大学物理.第三章.刚体的转动

动 .试计算细杆转动到与竖直线成 角时的角加速度
和角速度 .
解 细杆受重力和
铰链对细杆的约束力
FN
作用 3g sin
2l
3g (1 cos )
l
§3-4 力矩的功 定轴转动的动能定理
一、力矩的功
z

O
d r
速度ω 绕端点转动，摩擦系数为μ 求M摩擦力。
ω
解: 质量线密度:
m L
dm
r dr
质量元:
r dm dr
所受摩擦力为:
dF gdm gdr
例3-5 现有一圆盘在平面内以角速度ω 转动，求 摩擦力产生的力矩（μ 、m、R）。
dr
ωr
解:
dm ds rdrd dF gdm grdrd dM1 rdF r2gdrd
I mi ri2 －质量不连续分布
i
r 2dm －质量连续分布
d －线分布λ＝m/ι 质量元: dm ds －面分布σ＝m/S
dV －体分布ρ＝m/V
二、决定转动惯量的三因素
1）刚体的质量； 2）刚体的质量分布； （如圆 环与圆盘的不同）；
3）刚体转轴的位置。 （如细棒绕中心、绕一端）
运动。 一、何谓刚体
在任何情况下形状和大小都不发生变化的
物体。即每个质元之间的距离无论运动或
受外力时都保持不变。
理想模型
ri j c mj
二、刚体运动的两种基本形式 mi
平动----刚体运动时，刚体内任一直线恒保 持平行的运动(即该直线方向保持不变)
刚体的平动过程
c a b
刚体的平动过程
能运用以上规律分析和解决包括 质点和刚体的简单系统的力学问题.
本章重点 1 刚体转动惯量的物理意义以及常见刚体绕常 见轴的转动惯量； 2 力矩计算、转动定律的应用； 3 刚体转动动能、转动时的角动量的计算。
本章难点 力矩计算、刚体转动过程中守恒的判断及其准 确计算。
§3-1 刚体的定轴转动
概要：实际的物体运动不总是可以看成质点的

ri

Fi

ri

F 内i

(mi
)r
2 i

----②
对整个刚体，对②式求和
ri F i ri F内i ( (mi )r 2i )
i
i
i
ri F内i 0
i
I (
(mi
)r
2 i
)
i
M 合,外力 ri F i I
M

N
求： a1.a2.T1.T2
r M
T1
T1 '
m1
ma13g
m1g
a2
T2
T2 '
m2
m2 g
解：对以象m。1.m2.m3.为研究 受力分析：m1 : m1g, T1'
m2 : m2 g,T2 ' m3 : m3g, N ,T1,T2
建立轴的正向：（力矩投
影的正方向）
例3-8 一静止刚体受到一等于M0 的不变力矩的作 用,同时又引起一阻力矩M1， M1与刚体转动的角 速度成正比,即| M1 |= a, (a为常数)。又已知刚体 对转轴的转动惯量为I, 试求刚体角速度变化的规
其体积：
dV r2dZ ( R2 Z 2 )dZ
其质量： dm dV ( R2 Z 2 )dZ
其转动惯量：dI 1 r 2dm 1 ( R2 Z 2 )2 dZ
2
2
§3-3 力矩 转动定律
一 力矩

F
θ
rp
力矩：M rF sin
矢量式：
M
F F
力，只求那个垂直于轴
的力的力矩就可以了。
3）转动定律说明了I是物体转动惯性大小的量度。
因为： M一定时I I
即I越大的物体，保持原来转动状态的性质就
越强，转动惯性就越大；反之，I越小，越容
易改变状态，保持原有状态的能力越弱。或
者说转动惯性越小。

如一个外径和质量相同的实心圆 柱与空心圆筒，若 受力和力矩一 样，谁转动得快些呢？
----①
用 r i 左叉乘①式
ri (F i F内i ) (mi )ri (ain ait )
(mi )(ri ain ri ait ) ri ain 0
ri (F i F内i ) (mi )(ri ait )
ait ri t 0 , ri ait ri2
2）转动:定轴转动和定点转动 刚体的各质元在运动中都绕一固定轴作圆周运 动，称为刚体作定轴转动。
O’
定点转动：绕
一固定点转动。
如陀螺。
O
刚体的定轴转动
刚体上各点都绕同一转轴作不同半径的圆周 运动，且在相同时间内转过相同的角度。
3）刚体的一般运动
一般运动：总可以看成是一个随质心的平动加上 绕质心的转动组合。平动＋转动
dm dx m / L
平行轴定理：刚体对任一轴A的转动惯量IA和
通过质心并与A轴平行的转
动惯量Ic有如下关系：
I A IC md
2
m 为刚体的质量、
d
A
C
M
d 为轴A与轴C之间的垂直距离
正交轴定理：（仅适用于薄板状刚体）
Iz Ix Iy
(z⊥x、y，xy轴在刚体平面内,坐标原点位置任意) Iz－绕垂直其平面的转轴的转动惯量， Ix，Iy－在转动平面内两个正交轴的转动惯量。
c a b
刚体的平动过程
c a
bb
刚体的平动过程
c a
b
刚体的平动过程
c a
b
刚体的平动过程
c a b
刚体的平动过程
c a b
刚体的平动过程
c a b
刚体的平动过程
c a b
二、刚体运动的两种基本形式
1) 平动----刚体运动时，刚体内任一直线恒
r 保持平行的运动
mj
ij
要揭示转动惯量的物理意义，实际上是要找到一
个类似于牛顿定律的规律——转动定律。
二、转动定律
zr O
F内i
i
Fi
i
iP
刚体可看成是由许多小质元 组成，在p点取一质元，
mi (dmi ), ri
受力：外力 F i，与 r i成 i 角
合内力 F内i，与 r i 成 i 角
F i F内i＝mi ai mi (ain ait )
B
A
h O质
X
例3-1 求质量为m,长为L的均匀细棒对下面三种
转轴的转动惯量：
转轴通过棒的中心o并与棒垂直
转轴通过棒的一端B并与棒垂直
转轴通过棒上距质心为h的一点A 并与棒垂直
B A h O质 dm
X
x dx
已知：L、m
求：IO、IB、IA 解：以棒中心为原点建立坐标OX、将棒分
割 成许多质元dm.

r vi imi
M
质量连续分布 mi 0
Ek

lim
mi 0 n
n i 1
12miri2 2
1 ( r 2dm) 2 1 I 2
2
2
Ek

1 2
I 2
令I r 2dm 转动惯量
Ek

1 2
I 2
Ek

1 2
mv2
I－转动惯量:物体转动惯性大小的量度
r 选取参考点O，则：
r
rj

ri

rij
(1)
O
j
mi
i
对（1）式求导： rij c
vj vi
aj

ai
结论：刚体平动时，其上各点具有相同的速度、 加速度及相同的轨迹。只要找到一点的运动规 律，刚体的运动规律便全知道了。事实上这一 点已经知道-----质心运动已告诉了我们。也就是 说质心运动定理是反映物体平动的规律。

ri F i －力不连续
i
注意: M 合 ri F i
i
i
力是连续的 M 合 r d F
4） 刚体内作用力和反作用力的力矩互相抵消

M ij
O

rj
d ri
i
j
Fji Fij
M ji
Mij M ji
例3-4 如图所示, 均匀细杆, 长为L，在平面内以角
r 任取一质元 mi 距转轴 i ，则该质元动能：
1 2
mivi2

1 2
mi (ri )2

1 2
miri2 2
故刚体的动能：
Ek

n i 1
1 2mi
ri2
2

1n (
2 i1
mi ri2 ) 2
质量不连续分布（离散）
Ek

1n (
2 i1
mi ri2 ) 2
at(i) ri an(i) 2ri
vait(i)



ri

ri
an(i)

vi
i
p
§3-2 转动动能 转动惯量
刚体的平动动能
CYmCmMjmiCmMjmCimCMMjmCCimmmMjmCiMjmiMjmmi mMvjiiCC
维转动）的转动方向可
以用角速度的正负来表
示. 角加速度


d
dt
定轴转动的特点
z
>0
z

<0
1） 每一质点均作圆周运动，转动平面为圆面；
2） 任一质点运动 ,, 均相同，但 v, a 不同；
3） 运动描述仅需一个坐标 .
在p点取一质点，op r i
vi ri
三、刚体定轴转动的角速度和角加速度
角坐标 (t)
rr约沿沿定逆顺时时针 针方 方向 向转 转动动

> <
0 0
角位移
(t t) (t)
角速度矢量
lim d
t t0
dt
方向: 右手螺旋方向
z (t)
x
参考平面
参考轴

刚体定轴转动（一
律。
M+
已知：M0 I M1= –a |t=0=
求：（t）=？
0
解： 1）以刚体为研究对象；
2）分析所受力矩
M0 I M1
3）建立轴的正方向； 4）列方程：
M 0 M1 I
例3-9 一长为 l 质量为m 匀质细杆竖直放置，其
下端与一固定铰链 O 相接，并可绕其转动 . 由于此 竖直放置的细杆处于非稳定平衡状态，当其受到微小 扰动时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链O 转
I
i
－转动定律
定轴转动定律：绕某定轴转动的刚体，所受
合外力矩在该轴上的分量等于刚体对该轴的
转动惯量与角加速度的乘积。
M

I
或


M I
说明：1）定轴转动定律是瞬时对应关系；
2） M , I , 应是对同
一轴而言的
Z
如何求力对轴的力矩呢？ 如图可将力分解为两个
M
Z
F r
O
其平动动能应为各质元动能和。
Ek平

n i 1
1 2
mi
vi2

1 2
MvC2
vc为质心 的速度

vC
mi vi M
X
一、转动动能 刚体绕定轴以角速度旋转
刚体的动能应为各质元动能 之和，为此将刚体分割成很多

r i vi mi
M
很小的质元 m1, m2 mi mn

r

F
单位：米.牛顿
注意： 1）力
F必须在转动平面内： M

r

F
2）F若//平力面F，F不在平面 转,动平M面内r，FF分//解平面成
3）若刚体受N个外力作用，F1, F 2,, F N
M 合
M
i＝r1

F1

r2

F2


i
rN
FN
例题3-2 半径为R的质量均匀分布的细圆环及薄 圆盘，质量均为m，试分别求出对通过质心并 与环面或盘面垂直的转轴的转动惯量。
dl
R
dr
rR
例3-3 求一质量为m的均匀实心球对其一条直径
为轴的转动惯量。
Z
解：一球绕Z轴旋转，离球
Zr
d Z 心Z高处切一厚为dz的薄圆 盘。其半径为
O X
R
Y r R2 Z2
T’解：建立转动轴的
T
m1
a+ m1g
m2g
正方向，加速度的 正方向.
隔离物体分析力：
=
2m1g (2m1+m2)r
T=
m1m2g 2m1+m2
h=
m1gt2 2m1+m2
r 例3-7 质量分别为m1。m2的物体通过轻绳挂在质
量为m3半径为 的圆盘形滑轮上。求物体m1。
m量2运不动计的）加速抵度消以及已绳知子：张m力1.Tm1.T22.m,3（.r绳子质
M
I
M
M
飞轮的质量为什么 大都分布于外轮缘？
竿 子 长 些 还 是 短 些 较 安 全 ？
例3-6 一质量为m1的物体绕在一半径为r质量为m2的圆盘 上,开绐时静止, 求重物的加速度、绳中的张力和t时刻重
物下降多高?(绳的质量与轴上的摩擦力不计).
+ r
T
m2 T’
N r
已知: m1 、m2、r 求：a、T、h
第三章 刚体的转动
教学基本要求 一 理解描述刚体定轴转动的物
理量，并掌握角量与线量的关系.
二 理解力矩和转动惯量的概念， 掌握刚体绕定轴转动的转动定律.
三 理解刚体定轴转动的转动动 能概念，能在有刚体绕定轴转动的问 题中正确地应用机械能守恒定律.
四 掌握力矩的功和转动动能定 理. 掌握刚体转动时角动量守恒的条件.