2020届山东省日照市高三校际联合考试(二模)数学试题(解析版)

中国有个名句 运筹帷幄之中，决胜千里之外 ”其中的筹”取意于《孙子算经》中记载的算筹，古代用算
筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式（如 卜图所示），表示一个多位数时，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式要纵横相间, 个位、百位、万位数用纵式表示，十位、千位、十万位数用横式表示，依此类推
t 2 3 4 5 ? H 9
I II III Illi Hill TTT>W MbC
_ — = = = J_XXi 硬式
【解析】由题意，根据古代用算筹来记数的方法，个位，百位，万位上的数用纵式表示，十位，千位, 十万位上的数用横式来表示，比照算筹的摆放形式
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
、选择题
已知A
2. 2020届山东省日照市高三校际联合考试（二模
）数学试
题
y |y
log 2x,x 1 , B
1 y|y -,x X
2，则 Ap| B
B.
0,2
C. 0,
D.
,0
由题意，集合
A y|y
lOg 2X,X 1
1c
B y|y ,x 2
x
在复平面内，已知复数
A. 1 i
B.
y|0 y
所以Ap B
y|0 y
1
0,-.故选：B. 2
z 对应的点与复数
【解析】由题得z=1-i ，所以
三 i
C .
i 对应的点关于实轴对称，
则
D. 1
1 i .故选C
4.
设m, n 为非零向量，则 存在正数 ，使得
”是m n
0”的（）
3. .例如3266用算筹表
不就是
T 则7239用算筹可表示为（
）
A . TT = II TH B.
C. 1 II 三皿
C.充分必要条件
【解析】由题意，存在正数，使得,所以同向，所以|m | | n |
cos
0, 即充分性是成立的，反之，当非零向量夹角为锐角时，满足不成立，即必要性不成立，所以存在正数，使得0”的充分不必要条件.故选A.
”
是
5.设a n是等差数列.下列结论中正确的是（）
a3 0 a3 0,
D.若a i a2 a i a2
【解析】先分析四个答
案,
A举一反例a i 2, a2 1。

a i a2 0而a2 a3 0, A错误, B举同样反例a i 2,a2 i,03 4, a i a3 0 ,而a i a2 0, B错误，D选项,
a2 a i d ,a3 a2d, ⑶ a i)(a3 a2) d20,故D错，下面针对C进行研究，a n是
差数列，若0 a i a2,则a i 0,设公差为d ,则d 0,数列各项均为正，由于
2 a2
2 2 2
31a3 (a i d) a i(a i 2d) a i 2a i d d
a i2 2a i d
2
a i a〔a3
a1. a〔a3 ,故选C.
6.已知F i, F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且F i PF2 —，记椭圆和双曲线
3
i 的离心率分别为s , ◎，则下e i 3
-2的值为（
）
e2
A. i
25
B.——
i2
C. 4
D. i6
PF i 则在
2
a i
如图,
PF2
设椭圆的长半轴长为
2a i, PF i PF2
PFF2中由余弦定理得4c2
2 2 . . . .
i
3a2 4c ,该式变成—
a i,双曲线的半实轴长为
2a2 , PF i
2
a i a2
3 .....
T 4 ,故选: e2
a2
,
则根据椭圆及双曲线的定义
a i
a i
C.
a2,PF2
2
a2 2
a i
a i
a2,设F i F2 2G F i PF2
a2 a i a2 cos—, 化简
3
7.已知函数f x
A. 3, 3 2.2
C.
3,
1
【解析】f
B.
D. 1恒成立，即f
（不合题意，舍去）恒成立；
即
意；
（3）
等价于
8.已知函数
A.
x /0恒成立，则实数m的范围是
1, 3 2.2
3 2,2,1
0恒成立等价于
0恒成立等价于
1
,
3 2>/2 , (2)
（不合题意，舍去）
或
符合题
1恒成
立,
sin 2x 一
6
B.
【解析】函数f x sin 2x
r 一k
即x - - ( k
2 3 3, 1 .综上所
述,
C
.
3
,
3 212 ,故选：A.
3
一的解为
5
),则sin x〔x2
D.
一的对称轴满足：2x
6
Z）,令k 0可得函数在区间
0 , 上的一条对称轴为x -,
结合三角函数的对称性可知
2 . 2
X x2—，则：x1 —
3 3
x2
，
……2 sin x1 x2sin 一
3 2x2 si
n
2x2 cos 2x2
由题意：sin 2x 2 一 一，且 0 x 1 x 2
6
5
A. 2至3月份的收入的变化率与 11至12月份的收入的变化率相同
B.支出最高值与支出最低值的比是
6:1
C.第三季度平均收入为 60万元
D.利润最高的月份是 2月份
【答案】AB
【解析】根据折线图可知，
对于A, 2至3月份的收入的变化率为 80—6° 20, 11至12月份的变化率为 70 I
； 20,所以变 化率相同，故A 正确；
对于B ,支出最高值是2月份60万元，支出最低值是 5月份的10万元，故支出最高值与支出最低值 的比是6： 1,故B 正确；
对于C,第三季度的7, 8, 9月每个月的收入分别为 40万元，50万元，60万元，故第三季度的平均 八…40 50 60 一，
收入为 ----------- 50万兀，故 C 错误；
3
对于D,利润最高的月份是 3月份和10月份都是30万元，高于2月份的利润是80- 60= 20万元，故
D 错误.
故选：AB.
10.如图，在长方体 ABCD A 1BQQ 1中，AA 1 AB 4, BC 2 , M, N 分别为棱GD 〔，CC 1的中
— X i — X 2 12 3
7
，—2x 2 一
12 2 6
,由同角三角函数基本关系可知:
cos 2x 2 一 6
故选：B 、多选题
9.某商场一年中各月份的收入、
支出（单位：万元）情况的统计如折线图所示， 则下列说法正确的是
点，则（）
A. A 、M 、N 、B 四点共面
B.平面ADM 平面CDD i C i
C.直线BN 与B i M 所成角的为60。

D. BN 〃平面 ADM
【答案】BC
【解析】如图所示，对于 A 中，直线AM,BN 是异面直线，故 A 、M 、N 、B 四点不共面，故 A 错误; 对于B 中，在长方体 ABCD A 1B 1C 1D 1中，可得 AD 平面CDD £ , 所以平面ADM 平面CDD i C i ,故B 正确；
对于C 中，取CD 的中点O,连接BO 、ON ,可知三角形 BON 为等边三角形，故 C 正确; 对于D 中，因为BN 〃平面AAD i D ,显然BN 与平面ADM 不平行，故D 错误.
11.已知函数f(x)
e |x|sinx,则下列结论正确的是(
)
A. f(x)是周期为2的奇函数
一 一 3
，……
B . f (x)在一, ----- 上为增函数
4 4
故选：BC
C. f(x)在(10 ,10 )内有21个极值点【答案】BD
D.
f(x)，ax在0,—上恒成立的充要条件是
【解析】1
f(x)
的定义域为R, f ( x) e x
sin( x) f(x),
f(x)是奇函数，但是
f(x 2 ) e x2%in(x 2 ) e x2%inx f(x),
f (x)不是周期为2的函数，故选项A 错误;
x
3 .
当 x (
一,0)
时 f(x) e sin x , f (x) e (cosx sin x) 0, f(x)单倜递增，当 x (0,——) 4 4
3
....
时，f(x) e sin x , f (x) e (sin x cosx) 0, f(x)单倜递增，且 f (x)在(—,——)连续，故
4 4
f(x)在(—，3—)单调递增，故选项 B 正确；
4 4
当
x [0,1
0 )
时，f(x) e x sin x , f (x) e x (sin x
x - k (k 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10)，当 x ( 10 ,0)时，f(x) e x sinx, 4
f (x) e x (cosx sinx),令 f (x) 0得，x — k (k 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10), 4
因此，f(x)在(10 ,10 )内有20个极值点，故选项 C 错误；
x
C
当 x 0 时，f(x) 0 0 ax,则 a R,当 x (0,—]时，f(x) ax a 3n^,设 4
x
x (0
q ]
a 1 ,故答案D 正确.
故选：BD.
12 .若实数x, y 满足5x 4y 5y 4x
则下列关系式中可能成立的是(
)
A. x y B 1 x y
C. 0 x y 1
D. y x 0
【答案】ACD
【解析】由题意，实数 x, y 满足5x 4y 5y
4x
,可化为4x 5x 5y
4y ,
设 f (x) 4x
5x, g(x) 5x 4x , 由初等函数的性质，可得
f(x),g(x)都是单调递增函数,
画出函数f （x ）, g （x ）的图象，如图所示, 根据图象可知，当x 0时，f 0 g 0
1;当x 1时，f 1 g 1 9,
cosx)，令 f (x) 0 得,
g(x)
x
. e sin x x
g (x)
e x (xsinx xcosx sin x)
2 x
令 h(x) xsin x xcosx sin x ,
h (x) sin x x(cos x sin x) 0, h(x)单调递增,
h(x) h(0) 0,
g (x) 0, g(x)在
(0,-］单调递增,
又由洛必达法则知: 当 x 0 时，g(x) x •
e sin x
e x
(sin x cosx)
当x y时，f x g y ,所以5x 4y 5y 4x成立；
当1 x y时，f x g y ,所以B不正确；
当0xy1时，fx g y可能成立，所以C正确；
当y x 0时，此时f x g x ,所以f x g y可能成立，所以是正确的
故选：ACD.
三、填空题
13.过点（1,2）的直线l被圆x2 y2 2x 2y 1 0截得的弦长为2,则直线l的斜率为.
- 1
【答案】-
2
2 2 2 2
【解析】圆x y 2x 2y 1 0 ,化为标准方程可得x 1 y 1 1,所以圆心坐标为
1,1 ,半径为r 1 ,直线l被圆截得的弦长为2,即弦长为直径，所以直线l经过圆心，又因为直线
. 2 1 1
l过点（1,2）,所以由两点间斜率公式可知k ---- -,
1 1 2
14.某学校在3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师各至少一名，则不同的选取方式
的种数为（结果用数值表示）.
【答案】120
【解析】在3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，总的方法为C5,选择全都是女教师
5
的情况为C6 ,所以男、女教师各至少一名的选取种数为
9! C 5 c 5
5! 9 5 ! 6! 5! 6 5 !
--------- 6 120种,
4 3 2 1
15.设函数f x
a n x , 2^，点 A^ HI
A n n, f (n)
tan 3
【解析】 1,0
(n N + ), Ao 为坐标原点，设向量1 1,0 ,若向量 n 是a n n 与7的夹角，记S n 为数列tan n 的前n 项和，则 向量 a n x
2x ,八'、A n n
,
AA inAn^A n ,由向量的线性运算可知a n AoAn ，所以 a3
AA ,函
f (n)
(n N+),所以
A 3,f(3),即 A
.A o 为坐标原点，向量
n 是
a n 与i 的夹角,
根据斜率定义可知,
tan 3
前n 项和，则 S n tan 1 tan
2
tan 3 tan
3 0 3
23
3
1；S n 为数列tan n 的
8
n 2n ， n
S n 2 2
1 23
1 ………,口
—.由等比数列求和公式可得
2n
16.已知正方体棱长为 2, 以正方体的一个顶点为球心，以 截得的所有的弧长和为 【答案】2.2 【解析】如图所示，球面被正方体表面所截得 每个弧的端点与球心连接形成一个等边三角形,
S n
1， 2n
2V2为半径作球面, 3段相等的弧长, 所以 B|D| B 1c CD 1
则该球面被正方体表面所
60
； 2、2 2 2 ------ * ---------------------,
180； 3
则所有弧长和为3 2点272 ,
3
四、解答题
17.已知数列a n 满足a i 2 , na n i n 1 a n 2n n 1 ,设讲an-.
n
(1)求数列bn的通项公式；
(2)若C n 2bl n,求数列C n的前n项和.
a n
【解析】万法一：(1)因为b n 一且na n 1 n 1 a n 2n n 1 ,
n
所以b n 1 b n '曳2 , n 1 n
又因为D a1 2,
所以b n是以2为首项，以2为公差的等差数列.
所以b n 2 2 n 1 2n.
(2)由(1)及题设得，C n 22n n 4n n ,
所以数列C n的前n项和S n 411 42 2 4n n 4142 4n 1 2 n
n
4 4 4 n 1 n
1 4 2
/12 )
4 n n 4 .
3 2 3
a n
万法一：(1)因为b n 」，所以a n nb n, n
又因为na n 1 n 1 a n 2n n 1 ,
所以n n 1 b n 1 n 1 nb n 2n n 1 ,
即b计1・b n二2 ,
又因为b a1 2,
所以b n是以2为首项，以2为公差的等差数列.
所以b n2 2 n 1 2n.
(2)略，同方法一.
18.在① b2 ac a2 c2 ,② V3acosB bsin A ,③ 73sin B cosB 2 ,这三个条件中任选一个,
补充在下面的问题中，并解决该问题
已知A ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c,
(1)求角B;
(2)求A ABC的面积
【解析】若选择
①
b2ac
因为因为
由余弦定理
B (0,),
由正弦定理
cosB
所以B
a
sin
A
所以sinC 所以S ABC
2 2 . 2
a c b
2ac
b
——得a
sinB
所以C
.5 . sin——sin 一一
12 4 6
1absinC 1 全
2 2 3
若选择②.3a cos B bsin A (1)由正弦定理得73sin AcosB 因为sin A 0 ,所以J3cosB 因为B (0,)，所以B
(2)同上
若选择③3sin B cosB 2 (1)由和角公式得2sin B
因为B (0,),所以B —
6
bsin
A
sin B
2sin7 2,3
3 3
2
5
12
sin —
cos—
4 6
cos—sin
—
4 6
.6
sin Bsin
A
sin B, tan B 3 ,
2,所以sin B
所以B ——,所以B —； 6 2 3
(2)同上.
19 .如图所示的四棱锥 P ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA 平面ABCD , PA AD 2, M, N 分别是AB , PC 的
中点.
(1)求证：MN 平面PCD;
(2)若直线PB 与平面ABCD 所成角的余弦值为 近,求二面角N DM C 的余弦值.
5
【解析】(1)证明：取PD 中点E,连接EN , AE ,
1…
EN//AM , EN AM -AB , 2
所以AMNE 是平行四边形，故 MN//AE , 因为PA 平面ABCD ,所以PA CD 又因为 CD AD , AD PA A,
CD 平面PAD,所以平面PCD 平面PAD .
因为PA AD, E 为中点，所以 AE PD , 所以AE 平面PCD 所以MN 平面PCD ;.
(2)因为PA 平面ABCD ，所以AB 为PB 在平面ABCD 内的射影, 所以 PBA 即为直线PB 与平面ABCD 所成的
角，
因为
PA AD 2, AB 4 ,
则 cos PBA
红
5
,即sin
5
因为M, N, E 分别为AB , PC, PD 的中点,
PBA
分别以AB, AD, AP 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系,
所以二面角N DM C 的余弦值为叵
3
20 .基于移动互联技术的共享单车被称为
新四大发明”之一，短时间内就风靡全国，带给人们新的出行体
验，某共享单车运营公司的市场研究人员为了解公司的经营状况，对该公司最近六个月内的市场占有 率进行了统计，设月份代码为 x,市场占有率为y (%),得结果如下表
年月
2019.11 2019.12 2020.1 2020.2 2020.3 2020.4 x 1 2 3 4 5 6 y
9
11
14
13
18
19
(1)观察数据，可用线性回归模型拟合 y 与x 的关系，请用相关系数加以说明(精确到 0.001)；
(2)求y 关于x 的线性回归方程，并预测该公司
2020年6月份的市场占有率；
(3)根据调研数据，公司决定再采购一批单车投入市场，现有采购成本分别为
1000元/辆和800元/
辆的甲、乙两款车型，报废年限不相同 .考虑到公司的经济效益，该公司决定先对这两款单车各 100辆
进行科学模拟测试，得到两款单车使用寿命统计如下表：
则 D 0,2,0 , M 2,0,0
，N 2,1,1，贝U DM 2, 2,0，MN 0,1,1， 设平面NDM 的法向量n 1
x, y,z ,
则-|
ni
2x
n i
1,1, 1 ，
取平面DMC 的法向量
n 2 0,0,1 ，
所以
cos
',n1
,n
2
ni n 2
n 〔 n 2
由图可知，二面角 N DM
C 为锐角,
经测算，平均每辆单车每年可以为公司带来收入
元，不考虑除采购成本之外的其他成本，假设每
辆单车的使用寿命都是整数年，且用频率估计每辆单车使用寿命的概率，以每辆单车产生利润的期望 值为决策依据，如果你是该公司的负责人，你会选择采购哪款车型?
・•. y 与X 之间具有较强的线性相关关系，可用线性回归模型进行拟合:
y 关于X 的线性回归方程为 ? 7 2X .
参考数据:
6
6
2
X i x 17.5 ,
y i
i 1
i 1
X i 35, V1330 36.5.
参考公式，相关系数
n
X x y i y
r :1
n
,回归方程？ i? bX 中斜率和截距的最小二乘
2
2
J X X
y i y
n
X i X y i y
估计公式分别为b? ----------------- , ? y bX .
_ 2
X i X
i 1
【解析】（1）由参考数据可得r
35 ,17.5 76
-^= 0.959,接近 1, ..1330
X i
y i
(2)
I?
X i
35 17.5
9 11 14 13 18 19
6
14, j? y IX 14 2 3.5 7,
. ............ 3 2
M 在抛物线C 上， --------
m 1
解得m 4 ,故D(0,4)
2020年6月份代码x 8,代入线性回归方程得 ? 23,于是2020年6月份的市场占有率预报值为 2
以每辆单车产生利润的期望值为决策依据，故应选择乙款车型
2 _ _
21.在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线C ： x 2py ( p
0)的焦点为F 0,1
(1)动直线l 过F 点且与抛物线 C 交于M, N 两点，点
M 在y 轴的左侧，过点 M 作抛物线C 准线的
1 .
垂线，垂足为M I ,点E 在MF 上，且满足ME — EF 2
连接M I E 并延长交y 轴于点D, ^MED 的
面积为 叵,求抛物线C 的方程及D 点的纵坐标;
2
(2)点H 为抛物线C 准线上任一点，过 H 作抛物线C 的两条切线HA , HB ,切点为A, B,证明直
线AB 过定点，并求
A HA
B 面积的最小值.
【解析】(1)因为F 0,1 ,所以抛物线C:
x 2
4y ,
… 1 LL 因为 ME 2EF, S A MED 32
1 彳3
2 所以 一 x M m 1
-- , 2
2
X
M
又因为 AMM I E ~AEFD ,
MM 1
1 2|DF|
1 ,推出y M
(3)用频率估计概率，甲款单车的利润 X 的分布列为 E X 500 0.1 0 0.4 500 0.3 1000 0.2 300 （元）
乙款单车的利润Y 的分布列为
E Y 300 0.15 200 0.35 700 0.4 1200 0.1 425 （元），
(2
)设点
A x i , y i ,
B X 2, y 2
,
H t, 1
由 C
： x 2
4y , 即 y lx 2
4
必，
1
2
x i
因为 y i 二 x , y —x
y i,
4
2
因为H t, 1在切线HA 上， 所以19t y i ①
2
__ x 2
同理1 —t y 2②；
x
综合①②得，点 A x i ,y i , B x 2,y 2的坐标满足万程 i -t y , 即直线AB 恒过抛物线焦点F 0,1 . 当t 0时，此时H 0, 1 ,可知HF AB,
当t 0时，此时直线HF 的斜率为，，得HF AB , 于是 Szx HAB 2| HF | |AB|,而 |HF| J t 0 2
1 1
2 J t 2 4 , 把直线 y |x 1 代入 C ： x 2 4y 中，消去 x 得 y 2
2 t 2 y 1 0/AB
| y 〔 y 2 2 t 2
4 ,
即 S/XHAB 1t 2
4 J t 2
4 1 t 2
4 - 2 2 当t 0时，S A HAB 最小，且最小值为 4.
2
.
22.已知函数 f x x ln x ax
(1)求函数f x 的单调区间；
2
(2)若f x 2x ,对x 0,
恒成立，求实数a
的取值范围；
所以抛物线C ： x 2
4y 在点A ”,%处的切线HA 的方程为 y y 1
x i 2
(3)当a 1 时，设g x xe x2 f x x 1 .若正实
数
2满足1
x
2
0,x〔x2 ,证明：g 1X 2x2 1g x1 2g X2
【解析】（1）由题意知：f x定义域为0
, 2x
2x2 ax 1
2
令g x 2x ax 1 x 0 ,则
a2 8,
①当a 2万时，g x 0,即f
函数 f x的单调递增区间为0, ;无单调递减区间;
②当a 0
,
解得:
a - a2 8
x1 ----------------- ，
4
又
2
8 ,可知x2
4
x i 0, 0,x1 和x2,
*,x2 时，g x
x的单调递增区间为时,
,
g x 0,即
即f x 0；
a . a2 8
0, --------- ，
4
f x 0；
单调递减区间为
综上所述：①当a 2J2时，函数f x的单调递增区间为0, ,无单调递减区间;
②当a 2T2时，函数f x的单调递增区间为0,a a2 8
4 单调递减区间为
a a2 8 a 、. a2 8
(2) 2 ,
x 2x 对x 0, 恒成立，即为对任意的x 0,
In x
,都有a ----- x ,
x
In x —x x 1 In x
2
x
, 2
ln x x
2
x
1 ln
x
在0, 上单调递减，又
— 2x0, x 0,
・•・当x 0,1时，G x 0,即F x 0, F x单调递增;
当x 1, ,Gx 0,即Fx 0, F x单调递减，
••F x max F 1 1 ,
・，・实数a的取值范围为1,.
(3)证明：当a 1时，g x xe 1nx x x 1 xe x 1nx x 1 e x x 1 x 0 ,
不妨设x〔x2 0, ，以x1为变量，令F x g 1x 2x2 1g x 2g x2
则F x 1g 1x 2x2 1g x 1g 1x 2x2 g x
1 *
x 治，
1 1x 2x
2 x 1 1x 2x2 2x 2x2 且
1x 2x2 x 0 ,即1x 2x2 x,又g x e x1 为增函数，
g j 2x2 g x 0 ；
F x在0, x2上单调递增,
x1 0,x2 , F K F x2 0,
即g 1x12x2 1g X 2g x2。