高一数学函数的零点
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注意： 零点指的是一个实数；
方程f(x)=0有实数根
零点是一个点吗?
函数y=f(x)的图象与x轴有交点
函数y=f(x)有零点
二次函数零点的个数
△=b2-4ac ax2+bx+c=0 y=ax2+bx+c(a≠0)的
的根
图象与x轴的交点
△>0
两个不相 等的实根
两个零点
△=0
两个相等 的实根
二重零点
△<0
顶点坐标为( b , 4ac b2 ) 对称轴为
2a
4a
x b 2a
观察几个具体的一元二次方程的根及其相应的 二次函数的图象：
一元二次方程 方程的根
x2-2x-3=0 x2-2x+1=0
x= 3或 x=-1
x=1
二次函数
y=x2-2x-3
图象与x轴的 交点
（-1，0） （3，0）
y=x2-2x+1 （1，0）
2, 4上是否也具有这种特点呢？
-2 -3
-4
（1）当函数的图像通过零点且穿过x轴时，函数值变 号。 （2）两个零点把x轴分为三个区间。 可以推广到任意函数，只要它的图像是连续的，上述 性质同样成立。
例一：判断函数零点的个数
（1）f (x) x2 x 6 (2) f (x) x2 1 x
晚上六点才到达金川县观音桥镇，原本计划是五点到达。除了巴车遭遇的小意外，一路上还遇到数次堵车。并不宽阔的国道因为车辆太多而堵 塞，车辆缓慢擦身而过，平日里见到的嚣张的大货车也变得缓慢有礼。幸好耽搁的时间都不长，不然还不知道几时能到。
无实根
无零点
探究
观 察 二 次 函 数 f (x) x2 2x 3 的 图 y 5
象，如右图，我们发现函数 f (x) x2 2x 3在 4 3
区间2,1上有零点。计算 f (2) 和 f (1) 的乘 2
1
积，你能发现这个乘积有什么特点？在区间 -2 -1 0 1 2 3 4 5 x -1
x2-2x+3=0
无实数 y=x2-2x+3 无交点 根
一般一元二次方程与相应二次函数的关系
△=b2-4ac ax2+bx+c=0 y=ax2+bx+c(a≠0)的
的根
图象与x轴的交点
△>0
x1,x2
（x1,0），（x2，0）
△=0
x1=x2
（x1，0）
△<0
无实根
无交点
函数零点的定义：
对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫 做函数y=f(x)的零点。
答案（1）两个
（2）一个
（1）可直接解方程（2）可解方程也可数形结合
互动探究
例二：求函数的零点
(1) y x4 1
(2) f (x) 3x2 7x 6
答案（1）1和-1
（2）-3和 2 3
变式训练：
(1)求函数的零点 f (x) (x2 x 2)( x2 2x 8)
(2)讨论y (ax 1)(x 2)的零点。
思考与讨论 ：如何求函数的零 点？
规律方法：由于函数的零点是对应方 程的根，所以求函数的零点就是解与 函数相对应的方程，一元二次方程可 用求根公式，简单的高次方程可用因 式分解去求。
例三、求函数y=x3-2x2-x+2的零点，并画出它 的图像。
解：因为
x3-2x2-x+2=x2(x-2)-(x-2)
=(x-2)(x2-1)
2
=(x-2)(x-1)(x+1)
所以已知函数的零点为-1，
-2 0
2
1，2.
x
3个零点把x轴分成4个区间：
（-∞，-1）（-1，1）（1， 2）（2，+ ∞ ）
当堂检测
课本练习A
本堂小结：
一：函数零点的概念 二：函数零点与方程根的关系 三：求函数的零点及判断零点的 个数
祝同学们天天进步
复习回顾： (1)一元二次方程是否有实根的判定方法. (2)二次函数的顶点坐标，对称轴方程。
一：利用一元二次方程根的判别式 b2 4ac
(1)△＞0,二次方程有两个不同的实数根 (2)△=0，二次方程有两个相同的实数根 (3)△＜0，二次方程没有实数根
二：二次函数 y ax2 bx c(a 0)
无关键词
yrk513sqz
也许你说得对，我们不会缓慢老去，因为内心始终有漏洞。有时候我会想这一刻快点到来，我想知道年轻与年老看待世事的区别。是不是在看 待同一个人时也会有截然不同的体验。有时候又希望它永远不要到来，直到我死去，因为我觉得自己会死在最灿烂的年纪，只有这样才能青春 不朽，才能不用走下坡路，看见自己越来越无能为力。
方程f(x)=0有实数根
零点是一个点吗?
函数y=f(x)的图象与x轴有交点
函数y=f(x)有零点
二次函数零点的个数
△=b2-4ac ax2+bx+c=0 y=ax2+bx+c(a≠0)的
的根
图象与x轴的交点
△>0
两个不相 等的实根
两个零点
△=0
两个相等 的实根
二重零点
△<0
顶点坐标为( b , 4ac b2 ) 对称轴为
2a
4a
x b 2a
观察几个具体的一元二次方程的根及其相应的 二次函数的图象：
一元二次方程 方程的根
x2-2x-3=0 x2-2x+1=0
x= 3或 x=-1
x=1
二次函数
y=x2-2x-3
图象与x轴的 交点
（-1，0） （3，0）
y=x2-2x+1 （1，0）
2, 4上是否也具有这种特点呢？
-2 -3
-4
（1）当函数的图像通过零点且穿过x轴时，函数值变 号。 （2）两个零点把x轴分为三个区间。 可以推广到任意函数，只要它的图像是连续的，上述 性质同样成立。
例一：判断函数零点的个数
（1）f (x) x2 x 6 (2) f (x) x2 1 x
晚上六点才到达金川县观音桥镇，原本计划是五点到达。除了巴车遭遇的小意外，一路上还遇到数次堵车。并不宽阔的国道因为车辆太多而堵 塞，车辆缓慢擦身而过，平日里见到的嚣张的大货车也变得缓慢有礼。幸好耽搁的时间都不长，不然还不知道几时能到。
无实根
无零点
探究
观 察 二 次 函 数 f (x) x2 2x 3 的 图 y 5
象，如右图，我们发现函数 f (x) x2 2x 3在 4 3
区间2,1上有零点。计算 f (2) 和 f (1) 的乘 2
1
积，你能发现这个乘积有什么特点？在区间 -2 -1 0 1 2 3 4 5 x -1
x2-2x+3=0
无实数 y=x2-2x+3 无交点 根
一般一元二次方程与相应二次函数的关系
△=b2-4ac ax2+bx+c=0 y=ax2+bx+c(a≠0)的
的根
图象与x轴的交点
△>0
x1,x2
（x1,0），（x2，0）
△=0
x1=x2
（x1，0）
△<0
无实根
无交点
函数零点的定义：
对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫 做函数y=f(x)的零点。
答案（1）两个
（2）一个
（1）可直接解方程（2）可解方程也可数形结合
互动探究
例二：求函数的零点
(1) y x4 1
(2) f (x) 3x2 7x 6
答案（1）1和-1
（2）-3和 2 3
变式训练：
(1)求函数的零点 f (x) (x2 x 2)( x2 2x 8)
(2)讨论y (ax 1)(x 2)的零点。
思考与讨论 ：如何求函数的零 点？
规律方法：由于函数的零点是对应方 程的根，所以求函数的零点就是解与 函数相对应的方程，一元二次方程可 用求根公式，简单的高次方程可用因 式分解去求。
例三、求函数y=x3-2x2-x+2的零点，并画出它 的图像。
解：因为
x3-2x2-x+2=x2(x-2)-(x-2)
=(x-2)(x2-1)
2
=(x-2)(x-1)(x+1)
所以已知函数的零点为-1，
-2 0
2
1，2.
x
3个零点把x轴分成4个区间：
（-∞，-1）（-1，1）（1， 2）（2，+ ∞ ）
当堂检测
课本练习A
本堂小结：
一：函数零点的概念 二：函数零点与方程根的关系 三：求函数的零点及判断零点的 个数
祝同学们天天进步
复习回顾： (1)一元二次方程是否有实根的判定方法. (2)二次函数的顶点坐标，对称轴方程。
一：利用一元二次方程根的判别式 b2 4ac
(1)△＞0,二次方程有两个不同的实数根 (2)△=0，二次方程有两个相同的实数根 (3)△＜0，二次方程没有实数根
二：二次函数 y ax2 bx c(a 0)
无关键词
yrk513sqz
也许你说得对，我们不会缓慢老去，因为内心始终有漏洞。有时候我会想这一刻快点到来，我想知道年轻与年老看待世事的区别。是不是在看 待同一个人时也会有截然不同的体验。有时候又希望它永远不要到来，直到我死去，因为我觉得自己会死在最灿烂的年纪，只有这样才能青春 不朽，才能不用走下坡路，看见自己越来越无能为力。