北师大版八年级数学(下)第一章 等腰三角形

1.1等腰三角形
一、知识点梳理
1.等腰三角形的性质定理：
①等腰三角形的两底角相等（等边对等角）
②等腰三角形的两腰相等（定义）
③等腰三角形等角的平分线、底边上的中线及地边上的高线互相重合（三
线合一）
2.等边三角形的性质定理：
①等边三角形的三条边都相等
②等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°
3.等腰三角形的判定定理：
①有两条边相等的三角形是等腰三角形（定义）
②有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）
4.等边三角形的判定定理：
①三条边都相等的三角形是等边三角形（定义）
②三个角都相等的三角形是等边三角形
③有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形
5.反证法：证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法成为反证法。

6.在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

7.直角三角形斜边的中线等于斜边的一半
8.作图要求：掌握尺规作图用两条已知线段做等腰三角形
二、经典题型总结
题型一：利用等腰三角形的性质求角
题型二：利用等腰三角形的性质求线段长度
题型三：用反证法证明简单证明题
题型四：利用等腰三角形的判定定理进行证明
题型五：动点与等腰三角形题型
题型六：与等腰三角形相关的综合提升题
三、解题技巧点睛
1.在做等腰三角形类问题时可以随时“标图”，把相等的角或者相等的边用相同的小符号标注，便于我们清晰的读图。

2.若题目中需要证明两条线段相等，通常会想到：
①两条线段所在的两个三角形“全等”
②两条线短可以平移为某个“等腰三角形”的两个腰
3.在图形中如果涉及到求边长问题，我们通常首先想到：根据欲求边构建直角三角形运用“勾股定理”
4.在求角度的题目中，若思路不清晰，则本着两个计算原则去列式：
①三角形内角和等于180°
②三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和
5.特别注意几个特殊角：75°、105°、120°、135°、150°，若图形题中出现了这几个特殊角并且涉及到求线段，则很有可能需要我们做辅助线把75°角分成45°角和30°角；而把105°角分成60°角和45°角；把120°角分成90°角和30°角或两个60°角；把135°角分成90°角和45°角；把150°角分成90°角和60°角。

6.动点类问题与等腰三角形的求解方法：
分类讨论：①当点A为等腰三角形顶点时
②当点B为等腰三角形顶点时
③当点C为等腰三角形顶点时
解题方法：①若已知顶点和另外一点，则以顶点为圆心，以腰长
为半径画圆寻找第三点；
②若已知底边的两个端点求顶点，则做底边的垂直平
分线，寻找第三点。

注意事项：寻找完所有点后必须进行核对，是否有重合点
四、易错点分析
1.若题干中出现三角形的”高“，并且没有配图，则极有可能需分别讨论“锐角三角形”和“钝角三角形”两种情况。

2.若题干中仅出现“已知等腰三角形的一个角为...”则必须讨论该角的位置可能是“顶角”也可能是“底角”。

3.在解决等腰三角形结合动点类问题时，容易出现重合点。

五、典型例题分析
题型一：与等腰三角形相关的求角度题型
例题：如图，B在AC上，D在CE上，AD＝BD＝BC，∠ACE＝25°，求∠ADE的度数。

题型二：与等腰三角形相关的求边长题型
例题：如图，△ABC中，CD平分∠ACB，BE⊥CD，∠A=∠ABE.若AC=5cm，BC=3cm，则BD的长为cm．
题型三：用反证法证明简单证明题
例题：求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°。

例题：如图，△ABC中，D是AB边上一点，在AC的延长线上取CE=BD，连接DE 交BC于F，若DF=EF.求证：△ABC为等腰三角形。

题型五：动点与等腰三角形题型
例题：如图，∠A＝30°，点E在射线AB上，且AE＝10，动点C在射线AD上，求出当△AEC为等腰三角形时AC的长．
例题：△ABC的边BC在直线l上，点D，E是直线l上的两点，且BA＝BD，CA ＝CE.
(1)如图1，若AB＝AC，∠BAC＝90°，求∠DAE的度数；
(2)如图2，若∠BAC＝90°，求∠DAE的度数；
(3)如图3，设∠BAC＝α，∠DAE＝β，请写出α，β之间的数量关系，并说明理由.
六、中考真题再现
（贵阳中考2018年.21题）如图，在平行四边形ABCD 中，AE 是BC 边上的高，点 F 是DE 的中点，AB 与AG 关于AE 对称，AE 与AF 关于AG 对称，（1）求证：△AEF 是等边三角形；（2）若AB=2 ,求△AFD 的面积.
（2019.江西.10题）如图，在ABC ∆中，点D 是BC 上的点，40BAD ABC ∠=∠=︒，
将ABD ∆沿着AD 翻折得到AED ∆，则CDE ∠= ︒．
（2019.宁夏.05题）如图，在△ABC 中AC ＝BC ，点D 和E 分别在AB 和AC 上，
且AD ＝AE ．连接DE ，过点A 的直线GH 与DE 平行，若∠C ＝40°，则∠GAD
的度数为（ ）
A ．40°
B ．45°
C ．55°
D ．70°
（2019.山西.15题）如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC=10cm ，点D 为△ABC
内一点，∠BAD=15°，AD=6cm ，连接BD ，将△ABD 绕点A 逆时针方向旋转，使
AB 与AC 重合，点D 的对应点E ，连接DE ，DE 交AC 于点F ，则CF 的长为
cm.
（2019.重庆.20题）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 是BC 边上的中点，连结AD ，
BE 平分∠ABC 交AC 于点E ，过点E 作EF ∥BC 交AB 于点F ．
（1）若∠C ＝36°，求∠BAD 的度数；
（2）求证：FB ＝FE ．
（2019.吉林.24题）性质探究
如图①，在等腰三角形ABC中，∠ACB＝120°，则底边AB与腰AC的长度之比为．
理解运用
（1）若顶角为120°的等腰三角形的周长为8+4，则它的面积为；
（2）如图②，在四边形EFGH中，EF＝EG＝EH．
①求证：∠EFG+∠EHG＝∠FGH；
②在边FG，GH上分别取中点M，N，连接MN．若∠FGH＝120°，EF＝10，直
接写出线段MN的长．
类比拓展
顶角为2α的等腰三角形的底边与一腰的长度之比为（用含α的式子表示）．
七、习题巩固训练
1.等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是________°
2.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角的度数为20°，则顶角的度数是________°
3.等腰三角形的两边长为 4、9，则它的周长是。

4.等腰三角形的两边长为6、8，则它的周长是。

5.一个直角三角形斜边上的中线长为，则斜边长为________．
6.在等腰△ABC中，AB=AC，中线BD将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为。

7.如图，在△ABC中，，点D在AC边上，且，则∠A的度数为________°
8.如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中∠α＋∠β的度数是________
9.如图，已知△ABC中∠A＝43°，∠B＝73°，点B，C，D，E在同一直线上，
且CG＝CD，DF＝DE，则∠E＝度．
10．如图，F是等腰三角形ABC的底边BC的延长上一点，且FD⊥AB，垂足为D，交AC于点E，若已知∠F＝35°，则∠A＝．
11．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，∠1＝∠2，∠ADE＝∠EDB，则∠DEB为．
12.如图，D是AB边上的中点，将△ABC沿过D的直线折叠，使点A落在BC上F 处，若∠B＝50°，则∠BDF的度数是_____.
13.如图，P、Q是△ABC边BC上的两点，且BP=PQ=QC=AP=AQ，则∠BAC= 。

14.如图，在△ABC中，BC＝5 cm，BP，CP分别是∠ABC和∠ACB的平分线，且PD∥AB，PE∥AC，则△PDE的周长是。

15.如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知A，B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是个
16.如图，已知点P是射线BM上一动点（P不与B重合），∠AOB＝30°，∠ABM
＝60°，当∠OAP
＝
时，以A、O、B中的任意两点和P点为顶点的三
角形是等腰三角形．
17.如图，△ABC是以BC为底边的等腰三角形，AB＝3，BC＝5，P是折线BAC上
动点（不与B，C重合），过P作BC的垂线l交BC于D，连接AD．当△ACD 是等腰三角形时，BD的长是．
18.如图，已知AB=2，P是线段AB上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作等边△AEP和等边△PFB，连接EF，设EF的中点为G，连接PG，则PG的最小值是_______.
19.已知等腰三角形的三边长 a=5x﹣1，b=6﹣x，c=4，求 x 的值．
20.如图所示,在△ABC中,AB=AC,O是△ABC内一点,且OB=OC. 求证:AO⊥BC
21.如图，点E为△ABC边AB上一点，AC＝BC＝BE，AE＝EC，BD⊥AC于点D，求
C A
O
B
∠CBD的度数．
22.如图，已知△ABC为等边三角形，点D，E分别在BC，AC边上，且AE＝CD，AD与BE交于点F.
(1)求证：△ABE≌△CAD；
(2)求∠BFD的度数．
23.如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC上任意一点，过D分别向AB，AC引垂线，
垂足分别为E，F，CG是AB边上的高．
（1）DE，DF，CG的长之间存在着怎样的等量关系？并加以证明；
（2）若D在底边的延长线上，（1）中的结论还成立吗？若不成立，又存在怎样的关系？请说明理由．
24.如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，且AD＝AE．
（1）若∠BAC＝90°，∠BAD＝30°，求∠EDC的度数？
（2）若∠BAC＝a（a＞30°），∠BAD＝30°，求∠EDC的度数？
（3）猜想∠EDC与∠BAD的数量关系？（不必证明）
25.如图1，△ABC为等边三角形，D为BC上任一点，∠ADE＝60°，边DE与∠ACB外角的平分线相交于点E.
(1)求证：AD＝DE.
(2)若点D在CB的延长线上，如图2，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．。