同济高等数学课件(完整版)详细

T
M
x0
x
切线方程为 y y0 f ( x0 )( x x0 ).
法线方程为
y
y0
f
1 (x
( x0 )
x0 ).
例7 求等边双曲线 y 1 在点(1 ,2)处的切线的 x2
斜率,并写出在该点处的切线方程和法线方程.
解 由导数的几何意义, 得切线斜率为
k y x1 2
( 1 ) x
x1 2
y
y
y f (x)
o
x
y f (x)
o
x0
x
例8
讨论函数
f
(x)
x
sin
1 x
,
x 0,
0, x 0
在x 0处的连续性与可导性.
解 sin 1 是有界函数 , lim x sin 1 0
x
x0
x
f (0) lim f ( x) 0 f ( x)在x 0处连续.
x0
1
但在x 0处有 y (0 x)sin 0 x 0 sin 1
h0
h
三、证明：若 f ( x)为偶函数且 f (0) 存在，则 f (0) 0 .
四、
设函数
f
(x)
x k
sin
1 x
,
x
0问
k
满足什么条
0 , x 0
件， f ( x)在 x 0处 (1)连续； （2）可导；
（3）导数连续.
五、
设函数
f
(x)
x2
,
x
1
,为了使函数
ax b , x 1
f ( x)在 x 1处连续且可导，a , b应取什么值.
六、
已知
f
(
x)
sin x, x
x,
x
0
0,求
f
(
x).
练习题答案
一、1、 f ( x0 )；
3、 2 3
1
x3
,
2 x3
,
1 6
5
x6；
5、 x y 1 0.
2、 f ( x0 )； 3、4 x 2,2 x 2 ；
二、1、 f ( x0 )； 2、 f (0)； 3、2 f ( x0 ). 四、(1)当k 0时, f ( x)在 x 0处连续；
x0
x
lim ( x0 x0
x) ( x0 )
x
f( x0 ) 存在,
且 f( x0 ) f( x0 ) a,
则 f ( x)在点 x0可导，
且 f ( x0 ) a.
三、由定义求导数
步骤: (1) 求增量 y f ( x x) f ( x);
(2) 算比值 (3) 求极限
y f ( x x) f ( x);
x
x
x
当x 0时, y 在 1和1之间振荡而极限不存在 . x
f ( x)在x 0处不可导.
六、小结
1. 导数的实质: 增量比的极限;
2. f ( x0 ) a f( x0 ) f( x0 ) a; 3. 导数的几何意义: 切线的斜率;
4. 函数可导一定连续，但连续不一定可导;
5. 求导数最基本的方法: 由定义求导数.
x 0
x
或 f ( x) lim f ( x h) f ( x) .
h0
h
注意: 1. f ( x0 ) f ( x) xx0 .
2.导函数(瞬时变化率)是函数平均变化率的逼近 函数.
播放
★ 单侧导数
1.左导数:
f( x0 )
lim
x x0 0
f (x) x
f (x0 ) x0
lim
__________________.
二、在下列各题中均假定 f ( x0 ) 存在，按照导数的定 义观察下列极限，分析并指出A 表示什么？
1、 lim f ( x) f ( x0 ) A；
x x0
x x0
2、lim f (h) A，其中 f (0) 0且f (0) 存在； h0 h
3、lim f ( x0 h) f ( x0 h) A.
dy dx
或
x x0
df ( x) dx
, x x0
即
y
x x0
lim
x0
y x
lim
x0
f ( x0 x) x
f ( x0 )
其它形式
f
( x0 )
lim
h0
f (x0
h) h
f (x0 ) .
f ( x0 )
lim
x x0
f (x) x
f (x0 ) . x0
关于导数的说明：
★ 点导数是因变量在点x0处的变化率,它 反映了因变量随自变量的变化而变化的快 慢程度.
1 x2
x1 2
4.
所求切线方程为 y 2 4( x 1), 即 4x y 4 0.
2
法线方程为 y 2 1 ( x 1), 即 2x 8 y 15 0.
42
五、可导与连续的关系
定理 凡可导函数都是连续函数.
证 设函数 f ( x)在点 x0可导,
lim y x0 x
N 沿曲线C M , x x0 , x x0
x x0
切线MT的斜率为 k tan lim f ( x) f ( x0 ) .
x x0
x x0
二、导数的定义
定义 设函数 y f ( x)在点 x0的某个邻域内 有定义, 当自变量x在 x0处取得增量x (点 x0 x 仍在该邻域内)时, 相应地函数 y取 得增量y f ( x0 x) f ( x0 ); 如果y与 x之比当x 0时的极限存在, 则称函数 y f ( x)在点 x0处可导, 并称这个极限为函 数 y f ( x)在点 x0处的导数, 记为y , xx0
例如,
y y 3 x 1
f ( x) 3 x 1,
在 x 1处不可导.
0
1
x
3. 函数 f ( x)在连续点的左右导数都不存在
(指摆动不定) , 则 x0点不可导 .
例如,
f
(x)
x
sin
1 x
,
0,
x 0, x0
y
1
－1/π 0 1/π
x
在x 0处不可导.
4. 若f ( x0 ) , 且在点 x0的两个单侧导数 符号相反 , 则称点 x0为函数 f ( x)的尖点 (不可导点) .
log a
e.
即
(log a
x)
1 x log a
e.
(ln x) 1 . x
例6 讨论函数 f ( x) x 在x 0处的可导性.
解 f (0 h) f (0) h ,
h
h
lim f (0 h) f (0) lim h 1,
h0
h
h h 0
y y x
o
x
f lim y .
x0 x
例1 求函数 f ( x) C(C为常数)的导数.
解
f ( x) lim h0
f ( x h) h
f ( x) lim C h0
C h
0.
即 (C ) 0.
例2 设函数 f ( x) sin x,求(sin x)及(sin x) x . 4
解 (sin x) lim sin( x h) sin x
例如, x2,
f (x) x,
x 0, x0
y
y x2
yx
0
x
在 x 0处不可导, x 0为 f ( x)的角点.
2. 设函数 f ( x)在点 x0连续, 但
lim y lim f ( x0 x) f ( x0 ) ,
x x0
x0
x
称函数 f ( x)在点 x0有无穷导数.(不可导)
h
lim
lim 1.
h0
h
h h 0
即 f(0) f(0), 函数y f ( x)在x 0点不可导.
四、导数的几何意义
y
f ( x0 )表示曲线 y f ( x) 在点M ( x0 , f ( x0 ))处的 切线的斜率,即
f ( x0 ) tan , (为倾角)o
y f (x)
播放
y
如图, 如果割线MN绕点 M旋转而趋向极限位置 MT,直线MT就称为曲线 C在点M处的切线.
y f (x)
N
T
CM
极限位置即
o
x0
xx
MN 0, NMT 0. 设 M ( x0 , y0 ), N ( x, y).
割线MN的斜率为 tan y y0 f ( x) f ( x0 ) ,
h0
h
h
lim cos( x
h0
h) sin 2 2h
cos
x.
2 即 (sin x) cos x.
(sin x) x cos x x
4
4
2. 2
例3 求函数 y xn (n为正整数)的导数.
解 ( x n ) lim ( x h)n x n
h0
h
lim[nx n1 n(n 1) x n2h hn1 ] nx n1
一、问题的提出
1.自由落体运动的瞬时速度问题
如图, 求 t0时刻的瞬时速度,
取一邻近于t
的时刻
0
t
,
运动时间
t
,
平均速度 v
s t
s s0 t t0
g 2 (t0
t).
当 t t0时, 取极限得
瞬时速度 v lim g(t0 t)
tt0
2
gt0 .
t0
t t
2.切线问题 割线的极限位置——切线位置
★ 如果函数 y f ( x)在开区间I 内的每点 处都可导, 就称函数 f ( x)在开区间I 内可导.
★ 对于任一 x I,都对应着 f (x)的一个确定的 导数值.这个函数叫做原来函数 f ( x) 的导函数.
记作 y, f ( x), dy 或 df ( x) . dx dx
即 y lim f ( x x) f ( x)
x 0
x
lim f ( x0 x) f ( x0 ) _________ .
x 0
x
2、已知物体的运动规律为s t 2 (米)，则该物体在
t 2 秒时的速度为_______ .
3、设
y1 ( x) 3
x2 ,y2(x)
1 x2
, y3 ( x)
x23 x2 x5
,
则
它们的导数分别为dy1 =___________________ ，
f ( x0 )
y x
f ( x0 )
0 (x 0) y f ( x0 )x x
lim
x 0
y
lim[
x 0
f
(
x0
)x
x]
0
函数 f ( x)在点 x0连续 .
注意: 该定理的逆定理不成立.
★ 连续函数不存在导数举例
1. 函数 f ( x)连续 , 若 f( x0 ) f( x0 )则称点 x0 为函数 f ( x) 的角点 ,函数在角点不可导.
dx
dy2 =_____________ ，dy3 =_____________ .
dx
dx
4、 设 f ( x) x 2 , 则 f f ( x) ________________ ； f f ( x) _________________.
5、 曲 线 y e x 在 点 ( 0 , 1 ) 处 的 切 线 方 程 为
者的区别是：一个是数值，另一个是函数．两
者的联系是：在某点x0 处的导数 f ( x0 )即是导 函数 f ( x)在x0 处的函数值．
练习题
一、填空题：
1、设 f ( x) 在 x x0 处可导，即 f ( x0 ) 存在，则
lim f ( x0 x) f ( x0 ) _________ ,
a x ln a.
即 (a x ) a x ln a.
(e x ) e x .
例5 求函数 y log a x(a 0, a 1)的导数.
解 y lim loga ( x h) loga x
h0
h
lim
log a
(1
h) x
1
h0
h
x
x
1 x
lim
h0
log
a
(1
h
)
x h
x
1 x
h0
2!
即 ( x n ) nx n1 .
更一般地 ( x ) x1 . ( R)
例如,
(
x )
1
11
x2
2
1. 2x
( x 1 )
(1)x 11
1 x2
.
例4 求函数 f ( x) a x (a 0, a 1)的导数.
解 (a x ) lim a xh a x
h0
h
a x lim a h 1 h0 h
x 0
f (x0
x) x
f (x0 );
2.右导数:
f( x0 )
lim
x x0 0
f (x) x
f (x0 ) x0
lim
x 0
f (x0
x) x
f (x0 );
★ 函数 f ( x)在点x0 处可导 左导数 f( x0 ) 和右 导数 f( x0 )都存在且相等.
★ 如果 f ( x)在开区间a, b内可导，且 f(a)及
6. 判断可导性
不连续,一定不可导.
直接用定义; 连续
看左右导数是否存在且相等.
思考题
函数 f ( x)在某点x0 处的导数 f ( x0 ) 与导函数 f ( x)有什么区别与联系？
思考题解答
由导数的定义知， f ( x0 )是一个具体的 数值， f ( x)是由于 f ( x) 在某区间I 上每一 点都可导而定义在I 上的一个新函数，即 x I ，有唯一值 f ( x) 与之对应，所以两
f(b)都存在，就说 f ( x) 在闭区间a, b上可导.
★
设函数
f (x)
( x), ( x),
可导性.
x x0 , x x0
讨论在点 x0的
若 lim f ( x0 x) f ( x0 )
x0
x
lim ( x0
x0
x) ( x0 )
x
f( x0 ) 存在,
若 lim f ( x0 x) f ( x0 )