2021级高一新生开学考_(数学)

2021级高一新生开学考 (数学)
一、选择题)
1. 已知a为实数，则下列四个数中一定为非负实数的是（）
A.a
B.—a
C.−|−a|
D.|−a|
2. 下列给出的对象中，能组成集合的是（）
A.一切很大的数
B.好心人
C.漂亮的小女孩
D.方程x2−1=0的实数根
3. 若关于x的分式方程2x−m
x+1
=1的解为正数，则字母m的取值范围为（）
A.m≥−1
B.m≤−1
C.m>−1
D.m<−1
4. 已知m2+n2=169,m−n=7，则mn的值为（）
A.120
B.30
C.60
D.15
5. 设a、b、c为实数，x=a2−2b+π
3，y=b2−2c+π
6
，z=c2−2a+π
2
，则x、y、
z中，至少有一个值（）
A.大于0
B.等于0
C.不大于0
D.小于0
6. 方程3x2+6x−2√x2+2x=1的解为（▲）（）
A.1和−1
3B.1
3
和一1 C.√2−1和−√2−1 D.√2+1和−√2+1
7. 当0≤x≤m时，函数y=x2−2x+3有最大值3，最小值2，则实数m的取值范围是（）
A.m≥1
B.1≤m≤2
C.0≤m≤2
D.m≤2
8. 若不等式2kx2+kx−3
8
<0对一切实数，都成立，则实数k的取值范围是（（）
A.−3<k<0
B.−3≤k≤0
C.−3<k≤0
D.k<−3或k≥0
9. 如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(1,0),B(5,0)，下列说法正确的是
（ ）
A.c <0
B.b 2−4ac <0
C.x =3时函数y =ax 2+bx +c 取最小值
D.图象的对称轴是直线x =3
10. 在一条笔直的公路上有A 、B 、C 三地，C 地位于A 、B 两地之间，甲车从A 地沿这条公路匀速驶向C 地，乙车从B 地沿这条公路匀速驶向A 地．在甲车出发至甲车到达C 地的过程中，甲、乙两车各自与C 地的距离y (km )与甲车行驶时间t (ℎ)之间的函数关系如图所示．下列结论正确的是（ ）
A.甲车出发2ℎ时，两车相遇；
B.乙车出发1.5ℎ时，两车相距170km ；
C.乙车出发275ℎ时，两车相遇；
D.甲车到达C 地时，两车相距40km ．
二、填空题)
11. (x −3)(2x +1)=2x 2+ax +b ，则a +b = ▲
12. 若a ，b 是方程x 2+2021x −1=0的两个实数根，则a 2b +ab 2+ab = ▲
13. 若方程组{xy +1=0,x −y +b =0
没有实数解，则实数b 的取值范围是________.
14. 一天，小明从家出发匀速步行去学校上学．几分钟后，在家休假的爸爸发现小明
忘带数学书，于是爸爸立即匀速跑步去追小明，爸爸追上小明后以原速原路跑回
家．小明拿到书后以原速的快步赶往学校，并在从家出发后23分钟到校（小明被爸爸追上时交流时间忽略不计）．两人之间相距的路程y （米）与小明从家出发到学校的步行时间x （分钟）之间的函数关系如图所示，则小明家到学校的路程为________米．
三、解答题)
15. 化简求值：
（1）(235)0+2
−2×(214)−12−(0.01)0.5；
（2） √a 72⋅√a −33÷√√a −83⋅√a 153√√a −33√a −1(a >0)
16. 解下列方程组；
（1）{2x +4y +3z =9
3x −2y +5z =115x −6y +7z =13
（2）{2x −y =0,x 2−y 2+3=0
17. 解下列不等式：
（1）−x 2+3x −2≥0；
（2）|x −1|+|x −3|>4．
18. 把下列各式因式分解：
(1)3a 3b +81b
(2)10(a+2)2−29(a+2)+10
(3)x3+6x2+11x+6
19. 已知函数f(x)=x2+2ax+1
(1)当a=1时，求函数f(x)在x∈[−2,2]上的最大值与最小值；
(2)若f(x)在x∈[−1,2]上的最大值为4，求实数a的值．
20. 已知关于r的一元二次方程x2−x+a−4=0，根据下列条件求出a的范围：(1)方程的两根都大于0
(2)方程的一根大于3，另一根小于3.
21. 为了落实党的“精准扶贫”政策，A、B两城决定向C、D两乡运送肥料以支持农村生产，已知A、B两城共有肥料500吨，其中A城肥料比B城少100吨，从A城往C、D两乡运肥料的费用分别为20元/吨和25元/吨；从B城往C、D两乡运肥料的费用分别为15元/吨和24元/吨．现C乡需要肥料240吨，D乡需要肥料260吨．
(1)A城和B城各有多少吨肥料？
(2)设从A城运往C乡肥料π吨，总运费为y元，求出最少总运费．
(3)由于更换车型，使A城运往C乡的运费每吨减少a(0<a<6)元，这时怎样调运才能使总运费最少？
22. 如图，在矩形ABCO中，点O为坐标原点，点B(4,3)，点A、C在坐标轴上，点Q在BC边上，直线l1:y=kx+k+1交γ轴于点A．对于坐标平面内的直线，先将该直线向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，这种直线运动称为直线的斜平移．现将直线l1经过2次斜平移，得到直线l2
(1)求直线l1与两坐标轴围成的面积；
(2)在第一象限内，在直线l2上是否存在一点M，使得△AQM是等腰直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案与试题解析
2021级高一新生开学考 (数学)
一、选择题
1.
【答案】
D
【考点】
绝对值不等式
【解析】
略
【解答】
A选项：当a为负数时，a为负数，故是错误的；
B选项：当a为正数时，−a为负数，故是错误的；
C选项：绝对值的性质可得，|−al为非负实数，则−|−||为非正实数，故是错误的D选项：根据绝对值的性质可得，|−al为非负实数，故是正确的；故选D．
2.
【答案】
D
【考点】
集合的含义与表示
集合的确定性、互异性、无序性
【解析】
AB．C都不满足集合的确定性，排除，解出方程可以确定构成集合．
【解答】
A．一切很大的数B．好心人C．漂亮的小女孩均不满足集合的确定性，排除；D．方程x2−1=0的实数根为±1，可以构成集合．
故答案为：D
3.
【答案】
C
【考点】
分式不等式的解法
【解析】
此题暂无解析
【解答】
略
4.
【答案】
C
【考点】
一元二次不等式
一元二次方程的根的分布与系数的关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
C
5.
【答案】
A
【考点】
完全平方公式
非负数的性质：偶次方
【解析】
首先由x+y+z得出={(a−1)2}+{(b−1)2}+{(c−1)2}+π−3，根据偶次方的非负性，得出x、y、z中至少有一个大于0．
【解答】
解：因x+y+z={(a−1)2}+{(b−1)2}+{(c−1)2}+π−3>0，
则x、y、z中至少有一个大于0，
故选：A．
6.
【答案】
C
【考点】
一元二次方程的根的分布与系数的关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
略
7.
【答案】
B
【考点】
二次函数在闭区间上的最值
二次函数的性质
二次函数的图象
一元二次不等式与二次函数
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由二次函数y=x2−2x+3=(x−1)2+2，∵当0≤x≤m时，y最大值为3，最小值为2，∴1≤m≤2．故答案为：1≤m≤2．
8.
【答案】
C
【考点】
一元二次不等式的解法
不等式恒成立问题
二次函数的性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
略
9.
【答案】
C,D
【考点】
二次函数的图象
【解析】
此题暂无解析
【解答】
略
10.
【答案】
B,C,D
【考点】
根据实际问题选择函数类型
【解析】
此题暂无解析
【解答】
【解答】解：①观察函数图象可知，当t=2时，两函数图象相交，
∵C地位于A、B两地之间，
∴交点代表了两车离C地的距离相等，并不是两车相遇，结论①错误；②甲车的速度为240÷4=60(km/ℎ)
乙车的速度为200÷(3.5−1)=80(km/ℎ)
：(240+200−60−170)÷(60+80)=1.5(ℎ)
∴乙车出发1.5ℎ时，两车相距170km，结论②正确；
(ℎ)
③∵(240+200−60)÷(60+80)=25
7
∴乙车出发25
ℎ时，两车相遇，结论③正确：
7
④∵80×(4−3.5)=40(km)
∴甲车到达C地时，两车相距40km，结论④正确．
综上所述，正确的结论有：②③④．
故答案为：BCD ．
二、填空题
11.
【答案】
-8
【考点】
因式分解定理
多项式的相等
【解析】
此题暂无解析
【解答】
略
12.
【答案】
2020
【考点】
一元二次方程的根的分布与系数的关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
略
13.
【答案】
−2<b <2
【考点】
直线的一般式方程与直线的平行关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
−2<b <2
14.
【答案】
2080
【考点】
一次函数的应用
【解析】
设小明原速度为x 米/分钟，则拿到书后的速度为1.25x 米/分钟，家校距离为11x +(23−11)×1.25x =26x ．设爸爸行进速度为y
米/分钟，由题意及图形得：{11x =(16−11)y (16−11)×(1.25x +y )=1380
，解得：x =80y =176．据此即可解答．
【解答】
解：设小明原速度为x （米/分钟），则拿到书后的速度为1.25x （米/分钟），则家校距离为11x +(23−11)×1.25x =26.
设爸爸行进速度为y （米/分钟），由题意及图形得：{1x =(16−11)y 11111)×(1.25x +y)=1380
解得：x =80y =176
…小明家到学校的路程为：80×26=2080（米）．
故答案为2080
三、解答题
15.
【答案】
解：(235)0+2−2×(214)
−12−(0.01)0.5 =1+14×[(32
)2]−12−(1100)12=1+14×23−110=1615. =a 23÷a 76÷a −
23
=a 16
=√a 6
【考点】
有理数指数幂的运算性质及化简求值
有理数指数幂
根式与分数指数幂的互化及其化简运算
【解析】
（1）根据指数幂的运算法则求解即可；
（2）把根式化成分数指数幂后根据指数幂的运算法则求解即可．
【解答】
略
略
16.
【答案】
（2）{2x +4y +3z =9①
3x −2y +5z =11②5x −6y +7z =13③
，
①+②×2，得8x +13z =31④，
②×3−③，得x +2z =5⑤，
④与⑤组成方程组{8x +13z =31x +2z =5， 解这个方程组，得{x =−1z =3
， 把{x =−1z =3
代入①，得y =0.5． 故原方程组的解为{x =−1
y =0.5z =3
．
{
2x −y =0①,x 2−y 2+3=0②
解：由①得2x=y
由②得
(x+y)(x-y)+3=0
3x·(-x)=-3
-3x 2=-3
x 2=1
x=±1
∴ 当x=1时，y=2
当x=-1时，y=-2 【考点】
解三元一次方程组
代入消元法解二元一次方程组
【解析】
（2）由于方程①中未知数y 的系数是方程②中y 的系数的绝对值的2倍，方程③中未知数y 的系数是方程②中y 的系数的绝对值的3倍，所以可以利用加减法首先消去未知数y ，得到一个只含有x 与z 的二元一次方程组．
（1）首先化简方程组，然后选择正确的方法进行消元．
【解答】
（2）{2x +4y +3z =9①
3x −2y +5z =11②5x −6y +7z =13③
，
①+②×2，得8x +13z =31④，
②×3−③，得x +2z =5⑤，
④与⑤组成方程组{8x +13z =31x +2z =5
， 解这个方程组，得{x =−1z =3
， 把{x =−1z =3
代入①，得y =0.5． 故原方程组的解为{x =−1
y =0.5z =3
．
略
17.
【答案】
−x 2−3x −2≥0
解：x 2+3x +2≤0
x1=-2，x2=-2
1≤X ≤2
（2）由于|x −1|+|x −3|表示数轴上的x 对应点到1、3对应点的距离之和，
而0和4对应点到1、3对应点的距离之和正好等于4，
故|x −1|+|x −3|>4的解集为{x|x <0, 或x >4}．
【考点】
绝对值不等式的解法与证明
【解析】
（2）由条件利用绝对值的意义求得它的解集．
【解答】
略
（2）由于|x −1|+|x −3|表示数轴上的x 对应点到1、3对应点的距离之和，
而0和4对应点到1、3对应点的距离之和正好等于4，
故|x −1|+|x −3|>4的解集为{x|x <0, 或x >4}．
18.
【答案】
（1）3a 3b +81b 4=3b (a 3+27b 3)=3b (a +3b )(a 2−3ab +9b 2)
（2）10(a +2)2−29(a +2)+10=(2a −1)(5a +8)
（3）x 3+6x 2+11x +6=(x +1)(x +2)(x +3)
【考点】
因式分解定理
二次函数的性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
略
略
略
19.
【答案】
f (x )=x 2+2ax +1=(x +1)2
当x=-1时最小为0
当x=2时最大为9
（2）—1或−14 对称轴为x =−a
当−a −1，即 a1 时，有 4a +5=4⇒a =−14（舍去）．
当−a2，即 a −2时，2−2a =4⇒a =−1 （舍去）．
当 −1<−a 12，即 −12a <1时，4a +5=4⇒a =−14，经检验符合题意． 当 12<−a <2，即 −2<a <−12 时，2−2a =4⇒a =−1 经检验符合题意． 综上，a =−14或−1.
【考点】
二次函数在闭区间上的最值
【解析】
略
【解答】
略
（2）—1或−14 对称轴为x =−a
当−a −1，即 a1 时，有 4a +5=4⇒a =−14（舍去）． 当−a2，即 a −2时，2−2a =4⇒a =−1 （舍去）．
当 −1<−a 12，即 −12a <1时，4a +5=4⇒a =−14，经检验符合题意．
当 12<−a <2，即 −2<a <−12 时，2−2a =4⇒a =−1 经检验符合题意． 综上，a =−14或−1.
20.
【答案】
答案：设方程 x 2−tx +2−t =0 的两根分别为 x 1,x 2，则x 1+x 2=1,x 1x 2=a −4
（1）由两根都大于0，由两根都大于0，得 {Δ=1−4(a −4)
x 1+x 2=1>0,x 1x 2=a −4>0
解得4<a ≤
174
（2）由方程的一根大于3，另一根小于3，
得{Δ=1−4(a −4)(x 1−3)(x 2−3)<0，所以{a <174x 1x 2−3(x 1+x 2)+9<0
， 即 {a <174a <−2
，解得 a <−2 或构造函数结合图像处理．
【考点】
一元二次方程的根的分布与系数的关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
略
略
21.
【答案】
解：（1）设A 城有化肥ａ吨，B 城有化肥b 吨根据题意，得{b +a =500b −a =100
解得{a =200b =300 答：A 城和B 城分别有200吨和300吨肥料；
（2）设从A 城运往C 乡肥料х吨，则从A 城运往D 乡(200−x )吨，从B 城运往C 乡肥料(240−x )吨，则从B 城运往D 乡(60+x )吨．若总运费为y 元，根据题意，
得：y =20x +25(200−x )+15(240−x )+24(60+x )=4x +1040
由于y=4x+1004是一次函数，k=4>0，y随r的增大而增大．
由x≥0200−x≥0,240−x≥0知0≤x≤200
所以当x=0时，运费最少，最少运费是10040元．
（3）从A城运往C乡肥料π吨，由于A城运往C乡的运费每吨减少a(0<a<6)元，
所以y=(20−a)x+25(200−x)+15(240−x)+24(60+x)=(4−a)x+
10040(0≤x≤200)
当0<a<4时，∵4−a>0∴当x=0时，运费最少是10040元；
当a=4时，运费是10040元；
当4<a<6时，∵4−a<0
∴当x最大时，运费最少．即当x=200时，运费最少．
所以：当0<a<4时，A城化肥全部运往D乡，B城运往C城240吨，运往D乡60吨，运
费最少；
当a=4时，不管A城化肥运往D乡多少吨，运费都是10040元．
当4<a<6时，A城化肥全部运往C乡，B城运往C城40吨，运往D乡260吨，运费最少．
【考点】
一次函数的性质与图象
【解析】
此题暂无解析
【解答】
（1）根据A、B两城共有肥料500吨，其中A城肥料比B城少100吨，列方程或方程组得
答案；
（2）设从A城运往C乡肥料Ⅰ吨，用含π的代数式分别表示出从A运往运往D乡的肥料
吨数，从B城运往C乡肥料吨数，及从B城运往D乡肥料吨数，根据：运费=运输吨数×
运输费用，得一次函数解析式，利用一次函数的性质得结论；
（3）列出当A城运往C乡的运费每吨减少a(0<a<6)元时的一次函数解析式，利用
一次函数的性质讨论，并得结论．
22.
【答案】
解：（1）将点A(0,3)代入直线L1:y=kx+k+1并解得：k=2
故L1的表达式为：y=2x+3
设：L1与π轴交点坐标为D，则其坐标为(−3
2
,0)
图1直线l1与两坐标轴围成的面积=1
2OD×AO=1
2
×3
2
×3=9
4
（2）①当∠QAM为直角时，
∵ 这种情况下，因为M 在l 2Q 在BC 边上，三角形AOM 不能形成等腰直角三角形， ∴ M 不存在；
②当∠AMQ 为直角时，AM =MQ ，过点M 作π轴的平行线分别交AO 、BC 于点G 、H ，
设点M (m,2m −3)，点Q (4,n )．
∠AMG +∠GAM =90∘ ∠AMG +∠QMH =90∘
∴ ∠QMH =∠GAM,∠AGM =∠MHHQ =90∘ ,AM =MQ
∴ △AGM ≅△MHQ (AAS )，∴ AG =MH 即：|3−2m +3|=4−m
解得： m =2或103故点M (103,11
3)或(2,1) ③当∠AQM 为直角时，如下图：
【考点】
一次函数的性质与图象
【解析】
此题暂无解析
【解答】
略
略。