《参数方程》专题(学生版)

《参数方程》专题
2019年（ ）月（ ）日 班级 姓名
1．曲线的参数方程
在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数
⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝f (t )，y ＝g (t )，并且对于t 的每一个允许值，由这个方程组所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x ，y 的变数t 叫做参变数，简称参数．
相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程F (x ，y )＝0叫做普通方程． 2．参数方程和普通方程的互化
(1)参数方程化普通方程：利用两个方程相加、减、乘、除或者代入法消去参数． (2)普通方程化参数方程：如果x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数
的关系y ＝g (t )，则得曲线的参数方程⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝f (t )，y ＝g (t ).
3．直线、圆、椭圆的参数方程
(1)过点M (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝x 0＋t cos α，
y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．
直线参数方程的标准形式的应用
过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0
＋t sin α.若M 1，M 2是l
上的两点，其对应参数分别为t 1，t 2，则
①|M 1M 2|＝|t 1－t 2|.
②若线段M 1M 2的中点M 所对应的参数为t ，则t ＝t 1＋t 2
2，中点M 到定点M 0的距离
|MM 0|＝|t |＝⎪⎪
⎪⎪t 1＋t 22.
③若M 0为线段M 1M 2的中点，则t 1＋t 2＝0. ④|M 0M 1||M 0M 2|＝|t 1t 2|.
在参数方程与普通方程的互
化中，一定要注意变量的范围以及转化的等价性.
(2)圆心在点M 0(x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝x 0＋r cos θ，
y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数)．
(3)椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝a cos φ，y ＝b sin φ (φ为参数)．
1．在平面直角坐标系中，若曲线C 的参数方程为⎩⎨
⎧
x ＝2＋22t ，
y ＝1＋2
2
t (t 为参数)，则其普
通方程为____________．
2．曲线C 的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝sin θ，
y ＝cos 2θ＋1(θ为参数)，则曲线C 的普通方程为____________．
3．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧
x ＝1＋12
t ，
y ＝3
2t
(t 为参数)，椭圆
C 的方程为x 2
＋y 2
4＝1，设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，则线段AB 的长为
____________．
考点一 参数方程与普通方程的互化
[典例] 已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝a －2t ，
y ＝－4t (t 为参数)，圆C 的参数方程为
⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝4cos θ，
y ＝4sin θ(θ为参数)． (1)求直线l 和圆C 的普通方程；
(2)若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围．
[解题技法] 将参数方程化为普通方程的方法
将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法等，对于含三角函数的参数方程，常利用同角三角函数关系式消参(如sin 2θ＋cos 2θ＝1等)．
[提醒] 将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，防止增解． [题组训练]
1．将下列参数方程化为普通方程．
(1)⎩⎨⎧
x ＝12
(e t ＋e －
t )，y ＝1
2(e t
－e
－t
)
(t 为参数)．
(2)⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝2tan 2
θ，y ＝2tan θ(θ为参数)．
2.如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，求圆x 2＋y 2－x ＝0的参数方
程．
考点二 参数方程的应用
[典例] (2019·广州高中综合测试)已知过点P (m,0)的直线l 的参数方程是
⎩⎨⎧
x ＝m ＋32t ，
y ＝12t
(t 为参数)，以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建
立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.
(1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；
(2)若直线l 和曲线C 交于A ，B 两点，且|P A |·|PB |＝2，求实数m 的值．
[解题技法]
1．应用直线参数方程的注意点
在使用直线参数方程的几何意义时，要注意参数前面的系数应该是该直线倾斜角的正、余弦值，否则参数不具备该几何含义．
2．圆和圆锥曲线参数方程的应用
有关圆或圆锥曲线上的动点距离的最大值、最小值以及取值范围的问题，通常利用它们的参数方程转化为三角函数的最大值、最小值求解，掌握参数方程与普通方程互化的规律是解此类题的关键．
[题组训练]
1．(2019·湖北八校联考)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为
⎩
⎨
⎧
x ＝3cos α，
y ＝sin α(α为参数)，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭
⎫θ＋π
4＝ 2. (1)求曲线C 1的普通方程与曲线C 2的直角坐标方程；
(2)设P 为曲线C 1上的动点，求点P 到C 2的距离的最大值，并求此时点P 的坐标．
2．(2018·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝2cos θ，
y ＝4sin θ(θ为
参数)，直线l 的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝1＋t cos α，
y ＝2＋t sin α(t 为参数)．
(1)求C 和l 的直角坐标方程；
(2)若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求l 的斜率．
考点三 极坐标、参数方程的综合应用
[典例] (2018·河北保定一中摸底)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为
⎩⎨
⎧
x ＝－5＋2cos t ，
y ＝3＋2sin t
(t 为参数)，在以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为
2
2
ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－1. (1)求圆C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；
(2)设直线l 与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，点P 是圆C 上任一点，求A ，B 两点的极坐标和△P AB 面积的最小值．
[解题技法] 极坐标、参数方程综合问题的解题策略
(1)求交点坐标、距离、线段长．可先求出直角坐标系方程，然后求解． (2)判断位置关系．先转化为平面直角坐标方程，然后再作出判断．
(3)求参数方程与极坐标方程综合问题．一般是先将方程化为直角坐标方程，利用直角坐标方程来研究问题．
[题组训练]
1．在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系， 曲线C 1：ρ2－4ρcos θ＋3＝0，θ∈[0,2π]，曲线C 2：ρ＝
3
4sin ⎝⎛⎭
⎫π6－θ，θ∈[0,2π]． (1)求曲线C 1的一个参数方程；
(2)若曲线C 1和曲线C 2相交于A ，B 两点，求|AB |的值．
2．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨
⎧
x ＝2＋t cos φ，
y ＝3＋t sin φ
⎝⎛⎭
⎫t 为参数，φ∈⎣⎡⎦⎤0，π3，以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C 的圆心C 的极坐标为⎝⎛⎭
⎫2，π
3，半径为2，直线l 与圆C 交于M ，N 两点． (1)求圆C 的极坐标方程；
(2)当φ变化时，求弦长|MN |的取值范围．
[课时跟踪检测]
1．若直线⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)与圆⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝4＋2cos θ，
y ＝2sin θ(θ为参数)相切，求直线的倾
斜角α.
2．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＝－8＋t ，y ＝t
2
(t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧
x ＝2s 2
，
y ＝22s
(s 为参数)，设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l
的距离的最小值．
3．已知P 为半圆C ：⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝cos θ，
y ＝sin θ(θ为参数，0≤θ≤π)上的点，点A 的坐标为(1,0)，
O 为坐标原点，点M 在射线OP 上，线段OM 与C 的弧AP 的长度均为π
3
.
(1)以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M 的极坐标； (2)求直线AM 的参数方程．
4．(2019·长春质检)以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点P 的直角坐标为(1,2)，点C 的极坐标为⎝⎛⎭⎫3，π
2，若直线l 过点P ，且倾斜角为π
6
，圆C 以点C 为圆心，3为半径． (1)求直线l 的参数方程和圆C 的极坐标方程； (2)设直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，求|P A |·|PB |.
5．(2018·南昌一模)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝2cos t ，y ＝2sin t ＋2(t
为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求曲线C 的极坐标方程；
(2)若直线l 1，l 2的极坐标方程分别为θ1＝π6(ρ1∈R )，θ2＝2π
3(ρ2∈R )，设直线l 1，l 2与
曲线C 的交点分别为O ，M 和O ，N ，求△OMN 的面积．
6．(2018·全国卷Ⅲ)在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝cos θ，
y ＝sin θ(θ为
参数)，过点(0，－2)且倾斜角为α的直线l 与⊙O 交于A ，B 两点．
(1)求α的取值范围；
(2)求AB 中点P 的轨迹的参数方程．
7．(2019·洛阳第一次统考)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝t ，
y ＝m ＋t (t
为参数，m ∈R )，以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ2＝3
3－2cos 2θ
(0≤θ≤π)．
(1)写出曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；
(2)已知点P 是曲线C 2上一点，若点P 到曲线C 1的最小距离为22，求m 的值．
8．已知直线l 的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝1＋t cos θ，
y ＝t sin θ(t 为参数)，曲线C 的参数方程为
⎩⎨
⎧
x ＝3cos α，
y ＝sin α
(α为参数)，且直线l 交曲线C 于A ，B 两点． (1)将曲线C 的参数方程化为普通方程，并求θ＝π
3时，|AB |的值；
(2)已知点P (1,0)，求当直线l 的倾斜角θ变化时，|P A |·|PB |的取值范围．
选修4－4 ⎪
⎪⎪
坐标系与参数方程
1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换
设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧
x ′＝λ·x (λ＞0)，y ′＝μ·
y (μ＞0)的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．
考点一 平面直角坐标系下图形的伸缩变换
[典例] 求双曲线C ：x 2
－y 2
64＝1经过φ：⎩⎪⎨⎪⎧
x ′＝3x ，2y ′＝y
变换后所得曲线C ′的焦点坐
标．
[解] 设曲线C ′上任意一点P (x ′，y ′)， 由上述可知，将⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝13x ′，y ＝2y ′代入x 2
－y 264
＝1，
得x ′29－4y ′264＝1，化简得x ′29－y ′216＝1，即x 29－y 2
16
＝1为曲线C ′的方程，
可见仍是双曲线，则焦点(－5,0)，(5,0)为所求．
[解题技法] 伸缩变换后方程的求法
平面上的曲线y ＝f (x )在变换φ：⎩
⎪⎨⎪
⎧
x ′＝λx (λ>0)，y ′＝μy (μ>0)的作用下的变换方程的求法是将
⎩⎨⎧
x ＝x ′λ
，y ＝y ′μ
代入y ＝f (x )，得y ′μ＝f ⎝⎛⎭
⎫x ′
λ，整理之后得到y ′＝h (x ′)，即为所求变换
之后的方程．
[提醒] 应用伸缩变换时，要分清变换前的点的坐标(x ，y )与变换后的坐标(x ′，y ′)．
[题组训练]
1．若函数y ＝f (x )的图象在伸缩变换φ：⎩
⎪⎨⎪⎧
x ′＝2x ，
y ′＝3y 的作用下得到曲线的方程为y ′＝3sin ⎝
⎛⎭⎫x ′＋π
6，求函数y ＝f (x )的最小正周期． 解：由题意，把变换公式代入曲线y ′＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ′＋π
6得 3y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，整理得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π
6， 故f (x )＝sin ⎝
⎛⎭⎫2x ＋π6. 所以函数f (x )的最小正周期为π.
2．将圆x 2
＋y 2
＝1变换为椭圆x 225＋y 2
16＝1的一个伸缩变换公式φ：⎩
⎪⎨⎪⎧
x ′＝λx ，y ′＝μy (λ，
μ>0)，求λ，μ的值．
解：将变换后的椭圆x 225＋y 2
16＝1改写为x ′225＋y ′216
＝1，
把伸缩变换公式φ：⎩
⎪⎨⎪⎧
x ′＝λx ，
y ′＝μy (λ，μ>0)代入上式得：
λ2x 225＋μ2y 216
＝1即⎝⎛⎭⎫λ52x 2＋⎝⎛⎭⎫μ42y 2＝1，与x 2＋y 2
＝1，
鸡西市第十九中学高三数学组
11 比较系数得⎩⎨⎧ ⎝⎛⎭
⎫λ52＝1，⎝⎛⎭⎫μ42＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧
λ＝5，μ＝4.。