广东省2011年中考数学压轴题复习(18道题 答案)

2011初三数学总复习12分题参考答案（旋转）2、 将两个全等的直角三角形ABC 和DBE 按图①方式摆放，其中∠ACB =∠DEB =90°，∠A =∠D =30°，点E 落在AB 上，DE 所在直线交AC 所在直线于点F ．（1）求证： AF +EF =DE ；（2）若将图①中的D B E △绕点B 按顺时针方向旋转角α，且060α<<°°，其它条件不变，请在图②中画出变换后的图形，并直接写出你在⑴中猜想的结论是否仍然成立；（3）若将图①中的D B E △绕点B 按顺时针方向旋转角β，且60180β<<°°，其它条件不变，如图③．你认为⑴中猜想的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出AF 、EF 与DE 之间的关系，并说明理由．解：⑴连接BF （如图①），∵△ABC ≌△DBE ，∴BC =BE ，AC =DE ． ∵∠ACB =∠DEB =90°，∴∠BCF =∠BEF =90°， ∵BF =BF ，∴Rt △BFC ≌Rt △BFE ．∴CF =EF ． 又∵AF +CF =AC ，∴AF +EF =DE ． ⑵画出正确图形如图②⑴中的结论AF +EF =DE 仍然成立．⑶不成立．此时AF 、EF 与DE 的关系为AF - EF =DE 理由：连接BF （如图③），∵△ABC ≌△DBE ，∴BC =BE ，AC =DE ， ∵∠ACB =∠DEB =90°，∴∠BCF =∠BEF =90°． 又∵BF =BF ，∴Rt △BFC ≌Rt △BFE ．∴CF =EF ． 又∵AF -CF =AC ，∴AF -EF = DE ． ∴⑴中的结论不成立． 正确的结论是AF -EF = DE（规律）3、如图，在直角坐标系中，已知点0M 的坐标为（1,0），将线段0OM绕原点O 沿逆时针方向旋转45，再将其延长到1M ，使得001OMM M ⊥，得到线段1OM ；又将线段1OM 绕原点O 沿逆时针方向旋转45，再将其延长到2M ，使得112OM M M ⊥，得到线段2OM，如此下去，得到线段3OM ，4OM，…，nOM．（1）写出点M 5的坐标；（2）求56M O M △的周长；（3）我们规定：把点)(n n n y x M ，（=n 0,1,2,3…）的横坐标n x ，纵坐标n y 都取绝对值后得到的新坐标()n n y x ,称之为点n M 的“绝对标”．根据图中点n M 的分布规律，请你猜想点n M 的“绝对坐标”，并写出来．解：（1）M 5（―4，―4） （2）由规律可知，245=OM,2465=M M ，86=OM∴56M O M △的周长是288+（3）由题意知，0OM 旋转8次之后回到x 轴的正半轴，在这8次旋转中，点n M 分别落在坐标象限的分角线上或x 轴或y 轴上，但各点“绝对坐标”的横、纵坐标均为非负数，因此，点n M 的“绝对坐标”可分三类情况：令旋转次数为n① 当点M 在x 轴上时: M 0（0,)2(0），M 4（0,)2(4），M 8（0,)2(8），M 12（0,)2(12）,…，即：点n M 的“绝对坐标”为（0,)2(n）。

② 当点M 在y 轴上时: M 2))2(,0(2，M 6))2(,0(6，M 10))2(,0(10，M 14))2(,0(14,……，即：点n M 的“绝对坐标”为))2(,0(n．③ 当点M 在各象限的分角线上时：M 1))2(,)2((00，M 3))2(,)2((22，M 5))2(,)2((44，M 7))2(,)2((66,……，即：n M 的“绝对坐标”为))2(,)2((11--n n ．（规律）4、 观察下列方程及其解的特征：（1）12x x +=的解为121x x ==； （2）152x x +=的解为12122x x ==，；（3）1103x x+=的解为12133x x ==，； …… ……解答下列问题： （1）请猜想：方程1265x x+=的解为 ；（2）请猜想：关于x 的方程1x x+= 的解为121(0)x a x a a==≠，；（3）下面以解方程1265x x +=为例，验证（1）中猜想结论的正确性．解：原方程可化为25265x x -=-．（下面请大家用配方法写出解此方程的详细过程）解：（1）15x =，215x =；（2）21a a+（或1a a+）；（3）二次项系数化为1，得22615x x -=-．配方，得2222613131555x x ⎛⎫⎛⎫-+-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 213144525x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．开方，得131255x -=±．解得15x =，215x =． 1（探究）5、 已知A B C △中，AC AB =，D 、E 是BC 边上的点，将ABD △绕点A 旋转，得到△D AC '，连结E D '．（1）如图1，当︒=∠120BAC ，︒=∠60DAE 时，求证：E D DE '=．（2）如图2，当E D DE '=时，DAE ∠与BAC ∠有怎样的数量关系？请写出，并说明理由． （3） 如图3，在（2）的结论下，当︒=∠90BAC ，BD 与DE 满足怎样的数量关系时，D E C'△是等腰直角三角形？（直接写出结论，不必说明理由）．（1）证明：如图1∵ABD △旋转得到△D AC '∴D A AD BAC D DA '=︒=∠='∠,120∵︒=∠60DAE∴︒=︒-︒=∠-'∠='∠6060120DAE D DA D EA ∴AE D DAE '∠=∠ 又∵AE AE =∴D A E D A E '△≌△)(SAS ∴E D DE '= （2）BAC DAE ∠=∠21理由：如图2∵ABD △旋转得到△D AC '∴BAC D DA ∠='∠，D A AD '= ∵AE AE E D DE ='=, ∴D A E D A E '△≌△（SSS ） ∴D DA AE D DAE '∠='=∠21∴BAC DAE ∠=∠21AE DBD '图1CA CD 'EDB图2CAB DE D '图3AE DBD '图1 CACD 'EDB 图2 CABDE D '（探究）6、 我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形．（1）请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称； （2）如图，在A B C △中，点D E ，分别在A B A C ，上， 设C D B E ，相交于点O ，若60A ∠=°，12D C B E B C A ∠=∠=∠．请你写出图中一个与A ∠相等的角，并猜想图中哪个四边形是等对边四边形；（3）在A B C △中，如果A ∠是不等于60°的锐角，点D E ，分别在A B A C ，上，且12D C BE B C A∠=∠=∠．探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论．解：（1）回答正确的给1分（如平行四边形、等腰梯形等）． （2）答：与A ∠相等的角是B O D ∠（或C O E ∠）．四边形D B C E 是等对边四边形． （3）答：此时存在等对边四边形，是四边形D B C E ．如图1，作C G BE ⊥于G 点，作BF C D ⊥交C D 延长线于F 点． 因为12D C BE B C A ∠=∠=∠，B C 为公共边，所以B C F C B G △≌△．所以B F C G =．因为B D F A B E E B C D C B ∠=∠+∠+∠， B E C A B E A ∠=∠+∠，所以B D F B E C ∠=∠． 可证B D F C E G △≌△．所以B D C E =． 所以四边形D B C E 是等边四边形．B OA DEC BOADECF图BOADECF 图G（抛物线）7、如图，Rt △ABO 的两直角边OA 、OB 分别在x 轴的负半轴和y 轴的正半轴上，O 为坐标原点，A 、B 两点的坐标分别为（3-，0）、（0，4），抛物线223y x bx c=++经过B 点，且顶点在直线52x =上．（1）求抛物线对应的函数关系式；（2）若△DCE 是由△ABO 沿x 轴向右平移得到的，当四边形ABCD 是菱形时，试判断点C 和点D 是否在该抛物线上，并说明理由；（3）若M 点是CD 所在直线下方该抛物线上的一个动点，过点M 作MN 平行于y 轴交CD 于点N ．设点M 的横坐标为t ，MN 的长度为l ．求l 与t 之间的函数关系式，并求l 取最大值时，点M 的坐标．解：（1）由题意，可设所求抛物线对应的函数关系式为225()32y x m =-+ ∴2254()32m =⨯-+∴16m =-∴所求函数关系式为：22251210()432633y x x x =--=-+（2）在Rt △ABO 中，OA =3，OB =4，∴5AB == ∵四边形ABCD 是菱形 ∴BC =CD =DA =AB =5∴C 、D 两点的坐标分别是（5，4）、（2，0）． 当5x =时，22105533y =⨯-⨯+当2x =时，2210224033y =⨯-⨯+= ∴点C 和点D 在所求抛物线上．（3）设直线CD 对应的函数关系式为y kx b =+，则5420k b k b +=⎧⎨+=⎩ 解得：48,33k b ==-． ∴4833y x =- ∵MN ∥y 轴，M 点的横坐标为t ， ∴N 点的横坐标也为t ．则2210433M y t t =-+， 4833N y t =-，∴22248210214202734()3333333322N M l y y t t t t t t ⎛⎫=-=---+=-+-=--+ ⎪⎝⎭27371（图形与抛物线）8、 如图①，梯形ABCD 中，∠C =90°．动点E 、F 同时从点B 出发, 点E 沿折线BA -AD -DC运动到点C 时停止运动, 点F 沿BC 运动到点C 时停止运动,它们运动时的速度都是1 cm/s ．设E 、F出发t s 时, EBF ∆的面积为y cm 2．已知y 与 t 的函数图象如图②所示，其中曲线OM 为抛物线的一部分，MN 、NP 为线段．请根据图中的信息，解答下列问题：（1）梯形上底的长AD = cm ，梯形ABCD 的面积= cm 2；（2）当点E 在BA 、DC 上运动时, 分别求出y 与 t 的函数关系式(注明自变量的取值范围)； （3）当t 为何值时，EBF ∆与梯形ABCD 的面积之比为1:2？ 解：（1）2，14． （2）①当点E 在BA 上运动时，如图①，此时05t <≤． 分别过点E ，A 作EG ⊥BC ，AH ⊥BC ，垂足分别为G ，H ， 则△BEG ∽△BAH ．∴BEEG BAAH=，即54tEG =，∴45EG t=．∴211422255y BF EG t t t=⋅=⋅⋅=．② 当点E 在DC 上运动时，如图②，此时711t ≤<．∴11C E t =-，∴()115555112222y BC CE t t=⋅=⨯⨯-=-． （自变量的取值范围写全写对得1分，否则0分）（3）当05t <≤时，2275t =，∴2t =． 当711t ≤<时，555722t -=，∴8.2t =．∴2t =s 或8.2t =s 时，EBF ∆与梯形ABCD 的面积之比为1:2．（图形与抛物线）9、在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC 放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点(02)A ，，点(10)C -，，如图所示：抛物线22y ax ax =+-（1）求点B 的坐标； （2）求抛物线的解析式；（3）在抛物线上是否还存在点P （点B 除外），使A C P △仍然是以A C 为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．（1）过点B 作BD x ⊥轴，垂足为D ，9090BC D AC O AC O C AO ∠+∠=∠+∠= °，°B C D C A O ∴∠=∠； 又90BDC COA CB AC ∠=∠== °；，BC D C AO ∴△≌△， 12B D O C C D O A ∴====， ∴点B 的坐标为(31)-，；（2）抛物线22y ax ax =+-经过点(31)B -，，则得到1932a a =--， 解得12a =，所以抛物线的解析式为211222y x x =+-；（3）假设存在点P ，使得A C P △仍然是以A C 为直角边的等腰直角三角形： ①若以点C 为直角顶点；则延长B C 至点1P ，使得1P C BC =，得到等腰直角三角形1AC P △， 过点1P 作1P M x ⊥轴，11190C P BC M C P BC D P M C BD C =∠=∠∠=∠= ，，°；1M P C D BC ∴△≌△ 121C M C D P M BD ∴====，，可求得点1P (1，-1)；②若以点A 为直角顶点；则过点A 作2AP C A ⊥，且使得2AP AC =，得到等腰直角三角形2AC P △，过点2P 作2P N y ⊥轴，同理可证2AP N C AO △≌△；221N P O A AN O C ∴====，，可求得点2(21)P ，； 经检验，点1(11)P -，与点2(21)P ，都在抛物线211222y x x =+-上．（翻折）13、如图①，将边长为4 cm 的正方形纸片ABCD 沿EF 折叠（点E 、F 分别在边AB 、CD 上），使点B 落在AD 边上的点M 处，点C 落在点N 处，MN 与CD 交于点P ，连接EP ．（1）如图②，若M 为AD 边的中点， ①△AEM 的周长= cm ；②求证：EP=AE +DP ； （2）随着落点M 在AD 边上取遍所有的位置（点M 不与A 、D 重合），△PDM 的周长是否发生变化？请说明理由．解：（1）① 6 ．②（图略）取EP 中点G ，连接MG ．梯形AEPD 中，∵M 、G 分别是AD 、EP 的中点，∴()12M G AEDP =+． 由折叠得∠EMP =∠B =90︒，又G 为EP 的中点，∴12M G EP=．故EP AE DP =+．（2）△PDM 的周长保持不变．证明：如图，设A M x =cm ，Rt △EAM 中，由222(4)AE x AE +=-，可得：2128A E x =-．∵∠AME +∠AEM =90︒，∠AME +∠PMD =90︒，∴∠AEM =∠PMD ． 又∵∠A =∠D =90︒，∴△AEM ∽△DMP ． ∴D M PAEMC D MCA E=，即241428D M PC x x x-=+-∴24(4)8128D M P x C x x-=⋅+=- cm ． 故△PDM 的周长保持不变．N F PEC D B MA（动态）14、如图，正方形A B C D 的边长为4，E 是B C 边的中点，点P 在射线A D 上，过P 作PF AE ⊥于F ．（1）求证：P F A A B E △∽△；（2）当点P 在射线A D 上运动时，设P A x =，是否存在实数x ，使以P F E ，，为顶点的三角形也与A B E △相似？若存在，请求出x 的值；若不存在，说明理由．（1）证明：由正方形A B C D 知A D B C ∥PAF AEB ∴∠=∠ 又90PFA ABE ∠=∠=P F AA B E ∴△∽△ （2）解：若E F P A B E △∽△，则PEF EAB ∠=∠∴必有PE AB ∥ ∴四边形ABEP 为矩形2PA EB ∴==，即2x = 若P F E A B E △∽△，则PEF AEB ∠=∠ 而PAF AEB ∠=∠PEF PAF ∴∠=∠，PE PA ∴=PF AE ⊥ ，∴点F 为A E 的中点，AE ==== 12E F A E ∴=由P E E FA EE B=2=得5P E =，即5x = ∴满足条件的x 的值为2或5．（动态）15、如图，A B C △中，点P 是边A C 上的一个动点，过P 作直线MN ∥BC ，设MN 交∠BCA的平分线于点E ，交∠BCA 的外角平分线于点F ．（1）求证:PE=PF ；（2）当点P 在边A C 上运动时，四边形BCFE 可能是菱形吗？说明理由；（3）若AC 边上存在点P ,使四边形AECF 是正方形,且23=BCAP 在时，求∠A 的大小.（1）证明: ∵EC 平分∠BCA , ∴∠BCE=∠PCE .∵M N B C ∥，∴∠PEC=∠BCE .∴∠PEC=∠PCE , ∴PE=PC . 同理可证PC=PF.∴PE=PF.（2）四边形B C F E 不可能是菱形. 若B C F E 为菱形，则B F E C ⊥，而由（1）可知F C E C ⊥. 因为在平面内过同一点F 不可能有两条直线同垂直于一条直线,所以B F E C ⊥不能成立,所以四边形B C F E 不可能是菱形. （3）当A E C F 为正方形时，P 是AC 的中点,且E F A C ⊥．∵E F B C ∥，∴A C B C ⊥.∴A B C △是以A C B ∠为直角的直角三角形 ∵23=BCAP ,在R t △ABC 中, 332tan ===APBC ACBC A .∴∠A=30°.16、（探究）如图1，在Rt A B C △中，9068A C B A C B C ∠===°，，，点D 在边AB 上运动，DE 平分C D B ∠交边BC 于点E ，C M B D ⊥垂足为M E N C D ⊥，，垂足为N. （1）当AD=CD 时，求证：D E A C ∥；（2）探究：AD 为何值时，B M E △与C N E △相似？（3）探究：AD 为何值时，四边形MEND 与B D E △的面积相等？（1）证明：AD CD DAC DCA =∴∠=∠ 2B D C D A C ∴∠=∠又∵DE 是∠BDC 的平分线∴∠BDC=2∠BDE ∴∠DAC =∠BDE ∴DE ∥AC （2）解：（Ⅰ）当B M E C N E △∽△时，得M B E N C E ∠=∠∴BD=DC ∵DE 平分∠BDC ∴DE ⊥BC ，BE=EC. 又∠ACB =90° ∴DE ∥AC .∴B E B DB CA B =即152B D A B ===∴AD =5（Ⅱ）当B M E E N C △∽△时，得E B M C E N ∠=∠∴EN ∥BD 又∵EN ⊥CD∴BD ⊥CD 即CD 是△ABC 斜边上的高，由三角形面积公式得AB ·CD=AC ·BC ∴CD=245∴185A D ==综上，当AD =5或185时，△BME 与△CNE 相似.（3）由角平分线性质易得12M D E D E N S S D M M E ==△△·B D E M E N D S S = △四边形12B D E M D M E M ∴=·· 即12D M B D =∴EM 是BD 的垂直平分线.∴∠EDB=∠DBE ∵∠EDB =∠CDE ∴∠DBE =∠CDE 又∵∠DCE =∠BCD ∴C D E C B D △∽△C D C E D E B CC D B D∴==①2C D B E B E B CB DB M∴==即4B E C D B M=45cos 4554B MB C D B E ==∴=⨯= 由①式得2258CDCE BC ==3943939cos 85810B E B M B E B ∴=∴==⨯=39112102105AD AB BM ∴=-=-⨯=C E ND MB A 图1C B A C B A 图2（备用图） 图3（备用图） CEN D M BA 第24题C BA第24题ENMD17、如图．抛物线212y ax ax b =-+经过A （－1，0），C （2，32）两点，与x 轴交于另一点B ．(1) 求此地物线的解析式；(2) 若抛物线的顶点为M ，点P 为线段OB 上一动点 (不与点B 重合)，点Q 在线段MB 上移动，且∠MPQ =45°，设线段OP =x ，MQ=22y ，求y 2与x 的函数关系式，并直接写出自变量x 的取值范围；(3) 在同一平面直角坐标系中，两条直线x=m ，x=n 分别与抛物线交于点E ，G ，与(2)中的函数图象交于点F ，H ．问四边形EFHG 能否为平行四边形? 若能，求m ，n 之间的数量关系；若不能，请说明理由．解：（1）∵拋物线y 1=ax 2-2ax +b 经过A (-1，0)，C (0，23)两点，∴⎪⎩⎪⎨⎧==++2302b b a a ，∴⎪⎩⎪⎨⎧=-=2321b a ∴拋物线的解析式为y 1= -21x 2+x +23．（2）作MN ⊥AB ，垂足为N ．由y 1= -21x 2+x +23易得M (1，2)，N (1，0)，A (-1，0)，B (3，0)，∴AB =4，MN =BN =2，MB =22，∠MBN =45︒．根据勾股定理有BM 2-BN 2=PM 2-PN 2． ∴(22)2-22=PM 2= -(1-x )2… ，又∠MPQ =45︒=∠MBP ， ∴△MPQ ~△MBP ，∴PM 2=MQ ⨯MB =22y 2⨯22… ．由 、 得y 2=21x 2-x +25．∵0≤x ＜3，∴y 2与x 的函数关系式为y 2=21x 2-x +5(0≤x ≤3)．（3）四边形EFHG 可以为平行四边形，m 、n 之间的数量关系是m +n =2(0≤m ≤2，且m ≠1)．∵点E 、G 是抛物线y 1= -21x 2+x +23分别与直线x=m ，x=n 的交点，∴点E 、G 坐标为 E (m ，-21m 2+m +23)，G (n ，-21n 2+n +23)．同理，点F 、H 坐标 为F (m ，21m 2-m +25)，H (n ，21n 2-n +25)．∴EF =21m 2-m +25-(-21m 2+m +23)=m 2-2m +1，GH =21n 2-n +25-(-21n 2+n +23)=n 2-2n +1．∵四边形EFHG 是平行四边形，EF =GH ．∴m 2-2m +1=n 2-2n +1 ∴(m +n -2)(m -n )=0．由题意知m ≠n ，∴m +n =2 (0≤m ≤2，且m ≠1)．因此，四边形EFHG 可以为平行四边形，m 、n 之间的数量关系是m +n =2 (0≤m ≤2，且m ≠1)．18、如图，点A B 、坐标分别为（4，0）、（0，8），点C 是线段O B 上一动点，点E 在x 轴正半轴上，四边形O E D C 是矩形，且2O E O C =．设(0)O E t t =>，矩形O E D C 与AO B △重合部分的面积为S ．根据上述条件，回答下列问题：（1）当矩形O E D C 的顶点D 在直线A B 上时，求t 的值； （2）当4t =时，求S 的值；（3）直接写出S 与t 的函数关系式；（不必写出解题过程） （4）若12S =，则t = ． 解：（1）由题意可得90B C D B O A ∠=∠=°，C BD O BA ∠=∠，BC D BO A ∴△∽△BC C D BOO A∴=而8842t C D O E t B C C O O A ===-=-=，，，则8284tt -= 解得165t =，∴当点D 在直线A B 上时，165t =．（2）当4t =时，点E 与A 重合，设C D 与A B 交于点F ，则由C B F O B A △∽△得C F O A C B O B =，即4828C F =-，解得3C F =， 11()2(34)722S O C O E C F ∴=+=⨯⨯+=（3）①当1605t <≤时，212S t =②当1645t <≤时，217101616S t t =-+- ③当416t <≤时，21216S t t =-+ 分析：①当1605t <≤时，如图（1），212S t =②当1645t <≤时，如图（2），(40)08A B ，，（，）， ∴直线A B 的解析式为28y x =-+，(28)442t t G t t F ⎛⎫∴-+- ⎪⎝⎭，，，，554842D F t D G t ∴=-=-，，155482242DFG C OED t S S S t t t ⎛⎫⎛⎫∴=-=---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△矩形217101616t t -+-③当416t <≤时，如图（3）C D O A ∥，B C F B O A ∴△∽△，BCC FBO O A ∴=，8284tC F -∴=，44t C F ∴=-，∴211148482224216BOA BC Ft t S S S t t ⎛⎫⎛⎫=-=⨯⨯-⨯--=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△△ （4）8分析：由题意可知把12S =代入21216S t t =-+中，2121216t t -+=整理，得 2321920t t -+=解得 1282416t t ==>，（舍去）∴当12S =时，8t =．（3）。