴y=sin和y=f（x）在（﹣∞，0）上有2个交点，
∴方程有4个解，
故答案为：4．
二、选择题（每题4分，共计16分）
11．（4分）△ABC中，“A＞B”是“cosA＜cosB”的（）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件
【解答】解：∵A、B是三角形的内角，
∴A∈（0，π），B∈（0，π），
∵在（0，π）上，y=cosx是减函数，
∴△ABC中，“A＞B”⇔“cosA＜cosB”，
故选：C．
12．（4分）“φ=0”是“函数y=cos（x+φ）为偶函数”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【解答】解：函数y=cos（x+φ）为偶函数，则φ=2kπ，k∈Z，
故“φ=0”是“函数y=cos（x+φ）为偶函数充分不必要条件，
故选：A．
13．（4分）在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（）
A．b=10，A=45°，C=60°B．a=6，c=5，B=60°
C．a=7，b=5，A=60°D．a=3，b=4，A=45°
【解答】解：对于A，
若b=10，A=45°，B=60°，则由正弦定理可得，
求得a=，故△ABC有一解；
对于B，
若a=6，c=5，B=60°，则由余弦定理可得b2=a2+c2﹣2ac•cosB，求得b=，只有一解，故△ABC有一解；
对于C，
若a=7，b=5，A=60°，则由正弦定理可得，求得sinB=，
再根据b＜a，可得B为锐角，故角B只有一个，故△ABC有一解；
对于D，
若a=3，b=4，A=45°，则由正弦定理可得，求得sinB=，
再根据b＞a，可得B＞A，
可得：B可能是锐角也可能是钝角，即角B有2个值，故△ABC有两解，
故选：D．
14．（4分）车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数，单位为辆/分，上班高峰期某十字路口的车流量由函数F（t）=50+4sin（其中t∈R0≤t≤20）给出，F（t）的单位是辆/分，t的单位是分，则在下列哪个时间段内车流量是增加的（）
A．[0，5]B．[5，10]C．[10，15]D．[15，20]
【解答】解：本题即求函数F（t）=50+4sin的增区间，
由，k∈z，解得4kπ﹣π≤t≤4kπ+π，
故函数F（t）=50+4sin的增区间为[4kπ﹣π，4kπ+π]，k∈z，
结合所给的选项，只有选项C中的区间是[4kπ﹣π，4kπ+π]，k∈z的子区间，故选：C．
三、解答题（第15题8分，第16题10分，第17、18、19题各12分）
15．（8分）已知，，，且，求
的值？
【解答】解：，，
∴0＜﹣β＜，
∴0＜α﹣β＜π；
又，
∴sin（α﹣β）=；
∴tan（α﹣β）==；
又，
∴tanβ=tan[α﹣（α﹣β）]===﹣，
∴===．
16．（10分）位于A处的雷达观测站，发现其北偏东45°，与A相距海里的B处有一货船正以匀速直线行驶，20分钟后又测得该船位于观测站A北偏东
45°+θ（0°＜θ＜45°）的C处，．在离观测站A的正南方某处E，
（1）求cosθ；
（2）求该船的行驶速度v（海里/小时）．
【解答】解：（1）∵，∴sin∠EAC=．（2分）
∴cosθ=cos（﹣∠EAC）=+=．（6分）
（2）利用余弦定理求得BC2=AB2+AC2﹣2AB•AC•cosθ=925，∴BC=5．（10分）又该船以匀速直线行驶了20分钟的路程为5海里，
该船的行驶速度v=15（海里/小时）．（14分）
17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且，b=3，sinC=2sinA．
（1）求c的值；
（2）求cos2A的值和三角形ABC的面积．
【解答】解：（Ⅰ）∵a=，sinC=2sinA，
∴根据正弦定理得：c=a=2a=2；
（Ⅱ）∵a=，b=3，c=2，
∴由余弦定理得：cosA==，
又A为三角形的内角，
∴sinA=，
∴sin2A=2sinAcosA=，cos2A=cos2A﹣sin2A=，
三角形ABC的面积S==3．
18．（12分）已知函数，
（1）若，求a；
（2）如果关于x的方程|f（x）|=m在区间（0，π）上有两个不同的实根，求实数m的取值范围．
【解答】解：（1）解：y=cos2x+sinxcosx
=×+=
=，
∵，∴sin（2α+）=，解得2=2k或2=2kπ+，或（k∈Z）．
（2）画出y=|f（x）|的图象，再画出y=m的图象，
结合图象可知它们有两个不同的交点的情况；
可得m=0，1﹣＜m＜，＜m＜1+．
19．（12分）已知函数f（x）=cos4x+2sinxcosx﹣sin4x
（1）求函数f（x）奇偶性、最小正周期和单调递增区间
（2）当时，求函数f（x）的最大值和最小值．
【解答】解：（1）f（x）=（cos2x+sin2x）（cos2x﹣sin2x）=cos2x+sin2x=）
=sin
（2x +），
∴f（x）的最小正周期T=；∵f（﹣x）≠f（x）≠﹣f（x），f（x）是非奇非偶函数；
由﹣+2kπ≤2x +≤
2kπ，k∈Z 得﹣+kπ≤
x，k∈Z
∴f（x）的单调递增区间是[﹣+kπ，kπ
+]（k∈Z）；（2）当时，2x +，
结合正弦函数图象可得，sin（2x +），
∴函数f（x
）的最大值和最小值分别为，﹣1．
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