新教材北师大版高中数学选择性必修第一册第三章空间向量与立体几何 知识点考点重点难点解题规律归纳总结

第三章空间向量与立体几何
1空间直角坐标系........................................................................................................ - 1 -
1.1点在空间直角坐标系中的坐标..................................................................... - 1 -
1.2空间两点间的距离公式................................................................................. - 6 -
2空间向量与向量运算.............................................................................................. - 10 -
2.1从平面向量到空间向量............................................................................... - 10 -
2.2空间向量的运算(一) .................................................................................... - 10 -
2.2空间向量的运算(二) .................................................................................... - 14 -
2.2空间向量的运算(三) .................................................................................... - 18 -
3空间向量基本定理及向量的直角坐标运算.......................................................... - 23 -
3.1空间向量基本定理....................................................................................... - 23 -
3.2空间向量运算的坐标表示及应用............................................................... - 26 -
4向量在立体几何中的应用...................................................................................... - 31 -
4.1直线的方向向量与平面的法向量............................................................... - 31 -
4.2用向量方法研究立体几何中的位置关系................................................... - 34 -
4.3用向量方法研究立体几何中的度量关系................................................... - 42 -
第1课时空间中的角................................................................................ - 42 -
第2课时空间中的距离问题.................................................................... - 47 - 5数学探究活动(一)：正方体截面探究 ................................................................... - 52 -
1空间直角坐标系
1.1点在空间直角坐标系中的坐标
1．空间直角坐标系的建立
(1)空间直角坐标系：
过空间任意一点O，作三条两两垂直的直线，并以点O为原点，在三条直线上分别建立数轴：x轴、y轴和z轴，这样就建立了一个空间直角坐标系O-xyz．
(2)空间直角坐标系的建系原则——右手螺旋法则：
①伸出右手，让四指与大拇指垂直．
②四指先指向x轴正方向．
③让四指沿握拳方向旋转90°指向y轴正方向．
④大拇指的指向即为z轴正方向．
(3)有关名称
如图所示，
①O叫作原点．
②x，y，z轴统称为坐标轴．
③由坐标轴确定的平面叫作坐标平面．x，y轴确定的平面记作xOy平面，y，z轴确定的平面记作yOz平面，x，z轴确定的平面记作xOz平面．
2．空间直角坐标系中点的坐标
(1)空间直角坐标系中任意一点P的位置，可用唯一的一个三元有序实数组来刻画．
(2)三元有序实数组(x，y，z)叫作点P在此空间直角坐标系中的坐标，记作P(x，y，z)．x叫作点P的横坐标，y叫作点P的纵坐标，z叫作点P的竖坐标．
(3)空间直角坐标系中：点与三元有序实数组一一对应．
如何确定空间中点P坐标？
[提示]过点P分别向坐标轴作垂面，与三条坐标轴分别交于A、B、C，若点A、B、C的坐标分别为(x，0，0)、(0，y，0)、(0，0，z)，则点P的坐标为(x，y，z)．
疑难问题
类型1根据点的坐标确定点的位置
【例1】在空间直角坐标系中，作出点M(2，－6，4)．
[思路点拨]可以先确定点(2，－6，0)在xOy平面的位置，再由竖坐标确定在空间直角坐标系中的位置．
[解]法一：先确定点M′(2，－6，0)在xOy平面上的位置，因为点M的竖坐标为4，
则|MM′|＝4，且点M和z轴的正半轴在xOy平面的同侧，这样就可确定点M 的位置了(如图所示)．
法二：以O为一个顶点，构造三条棱长分别为2，6，4的长方体，使此长方体在点O处的三条棱分别在x轴正半轴、y轴负半轴、z轴正半轴上，则长方体中与顶点O相对的顶点即为所求的点(图略)．
1．先确定点(x0，y0，0)在xOy平面上的位置，再由竖坐标确定点(x0，y0，z0)在空间直角坐标系中的位置．
2．以原点O为一个顶点，构造棱长分别为|x0|、|y0|、|z0|的长方体(三条棱的位置要与x0、y0、z0的符号一致)，则长方体中与O相对的顶点即为所求的点．
类型2已知点的位置写出点的坐标
【例2】已知棱长为1的正方体ABCD-A′B′C′D′，建立如图所示的不同空间直角坐标系．试分别写出正方体各顶点的坐标．
(1)(2)
[思路点拨](1)可先写出A，B，C，D的坐标，再结合正方体的性质得出A′，B′，C′，D′的坐标；
(2)可先写出A′，B′，C′，D′的坐标，再结合正方体的性质得出A，B，C，D 的坐标．
[解](1)因为D是坐标原点，A，C，D′分别在x轴，y轴，z轴的正半轴上，正方体的棱长为1，
所以D(0，0，0)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，D′(0，0，1)．
因为B点在xDy平面上，所以B(1，1，0)．
同理，A ′(1，0，1)，C ′(0，1，1)．
因为B ′B 垂直于xDy 平面且与z 轴正半轴在xDy 平面同侧，且|B ′B |＝1，所以B ′(1，1，1)．
(2)因为D ′是坐标原点，A ′，C ′分别在x 轴， y 轴的正半轴上，D 在z 轴的负半轴上，且正方体的棱长为1，
所以A ′(1，0，0)，C ′(0，1，0)，D (0，0，－1)，D ′(0，0，0)．
同(1)得B ′(1，1，0)，A (1，0，－1)，C (0，1，－1)，B (1，1，－1)．
1．已知点M 的位置，求其坐标的方法
作MM ′垂直平面xOy ，垂足为M ′，求M ′的x 轴坐标，y 轴坐标，即点M 的x 轴坐标，y 轴坐标，再求M 点在z 轴上射影的z 轴坐标，即点M 的z 轴坐标，于是得到M 点坐标(x ，y ，z )．
2．在空间直角坐标系中，三条坐标轴和三个坐标平面上的点的坐标形式如下表所示．其中x ，y ，z ∈R ． 分类
坐标轴 坐标平面 x 轴 y 轴 z 轴 xOy 平面 yOz 平面 xOz 平面 坐标形
式 (x ，0，0) (0，y ，0) (0，0，z )
(x ，y ，0) (0，y ，z ) (x ，0，z )
类型3 空间中点的对称问题
[探究问题]
1．类比平面直角坐标系中，线段的中点坐标公式，空间直角坐标系中，线段的中点坐标公式是什么？
[提示] 若A ()x 1，y 1，z 1，B ()x 2，y 2，z 2，
则线段AB 的中点坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，z 1＋z 22． 2．类比平面直角坐标系中，三角形的重心坐标公式，空间直角坐标系中，三角形的重心坐标公式是什么？
[提示] 若A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，C (x 3，y 3，z 3)，
则△ABC 的重心坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 1＋x 2＋x 33，y 1＋y 2＋y 33，z 1＋z 2＋z 33． 关于点对称
【例3】 点M ()x 0，y 0，z 0关于点(a ，b ，c )的对称点的坐标为________．
[思路点拨] 类比平面直角坐标系中点的对称问题来求解，其中线段的对称中心是线段的中点．
(2a －x 0，2b －y 0，2c －z 0) [由中点坐标公式得，点M (x 0，y 0，z 0)关于点(a ，b ，c )的对称点的坐标为M ′(2a －x 0，2b －y 0，2c －z 0)．]
关于坐标轴对称
【例4】 求点M (a ，b ，c )关于坐标轴的对称点的坐标．
[思路点拨] 从分析对称点的性质入手．
[解] 关于x 轴的对称点M 0的坐标为(a ，－b ，－c )，
关于y 轴的对称点M 1的坐标为(－a ，b ，－c )，
关于z 轴的对称点M 2的坐标为(－a ，－b ，c )．
关于坐标平面对称
【例5】 求点M (a ，b ，c )关于坐标平面的对称点的坐标．
[思路点拨] 从分析对称点的性质入手．
[解] 点M 关于xOy 平面的对称点M 1的坐标为(a ，b ，－c )，
关于xOz 平面的对称点M 2的坐标为(a ，－b ，c )，
关于yOz 平面的对称点M 3的坐标为(－a ，b ，c )．
1．关于坐标平面、坐标轴及坐标原点对称的点有以下特点：
2．点的对称可简单记为“关于谁对称，谁不变，其他的变为相反数；关于原点对称，都变”．
归纳总结
1．确定空间定点M的坐标的步骤
(1)过点M分别作垂直于x轴、y轴和z轴的平面，依次交x轴、y轴和z轴于P、Q和R．
(2)确定P、Q和R在x轴、y轴和z轴上的坐标x，y和z．
(3)得出点M的坐标为(x，y，z)．
2．已知M点坐标为(x，y，z)确定点M位置的步骤
(1)在x轴、y轴和z轴上依次取坐标为x，y和z的点P、Q、R．
(2)过P、Q、R分别作垂直于x轴、y轴和z轴的平面．
(3)三个平面的唯一交点就是M．
3．建立空间直角坐标系时，要考虑如何建系才能使点的坐标简单、便于计算，一般是①要根据图形对称性建立空间直角坐标系；②要使尽量多的点落在坐标轴上．
1.2空间两点间的距离公式
空间两点间的距离公式
(1)在空间直角坐标系中，任意一点P(x，y，z)与原点间的距离|OP|＝x2＋y2＋z2．
(2)空间中P(x1，y1，z1)，Q(x2，y2，z2)之间的距离|PQ|＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2＋(z2－z1)2．
方程x2＋y2＋z2＝1表示什么图形？
[提示]以坐标原点为圆心，1为半径的球面．
疑难问题
类型1求空间中两点间的距离
【例1】如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2，
AC⊥CB，D，E分别是棱AB，B1C1的中点，F是AC的中点，求DE，EF的长度．
[解]以点C为坐标原点，CA、CB、CC1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
∵|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2，
∴C(0，0，0)，A(2，0，0)，B(0，2，0)，C1(0，0，2)，B1(0，2，2)，由中点坐标公式，可得
D(1，1，0)，E(0，1，2)，F(1，0，0)，
∴|DE|＝(1－0)2＋(1－1)2＋(0－2)2＝5，
|EF|＝(0－1)2＋(1－0)2＋(2－0)2＝6．
利用空间两点间的距离公式求线段长度问题的一般步骤为：
类型2由距离公式求空间点的坐标
【例2】已知点A(4，5，6)，B(－5，0，10)，在z轴上有一点P，使|P A|＝|PB|，则点P的坐标为________．
(0，0，6)[设P(0，0，z)，
由|P A|＝|PB|，
得(4－0)2＋(5－0)2＋(6－z )2＝(－5－0)2＋(0－0)2＋(10－z )2，
解得z ＝6．
∴点P 的坐标为(0，0，6)．]
1．若本例中“在z 轴上”改为“在y 轴上”，其他条件不变，结论又如何？
[解] 设P (0，y ，0)，
由|P A |＝|PB |，
得(4－0)2＋(5－y )2＋(6－0)2＝(－5－0)2＋(0－y )2＋(10－0)2，
解得y ＝－245．
∴点P 的坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，－245，0． 2．求到A ，B 两点的距离相等的点P (x ，y ，z )的坐标满足的条件．
[解] 因为点P (x ，y ，z ) 到A ，B 的距离相等，
所以(x －4)2＋(y －5)2＋(z －6)2＝(x ＋5)2＋(y －0)2＋(z －10)2．
化简得9x ＋5y －4z ＋24＝0，
因此，到A ，B 两点的距离相等的点P (x ，y ，z )的坐标满足的条件是9x ＋5y －4z ＋24＝0．
1．空间两点间的距离公式是平面上两点间的距离公式的推广，而平面上两点间的距离公式又可看成空间中点坐标公式和两点间的距离公式的特例．
2．到A ，B 两点的距离相等的点P (x ，y ，z )构成的集合就是线段AB 的中垂面，P 是线段AB 的中垂面与z 轴的交点．
类型3 距离公式的应用
【例3】 如图所示，正方体棱长为1，以正方体的同一顶点上的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，点P 在正方体的体对角线AB 上，点Q 在正方体的棱CD 上．当点P 为体对角线AB 的中点，点Q 在棱CD 上运动时，求|PQ |的最小值．
[解] 由题图可知，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，12． ∵Q 点在CD 上，
∴设Q (0，1，z )，z ∈[0，1]，
∴|PQ |＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－02＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－z 2＝ 12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－z 2，
∴当z ＝12时，|PQ |min ＝22．
本题首先设出Q 点的坐标，然后利用距离公式表示|PQ |，从而将其转化为函数最值问题，最后通过配方求其最小值，这体现了解析法解决空间问题的一般思路.
归纳总结
1．空间两点间的距离公式是平面上两点间距离公式的推广，它可以求空间直角坐标系下任意两点间的距离，其推导过程体现了化空间为平面的转化思想．
2．若已知两点坐标求距离，则直接代入公式即可．若已知两点间距离求参数或点的坐标时，应利用公式建立相应方程求解．
2 空间向量与向量运算
2.1 从平面向量到空间向量
2.2 空间向量的运算(一)
1．空间向量
(1)定义：在空间中，把具有大小和方向的量叫作空间向量． (2)长度：向量的大小叫作向量的长度或模．
(3)表示法
用有向线段AB →表示，A 叫作向量AB →的起点，B 叫作向量AB →的终点，也可记作a ，其模记为⎪⎪⎪⎪AB →或|a |．
(4)特殊向量
(5)共线向量：当表示向量的两条有向线段所在的直线平行或重合时，称这两个向量互为共线向量或平行向量．
规定：零向量与任意向量平行．
1．向量AB →与向量BA →的长度和方向之间有什么关系？
[提示] 向量AB →与向量BA →长度相等，但方向相反，即BA →＝－AB →．
2．共面向量
(1)共面向量的概念
平行于同一个平面的向量，叫作共面向量．
(2)三个向量共面的充要条件
如果两个向量a ，b 不共线，那么向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在惟一的有序实数对(x ，y )，使p ＝x a ＋y b ．
3．空间向量的加减法与运算律 空间向量的运算
加法
OB →＝OA →＋AB →
＝a ＋b
减法 CA →＝OA →－OC →
＝a －b
空间向量的加法的运算律
(1)交换律：a ＋b ＝b ＋a ；
(2)结合律：
(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )
2．空间向量的减法是否也有交换律与结合律？ [提示] 没有．
疑难问题
类型1 空间向量的有关概念
【例1】 如图所示，在正六棱柱ABCDEF -A ′B ′C ′D ′E ′F ′中， (1)与AB →
相等的向量有哪些？ (2)BD →与E ′A ′→
是相反向量吗？ (3)与AD →
平行的向量有多少个？
[思路点拨] 根据正六棱柱的结构特征，分析各线段的相互关系，从而得到向量之间的关系．
[解] (1)ED →，A ′B ′→，E ′D ′→
． (2)是．
(3)11个．
特殊向量的特性
(1)零向量不是没有方向，而是它的方向是任意的． (2)单位向量方向虽然不一定相同，但它们的长度都是1．
(3)两个向量模相等，不一定是相等向量；反之，若两个向量相等，则它们不仅模相等，方向也相同．若两个向量模相等，方向相反，则它们互为相反向量．
类型2 空间向量的加减运算
【例2】 如图所示，已知长方体ABCD -A ′B ′C ′D ′．化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果．
(1)AA ′→－CB →； (2)AA ′→＋AB →＋B ′C ′→．
[解] (1)AA ′→－CB →＝AA ′→－DA →＝AA ′→＋AD →＝AA ′→＋A ′D ′→＝AD ′→
． (2)AA ′→＋AB →＋B ′C ′→＝(AA ′→＋AB →)＋B ′C ′→＝AB ′→＋B ′C ′→＝AC ′→． 向量AD ′→，AC ′→
如图所示．
1．在例2的条件下，下列各式运算结果为BD ′→
的是( )
①A ′D ′→－A ′A →－AB →；②BC →＋BB ′→－D ′C ′→；③AD →－AB →－DD ′→；④B ′D ′→－A ′A →＋DD ′→． A ．①②
B ．②③
C ．③④
D ．①④
A [(1)A ′D ′→－A ′A →－A
B →＝AD ′→－AB →＝BD ′→
； (2)BC →＋BB ′→－D ′C ′→＝BC ′→＋C ′D ′→＝BD ′→；
(3)AD →－AB →－DD ′→＝BD →－DD ′→＝BD →－BB ′→＝B ′D →≠BD ′→；
(4)B ′D ′→－A ′A →＋DD ′→＝BD →＋AA ′→＋DD ′→＝BD ′→＋AA ′→≠BD ′→
，故选A ．] 2．在例2的条件下，用向量AA ′→，AB →，AD →表示向量AC ′→
．
[解] 在平行四边形ACC ′A ′中，由平行四边形法则可得AC ′→＝AC →＋AA ′→
， 在平行四边形ABCD 中，由平行四边形法则可得AC →＝AB →＋AD →
， 故AC ′→＝AB →＋AD →＋AA ′→．
1．向量加法的三角形法则：“首尾相接，指向终点”；向量减法的三角形法则：“起点重合，指向被减向量”．
2．灵活应用相反向量可使向量的减法转化为加法．
类型3 空间向量加、减运算的应用
【例3】 在四棱锥O -ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，求证：OA →＋OC →
＝OB →＋OD →．
[证明] 法一：因为底面ABCD 是平行四边形，所以，BA →＝CD →
， 又BA →＝OA →－OB →，CD →＝OD →－OC →， 所以OA →－OB →＝OD →－OC →， 所以OA →＋OC →＝OB →＋OD →．
法二：设点E 是平行四边形ABCD 对角线的交点(图略)，则点E 分别是对角线AC ，BD 的中点，
所以OA →＋OC →＝2OE →，OB →＋OD →＝2OE →，
所以OA →＋OC →＝OB →＋OD →．
求解这类问题，一定要灵活应用向量加法、减法的运算法则，并注意向量的起点和终点.
(1)当向量首尾相连求和时，用三角形法则，当两向量起点相同求和时，用平行四边形法则.
(2)求两向量的差时，常考虑：
①通过相反向量，把向量减法转化为加法；②通过平移向量，使两向量起点相同，再使用减法的三角形法则.
归纳总结
1．空间向量的概念和平面向量类似，向量的模、零向量、单位向量、相等向量等都可以结合平面向量理解．
2．向量可以平移，任意两个向量都是共面向量．因此空间两个向量的加减法运算和平面向量完全相同，可以利用平行四边形法则和三角形法则来进行运算．
2.2 空间向量的运算(二)
1．向量的数乘运算 定义
与平面向量类似，实数λ与空间向量a 的乘积λa 仍然是一个向量，称为向量的数乘 几何定义
λ＞0 λa 与向量a 方向相同 λa 的长度是a 的长度的|λ|倍
λ＜0 λa 与向量a 方向相反 λ＝0
λa ＝0，其方向是任意的
运算律
结合律 λ(μa )＝(λμ)a
分配律
(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ；λ(a ＋b )＝λa ＋λb
2．共线向量基本定理
空间两个向量a ，b (b ≠0)，共线的充要条件是存在唯一的实数λ，使得a ＝λb ．
(1)若a ∥b ，b ∥c ，那么一定有a ∥c 吗？
(2)在空间向量中，与非零向量a 共线的单位向量有几个，分别是什么？ [提示] (1)不一定，若b ＝0，此时必有a ∥b ，b ∥c 成立，但a 与c 不一定共线．
(2)有2个，分别是a |a |与－a |a |．
疑难问题
类型1 空间向量的数乘运算
【例1】 如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，O 为AC 的中点．
(1)化简：A 1O →－12AB →－12AD →
；
(2)设E 是棱DD 1上的点，且DE →＝23DD 1→，试用AB →，AD →，AA 1→表示EO →
． [解] (1)∵AB →＋AD →＝AC →
，
∴A 1O →－12AB →－12AD →＝A 1O →－12(AB →＋AD →)＝A 1O →－12AC →＝A 1O →－AO →＝A 1A →． (2)∵EO →＝ED →＋DO →
＝23D 1D →＋12DB →＝23D 1D →＋12(DA →＋AB →) ＝23A 1A →＋12DA →＋12AB →
＝12AB →－12AD →－23AA 1→．
1．在例1中，利用向量加法的结合律以及数乘向量的分配律简化了计算． 2．对向量式的化简，要结合图形，充分利用图形的几何性质．
类型2 向量共线问题
【例2】 如图，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是C 1D 1，AB 的中点，E 在AA 1上且AE ＝2EA 1，F 在CC 1上且CF ＝12FC 1，判断ME →与NF →
是否共线．
[解] 由已知可得，
ME →＝MD 1→＋D 1A 1→＋A 1E →＝12BA →＋CB →＋13A 1A →＝－NB →＋CB →＋13C 1C →＝CN →＋FC →＝FN →＝－NF →．
所以ME →＝－NF →， 故ME →与NF →
共线．
向量共线的判定方法
判定向量a ，b 共线就是充分利用已知条件、结合图形特点找到实数λ，使b ＝a λ(a ≠0)成立．
类型3 点共线问题
【例3】 如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 在A 1D 1上，且A 1E →＝2ED 1→
，F 在对角线A 1C 上，且A 1F →＝23FC →
．求证：E ，F ，B 三点共线．
[证明] 设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→
＝c ． 因为A 1E →＝2ED 1→，A 1F →＝23FC →， 所以A 1E →＝23A 1D 1→，A 1F →＝25A 1C →．
所以A 1E →＝23AD →＝23b ，A 1F →＝25(AC →－AA 1→
)＝25(AB →＋AD →－AA 1→)＝25a ＋25b －25c ． 所以EF →＝A 1F →－A 1E →＝25a －415b －25c ＝25⎝ ⎛⎭⎪⎫
a －23
b －
c ．
又EB →＝EA 1→＋A 1A →＋AB →
＝－23b －c ＋a ＝a －23b －c ， 所以EF →＝25EB →，
所以E ，F ，B 三点共线．
证明空间三点共线的三种思路
对于空间三点P ，A ，B 可通过证明下列结论来证明三点共线． (1)存在实数λ，使P A →＝λPB →
成立；
(2)对空间任一点O ，有OP →＝OA →＋tAB →
(t ∈R )；
(3)对空间任一点O ，有OP →＝xOA →＋yOB →
，其中x ＋y ＝1．
归纳总结
1．空间向量的数乘运算和平面向量完全相同．
2．证明(或判断)三点A ，B ，C 共线时，只需证明存在实数λ，使AB →＝λBC →
(或AB →＝λAC →)即可；也可用“对空间任意一点O ，有OC →＝tOA →＋(1－t )OB →
” 来证明三点共线．
2.2空间向量的运算(三) 1．空间向量的夹角
定义已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作OA
→
＝a，OB
→
＝b，则∠AOB叫作向量a与b的夹角
记法〈a，b〉
范围0≤〈a，b〉≤π
向量垂直
当〈a，b〉＝
π
2时，a
⊥b；a·b＝0
规定：零向量与任意向量垂直
1．〈a，b〉＝〈b，a〉吗？〈a，b〉与〈－a，b〉，〈a，－b〉，〈－a，
－b〉有什么关系？
[提示]〈a，b〉＝〈b，a〉，〈－a，b〉＝〈a，－b〉＝π－〈a，b〉，〈－a，－b〉＝〈a，b〉．
2．空间向量的数量积
(1)定义：已知两个空间向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫作a与b的数量积，记作a·b．
(2)数量积的运算律
数乘向量与向量数量积的结合律(λa)·b＝λ(a·b)(λ∈R)
交换律a·b＝b·a
分配律a·(b＋c)＝a·b＋a·c
两个向量数量积的性质若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0若a与b同向，则a·b＝|a|·|b|；
若反向，则a·b＝－|a|·|b|．
特别地：a·a＝|a|2或|a|＝a·a
cos〈a，b〉＝
a·b
|a||b|(a≠0，b≠0)
|a·b |≤|a |·|b |
3．投影向量与投影数量
①如图，已知两个非零向量a ，b ，作OA →＝a ，OB →
＝b ，过A 向直线OB 作垂线，垂足为点A ′，称向量OA ′→
为向量a 在向量b 方向上的投影向量，其长度等于||a |cos 〈a ，b 〉|．
②如图，|a |cos 〈a ，b 〉称为向量a 在向量b 方向上的投影数量，可以表示为a ·b |b |．
③数量积的几何意义：数量积a·b 等于a 的长度|a |与b 在a 方向上投影数量|b |cos 〈a ，b 〉的乘积，或b 的长度|b |与a 在b 方向上投影数量|a |cos 〈a ，b 〉的乘积．
2．空间向量的数量积运算满足结合律吗？ [提示] 数量积运算不满足结合律．
疑难问题
类型1 空间向量的数量积运算
【例1】 已知长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝2，AD ＝4，E 为侧面AA 1B 1B 的中心，F 为A 1D 1的中点．
求(1)BC →·ED 1→；(2)BF →·AB 1→．
[解] 如图所示，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→
＝c ，
则|a |＝|c |＝2，|b |＝4，a·b ＝b·c ＝c·a ＝0．
(1)BC →·ED 1→＝BC →·(EA 1→＋A 1D 1→)＝b ·⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
12(c －a )＋b ＝|b |2＝42＝16． (2)BF →·AB 1→＝(BA 1→＋A 1F →)·(AB →＋AA 1→)＝⎝ ⎛
⎭⎪⎫c －a ＋12b ·(a ＋c )＝|c |2－|a |2＝22－22＝
0．
求空间向量的数量积可仿照平面向量的数量积的求法进行，注意观察空间向量的方向，正确求出其夹角是求解的关键.
类型2 利用数量积求夹角 [探究问题]
1．若向量AB →与CD →
的夹角为α，直线AB 与CD 所成的角为β，则α＝β一定成立吗？
[提示] 不一定．α＝β或α＋β＝π． 2．怎样利用数量积求两直线的夹角α？
[提示] 先求cos α＝|cos 〈a ，b 〉|＝|a·b |
|a |·
|b |；再结合α的范围确定其值． 3．如何利用数量积证明两个非零向量a 和b 互相垂直？ [提示] a·b ＝0⇔a ⊥b ．
【例2】 已知空间四边形OABC 各边及对角线长都相等，E ，F 分别为AB ，OC 的中点，
(1)求向量OE →与BF →
所成角的余弦值； (2)求直线OE 与BF 所成角的余弦值．
[解] (1)设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →
＝c ，且|a |＝|b |＝|c |＝1，
易知∠AOB ＝∠BOC ＝∠AOC ＝π3， 则a·b ＝b·c ＝c·a ＝12． 因为OE →＝12(OA →＋OB →)＝12(a ＋b )，BF →＝OF →－OB →＝12OC →－OB →＝12c －b ，|OE →|＝|BF
→|＝32，
所以OE →·BF →＝12(a ＋b )·(12c －b )＝14a·c ＋14b·c －12a·b －12b 2＝－12，
设OE →与BF →所成的角为θ，则cos θ＝OE →·BF →|OE →||BF →|＝－1232×32
＝－23． 所以向量OE →与向量BF →所成角的余弦值是－23．
(2)直线OE 与BF 所成角的余弦值为||cos θ＝2
3．
求两个向量的夹角的两种方法
(1)结合图形，平移向量，利用空间向量的夹角定义来求，但要注意向量夹角的范围．
(2)先求a·b ，再利用公式cos 〈a ，b 〉＝a·b |a ||b |求cos 〈a ，b 〉，最后确定〈a ，b 〉．
类型3 利用数量积求两点间的距离
【例3】 如图，在三棱锥A -BCD 中，底面边长与侧棱长均为a ，M ，N 分别
是棱AB ，CD 上的点，且MB ＝2AM ，CN ＝12ND ，求MN 的长．
[解] 因为MN →＝MB →＋BC →＋CN →＝23AB →＋(AC →－AB →)＋13(AD →－AC →)＝－13AB →＋13
AD →＋23AC →，
所以MN →2＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫－13AB →＋13AD →＋23AC →2 ＝19AB →2－29AD →·AB →－49AB →·AC →＋49AC →·AD →＋19AD →2＋49AC →2
＝19a 2－19a 2－29a 2＋29a 2＋19a 2＋49a 2
＝59a 2，
所以|MN →|＝53a ，即MN 的长为53a ．
求两点间的距离或线段长度的方法
(1)将此线段用向量表示．
(2)利用|a |＝a 2，计算出|a |，即得所求距离．
归纳总结
1．本节课的重点
(1)空间向量的数量积的求法；
(2)利用空间向量的数量积的性质求两向量的夹角、求向量的模及判断两向量垂直．
2．在运用空间向量的运算法则化简向量表达式时，要结合空间图形，观察分析各向量在图形中的表示，然后运用运算法则，把空间向量转化为平面向量解决，并要化简到最简为止．
3 空间向量基本定理及向量的直角坐标运算
3.1 空间向量基本定理
1．空间向量基本定理 条件 三个不共面的向量a ，b ，c 和空间任一向量p
结论 存在唯一的三元有序实数组(x ，y ，z )，使得p ＝x a ＋y b ＋z c
2．基
(1)条件：三个向量a ，b ，c 不共面．
(2)结论：{a ，b ，c }叫做空间的一组基．其中向量a ，b ，c 都叫作基向量．
(1)0能不能作为一个基向量？
(2)空间向量的基唯一吗？
[提示] (1)由于0与任何两个向量都共面，因此0不能作为基向量．
(2)不唯一，只要三个向量不共面，都可以作为空间中所有向量的一组基．
疑难问题
类型1 空间向量的基
【例1】 已知{e 1，e 2，e 3}是空间的一组基，且OA →＝e 1＋2e 2－e 3，OB →＝－3e 1
＋e 2＋2e 3，OC →＝e 1＋e 2－e 3，试判断{OA →，OB →，OC →}能否作为空间的一组基．
[解] 假设OA →，OB →，OC →共面，
由向量共面的充要条件知，存在实数x ，y ，使得OA →＝x OB →＋yOC →成立，即e 1
＋2e 2－e 3＝x (－3e 1＋e 2＋2e 3)＋y (e 1＋e 2－e 3)＝(－3x ＋y )e 1＋(x ＋y )e 2＋(2x －y )e 3．
因为{e 1，e 2，e 3}是空间的一组基，
所以e 1，e 2，e 3不共面，
所以⎩⎨⎧ －3x ＋y ＝1
x ＋y ＝2
2x －y ＝－1，此方程组无解．即不存在实数x ，y ，使得OA →＝xOB →＋
yOC →成立，
所以OA →，OB →，OC →不共面．
故{OA →，OB →，OC →}能作为空间的一组基．
基的判断思路
判断给出的三个向量能否构成一组基，关键是要判断这三个向量是否共面．首先应考虑三个向量中是否有零向量，其次判断三个非零向量是否共面．如果从正面难以入手判断，可假设三个向量共面，利用向量共面的充要条件建立方程组，若方程组有解，则三个向量共面；若方程组无解，则三个向量不共面．
类型2 空间向量基本定理及应用
【例2】 如图，在三棱柱ABC -A ′B ′C ′中，已知AA ′→＝a ，AB →＝b ，AC →＝c ，点
M ，N 分别是BC ′，B ′C ′的中点，试用基{a ，b ，c }表示向量AM →，AN →．
[解] 连接A ′N (图略)．
AM →＝AB →＋12BC ′→＝AB →＋12(BC →＋CC ′→)＝AB →＋12BC →＋12CC ′→＝AB →＋12(AC →－AB →)＋12
AA ′→＝12AB →＋12AC →＋12AA ′→＝12(a ＋b ＋c )．
AN →＝AA ′→＋A ′N →＝AA ′→＋12(A ′B ′→＋A ′C ′→)＝AA ′→＋12(AB →＋AC →)＝a ＋12b ＋12c ．
若把本例中的“AA ′→＝a ”改为“AC ′→＝a ”，其他条件不变，则结果是什么？
[解] 因为M 为BC ′的中点，N 为B ′C ′的中点，
所以AM →＝12(AB →＋AC ′→)＝12a ＋12b ．
AN →＝12(AB ′→＋AC ′→)＝12(AB →＋BB ′→＋AC ′→)＝12AB →＋12CC ′→＋12AC ′→＝12AB →＋12(AC ′→－AC →)
＋12AC ′→＝12AB →＋AC ′→－12AC →＝12b ＋a －12c ．
对空间向量基本定理的两点说明
(1)任意性：用空间三个不共面的向量可以线性表示出空间中任意一个向量. (2)唯一性：基确定后，空间向量基本定理中实数组{x ，y ，z }是唯一的. 空间向量基本定理为用基本量法研究空间向量提供了理论依据.
类型3 四点共面
【例3】 如图，已知平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是BB 1和
DD 1上的点，并且BE ＝13BB 1，DF ＝23DD 1．
(1)证明：A ，E ，C 1，F 四点共面；
(2)若EF →＝xAB →＋yAD →＋zAA 1→，求x ＋y ＋z 的值．
[解] (1)证明：AC 1→＝AB →＋BC →＋CC 1→＝AB →＋AD →＋AA 1→＝AB →＋AD →＋13AA 1→＋23AA 1
→＝AB →＋BE →＋AD →＋DF →＝AE →＋AF →，
故A ，E ，C 1，F 四点共面．
(2)∵EF →＝AF →－AE →＝AD →＋DF →－AB →－BE →＝AD →＋23AA 1→－AB →－13AA 1→＝－AB →＋AD →＋13AA 1→，
∴x ＝－1，y ＝1，z ＝13．
∴x ＋y ＋z ＝13．
1．三个向量共面的充要条件
若向量b ，c 不共线，则向量a ，b ，c 共面的充要条件是：存在实数x ，y ，使得 a ＝x b ＋y c ．
2．利用向量法证明四点共面，实质上是证明向量共面，解题的关键是熟练地进行向量表示，恰当应用向量共面的充要条件．
归纳总结
1．空间向量基本定理的应用，即用三个不共面的向量作为基底表示空间中的任意向量，需依据图形特点，结合向量的加法、减法、数乘的运算，运用平行四边形法则及三角形法则将待求向量转化为三个基向量的线性组合．
2．设OA →，OB →，OC →是不共面向量，则对空间任一点P ，存在唯一的有序实数
组(x ，y ，z )，使OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →．当且仅当x ＋y ＋z ＝1时，P ，A ，B ，C 四
点共面．
3.2 空间向量运算的坐标表示及应用
1．空间向量的正交分解及其坐标表示 标准正交
基
在空间直角坐标系O -xyz 中，分别沿x 轴、y 轴、z 轴正方向作单位向量i ，j ，k ，这三个互相垂直的单位向量就构成空间向量的一组基{i ，j ，k }，这组基叫作标准正交基 空间直角
坐标系
以i ，j ，k 的公共起点O 为原点，分别以i ，j ，k 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系O -xyz 空间向量
的坐标表
示 对于空间任意一个向量p ，存在有序实数组(x ，y ，z )，使得p ＝x i ＋y j ＋z k ，则把x ，y ，z 称作向量p 在标准正交基{i ，j ，k }下的坐标，记作p ＝(x ，y ，z )．单位向量i ，j ，k 都叫作坐标向量
2．空间向量的坐标运算
设向量a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)，
则(1)a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2，z 1＋z 2)；
(2)a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2，z 1－z 2)；
(3)λa ＝(λx 1，λy 1，λz 1)，λ∈R ；
(4)a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2．
3．空间向量的平行、垂直及模、夹角
设a ＝(x 1，y ，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)．
则a ∥b ⇔a ＝λb ⇔x 1＝λx 2，y 1＝λy 2，z 1＝λz 2(λ∈R )；
a ⊥
b ⇔a·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2＝0；
|a |＝a·a ＝x 21＋y 21＋z 21；
若点A (a 1，b 1，c 1)，B (a 2，b 2，c 2)，则
|AB |＝|AB →|＝(a 2－a 1)2＋(b 2－b 1)2＋(c 2－c 1)2．
cos 〈a ，b 〉＝x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2x 21＋y 21＋z 21x 22＋y 22＋z 22
(a ≠0，b ≠0)． 空间向量的加法的坐标表示是如何推导的？
[提示] 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则a ＝a 1i ＋a 2j ＋a 3k ，b ＝b 1i ＋b 2j ＋b 3k ，
所以a ＋b ＝()a 1i ＋a 2j ＋a 3k ＋()b 1i ＋b 2j ＋b 3k ＝()a 1＋b 1i ＋()a 2＋b 2j ＋()a 3＋b 3k ＝(a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3)．
疑难问题
类型1 空间向量的坐标运算
【例1】 (1)已知a ＝(2，－1，－2)，b ＝(0，－1，4)，求a ＋b ，a －b ，a·b ，(2a )·(－b )，(a ＋b )·(a －b )；
(2)已知O 是坐标原点，且A ，B ，C 三点的坐标分别是(2，－1，2)，(4，5，－1)，(－2，2，3)，求适合下列条件的点P 的坐标：
①OP →＝12(AB →－AC →)；②AP →＝12(AB →－AC →)．
[解] (1)a ＋b ＝(2，－1，－2)＋(0，－1，4)＝(2＋0，－1－1，－2＋4)＝(2，
－2，2)；
a －
b ＝(2，－1，－2)－(0，－1，4)＝(2－0，－1＋1，－2－4)＝(2，0，－6)； a·b ＝(2，－1，－2)·(0，－1，4)＝2×0＋(－1)×(－1)＋(－2)×4＝－7； (2a )·(－b )＝－2(a·b )＝－2×(－7)＝14；
(a ＋b )·(a －b )＝(2，－2，2)·(2，0，－6)＝2×2－2×0＋2×(－6)＝－8．
(2)由题意知，AB →＝(2，6，－3)，AC →＝(－4，3，1)．
①OP →＝12(AB →－AC →)＝12(6，3，－4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3，32，－2，则点P 的坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫3，32，－2． ②设P (x ，y ，z )，则AP →＝(x －2，y ＋1，z －2)．
因为AP →＝12(AB →－AC →)＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫3，32，－2， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ x －2＝3y ＋1＝32，
z －2＝－2 解得x ＝5，y ＝12，z ＝0，
则点P 的坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫5，12，0．
对空间向量坐标运算的两点说明
(1)空间向量的加法、减法、数乘和数量积与平面向量的类似，学习中可以类比推广.
(2)空间向量的加法、减法、数乘运算的结果依然是一个向量；空间向量的数量积运算的结果是一个实数.
类型2 坐标形式下的平行与垂直
【例2】 已知空间三点A (－2，0，2)、B (－1，1，2)、C (－3，0，4)．设a ＝AB →，b ＝AC →．
(1)设|c |＝3，c ∥BC →，求c ；
(2)若k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，求k ．
[解] (1)因为BC →＝(－2，－1，2)且c ∥BC →，
所以设c ＝λBC →＝(－2λ，－λ，2λ)(λ∈R )，
所以|c |＝(－2λ)2＋(－λ)2＋(2λ)2＝3|λ|＝3．
解得λ＝±1．
所以c ＝(－2，－1，2)或c ＝(2，1，－2)．
(2)因为a ＝AB →＝(1，1，0)，b ＝AC →＝(－1，0，2)，
所以k a ＋b ＝(k －1，k ，2)，k a －2b ＝(k ＋2，k ，－4)．
因为(k a ＋b )⊥(k a －2b )，
所以(k a ＋b )·(k a －2b )＝0，即(k －1，k ，2)·(k ＋2，k ，－4)＝2k 2＋k －10＝0．
解得k ＝2或k ＝－52．
1．若a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)，则
a ∥
b (b ≠0)⇔⎩⎨⎧ x 1＝λx 2，
y 1＝λy 2，
z 1＝λz 2，当b 与三坐标轴都不平行时，a ∥b ⇔x 1x 2＝y 1y 2＝z 1z 2
． a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2＝0．
2．利用平行与垂直的充要条件可以解决两类问题
①平行与垂直的判定，②平行与垂直的应用．
类型3 向量夹角与长度的计算
[探究问题]
已知空间三点A (0，2，3)，B (－2，1，6)，C (1，－1，5)．
1．如何求AB →、AC →的模与〈AB →，AC →〉的大小？
[提示] 因为AB →＝(－2，1，6)－(0，2，3)＝(－2，－1，3)，AC →＝(1，－3，
2)．
所以⎪⎪⎪⎪AB →＝(－2)2＋(－1)2＋32＝14，⎪⎪⎪⎪AC →＝12＋(－3)2＋22＝14，
由夹角公式得cos 〈AB →，AC →〉＝AB →·AC →|AB →||AC →|
＝714·14＝12，
又〈AB →，AC →〉∈[0，π]，
所以〈AB →，AC →〉＝60°．
2．在空间中，如何利用向量求△ABC 的面积？
[提示] S ＝12|AB →||AC →|sin 〈AB →，AC →〉＝732．
【例3】 在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，其中CA ＝CB ＝1，∠BCA ＝90°，棱AA 1＝2，N 是A 1A 的中点．
(1)求BN →的模；
(2)求cos 〈BA 1→，CB 1→〉的值．
[解] 如图，以C 为坐标原点，分别以CA →，CB →，CC 1→为正交基底建立空间直
角坐标系C -xyz ．
(1)依题意得B (0，1，0)，N (1，0，1)．
所以|BN →|＝(1－0)2＋(0－1)2＋(1－0)2＝3．
(2)依题意得A 1(1，0，2)，B (0，1，0)，C (0，0，0)，B 1(0，1，2)．
所以BA 1→＝(1，－1，2)，CB 1→＝(0，1，2)，
所以BA 1→·CB 1→＝3，|BA 1→|＝6，|CB 1→|＝5．
所以cos 〈BA 1→，CB 1→〉＝BA 1→·CB 1→|BA 1→||CB 1→|
＝3010．
1．空间中的距离和夹角问题可转化为向量的模与夹角问题求解．这体现了向量的工具作用．引入坐标运算，可使解题过程程序化．
2．平行四边面积的计算公式：
S ▱ABCD ＝
||AB
→2
||
AC
→2－(AB →·AC →)2．
归纳总结
1．向量的坐标实质上是该向量在标准正交基底下的分解式的一种简化表示，它也能反映向量的方向与大小．
2．对于空间向量的坐标运算．牢记运算法则是正确计算的关键．
3．常用向量的直角坐标运算来证明向量的垂直与平行问题，利用向量的夹角公式和距离公式求空间角和两点间距离的问题，在求空间角时，应注意所求角与两向量夹角之间的关系及所求角的范围限制．
4 向量在立体几何中的应用
4.1 直线的方向向量与平面的法向量
1．直线的方向向量
设l 是空间一直线，A ，B 是直线l 上任意两点，则称AB →
为直线l 的方向向量． 如图所示，已知点M 是直线l 上的一点，非零向量a 是直线l 的一个方向向量，那么对于直线l 上的任意一点P ，一定存在实数t ，使得MP →
＝t a ．把这个式子称为直线l 的向量表示．
2．平面的法向量
如果直线l 垂直于平面α，那么把直线l 的方向向量n 叫作平面α的法向量． 如图所示，设点M 是平面α内给定的一点，向量n 是平面α的一个法向量，那么对于平面α内任意一点P ，必有MP →
·n ＝0．把此式称为平面α的一个向量表示式．。